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北京市朝阳区2014届高三上学期期末考试 数学理

时间:2014-01-17


北京市朝阳区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷(理工类)2014.1
(考试时间 120 分钟满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.函数 f ( x) ?

1 ? x 的定义域为 x ?1

A. [0, ??) B. (1, ??) C. [0,1) ? (1, ??) D. [0,1)
2 2.如果点 P ? 2, y0 ? 在以点 F 为焦点的抛物线 y ? 4 x 上,则 PF ?

A.1

B. 2 C. 3 D. 4

2 2 3.命题 p : ?x ? R, x ? ax ? a ? 0 ;命题 q : ?x ? R , sin x ? cos x ? 2 ,则下列命题中为真命

题的是 A . p ? q B. p ? q 开始 C. (?p) ? q D. (?p) ? (?q) 4.在△ ABC 中, ?A ? 30? , AB ? 3 , BC ? 1 , 则△ ABC 的面积等于 A.

i?0
a ? a0

3 3 B. 2 4

i ? i ?1
a ? 2a ? 1

3 3 3 C. 或 3 D. 或 2 2 4
5.执行如图所示的程序框图,输出结果是 4 . 若 a0 ? ?1, 2,3? ,则 a0 所有可能的取值为 A.1, 2,3 B.1 C. 2 D. 1, 2 结束 a<2013? 否 输出 i



1

6. 已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0) ,A(1,0) ,B(1,1) ,C (0,1) , 点 D, E 分别在线段 OC , AB 上运动,且 OD ? BE ,设 AD 与 OE 交于点 G ,则点 G 的轨迹方程是 A. y ? x(1 ? x) (0 ? x ? 1) B. x ? y(1 ? y) (0 ? y ? 1) C. y ? x (0 ? x ? 1) D. y ? 1 ? x (0 ? x ? 1)
2 2

7.已知平面向量 a , b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? ?1 ,则 | a ? b | 的最小值为
?

A. 6 B. 3 C. 2 D.1
n ? 8.已知数列 ? an ? 满足 an ? n ? k (n ? N , 0 ? k ? 1) 下面说法正确的是

①当 k ?

1 时,数列 ? an ? 为递减数列; 2

②当

1 ? k ? 1 时,数列 ?an ? 不一定有最大项; 2 1 时,数列 ? an ? 为递减数列; 2

③当 0 ? k ?

④当

k 为正整数时,数列 ? an ? 必有两项相等的最大项. 1? k
B. ②④ C.③④ D.②③

A.①②

第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况,抽查并统计了 100 名同学的某一周阅读时间,绘制了 频率分布直方图(如图所示),那么这 100 名学生中阅读时间在 [4,8) 小时内的人数为_____. 频率/组距 0.15 0.14 0.12 0.05 0.04 2 4 6
2

8

10 12

小时

10.在各项均为正数的等比数列 ? an ? 中,若 log 2 a2 ? log 2 a8 ? 1 ,则 a3 ? a7 ? . 11.直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 相交于 O , A 两点,若 OA =2 3 ,则实数 k 的值是_____. 12.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是;表面积是.

2 6

3 正视图

3

2 3 侧视图

3

俯视图

13.实数 x, y 满足 ?

? x ? y ? 3, 若 y ? k ( x ? 2) 恒成立,则实数 k 的最大值是. ?2 x ? y ? 0,

14.所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数. 如: 6=1 ? 2 ? 3 ;

28=1 ? 2 ? 4 ? 7 ? 14 ; 496=1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 31 ? 62 ? 124 ? 248
已经证明: 若 2 ? 1 是质数, 则2
n
n ?1

n ? N? .请写出一个四位完全数; (2n ? 1) 是完全数, 又 6 ? 2?3,

所以 6 的所有正约数之和可表示为 (1 ? 2) ? (1 ? 3) ;

28 ? 22 ? 7 ,所以 28 的所有正约数之和可表示为 (1 ? 2 ? 22 ) ? (1 ? 7) ;
按此规律, 496 的所有正约数之和可表示为. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ? cos x ? sin x ? 1 .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值;

3

(Ⅱ)若 f (? ) ?

5 ,求 cos 2? 的值. 16

4

16.(本题满分 13 分) 甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试,在相同测试条件下,两人 5 次测试的成绩(单 位:分)如下表: 第1次
甲 乙 58 65

第2次
55 82

第3次
76 87

第4次
92 85

第5次
88 95

(Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算); (Ⅱ)若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中,90 分以 上的个数为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望 EX . 17.(本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P - ABC 中, PA ? 平面 ABC , AB ? AC . (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)设 O, D 分别为 AC , AP 的中点,点 G 为△ OAB 内

P

???? 1 ??? ? ??? ? OA ? OB ) 一点, 且满足 OG ? ( , 求证:DG ∥面 PBC ; 3
(Ⅲ) 若 AB = AC = 2 ,PA = 4 , 求二面角 A ? PB ? C 的 余弦值. 18.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,求 a 的取值范围. 19.已知椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1 ( ? 3, 0) , F2 ( 3, 0) ,且经过点 P( 3, ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

D

C

O G

A

B

1 2

(Ⅱ)已知点 A(0, ?1) ,直线 l 与椭圆 C 交于两点 M , N .若△ AMN 是以 A 为直角顶点的等腰直 角三角形,试求直线 l 的方程. 20.(本题满分 13 分) 已知 a, b, c 是正数, a1 ? lg a , a2 ? lg b , a3 ? lg c .
5

(Ⅰ)若 a, b, c 成等差数列,比较 a1 ? a2 与 a2 ? a3 的大小; (Ⅱ)若 a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ,则 a, b, c 三个数中,哪个数最大,请说明理由; (Ⅲ)若 a ? t , b ? t , c ? t ( t ? N ),且 a1 , a2 , a3 的整数部分分别是 m, m ? 1, 2m ? 1,
2

3

?

2

2

求所有 t 的值.

6

北京市朝阳区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学答案(理工类)2014.1
一、选择题 题号 答案 二、填空题 题 9 号 答 案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 B 6 A 7 A 8 C

1 0

11

12

1 3

14

54

2

?

3 3

18 2

36 3

2 3

8128

(1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ) ? (1 ? 31)

三、解答题 15.解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? ? cos x ? sin x ? 1
2

? sin 2 x ? sin x

1 1 ? (sin x ? )2 ? , 2 4
又 sin x ? ? ?1,1? ,所以当 sin x ?

1 1 时,函数 f ( x) 的最小值为 ? .?? 6 分 2 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 (sin ? ? ) ?
2

1 2

1 5 ? , 4 16

所以 (sin ? ? ) ?
2

1 2

9 . 16

于是 sin ? ?

5 1 (舍)或 sin ? ? ? . 4 4
2

又 cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 2(? ) ?
2

1 4

7 .?????? 13 分 8
均成绩 选派乙

16.解:(Ⅰ)茎叶图如右图所示,由图可知,乙的平 大于甲的平均成绩,且乙的方差小于甲的方差,因此应 参赛更好.??????6 分 (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1, 2 .

甲 5 8 5 6 6 7 8 9 2 5 5



7

8 2

7

5

P ( X ? 0) ?

1 1 C4 C4 16 ? , 1 1 C5C5 25 1 2C4 8 ? , 1 1 C5C5 25

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

1 1 ? , 1 C C5 25
1 5

随机变量 X 的分布列是:

X
P

0
16 25

1
8 25

2
1 25

EX ? 0 ?

16 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? .??????13 分 25 25 25 5

17.证明:(Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC , 所以 PA ? AC . 又因为 AB ? AC ,且 PA ? AB = A , 所以 AC ? 平面 PAB . 又因为 PB ? 平面 PAB , 所以 AC ? PB .?????? 4 分 (Ⅱ) 解法 1:因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? AB , PA ? AC .又因为 AB ? AC , 所以建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz . 设 AC = 2a , AB = b , PA = 2c , 则 A(0,0,0) , B(0, b,0) , C (2a, 0, 0) ,

z
P

P(0, 0, 2c), D(0, 0, c) , O(a,0,0) .

OA ? OB ) 又因为 OG ? ( , a b 3 3

????

? ??? ? 1 ??? 3

D C

所以 G ( , , 0) .

x

O G

A

于是 DG ? ( , , ?c) ,

????

a b 3 3

??? ? ??? ? BC ? (2a, ?b, 0) , PB ? (0, b, ?2c) .

B

y
8

设平面 PBC 的一个法向量

??? ? ? ?n ? BC ? 0, n ? ( x0 , y0 , z0 ) ,则有 ? ??? ? n ? PB ? 0. ? ?
即?

?2ax0 ? by0 ? 0, ? by0 ? 2cz0 ? 0.
2c c c 2c , x0 ? ,所以 n ? ( , ,1) . b a a b

不妨设 z0 ? 1 ,则有 y0 ?

因为 n ? DG ? ( ,

????

c 2c a b c a 2c b ,1) ? ( , , ?c) ? ? ? ? ? 1? (?c) ? 0 , a b 3 3 a 3 b 3

所以 n ? DG .又因为 DG ? 平面 PBC , 所以 DG ∥平面 PBC .??????9 分

????

P
解法 2: 取 AB 中点 E ,连 OE ,则 OE ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? (OA ? OB) . 2 ? 2 ??? OE , 3

D

OA ? OB ) 由已知 OG ? ( 可得 OG ?

????

? ??? ? 1 ??? 3

????

C

O G E F B B
??????9 分

A

则点 G 在 OE 上.连结 AG 并延长交 CB 于 F ,连 PF . 因为 O, E 分别为 AC , AB 的中点, 所以 OE ∥ BC ,即 G 为 AF 的中点. 又因为 D 为线段 PA 的中点, 所以 DG ∥ PF . 又 DG ? 平面 PBC , PF ? 平面 PBC , 所以 DG ∥平面 PBC .

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知平面 PBC 的一个法向量 n ? ( ,

c 2c ,1) ? (2, 2,1) . a b
??? ?

又因为 AC ? 面 PAB ,所以面 PAB 的一个法向量是 AC ? (2, 0, 0) .

???? ???? n ? AC 4 2 又 cos n, AC ? ? , ???? ? n ? AC 3 ? 2 3
由图可知,二面角 A ? PB ? C 为锐角, 所以二面角 A ? PB ? C 的余弦值为

2 .?????? 14 分 3
9

18.解: (Ⅰ)定义域 (0, ??) . 当 a ? 0 时, f ( x) ? x ln x , f ?( x) ? ln x ? 1 . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 . e

当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;

1 e

当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数.

1 e

所以函数 f ( x) 的极小值是 f ( ) ? ?

1 e

1 .?????? 5 分 e

(Ⅱ)由已知得 f ?( x) ? ln x ?

x?a . x

因为函数 f ( x) 在 (0, ??) 是增函数,所以 f ?( x) ? 0 ,对 x ? (0, ??) 恒成立. 由 f ?( x) ? 0 得 ln x ?

x?a ? 0 ,即 x ln x ? x ? a 对 x ? (0, ??) 恒成立. x

设 g ( x) ? x ln x ? x ,要使“ x ln x ? x ? a 对 x ? (0, ??) 恒成立”,只要 a ? g ( x) min . 因为 g ?( x) ? ln x ? 2 ,令 g ?( x) ? 0 得 x ?

1 . e2

当 x ? (0,

1 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为减函数; e2

当 x?(

1 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为增函数. e2 1 1 )?? 2 . 2 e e

所以 g ( x) 在 ? 0, ?? ? 上的最小值是 g (

故函数 f ( x) 在 (0, ??) 是增函数时,实数 a 的取值范围是 (??, ?

1 ] ?? 13 分 e2

19.解:(Ⅰ)设椭圆标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) .依题意 a 2 b2

10

2a ? PF1 ? PF2 ? 12 ?
2 2

1 1 ? ? 4 ,所以 a ? 2 . 4 4
2

又 c ? 3 ,所以 b ? a ? c ? 1 . 于是椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 .?????? 5 分 4

(Ⅱ)依题意,显然直线 l 斜率存在.设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,则

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 由? 4 得 (4k ? 1) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ? y ? kx ? m ?
2 2 2 2 因为 ? ? 64k m ? 4(4k ? 1)(4m ? 4) ? 0 ,得 4k ? m ? 1 ? 0 .??????①
2 2

8km ? x ? x ? ? 1 2 ? ? 4k 2 ? 1 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 中点为 Q( x0 , y0 ) ,则 ? 2 ? x x ? 4m ? 4 ? 1 2 4k 2 ? 1 ?
于是 x0 ? ?

4km m , y0 ? kx0 ? m ? 2 . 2 4k ? 1 4k ? 1

因为 AM ? AN ,线段 MN 中点为 Q ,所以 AQ ? MN . (1)当 x0 ? 0 ,即 k ? 0 且 m ? 0 时,

y0 ? 1 k ? ?1 ,整理得 3m ? 4k 2 ? 1 .??????② x0
因为 AM ? AN , AM ? ( x1 , y1 ? 1), AN ? ( x2 , y2 ? 1) , 所以 AM ?AN ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? (1 ? k ) x1 x2 ? k (m ? 1)( x1 ? x2 ) ? m ? 2m ? 1
2 2

???? ?

????

???? ? ????

? (1 ? k 2 )

4m 2 ? 4 8km ? k (m ? 1)(? 2 ) ? m2 ? 2m ? 1 ? 0 , 2 4k ? 1 4k ? 1
3 或 m ? ?1 . 5

整理得 5m ? 2m ? 3 ? 0 ,解得 m ?
2

当 m ? ?1 时,由②不合题意舍去. 由①②知, m ?

5 3 时, k ? ? . 5 5
11

(2)当 x0 ? 0 时, (ⅰ)若 k ? 0 时,直线 l 的方程为 y ? m ,代入椭圆方程中得 x ? ?2 1 ? m .
2

设 M ( ?2 1 ? m , m) , N (2 1 ? m , m) ,依题意,若△ AMN 为等腰直角三角形,则
2 2

AQ ? QN .即 2 1 ? m 2 ? 1 ? m ,解得 m ? ?1 或 m ?

3 . m ? ?1 不合题意舍去, 5

即此时直线 l 的方程为 y ?

3 . 5

( ⅱ ) 若 k ? 0 且 m ? 0 时 , 即 直 线 l 过 原 点 . 依 椭 圆 的 对 称 性 有 Q(0,0) , 则 依 题 意 不 能 有

AQ ? MN ,即此时不满足△ AMN 为等腰直角三角形.
综上,直线 l 的方程为 y ?

3 或 5 x ? 5 y ? 3 ? 0 或 5 x ? 5 y ? 3 ? 0 . ??????14 分 5 a b ac ? lg ? lg 2 . b c b

20.解:(Ⅰ)由已知得 (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) = lg

因为 a, b, c 成等差数列,所以 b ?

a?c , 2

则 (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? lg

4ac , (a ? c) 2

2 因为 a ? c ? 2ac ,所以 (a ? c) ? 4ac ,即
2 2

4ac ? 1, (a ? c) 2

则 (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? 0 ,即 a1 ? a2 ? a2 ? a3 ,当且仅当 a ? b ? c 时等号成立. ?????? 4 分 (Ⅱ)解法 1:令 m ? a1 ? a2 , n ? a2 ? a3 , p ? a3 ? a1 , 依题意, m ? n ? p 且 m ? n ? p ? 0 ,所以 m ? 0 ? p . 故 a1 ? a2 ? 0 ,即 lg a ? lg b ;且 a1 ? a3 ? 0 ,即 lg a ? lg c . 所以 a ? b 且 a ? c . 故 a, b, c 三个数中, a 最大.

12

解法 2:依题意 lg

a b c a b c ? lg ? lg ,即 ? ? . b c a b c a
2 2 2

因为 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,所以 ac ? b , a ? bc , ab ? c . 于是, abc ? b , a ? abc , abc ? c ,
3
3 3

所以 a ? b , a ? c .
3 3 3 3

因为 y ? x 在 R 上为增函数,所以 a ? b 且 a ? c .
3

故 a, b, c 三个数中, a 最大.??????8 分
2 3 2 (Ⅲ)依题意, lg t , lg t , lg t 的整数部分分别是 m, m ? 1, 2m ? 1 ,则 m ? lg t ? m ? 1 ,
2

所以 2m ? 2lg t ? 2m ? 2 . 又 lg t ? 2 lg t ,则 lg t 的整数部分是 2m 或 2m ? 1 .
2 2

当 m ? 1 ? 2m 时, m ? 1 ;
2

当 m ? 1 ? 2m ? 1 时, m ? 0, 2 .
2

(1) 当 m ? 0 时, lg t , lg t , lg t 的整数部分分别是 0,1,1 ,
2 3

所以 0 ? lg t ? 1 , 1 ? lg t ? 2 , 1 ? lg t ? 2 .所以
2
3

2 1 1 2 ? lg t ? ,解得10 2 ? t ? 10 3 . 2 3

又因为10 2 ? ? 3, 4 ? ,10 3 ? ? 4,5? ,所以此时 t ? 4 . (2)当 m ? 1 时,同理可得 1 ? lg t ? 2 , 2 ? lg t ? 3 , 3 ? lg t ? 4 .
2 3

1

2

所以 1 ? lg t ?

4 4 4 ,解得10 ? t ? 10 3 .又 10 3 ? ? 21, 22 ? ,此时 t ? 10,11,12,...20, 21. 3

2 3 (3)当 m ? 2 时,同理可得 2 ? lg t ? 3 , 5 ? lg t ? 6 , 9 ? lg t ? 10 ,

同时满足条件的 t 不存在. 综上所述 t ? 4,10,11,12,...20, 21 .??????13 分

13


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