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2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

时间:2018-06-30


2.1 空间点、直线、平 面之间的位置关系

主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.1 平 面

构成图形的基本元素
D′ A′ D A B 面无厚薄 点、线、面 B′ C 线无粗细 C′ 点无大小



直线

可无限延伸的

平面

平面是可无限延展的

平面的表示
平面的画法 一般来说,常用正方形或长方形表示平面,如 图一, 在画立体图时,为了增强立体感, 常常把平 面画成平行四边形,如图二是按照斜二测画法得到的 平面的水平直观图.

图一

图二

平面的表示
平面的符号表示 D C α A B 希腊字母: 1. 希腊字母: 平面α 平面β 平面γ 平面α, 平面β,平面γ

一个或几个拉丁字母: 平面M 平面AC AC, 2. 一个或几个拉丁字母: 平面M, 平面AC, 平面ABCD等 平面ABCD等 ABCD

平面的表示
两个相交平面的画法和表示 平面α和平面β相交于一条直线a β a α 平面α∩平面β=直线a 被遮住的部分画虚线 a

平面的表示
点与直线、点与平面、 用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系 直线和平面都可以看成点的集合

P “点P在直线l上”,“点A在平面α内” ∈l, A∈α
P “点P在直线l 外”,“点A在平面α外” ? l , A ? α
在平面α 或者说平面α 直线 l 在平面α内,或者说平面α经过直线 l 在平面α 直线 l 在平面α外.

l ?α, l ?α

平面的基本性质
思考1 如何让一条直线在一个平面内? 思考1:如何让一条直线在一个平面内?

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内. 那么这条直线在此平面内.

平面经过这条直线 集合符号表示

A .

B .

α

A∈l, B∈l,且 ∈α, B∈α ?l ?α A
作用:为判断直线与平面的位置关系提供依据

平面的基本性质
思考2:经过两点可以确定一条直线, 思考 :经过两点可以确定一条直线, 那么经过几个点可以确定一个平面呢? 那么经过几个点可以确定一个平面呢?

公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个 公理 过不在一条直线上的三点 有且只有一个 平面. 平面 “不共线的三点确定一个平面” 不共线的三点确定一个平面”
α

集合符号表示

. A . . B C

已知A、 、 三点不共线 三点不共线, 已知 、B、C三点不共线,则存在惟一平 使得A、 、 ∈α 面α,使得 、B、C∈α 作用:判断几个点共面或直线在同一个平面内

平面的基本性质
思考3 如果两个平面有一个公共点, 思考3:如果两个平面有一个公共点, 那么还会有其它公共点吗? 那么还会有其它公共点吗?如果有这些 公共点有什么特征? 公共点有什么特征?

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P∈α,且 ∈β ?α Iβ = l,且 ∈l P P

β
P
l

作用: 作用:判断两个平面位 置关系的基本依据

α

例题
如图,用符号表示下列图形中点、直线、 例1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系. 平面之间的位置关系.

a
α A l B β a

α l b β

P

(1)

(2)

解:1) A∈α,B∈β,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B 2) a?α,b?β,α∩β=l,a∩l=P, b∩l=P, a∩b=P

例2:已知直线a,和点P,P?a,求证 经过点P和直线a有且只有一个平面.
P a

探究问题
? 根据公理1探究直线与平面的各种位置关系. ? 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个

平面的合理性.
? 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.

小结
1.平面的表示:概念、图形、符号等 1.平面的表示:概念、图形、 平面的表示 2.平面的基本性质 2.平面的基本性质 公理1 公理1 公理2 公理2 公理3 公理3 3.判断共面的方法 3.判断共面的方法

作业
P43 练习1,2,34 P51 习题A组 1,2

2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系

两条直线的位置关系
思考1:同一平面内两条直线有几种位置关系? 思考1 同一平面内两条直线有几种位置关系? 空间中的两条直线呢? 空间中的两条直线呢?

b
C

a

1)教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何? 侧所在直线的位置关系如何?

2)天安门广场上,旗杆所在直线与长安 天安门广场上, 街所在直线的位置关系如何? 街所在直线的位置关系如何?

两条直线的位置关系
观察 如图, 长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中,线段 A′B所在直线分别与线段CD′所在直线 所在直线分别与线段CD′所在直线, A′B所在直线分别与线段CD′所在直线,线段 BC所在直线 线段CD所在直线的位置关系如何? 所在直线, CD所在直线的位置关系如何 BC所在直线,线段CD所在直线的位置关系如何? D' A' D A B B' C C'

两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线. 叫做异面直线

a
b

a

b

异面直线的图示

两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义, 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法 最合适? 最合适? 空间中既不平行又不相交的两条直线; A. 空间中既不平行又不相交的两条直线; B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线; 平面内的一条直线和这平面外的一条直线; 分别在不同平面内的两条直线; C. 分别在不同平面内的两条直线; 不在同一个平面内的两条直线; D. 不在同一个平面内的两条直线; 不同在任何一个平面内的两条直线. E. 不同在任何一个平面内的两条直线.

两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系: 空间中的直线与直线之间有三种位置关系: 相交直线: 同一平面内,有且只有一 相交直线: 同一平面内, 个公共点; 个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内, 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点

共面直线

探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原 如图是一个正方体的表面展开图, 为正方体,那么AB CD,EF,GH这四条线段所在直线 AB, 为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线 是异面直线的有多少对? 是异面直线的有多少对? A D A C G D H E F E 直线EF 和直线HG 直线AB 和直线CD B H G C 直线AB 和直线HG B F

答:3 对

平行直线
观察 如图, 在长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD—A′B′C′D′ 如图, 在长方体ABCD A′B′C′D′中, BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′ DD′平行 BB′与 BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行 吗 ? D' C' A' D A 答:平行 B B' C

平行直线
公理4 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 平行于同一直线的两条直线互相平行.

如果a//b,b//c,那么a//c 空间中的平行线具有传递性 C F D A B E A B C D F

三条平行线共面

E 三条平行线不共面

平行直线
问题 已知三条直线两两平行,任取两条直线能确 定一个平面,问这三条直线能确定几个平面? D C F D A B E A B C E
三条平行线不共面

F

三条平行线共面

平行直线
如图,空间四边形ABCD ABCD中 例2 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分 别是AB,BC,CD,DA的中点. 别是AB,BC,CD,DA的中点. AB 的中点 求证:四边形EFGH是平行四边形. 求证:四边形EFGH是平行四边形. EFGH是平行四边形 证明: 证明:连接BD, 因为 所以 同理

EH是 ?ABD 的中位线, 的中位线,
1 EH // BD ,且 EH = BD 2 1 FG // BD ,且 FG = BD 2

A E H D F G C

因为 EH // FG ,且 EH = FG B 所以 是平行四边形. 四边形EFGH 是平行四边形.

探究 在上例中,如果再加上条件AC=BD,那么四 边形EFGH 是什么图形? 答:四边形EFGH是菱形 A H E D B F G C

1 1 因为EF = AC, = BD EH 2 2 且AC = BD 所以EF = EH 所以平行四边形EFGH是菱形

等角定理 思考1 在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两个 角相等或互补”.空间中,结论是否仍然成立?

思考2: 思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行 ABCD--A′B′C′D′ 四边形, ADC与 ∠ADC与 四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′ 的两边分别对应平行, 的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何 ? C' C' B' B' A' A' D' D' C C B B D A ∠ADC=∠A′D′C′ D A

∠ADC+∠B′A′D′=1800

思考3 思考3 如图,在空间中AB// A′B′,AC// A′C′, 你能证明∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗?

E? A? E A D D? C B

C? ?

B?

等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补. 平行,那么这两个角相等或互补.
AC // A′C ′, AB // A′B′
C
C

α A
C′

B

α A

B

β

A′

B′

β

B′

A′

C′

等角定理:空间中如果两个角的两边分别 等角定理: 对应平行且方向相同,那么这两个角相等. 对应平行且方向相同,那么这两个角相等. 方向相同

异面直线所成的角
思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角,常 取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系,这 个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条 异面直线的位置关系呢?

a

a b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线

已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直 所成的锐角(或直角) 线 a′ // a, b′ // b ,把 a′ 与 b′ 所成的锐角(或直角)叫 所成的角. 做异面直线a与b所成的角.
b

b′
a
O

b

α

a′

α

O

a′ a

异面直线所成的角
探究 我们规定两条平行直线的夹角为0°,那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么?
b

? π? ? 0, ? ? 2?

α

a

如果两条异面直线所成角为90 如果两条异面直线所成角为900,那么这两 条直线垂直. 条直线垂直. 记直线a垂直于b 记直线a垂直于b为:a⊥b

异面直线所成的角
探究 (1)在长方体ABCD ? A′B′C ′D′中,有没有两条棱 ) 所在的直线是相互垂直的异面直线? 所在的直线是相互垂直的异面直线?
AD 如: 与BB′, A′D′与BB′ 等.
D′

C′

(2)如果两条平行直线中的 ) D 一条与某一条直线垂直,那么, 一条与某一条直线垂直,那么, B 另一条直线是否也与这条直线 A 垂直? 垂直? 垂直 (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行? )垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

A′

B′

C

不一定, 不一定,如上图的立方体中 AB ⊥ B B ′ , BC ⊥ B B ′ , 相交, 直线AB与BC相交,

异面直线所成的角
例3 已知正方体 ABCD? A′B′C′D′ . BA′ (1)哪些棱所在直线与直线 是异面直线? 是异面直线? B C 的夹角是多少? (2)直线A′ 和C ′ 的夹角是多少? 垂直? (3)哪些棱所在的直线与直线 A′ 垂直? A 由异面直线的定义可知, 解:(1)由异面直线的定义可知, D′ C′ 棱 AD, DC , C C ′, D D′, D′C ′, B′C ′ 所在 A′ B′ 是异面直线. 的直线分别与直线 BA′是异面直线. D C ∠ 可知, (2)由 BB′ // CC ′ 可知,B′BA′ 为 B ∠ 的夹角, 异面直线 BA′与 CC ′的夹角, B′BA′ = 45o, A 所以 BA′ 与 CC ′ 的夹角为 45o . (3)直线 AB, BC , CD , DA , A′B′, B′C ′, C ′D′, D′A′ 垂直. 分别与直线 AA′ 垂直.

练习1 练习1
在如图所示的长方体中,AB=

3 ,且

AA1=1,求直线BA1和CD所成角的度数.

D 1

C1

A 1

B 1

D
A

C

B

30

O

练习2 练习2
如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD, BC上的点,且 EF = 3 , 求异面直线AB和CD所成的角. A E
A E B F 1 = = ,已知AB=CD=3, E D F C 2

D B F C

练习3 练习3

n直线相交最多有几个交点? 直线相交最多有几个交点?

本节小结
基本知识 (1)空间直线的三种位置关系. (2)平行线的传递性. (3)等角定理. (4)异面直线所成的角. 基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.

作业
P48 练习1,2 P51 -52习题2.1 A组 3,4(1)(2)(3)(6),5,6, B组1

2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系

主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行

直线与平面
思考? 思考?
1)一支铅笔所在的直线 与一个作业本所在的平面, 可能有几种关系? 2)如图,线段A’B所在直 线与长方体ABCD-A’B’C’D’的六 A' 个面所在平面有几种位置关 系? A D' B' D B C C'

直线与平面
直线和平面的位置关系有且只有三种 (1)直线在平面内 有无数个公共点

a α

记为:a?α

直线与平面
(2)直线与平面相交 直线与平面相交 有且只有一个公共点

a

α

A

记为:a∩α=A

直线与平面

(3)直线与平面平行
a

没有公共点

α

记为:a//α

直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为:a?α a//α //α
a a

a∩α=A 或

A α

α

直线与平面
例1. 下列命题中正确的个数是 ( B ) 1)若直线 l 上有无数个点不在平面α内,则 l//α 2) 若直线 l 与平面α平行,则 l 与平面α内的任意 一条直线都平行 3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那 么另一条也与这个平面平行 4)若直线 l与平面α平行,则 l与平面α内的任意一 条直线都没有公共点.
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行

作业
P49 练习 P51-53 习题2.1A组 4(4)(5) B 2,3

2.1.4 平面与平面之间的 位置关系

平面与平面之间的位置关系
思考 (1)拿出两本书,看作两个平面,上下、左 右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种? (2)如图,围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面, 两两之间的位置关系有几种? D' A' D A B B' C C'

两个平面的位置关系
两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 两个平面平行 没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线. 有一条公共直线. 两个平面相交 有一条公共直线 分类的依据是什么? 分类的依据是什么? 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共 公理3 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

两个平面平行或相交的画法及表示
β α β α m

α//β β

α∩β=m α∩β

探究1 探究1
已知平面α 、 ,直线a、b,且α//β,a?α,b?β, β 则直线a与直线b具有怎样的位置关系?

a α b

β

答:平行或异面

探究2 探究2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线 有多少条?画出图形表示你的结论.

b β γ α
相交于一条交线

β l a l a γ α

b

三条交线

三条交线

探究3 探究3

? 一个平面可以把空间分成几个部分? ? 两个平面可以把空间分成几个部分? ? 三个平面可以把空间分成几个部分?

小结
平面与平面的位置关系 平面与平面相交 平面与平面平行

作业
P50 练习 P52 习题2.1 A组7,8


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