nbhkdz.com冰点文库

【创新设计,教师用书】(人教A版,理科)2015届高考数学第一轮复习细致讲解练:第四篇 平面向量

时间:2015-11-23

第四篇 平面向量

A

第1讲 [最新考纲] 1.了解向量的实际背景.

平面向量的概念及其线性运算

2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知 识 梳 理 1.向量的有关概念

名称 平行向量

定义 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 2.向量的线性运算

备注 0 与任一向量平行或共线 两向量只有相等或不等,不能比较大小 0 的相反向量为 0

共线向量

相等向量

相反向量

向量 运算





法则(或几何意义)

运算律 (1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c)

加法

求两个向量 和的运算 三角形法则

平行四边形法则 续表

减法

求a与b的 相反向量 -b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 求实数 λ 与 向量 a 的积 的运算 3.共线向量定理

a-b=a+(-b) 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|; λ(μa)=λμa; (2)当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向 (λ+μ)a=λa+μa; 相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的 λ(a+b)=λa+λb 方向相反;当 λ=0 时,λa=0

数乘

向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa. 辨 析 感 悟 1.对共线向量的理解 (1)若向量 a,b 共线,则向量 a,b 的方向相同. (2)若 a∥b,b∥c,则 a∥c. (×)

(×) (3)(2013· 郑州调研改编)设 a 与 b 是两个不共线向量, 且向量 a+λb 与 2a-b 共线, 1 则 λ=-2.

(√) (4)(2013· 陕西卷改编)设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a|· |b|”是“a∥b”的充分必要 条件.

(√) 2.对向量线性运算的应用

→ → → → (5)AB+BC+CD=AD.

(√) → 1 → → (6)(教材习题改编)在△ABC 中,D 是 BC 的中点,则AD=2(AC+AB).

(√) 学生用书?第 69 页

[感悟· 提升] 1.一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同,前者的起点可以不同,而后

者必须在同一直线上.同样,两个平行向 量与两条平行直线也是不同的,因为两个平行向量可以移到同一直线上. 2.两个防范 一是两个向量共线,则它们的方向相同或相反;如(1);二是注重

零向量的特殊性,如(2).

考点一 【例 1】 给出下列命题:

平面向量的有关概念

→ → ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条 件是|a|=|b|且 a∥b. 其中真命题的序号是________. 解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. → → ②正确.∵AB=DC, → → → → ∴|AB|=|DC|且AB∥DC, 又∵A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形;

→ → → → → → 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则AB∥DC且|AB|=|DC|,因此,AB=DC. ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同; 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故|a|=|b|且 a ∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号 是②③. 答案 ②③ 规律方法 对于向量的概念应注意以下几条: (1)向量的两个特征:有大小和方向,向量既可以用有向线段和字母表示,也可 以用坐标表示; (2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而 平行向量则未必是相等向量; (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数, 故可以比较大小. 【训练 1】 设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命 题的个数是( A.0 ). B.1 C.2 D.3

解析 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相等,但方向不一定相同, 故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是 反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3. 答案 D 考点二 平面向量的线性运算

→ → → 1 → → 例 2】 如图,在平行四边形 OADB 中,设OA=a, OB=b,BM =3 BC, CN= → → → 1 → CD . 试用 a , b 表示 OM , O N及MN. 3

→ 1 → 解 由题意知,在平行四边形 OADB 中, BM=3B C
1 → 1 → → 1 1 1 =6 BA=6( OA-OB)=6(a-b)=6a-6b,

→ → → 1 1 1 5 则OM=OB+BM=b+6a-6b=6a+6b. → 2 → 2 → → 2 2 2 ON=3 OD=3(OA+OB)=3(a+b)=3a+3b, → → → 2 1 5 1 1 MN=ON-OM=3(a+b)-6a-6b=2a-6b.
规律方法 (1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形 中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例 等性质,把未知向量用已知向量表示出来. (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合 并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用. 【训练 2】 (1) (2013· 四川卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD → → → 交于点 O,AB+AD=λ AO,则 λ=________.

→ → → → (2)(2013· 泉州模拟)已知 P,A,B,C 是平面内四点,且PA+PB+PC=AC,那 么一定有 → → A.PB=2CP → 2PB → → C.AP=2PB → 2AP → D. PB = ( ). → B. CP =

→ → → → 解析 (1)∵AB+AD=AC=2AO,∴λ=2. → → → → → → (2)∵PA+PB+PC=AC=PC-PA, → → → ∴PB=-2PA=2AP. 答案 (1)2 (2)D 考点三 向量共线定理及其应用

【例 3】 (2013· 郑州一中月考)设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → → → → → 审题路线 (1)由向量的加法, 得BD=BC+CD?用 a, b 表示BD?得到BD与AB的 → → 关系式?由向量共线定理,得BD与AB共线?再看是否有公共点?得到证明的结 论. (2)假设存在实数 k?利用向量共线定理?列出方程?根据 a,b 是两个不共线的 向量?得出方程组?解得 k 值. (1)证明 → → → ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).

→ → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB. → → ∴AB,BD共线,又它们有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. (2)解 假设 ka+b 与 a+kb 共线,

则存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又 a,b 是两不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=± 1. 规律方法 (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点 共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a,b 共线是指存在不全为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b=0 成立,若 λ1a

+λ2b=0,当且仅当 λ1=λ2=0 时成立,则向量 a,b 不共线. 学生用书?第 70 页 【训练 3】 (2014· 西安模拟)已知向量 a,b 不共线,且 c=λa+b,d=a+(2λ- 1)b,若 c 与 d 同向,则实数 λ 的值为_____. 解析 由于 c 与 d 同向,所以 c=kd(k>0), 于是 λa+b=k[a+(2λ-1)b], 整理得 λa+b=ka+(2λk-k)b. ?λ=k, 由于 a,b 不共线,所以有? ?2λk-k=1, 1 整理得 2λ2-λ-1=0,所以 λ=1 或 λ=-2. 又因为 k>0,所以 λ>0,故 λ=1. 答案 1

1.向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多思考,多联系相关的几何图形, 比如平行四边形、菱形、三角形等,可多记忆一些有关的结论. 2.对于向量共线定理及其等价定理,关键要理解为位置(共线或不共线)与向量 等式之间所建立的对应关系. 要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量 满足向量等式 b=λa,再结合条件或图形有无公共点证明几何位置.

方法优化 3——准确把握平面向量的概念和运算

【典例】 (2012· 浙江卷)设 a,b 是两个非零向量.( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

).

[一般解法] (排除法)选项 A,若 b=-a,则等式|a+b|=|a|-|b|成立,显然 a⊥b 不成立;

选项 B,若 a⊥b 且|a|=|b|,则|a|-|b|=0,显然,|a+b|= 2|a|≠0,故|a+b|=|a| -|b|不成立; 选项 D,若 b=a,则|a|-|b|=0,显然,|a+b|=2|a|≠0,故|a+b|=|a|-|b|不成立. 综上,A,B,D 都不正确,故选 C. [优美解法] (数量积法)把等式|a+b|=|a|-|b|两边平方,得(a+b)2=(|a|-|b|)2, 即 2a· b=-2|a|· |b|,而 a· b=|a||b|cos<a,b>, 所以 cos<a,b>=-1.又因为<a,b>∈[0,π], 所以<a,b>=π,即 a,b 为方向相反的共线向量.故 C 正确. [反思感悟] 部分学生做错的主要原因是:题中的条件“|a+b|=|a|-|b|”在处理 过程中误认为“|a+b|=|a-b|”,从而得到“a⊥b”这个错误的结论. 【自主体验】 → → → → 在△OAB 中,OA=a,OB=b,OD 是 AB 边上的高,若AD=λAB,则实数 λ= ( ).

a· ?a-b? A. |a-b| B. a· ?a-b? C. |a-b|2 D. → → → → 解析 由AD=λAB,∴|AD|=λ|AB|. → a· ?a-b? a· ?a-b? 又∵|AD|=|a|cos A=|a|· = , |a||b-a| |b-a| → a· ?a-b? a· ?a-b? |AB|=|b-a|,∴λ= .故选 C. 2 = |b-a| |a-b|2 答案 C a· ?b-a? |a-b|2 a· ?b-a? |a-b|

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( → → → → → → A.EF=OF+OE B.EF=OF-OE → → → C.EF=-OF+OE → → → D.EF=-OF-OE ).

→ → → 解析 由图可知EF=OF-OE.

答案 B 2.

→ → → (2014· 汕头二模)如图,在正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF等于( → A.0 B.BE → → C.AD D.CF

).

→ → → → → → → → 解析 因为 ABCDEF 是正六边形,故BA+CD+EF=DE+CD+EF=CE+EF= → CF. 答案 D 3.对于非零向量 a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ).

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 若 a+b=0,则 a=-b,所以 a∥b.若 a∥b,则 a=λb,a+b=0 不一定 成立,故前者是后者的充分不必要条件. 答案 A 4.(2014· 开封模拟)下列命题中,正确的是( A.若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b B.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 ka=0,则 k=0 或 a=0 D.若 a,b 都是非零向量,则|a+b|>|a-b| 解析 对于 A,显然不能得知 a=b 或 a=-b,因此选项 A 不正确;对于 B,易 知不正确;对于 C,易知正确;对于 D,注意到(a+b)2-(a-b)2=4a· b,显然 a· b 与零的大小关系不确定,因此选项 D 不正确.综上所述,选 C. 答案 C → → → 5. (2014· 兰州质检)若点 M 是△ABC 所在平面内的一点, 且满足 5AM=AB+3AC, 则△ABM 与△ABC 的面积比为( 1 A.5 解析 2 B.5 3 C.5 4 D.5 ). ).

→ → → → → → → → 设 AB 的中点为 D,由 5AM=AB+3AC,得 3AM-3AC=2AD-2AM,即 3CM= → → 2MD.如图所示,故 C,M,D 三点共线,且MD= 3→ 也就是△ABM 与△ABC 对于边 AB 的两高之比为 3∶5, 则△ABM 与△ABC 5CD, 3 的面积比为5,选 C. 答案 C 二、填空题

6.(2014· 湖州月考)给出下列命题: → → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④两个有公共终点的向量,一定是共线向量; → → ⑤向量AB与向量CD是共线向量,则点 A,B,C,D 必在同一条直线上. 其中不正确命题的序号是________. → → 解析 ①中,∵向量AB与BA为相反向量, ∴它们的长度相等,此命题正确. ②中若 a 或 b 为零向量, 则满足 a 与 b 平行, 但 a 与 b 的方向不一定相同或相反, ∴此命题错误. ③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同,则其终点也必定相 同,∴该命题正确. ④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线,∴该命题错误. → → ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量,∴若AB与CD是共线向量,则 A,B,C, D 四点不一定在一条直线上,∴该命题错误. 答案 ②④⑤ → → → → → 7. 在?ABCD 中, AB=a, AD=b, AN=3NC, M 为 BC 的中点, 则MN=________(用 a,b 表示). → → → → → → → → 1 解析 由AN=3NC,得 4AN=3 AC=3(a+b),AM=a+2b,所以MN=AN-AM 1 ? 3 1 1 ? =4(a+b)-?a+2b?=-4a+4b. ? ? 1 1 答案 -4a+4b → → → 8.(2014· 泰安模拟)设 a,b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD= a-2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值为________.

→ → → 解析 ∵BD=BC+CD=2a-b,又 A,B,D 三点共线, → → ?2=2λ, ∴存在实数 λ,使AB=λBD.即? ∴p=-1. ?p=-λ, 答案 -1 三、解答题

9.在△ABC 中,D,E 分别为 BC,AC 边上的中点,G 为 BE 上一点,且 GB= → → → → 2GE,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示AD,AG. → 1 → → 1 1 解 AD=2(AB+AC)=2a+2b; → → → → 2→ → 1 → → AG=AB+BG=AB+3BE=AB+3(BA+BC) 2→ 1 → → 1→ 1→ 1 1 =3AB+3(AC-AB)=3AB+3AC=3a+3b. 10.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a, 1 tb,3(a+b)三向量的终点在同一条直线上? → → → 1 解 设OA=a,OB=tb,OC=3(a+b), → → → → → → 2 1 ∴AC=OC-OA=-3a+3b,AB=OB-OA=tb-a. → → 要使 A,B,C 三点共线,只需AC=λAB. 2 1 即-3a+3b=λ(tb-a)=λtb-λa. 又∵a 与 b 为不共线的非零向量, 2 - ? ? 3=-λ, ∴有? 1 ? ?3=λt 2 λ = ? ? 3, ?? 1 ? ?t=2.

1 ∴当 t=2时,三向量终点在同一直线上. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2013· 济南一模)已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心, → 1?1 → 1 → 动点 P 满足OP=3? OA+ OB+ 2 ?2 则点 P 一定为三角形 ABC 的( A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点 → 1 → → 1→ 1→ → 1→ 2 解析 设 AB 的中点为 M,则2OA+2OB=OM,∴OP=3(OM+2OC)=3OM+3 → → → → → → OC,即 3OP=OM+2OC,也就是MP=2PC,∴P,M,C 三点共线,且 P 是 CM 上靠近 C 点的一个三等分点. 答案 B → → 2.在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若AO=x AB+ → (1-x)AC,则实数 x 的取值范围是( A.(-∞,0) B.(0,+∞) ). →? 2OC?, ).

C.(-1,0) D.(0,1) → → → → → → → → → 解析 设BO=λ BC(λ>1),则AO=AB+BO=AB+λ BC=(1-λ)AB+λ AC,又 → → → → → → → AO=x AB+(1-x)AC,所以 x AB+(1-x)AC=(1-λ)AB+λ AC.所以 λ=1-x> 1,得 x<0. 答案 A 二、填空题

→ → → → → 3.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则 △ABC 的形状为________. → → → → → → → → → 解析 OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC, → → → → → → → → → OB-OC=CB=AB-AC,∴|AB+AC|=|AB-AC|. 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形 三、解答题 4.

→ 在△ABC 中,E,F 分别为 AC,AB 的中点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a, → → AC=b,试用 a,b 表示AG. → → → → → 解 AG=AB+BG=AB+λBE → λ → → ? λ? → λ → → =AB+2(BA+BC)=?1-2?AB+2(AC-AB) ? ? → λ→ λ =(1-λ)AB+2AC=(1-λ)a+2b. → → → → → → m → → 又AG=AC+CG=AC+m CF=AC+ 2 (CA+CB) → m→ m =(1-m)AC+ 2 AB= 2 a+(1-m)b, m ? ?1-λ= 2 , ∴? λ 1 - m = ? ? 2, → 1 2 1 解得 λ=m=3,∴AG=3a+3b. 学生用书?第 70 页 第2讲 [最新考纲] 平面向量基本定理及坐标表示

1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

知 识 梳 理 1.平面向量基本定理 如果 e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a, 有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
2 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|= x1 +y2 1.

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0. 辨 析 感 悟 1.对平面向量基本定理的理解 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. (2)若 a,b 不共线,且 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2,μ1=μ2. (×) (√)

(3)(2013· 广东卷改编)已知 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解,有 下列四个命题,请判断它们的正误: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c. ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ,使 a=λb+μc;(√) ③给定单位向量 b 和正数 μ,总存在单位向量 c 和实数 λ,使 a=λb+μc; (√) ④给定正数 λ 和 μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λb+μc. (×) (√)

2.平面向量的坐标运算 → (4)(教材习题改编)已知点 A(2,1),B(-1,3),则AB=(-3,2).

(√) x1 y1 (5)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可表示成x =y .
2 2

(×) (6)(2013· 湘潭调研改编)已知向量 a=(4,x),b=(-4,4),若 a∥b,则 x 的值为 -4.

(√) [感悟· 提升] 1.向量坐标与点的坐标的区别 → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA

=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x,y), → 但应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a=OA=(x,y). → → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时,向量不变即O1A1=OA=(x,y),但O1A1的起 点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化. 2.两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的,如(1).二是注

意运用两个向量 a,b 共线坐标表示的充要条件应为 x1y2-x2y1=0,如(5).

考点一

平面向量基本定理的应用

→ 【例 1】 如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知AM → → → =c,AN=d,试用 c,d 表示AB,AD.

解 法一

→ → 设AB=a,AD=b,

→ → ? 1 ? 则 a=AN+NB=d+?-2b?,① ? ? → → ? 1 ? b=AM+MD=c+?-2a?.② ? ? ? 1?? ? 1 ?? 将②代入①,得 a=d+?-2??c+?-2a??, ? ?? ? ?? 4 2 2 ∴a=3d-3c=3(2d-c),③ 2 ? 1? 2 将③代入②,得 b=c+?-2?×3(2d-c)=3(2c-d). ? ? → 2 → 2 ∴AB=3(2d-c),AD=3(2c-d). → → 法二 设AB=a,AD=b. 因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, → 1 → 1 所以BN=2b,DM=2a, 1 ? ?c=b+2a, 因而? 1 ?d=a+2b ? 2 ? ?a=3?2d-c?, ?? 2 ?b=3?2c-d?, ?

→ 2 → 2 即AB=3(2d-c),AD=3(2c-d). 规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或 三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将 条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. 【训练 1】 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别为 CD,BC 的中

→ → → 点,若 A B =λAM+μAN,则 λ+μ=(

).

1 A.5 解析

2 B.5

3 C.5

4 D.5

→ → → → → → → → → → → → 因为AB=AN+NB=AN+CN=AN+(CA+AN)=2AN+CM+MA=2AN-

→ 8→ 4 → 1→ → 4 AB - AM ,所以 AB = AN - AM ,所以 λ + μ = 4 5 5 5. 答案 D 考点二 平面向量的坐标运算

→ → → 【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB=a,BC=b,CA=c, → → 且CM=3c,CN=-2b. (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → (3)求 M,N 的坐标及向量MN的坐标. 解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6, -42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5), ?-6m+n=5, ?m=-1, ∴? 解得? ?-3m+8n=-5, ?n=-1. → → → (3)设 O 为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20), ∴M 的坐标为(0,20). → → → 又CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N 的坐标为(9,2), → ∴MN=(9-0,2-20)=(9,-18). 规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.若已知有

向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运 用及运算法则的正确使用. 1 3 【 训 练 2 】 (1) 已 知 平 面 向 量 a = (1,1) , b = (1 , - 1) , 则 向 量 2 a - 2 b = ( ). B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 学生用书?第 72 页 → → → (2)在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若AB=(2,4), AC=(1,3), 则BD=

A.(-2,-1)

( A.(-2,-4) C.(3,5) 3? 1 ?1 1? 3 ?3 解析 (1)2a=?2,2?,2b=?2,-2?, ? ? ? ? 1 3 故2a-2b=(-1,2). B.(-3,-5)

).

D.(2,4)

→ → → → → → → → → → (2)由题意得BD=AD-AB=BC-AB=(AC-AB)-AB=AC-2AB=(1,3)-2(2,4) =(-3,-5). 答案 (1)D (2)B 考点三 平面向量共线的坐标表示

【例 3】 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d 的坐标. 审题路线 (1)分别求出(a+kc)与(2b-a)的坐标?利用向量平行的充要条件列方

程?解关于 k 的方程;(2)设 d 的坐标?根据已知条件列出方程组?解方程组, 得到 d 的坐标. 解 (1)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 16 解得 k=-13.

(2)设 d=(x,y),则 d-c=(x-4,y-1), 又 a+b=(2,4),|d-c|= 5, ?4?x-4?-2?y-1?=0, ?x=3, ?x=5, ∴? 解得? 或? 2 2 ??x-4? +?y-1? =5, ?y=-1 ?y=3. ∴d 的坐标为(3,-1)或(5,3). 规律方法 a∥b 的充要条件有两种表达方式: (1)a∥b(b≠0)?a=λb(λ∈R); (2)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0. 两种充要条件的表达形式不同.第(1)种是用线性关系的形式表示的,而且有前 提条件 b≠0,而第(2)种无 b≠0 限制. 【训练 3】 (1)(2014· 衡水中学一检)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c,则 λ= 1 A.2 1 B.4 C.1 ( D.2 ).

(2)已知梯形 ABCD, 其中 AB∥CD, 且 DC=2AB, 三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2), 则点 D 的坐标为________. 1 解析 (1)由于 a+λb=(1+λ,2),故(a+λb)∥c?4(1+λ)-6=0,解得 λ=2,故 选 A. → → (2)∵在梯形 ABCD 中,DC=2AB,∴DC=2 AB. 设点 D 的坐标为(x,y),则 → DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), → AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1), ∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2), ?4-x=2, ?x=2, ∴? 解得? 故点 D 的坐标为(2,4). ?2-y=-2, ?y=4, 答案 (1)A (2)(2,4)

1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分 解. 2. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键, 通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理, 从而向量可以解决平面解 析几何中的许多相关问题. 3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.

思想方法 3——方程思想在平面向量线性运算中的应用 【典例】 (2013· 北京卷)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λa λ +μb(λ,μ∈R),则μ=________.

解析 以向量 a 和 b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系, 令每个小正方形 → 的边长为 1 个单位,则 A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以 a=AO=(-1,1),b → → ?-1=-λ+6μ, =OB=(6,2),c=BC=(-1,-3).由 c=λa+μb 可得? 解得 ?-3=λ+2μ, λ=-2, ? ? ? 1 μ=-2, ? ? λ 所以μ=4. 答案 4 [反思感悟] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领, 要尽可 能地转化到平行四边形或三角形中去. (2)利用向量共线建立方程组,用方程的思想求解.

【自主体验】 1.设 e1,e2 是平面内一组基底,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可 以表示为另一组基底 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. 解析 由题意,设 e1+e2=ma+nb. 又 a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以 e1+e2=m(e1+2e2)+ n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2. 又 e1,e2 是平面内一组基向量, 2 m=3, ? ? m - n = 1 , ? 所以? 则? 1 ?2m+n=1, ?n=-3. ? 答案 2 3 - 1 3

x? ? 2. 已知向量 a=?8,2?, b=(x,1), 其中 x>0, 若(a-2b)∥(2a+b), 则 x=________. ? ? x ? ? 解析 a-2b=?8-2x,2-2?,2a+b=(16+x,x+1), ? ? ?x ? 由题意得(8-2x)· (x+1)=?2-2?· (16+x), ? ? 整理得 x2=16,又 x>0,所以 x=4. 答案 4

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题

1.(2014· 华东师大附中模拟)如图,设 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC, → → → → → → → → BD 的交点,下列向量组:①AD与AB;②DA与BC;③CA与DC;④OD与OB,

其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( A.①② 解析 B.③④ C.①③ D.①④

).

→ → → → ①中AD与AB不共线,可作为基底;②中DA与BC为共线向量,不可作为

→ → → → 基底;③中CA与DC是两个不共线的向量,可作为基底;④中OD与OB在同一条 直线上,是共线向量,不可作为基底.综上,只有①③中的向量可以作为基底, 故选 C. 答案 C → 2.(2014· 揭阳二模)已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐标 为( ). B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14)

A.(7,4)

→ 解析 设点 B 的坐标为(x,y),则AB=(x+1,y-5). → ?x+1=6, ?x=5, 由AB=3a,得? 解得? ?y-5=9, ?y=14. 答案 D 3.

→ → → → → 如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP=x OA+y OB,且BP=2 PA, 则( ). 1 2 B.x=3,y=3 3 1 D.x=4,y=4

2 1 A.x=3,y=3 1 3 C.x=4,y=4

→ → → → → → → 2→ → 2 → 解析 由题意知OP=OB+BP, 又BP=2 PA, 所以OP=OB+3BA=OB+3(OA- → 2→ 1→ 2 1 OB)=3OA+3OB,所以 x=3,y=3. 答案 A 4.(2013· 惠州模拟)已知向量 a=(-1,1),b=(3,m),a∥(a+b),则 m=( ).

A.2 B.-2

C.-3 D.3

解析 a+b=(2,m+1),由 a∥(a+b),得(-1)×(m+1)-2×1=0,解得 m= -3. 答案 C → → 5.(2014· 许昌模拟)在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2P C ,点 Q 是 AC 的中 → → → 点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于( A.(-2,7) B.(-6,21) ).

C.(2,-7) D.(6,-21) → → → → → → 解析 BC=3 PC=3(2 PQ-PA)=6 PQ-3 PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21). 答案 B 二、填空题 1 1 6.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则a+b的值为________. → → 解析 AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2), 依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以a+b=2. 1 答案 2 → → → 7.已知向量OA=(3,-4),OB=(0,-3),OC=(5-m,-3-m),若点 A,B, C 能构成三角形,则实数 m 满足的条件是________. → → 解析 由题意得AB=(-3,1),AC=(2-m,1-m),若 A,B,C 能构成三角形, → → 5 则AB,AC不共线,则-3×(1-m)≠1×(2-m),解得 m≠4. 5 答案 m≠4 1 8.(2013· 江苏卷)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=2AB,BE=

→ → → 2 BC . 若 DE = λ AB + λ AC (λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________. 1 2 3 解析 → → → 1→ 2 → 1→ 2 → → 1→ 2 → DE=DB+BE=2AB+3BC=2AB+3(BA+AC)=-6AB+3AC,所以 λ1=

1 2 -6,λ2=3, 1 即 λ1+λ2=2. 1 答案 2 三、解答题 9.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它 们是同向还是反向? 解 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 法一 当 ka+b 与 a-3b 平行时, 存在唯一实数 λ 使 ka+b=λ(a-3b), 由(k-3,2k +2)=λ(10,-4)得, ?k-3=10λ, 1 ? 解得 k=λ=-3, ?2k+2=-4λ. 1 ∴当 k=-3时,ka+b 与 a-3b 平行, 1 1 这时 ka+b=-3a+b=-3(a-3b). 1 ∵λ=-3<0,∴ka+b 与 a-3b 反向. 法二 ∵ka+b 与 a-3b 平行, 1 ∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得 k=-3, 2 ? 1 ? 1 此时 ka+b=?-3-3,-3+2?=-3(a-3b). ? ? 1 ∴当 k=-3时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. → → → 10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t1 OA+t2 AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件;

(2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点都共线. (1)解 → → → OM=t1OA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2). 当点 M 在第二或第三象

?4t2<0, 限时,有? ?2t1+4t2≠0, 故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0, (2)证明 → 当 t1=1 时,由(1)知OM=(4t2,4t2+2).

→ → → ∵AB=OB-OA=(4,4), → → → → AM=OM-OA=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2 AB, → → ∴AM与AB共线,又它们有公共点 A, ∴A,B,M 三点共线. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2013· 保定模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为( A.30° B.60° C.90° D.120° 解析 由 p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a), 整理得 b2+a2-c2=ab, a2+b2-c2 1 由余弦定理得 cos C= 2ab =2, 又 0° <C<180° ,∴C=60° . 答案 B 2. ).

(2014· 中山模拟)如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线与线段 BA → → → 的延长线交于圆 O 外一点 D, 若OC=m OA+n OB, 则 m+n 的取值范围是( A.(0,1) C.(-∞,-1) B.(1,+∞) D.(-1,0) ).

→ → 解析 由点 D 是圆 O 外一点,可设BD=λ BA(λ>1),则 → → → → → OD=OB+λ BA=λ OA+(1-λ)OB. → → 又 C,O,D 三点共线,令OD=-μ OC(μ>1), → 1-λ λ → 1-λ → λ λ 则OC=-μOA- μ OB(λ>1,μ>1),所以 m=-μ,n=- μ ,且 m+n=-μ 1-λ 1 - μ =-μ∈(-1,0). 答案 D 二、填空题 → → → 3.(2014· 南京质检)设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0, 1 2 O 为坐标原点,若 A,B,C 三点共线,则a+b的最小值为________. → → → → → → 解析 AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2).∵A,B,C 三点共 线, → → ∴AB∥AC. ∴2(a-1)-(-b-1)=0, ∴2a+b=1. 1 2 ?1 2? ∴a+b=?a+b?(2a+b) ? ? b 4a =4+a+ b ≥4+2 b 4a a·b =8.

b 4a 1 1 当且仅当a= b ,即 b=2,a=4时取等号. 1 2 ∴a+b的最小值是 8.

答案 8 三、解答题 4.

如图,已知点 A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以 A,B,C 为顶点的平行四边形 的第四个顶点 D 的坐标. 解 以 A,B,C 为顶点的平行四边形可以有三种情况: ①?ABCD;②?ADBC;③?ABDC. 设 D 的坐标为(x,y), → → ①若是?ABCD,则由AB=DC,得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即(-1,2)=(-1-x,-2-y), ?-1-x=-1, ∴? ∴x=0,y=-4. ?-2-y=2, ∴D 点的坐标为(0,-4)(如题图中所示的 D1). → → ②若是?ADBC,由CB=AD,得 (0,2)-(-1,-2)=(x,y)-(1,0), 即(1,4)=(x-1,y),解得 x=2,y=4. ∴D 点的坐标为(2,4)(如题图中所示的 D2). → → ③若是?ABDC,则由AB=CD,得 (0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2).解得 x=-2,y=0. ∴D 点的坐标为(-2,0)(如题图中所示的 D3), ∴以 A, B, C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为(0, -4)或(2,4)或(- 2,0).

学生用书?第 73 页

第3讲 [最新考纲]

平面向量的数量积

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关 系.

知 识 梳 理 1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则数量|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos θ,规定零向量与任一向量的 数量积为 0,即 0· a=0. (2)几何意义:数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘 积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.
2 (2)模:|a|= a· a = x2 1+y1.

a· b (3)夹角:cos θ=|a||b|=

x1x2+y1y2 2 2 2. x1+y1 · x2 2+y2

(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件:a· b=0?x1x2+y1y2=0. (5)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤ 3.平面向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律). (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb)(结合律). (3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律). 辨 析 感 悟 1.对平面向量的数量积的认识
2 2 2 x2 1+y1· x2+y2.

(1)两个向量的数量积是一个向量,向量加、减、数乘运算的结果是向量.(×) → (2)(2013· 湖北卷改编)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB → 3 2 在CD方向上的投影为- 2 .(×) (3)若 a· b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a· b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角.(×) 2.对平面向量的数量积的性质、运算律的理解 (4)a· b=0,则 a=0 或 b=0.(×) (5)(a· b)· c=a· (b· c).(×) (6)a· b=a· c(a≠0),则 b=c.(×) [感悟· 提升] 三个防范 一是两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,如(1); 二是在向量数量积的几何意义中,投影是一个数量,不是向量.设向量 a,b 的 夹角为 θ,当 θ 为锐角时,投影为正值;当 θ 为钝角时,投影为负值;当 θ 为直 角时,投影为 0;当 θ=0° 时,b 在 a 的方向上投影为|b|,当 θ=180° 时,b 在 a 方向上投影为-|b|,如(2);当 θ=0° 时,a· b>0,θ=180° ,a· b<0,即 a· b>0 是两个向量 a,b 夹角为锐角的必要而不充分条件,如(3); 三是 a· b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a· b=0 时,有可能 a⊥b,如(4).

考点一

平面向量数量积的运算

【例 1】 (1)(2014· 威海期末考试)已知 a=(1,2),2a-b=(3,1),则 a· b=( A.2 B.3 C.4 D.5

).

π (2)(2013· 江西卷)设 e1,e2 为单位向量,且 e1,e2 的夹角为3,若 a=e1+3e2,b =2e1,则向量 a 在 b 方向上的射影为________. 解析 (1)∵a=(1,2),2a-b=(3,1) ∴b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3). ∴a· b=(1,2)· (-1,3)=-1+2×3=5.

(2)由于 a=e1+3e2,b=2e1, 所以|b|=2,a· b=(e1+3e2)· 2e1=2e2 e2 1+6e1· 1 =2+6×2=5, a· b 5 所以 a 在 b 方向上的射影为|a|· cos<a,b>= |b| =2. 5 答案 (1)D (2)2 学生用书?第 74 页 规律方法 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算; 利用数量积的几何意义. 具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意 数量积运算律的应用. 【训练 1】 (1)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)· c=30,则 x=( ). D.3

A.6 B.5 C.4

→ → → → → → (2)(2013· 山东卷)已知向量AB与AC的夹角为 120° , 且|AB|=3, |AC|=2.若AP=λAB → → → +AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为______. 解析 (1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=30, 即 18+3x=30,解得 x=4.故选 C. → → → → (2)∵AP⊥BC,∴AP· BC=0, → → → → → → → → → → → ∴(λAB+AC)· BC=0,即(λAB+AC)· (AC-AB)=(λ-1)AB· AC-λAB2+AC2=0. → → → → ∵向量AB与AC的夹角为 120° ,|AB|=3,|AC|=2, → → 7 ∴(λ-1)|AB||AC|· cos 120° -9λ+4=0,解得 λ=12. 答案 (1)C 7 (2)12 考点二 向量的夹角与向量的模

【例 2】 (1)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为

________. (2)已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=________. 解析 (1)等式平方得|a|2=9|b|2 =|a|2+4|b|2+4a· b, 则|a|2=|a|2+4|b|2+4|a||b|cos θ, 即 0=4|b|2+4· 3|b|2cos θ, 1 得 cos θ=-3. (2)因为|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4a· b=4a2+b2=4+4=8,故|2a-b|=2 2. 1 答案 (1)-3 (2)2 2

规律方法 (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式. (2)|a|= a· a常用来求向量的模. 【训练 2】 (1)(2014· 长沙模拟)已知向量 a, b 夹角为 45° , 且|a|=1, |2a-b|= 10, 则|b|=________. (2)若平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|≤1,且以向量 a,b 为邻边的平行四边形的面 1 积为2,则 a 和 b 的夹角 θ 的取值范围是________. 解析 (1)由|2a-b|= 10平方得, 4a2-4a· b+b2=10, 即|b|2-4|b|cos 45° +4=10, 亦即|b|2-2 2|b|-6=0, 解得|b|=3 2或|b|=- 2(舍去). 1 (2)依题意有|a||b|sin θ=2, 1 即 sin θ=2|b|,由|b|≤1,得 1 2≤sin θ≤1,又 0≤θ≤π, π 5π 故有6≤θ≤ 6 . 答案 (1)3 2 ?π 5π? (2)?6, 6 ? ? ?

考点三

平面向量的垂直问题

【例 3】 已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等,求 β-α(其中 k 为非零实数). 审题路线 证明两向量互相垂直,转化为计算这两个向量的数量积问题,数量积 为零即得证?由模相等,列等式、化简求 β-α. (1)证明 ∵(a+b)· (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2

=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0, ∴a+b 与 a-b 互相垂直. (2)解 ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),

a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β), |ka+b|= k2+2kcos?β-α?+1, |a-kb|= 1-2kcos?β-α?+k2. ∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α). 又 k≠0,∴cos(β-α)=0. π ∵0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α= . 2 规律方法 (1)当向量 a 与 b 是坐标形式给出时,若证明 a⊥b,则只需证明 a· b= 0?x1x2+y1y2=0. (2)当向量 a,b 是非坐标形式时,要把 a,b 用已知的不共线向量作为基底来表 示且不共线的向量要知道其模与夹角,从而进行运算证明 a· b=0. (3)数量积的运算 a· b=0?a⊥b 中,是对非零向量而言的,若 a=0,虽然有 a· b =0,但不能说 a⊥b. ?1 3? 【训练 3】 已知平面向量 a=( 3,-1),b=? , ?. ?2 2 ? (1)证明:a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d, 试求函数关系式 k=f(t). (1)证明 (2)解 1 3 ∵a· b= 3×2-1× 2 =0,∴a⊥b. ∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d,

∴c· d=[a+(t2-3)b]· (-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a· b=0. 又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a· b=0, ∴c· d=-4k+t3-3t=0, t3-3t ∴k=f(t)= 4 (t≠0).

1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用, 和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 2.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的 运算转化为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法 与技巧. 学生用书?第 75 页

教你审题 5——数量积的计算问题 【典例】 (2012· 上海卷)在矩形 ABCD 中,设 AB,AD 的长分别为 2,1.若 M,N → → → → |BM| |CN| 分别是边 BC, CD 上的点, 且满足 = , 则AM· AN的取值范围是________. → → |BC| |CD| [审题] 一审:抓住题眼“矩形 ABCD”;

二审:合理建立平面直角坐标系,转化为代数问题解决. 解析

如图,以 A 点为坐标原点建立平面直角坐标系,则各点坐标为 A(0,0),B(2,0), C(2,1),D(0,1),

→ → |BM| |CN| 设 = =k(0≤k≤1),则点 M 的坐标为(2,k),点 N 的坐标为(2-2k,1), → → |BC| |CD| → → → → 则AM=(2,k),AN=(2-2k,1),AM· AN=2(2-2k)+k=4-3k,而 0≤k≤1,故 1≤4-3k≤4. 答案 [1,4] [反思感悟] 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时,首先要想到是 否能建立平面直角坐标系,利用坐标运算题目会容易的多. 【自主体验】 (2012· 江苏卷)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点, → → → → 点 F 在边 CD 上,若AB· AF= 2,则AE· BF的值是________.

解析 法一

以 A 为原点,AB,AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐

→ → → 标系,则 A(0,0),B( 2,0),E( 2,1),F(x,2),∴AF=(x,2),AB=( 2,0),AE → → → → → =( 2, 1), BF=(x- 2, 2), ∴AB· AF= 2x= 2, 解得 x=1, ∴F(1,2), ∴AE· BF = 2. → → → → 法二 AB· AF=|AB||AF|cos∠BAF= 2, → → → → → → → → → ∴|AF|cos∠BAF=1,即|DF|=1,∴|CF|= 2-1,AE· BF=(AB+BE)· (BC+CF) → → → → → → → → → → → → =AB· BC +AB· CF+ BE· BC +BE· CF= AB· CF+BE· BC= 2 ×( 2 - 1)×(- 1)+ 1×2×1= 2. 答案 2

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2013· 湛江二模)向量 a=(1,2),b=(0,2),则 a· b=( A.2 B.(0,4) C.4 D.(1,4) ).

解析 a· b=(1,2)· (0,2)=1×0+2×2=4. 答案 C → → 2.(2014· 绍兴质检)在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠BAD=120° ,则AC在AB方向 上的投影为( 1 A.4 1 B.2 ). C.1 D.2

→ → → 1 解析 如图所示,AC在AB方向上的投影为|AC|cos 60° =2×2=1. 答案 C 3.(2013· 山东省实验中学诊断)已知向量 a=( 3,1),b=(0,1),c=(k, 3).若 a+2b 与 c 垂直,则 k=( ).

A.-3 B.-2 C.-1 D.1 解析 由题意知(a+2b)· c=0,即 a· c+2b· c=0. 所以 3k+ 3+2 3=0,解得 k=-3. 答案 A 4. (2014· 浙江五校联盟)若非零向量 a, b 满足|a|=|b|, 且(2a+b)· b=0, 则向量 a, b 的夹角为( ).

2π π π 5π A. 3 B.6 C.3 D. 6 解析 由(2a+b)· b=0,得 2a· b+|b|2=0. 1 ∴2|b|2· cos<a,b>+|b|2=0,∴cos<a,b>=-2,

2π 又<a,b>∈[0,π],∴<a,b>= 3 . 答案 A → → 5.(2013· 福建卷)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面 积为( A. 5 ). B.2 5 C.5 D.10

→ → 解析 ∵AC· BD=1×(-4)+2×2=0, → → → → |AC|· |BD| 5· 20 ∴AC⊥BD,∴S 四边形= = 2 2 =5. 答案 C 二、填空题 6.(2013· 新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b. 若 b· c=0,则 t=________. 解析 b· c=b· [ta+(1-t)b]=ta· b+(1-t)b2 =t|a||b|cos 60° +(1-t)|b|2 t t =2+1-t=1-2. t 由 b· c=0,得 1-2=0,所以 t=2. 答案 2 → → 7. (2014· 南京三模)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知OA=(3, -1), OB=(0,2). 若 → → → → OC· AB=0,AC=λOB,则实数 λ 的值为________. → → → → 解析 设 C(x,y),则OC=(x,y),又AB=OB-OA=(0,2)-(3,-1)=(-3,3), → → → 所 以 OC · AB = - 3x + 3y = 0 , 解 得 x = y. 又 AC = (x - 3 , y + 1) = λ(0,2) , 得 ?x-3=0, ? 结合 x=y,解得 λ=2. ?y+1=2λ, 答案 2

→ 8.(2014· 潍坊二模)如图,在△ABC 中,O 为 BC 中点,若 AB=1,AC=3,<AB, → → AC>=60° ,则|OA|=________. → → → → → → → 1 3 解析 因为<AB,AC>=60° ,所以AB· AC=|AB|· |AC|cos 60° =1×3×2=2,又AO → → → → → 1? → → ? 1 → → 1 → 1 =2?AB+AC?,所以AO2=4(AB+AC)2=4(AB2+2AB· AC+AC2),即AO2=4(1+3 → 13 13 +9)= 4 ,所以|OA|= 2 . 答案 13 2

三、解答题 9.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 解 (1)若 a⊥b, 则 a· b=1×(2x+3)+x(-x)=0. 整理得 x2-2x-3=0,故 x=-1 或 x=3. (2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0, 即 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0), ∴|a-b|= ?-2?2+02=2. 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4), ∴|a-b|=2 5. 综上,可知|a-b|=2 或 2 5. 10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|; → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的面积. 解 (1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61,

∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a· b-27=61, a· b -6 1 ∴a· b=-6.∴cos θ=|a||b|= =-2. 4×3 2π 又 0≤θ≤π,∴θ= 3 . (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13, ∴|a+b|= 13. → → 2π 2π π (3)∵AB与BC的夹角 θ= 3 ,∴∠ABC=π- 3 =3. → → 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3, 1→ → 1 3 ∴S△ABC=2|AB||BC|sin∠ABC=2×4×3× 2 =3 3. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2013· 青岛一模)若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b 与 a 的夹角为( ).

π π 2π 5π A.6 B.3 C. 3 D. 6 解析 由|a+b|=|a-b|, 得 a2+2a· b+b2=a2-2a· b+b2, 即 a· b=0, 所以(a+b)· a =a2+a· b=|a|2. 故向量 a+b 与 a 的夹角 θ 的余弦值为 ?a+b?· a |a|2 1 π cos θ= =2|a||a|=2.所以 θ=3. |a+b||a| 答案 B → → → → 2.(2014· 昆明调研)在△ABC 中,设AC2-AB2=2AM· BC,那么动点 M 的轨迹必 通过△ABC 的( A.垂心 B.内心 ). C.外心 D.重心

解析

→ → → → → → → → 假设 BC 的中点是 O. 则 AC 2 - AB 2 = ( AC + AB )· ( AC - AB ) = 2 AO · BC =

→ → → → → → → → → 2AM· BC,即(AO-AM)· BC=MO· BC=0,所以MO⊥BC,所以动点 M 在线段 BC 的中垂线上,所以动点 M 的轨迹必通过△ABC 的外心,选 C. 答案 C 二、填空题 3.(2013· 浙江卷)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R.若 e1, π |x| e2 的夹角为6,则|b|的最大值等于________. π 3 x2 2 2 2 2 2 解析 因为 e1· e2=cos 6= 2 ,所以 b =x +y +2xye1· e2=x +y + 3xy.所以b2 x2 = 2 2 = x +y + 3xy 1 y ? 3? 1 1 ,设 t=x,则 1+t2+ 3t=?t+ ?2+4≥4,所以 2? ? 3y ?y? 1+?x?2+ x ? ?

1 x2 |x| 0< ≤4,即b2的最大值为 4,所以|b|的最大值为 2. 2 1+t + 3t 答案 2 三、解答题 4.设两向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.
2 解 由已知得 e1 =4,e2 e2=2×1×cos 60° =1. 2=1,e1· 2 2 ∴(2te1+7e2)· (e1+te2)=2te2 e2+7te2 1+(2t +7)e1· 2=2t +15t+7.

1 欲使夹角为钝角,需 2t2+15t+7<0,得-7<t<-2. 设 2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0), ?2t=λ, ∴? ∴2t2=7. ?7=tλ, 14 ∴t=- 2 ,此时 λ=- 14. 14 即 t=- 2 时,向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 π. ∴当两向量夹角为钝角时,t 的取值范围是

? 14? ? 14 1? ?-7,- ?∪?- ,-2?. 2 2 ? ? ? ? 学生用书?第 75 页 第4讲 [最新考纲] 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 知 识 梳 理 平面向量应用举例

1.向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的 平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:a∥b(b≠0) ?a=λb?x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0(a,b 均为非零向量). (3)求夹角问题,利用夹角公式 a· b cos θ=|a||b|= x1x2+y1y2 2 2(θ x1+y2 x2 1 2+y2 为 a 与 b 的夹角).

2.向量在三角函数中的应用 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型. 解答 此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐 标运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识. 3.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用, 是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主 要强调向量的坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解 答,坐标的运算是考查的主体. 4.向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似, 因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.

学生用书?第 76 页 辨 析 感 悟 1.向量与其他数学知识的交汇 → → (1)已知△ABC 中,BC 边最长,AB=a,AC=b,且 a· b>0,则△ABC 的形状为 钝角三角形.(×) → → → → (2)在四边形 ABCD 中,AB=DC,且AC· BD=0,则四边形 ABCD 是矩形.(×) (3)(2014· 贵州调研改编)在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y) → → 满足OP· OA=4,则点 P 的轨迹方程是 x+2y-4=0.(√) 2.平面向量在物理中的应用 2π (4)作用于同一点的两个力 F1 和 F2 的夹角为 3 ,且|F1|=3,|F2|=5,则 F1+F2 大小为 19.(√) (5)已知一物体在共点力 F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移 s= (2lg 5,1),则共点力对物体做的功 W 为 2.(√) [感悟· 提升]

1.一个手段 实现平面向量与三角函数、 平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的 坐标运算. 2.两条主线 (1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象,向量本身是一个数形结合 的产物,在利用向量解决问题时,要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形 象思维与逻辑思维的结合. (2)要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于应用向量的有关性质解 题.

考点一

向量在平面几何中的应用

【例 1】 (1)(2013· 新课标全国Ⅱ卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中 → → 点,则AE· BD=________. (2)(2013· 天津卷)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60° ,E 为 CD 的中 → → 点.若AC· BE=1,则 AB 的长为________. → → → → 审题路线 (1)法一:把向量AE与BD分别用基底AD,AB表示. → → 法二:建立平面直角坐标系?求向量AE,BD的坐标. → → → → → → → (2)把向量AC与BE分别用基底AB,AD表示?利用AC· BE=1 整理?建立关于|AB| → 的一元二次方程?解得|AB|. 解析 (1)法一 → → ? → 1→? → → → 1→ 1 AE· BD=?AD+ AB?· (AD-AB)=AD2-2AB2=22-2×22=2. 2 ? ?

法二 以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图). 则 A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2), E(1,2).

→ → ∴AE=(1,2),BD=(-2,2). → → 从而AE· BD=(1,2)· (-2,2)=1×(-2)+2×2=2. → → → → → → → 1→ → (2) 由题意可知, AC = AB +AD, BE =-2 AB + AD . 因为 AC · BE = 1 ,所以 ( AB + → ? 1→ → ? ?- AB+AD?=1, AD)· ? 2 ? → 1→ → 1→ 即AD2+2AB· AD-2AB2=1.① → → → 1→ 因为|AD|=1,∠BAD=60° ,所以AB· AD=2|AB|,

→ 1→ 1→ 1 1 因此①式可化为 1+4|AB|-2|AB|2=1,解得|AB|=0(舍去)或2,所以 AB 的长为2. 答案 (1)2 1 (2)2

规律方法 用平面向量解决平面几何问题时,有两种方法:基向量法和坐标系法, 建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系,或使较多的点落在坐标轴上, 这样便于迅速解题. 【训练 1】 (1)(2014· 杭州质检)在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60° ,E 是 → → BC 的中点,则AC· AE=( 3+ 3 A. 3 9 B.2 ). C. 3 9 D.4

→ → → → (2)在△ABC 所在平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PAB 与△ABC 的面积之比值是( 1 A.3 1 B.2 ). 2 C.3 3 D.4

? ? 3 ? 3 ? 解析 (1)建立如图平面直角坐标系,则 A?- ,0?,C? ,0?, 2 ? ? ?2 ? 1? ? B?0,-2?. ? ? ? 3 1? ∴E 点坐标为? ,- ?, 4? ?4 → → ?3 3 1? ?, ∴AC=( 3,0),AE=? ,- 4? ? 4 → → 3 3 9 ∴AC· AE= 3× 4 =4. → → (2)由已知可得PC=2AP,

∴P 是线段 AC 的三等分点(靠近点 A), 1 易知 S△PAB=3S△ABC,即 S△PAB∶S△ABC=1∶3. 答案 (1)D (2)A 考点二 向量在三角函数中的应用

【例 2】 设向量 a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan αtan β=16,求证:a∥b. (1)解 因为 a 与 b-2c 垂直, 所以 a· (b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos

β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0, 因此 tan(α+β)=2. (2)解 由 b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得

|b+c|= ?sin β+cos β?2+?4cos β-4sin β?2 = 17-15sin 2β≤4 2. π 又当 β=kπ-4(k∈Z)时,等号成立, 所以|b+c|的最大值为 4 2. (3)证明 4cos α sin α 由 tan αtan β=16,得 sin β =4cos β,所以 a∥b.

规律方法 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或 垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形 式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域 等. 【训练 2】 (2013· 江苏卷)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β <α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. 解 (1)由题意得|a-b|2=2, 即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2.

又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以 2-2a· b=2, 即 a· b=0,故 a⊥b. (2)因为 a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1), ?cos α+cos β=0, 所以? ?sin α+sin β=1, 由此得,cos α=cos(π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π, 又 0<α<π,故 α=π-β. 1 代入 sin α+sin β=1 得,sin α=sin β=2, 5π π 而 α>β,所以 α= 6 ,β=6. 学生用书?第 77 页 考点三 向量在解析几何中的应用

【例 3】 (2013· 湖南卷)已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上 ?→ 1→? ?→ 1→? ? ?=0. 一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且?PC+ PQ?· 2 ? ?PC-2PQ? ? (1)求动点 P 的轨迹方程; → → (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求PE· PF的最值. 解 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y). → 1→ → 1→ 由(PC+2PQ)· (PC-2PQ)=0, → 1→ 得|PC|2-4|PQ|2=0, 1 即(x-2)2+y2-4(x-8)2=0, x2 y2 化简得16+12=1. x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为16+12=1. → → → → → → → → → → → → (2) 因 PE· PF = (NE- NP )· ( NF- NP ) = ( - NF - NP)· ( NF - NP) = ( - NP )2 - NF 2 = → NP2-1,

x2 y2 P 是椭圆16+12=1 上的任一点,设 P(x0,y0), x2 y2 4y2 0 0 0 2 则有16+12=1,即 x0 =16- 3 ,又 N(0,1), → 1 2 2 所以NP2=x2 0+(y0-1) =- y0-2y0+17 3 1 =-3(y0+3)2+20. → → → 因 y0∈[-2 3,2 3],所以当 y0=-3 时,NP2 取得最大值 20,故PE· PF的最大 值为 19; → → → 当 y0=2 3时,NP2 取得最小值为 13-4 3(此时 x0=0),故PE· PF的最小值为 12 -4 3. 规律方法 向量在解析几何中的作用 (1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于 “包装”,解决此类问题时 关键是利用向量的意义、 运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关 系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用:利用 a⊥b?a· b=0;a∥b?a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题, 特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一 种比较可行的方法. 【训练 3】 已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴的正半轴上,点 M → → → 3→ 满足PA· AM=0,AM=-2MQ,当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程. → → 解 设 M(x, y)为所求轨迹上任一点, 设 A(a,0), Q(0, b)(b>0), 则PA=(a,3), AM → =(x-a,y),MQ=(-x,b-y), → → 由PA· AM=0,得 a(x-a)+3y=0.① → 3→ 由AM=-2MQ,得 3 ?3 3 ? (x-a,y)=-2(-x,b-y)=?2x,2?y-b??, ? ?

3 ? ?x-a=2x, ∴? 3 3 y = ? ? 2y-2b, x 把 a=-2代入①,

x ? ?a=-2, ∴? y b = ? ? 3.

x? x? 得-2?x+2?+3y=0, ? ? 1 整理得 y=4x2(x≠0). 1 所以动点 M 的轨迹方程为 y=4x2(x≠0).

1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供 了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题. 2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等 相结合的一类综合问题. 通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数 值域,是解决这类问题的一般方法. 3.解析几何问题和向量的联系:可将向量用点的坐标表示,利用向量运算及性 质解决解析几何问题.

创新突破 5——破解平面向量与圆的交汇问题 【典例】 (2013· 湖南卷改编)已知 a,b 是单位向量,a· b=0?.若向量 c 满足|c- a-b|=1?,则|c|的最大值为________. 突破 1:根据条件?转化到平面直角坐标系中. 突破 2:把条件?坐标化. 突破 3:把坐标化后的式子配方整理可得到圆的方程. 突破 4:利用圆的知识求|c|max.

解析 建立如图所示的直角坐标系,由题意知 a⊥b,且 a 与 b 是单位向量, → → → ∴可设OA=a=(1,0),OB=b=(0,1),OC=c=(x,y). ∴c-a-b=(x-1,y-1), ∵|c-a-b|=1, ∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点 C(x,y)的轨迹是以 M(1,1)为圆心,1 为半径的圆. 而|c|= x2+y2, ∴|c|的最大值为|OM|+1, 即|c|max= 2+1. 答案 2+1

[反思感悟] 平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路:一是 “形化”, 即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题, 然后根 据平面图形的特征直接进行判断;二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算, 把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后 利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.本题采用了“形化”与“数化”的 结合,利用坐标运算将问题转化为圆的知识解决. 【自主体验】 → → → → → 1.△ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 2 OA+AB+AC=0,|OA|=|AB|, → → 则CA· CB=( 3 A.2 B. 3 ). C.3 D.2 3

→ → → → → → → → → → 解析 由 2 OA+AB+AC=0, 得 2 OA+OB-OA+OC-OA=0, 即OB=-OC, → → 即 O,B,C 三点共线,BC 为△ABC 外接圆的直径,故∠BAC=90° .又|OA|=|AB → |,得 B=60° ,所以 C=30° ,且|CA|= 3(如图所示).

→ → → → 3 所以CA· CB=|CA||CB|cos 30° = 3×2× 2 =3. 答案 C → → 2π 2.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 3 .如图所示,点 C 在 → → → → 以 O 为圆心的圆弧AB上运动.若OC=x OA+y OB,其中 x,y∈R,则 x+y 的 最大值是________.

解析

→ 法一 以 O 为坐标原点,OA所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则 A(1,0), ? 1 3? B?- , ?, 2 2 ? ? 2π?? ? ? 设∠AOC=α?α∈?0, 3 ??, ? ? ?? 则 C(cos α,sin α), → → → 由OC=x OA+y OB, 1 ? ?cos α=x-2y, 得? 3 sin α = ? ? 2 y, 3 2 3 所以 x=cos α+ 3 sin α,y= 3 sin α, π? ? 所以 x+y=cos α+ 3sin α=2sin?α+6?, ? ? 2π? π ? 又 α∈?0, 3 ?,所以当 α=3时,x+y 取得最大值 2. ? ? → → 法二 依题意,|OC|=1,则|OC|2=1,

→ → → → → 又OC=xOA+yOB,|OA|=|OB|=1, → → <OA,OB>=120° , → → → → ∴x2· OA2+y2· OB2+2xyOA· OB=1, 因此 x2+y2+2xycos 120° =1,xy=x2+y2-1. ?x+y?2 ? ,即(x+y)2≤4. ∴3xy=(x+y)2-1≤3? ? 2 ? ∴x+y 的最大值是 2. 答案 2

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 邵阳模拟)已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π).若|a· b| =|a||b|,则 tan x 的值等于( A.1 B.-1 ). C. 3 2 D. 2

解析 由|a· b|=|a||b|知,a∥b. 所以 sin 2x=2sin2x,即 2sin xcos x=2sin2x, 而 x∈(0,π), π 所以 sin x=cos x,即 x= ,故 tan x=1. 4 答案 A 2.(2014· 南昌模拟)若|a|=2sin 15° ,|b|=4cos 15° ,a 与 b 的夹角为 30° ,则 a· b 的值是( 3 A. 2 B. 3 ). C.2 3 1 D.2

3 3 解析 a· b=|a||b|cos 30° =8sin 15° cos 15° × 2 =4×sin 30° × 2 = 3. 答案 B 3.

→ → → π π (2013· 哈尔滨模拟 ) 函数 y= tan 4 x- 2 的部分图象如图所示,则 ( OA + OB)· AB = ( A.4 ). B.6 C.1 D.2

解析 由条件可得 B(3,1),A(2,0), → → → → → → → → → ∴(OA+OB)· AB=(OA+OB)· (OB-OA)=OB2-OA2=10-4=6. 答案 B 4.已知|a|=2|b|,|b|≠0 且关于 x 的方程 x2+|a|x-a· b=0 有两相等实根,则向量 a 与 b 的夹角是( ).

π π π 2π A.-6 B.-3 C.3 D. 3 解析 由已知可得 Δ=|a|2+4a· b=0, 1 即 4|b|2+4×2|b|2cos θ=0,∴cos θ=-2, 2π 又∵0≤θ≤π,∴θ= 3 . 答案 D 5.(2014· 安庆二模)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对应的三角形的 → → → 边长,若 4aBC+2bC A +3cAB=0,则 cos B=( 11 A.-24 11 B.24 29 C.36 29 D.-36 ).

→ → → 解析 由 4aBC+2bC A +3cAB=0,得

→ → → → → → 4aBC+3cAB=-2bC A =-2b(BA-BC)=2bAB+ → 2bBC,所以 4a=3c=2b. b2 4 2 + b -b2 a2+c2-b2 4 9 11 由余弦定理得 cos B= 2ac = =- b2 24. 2· 2· 3b 答案 A 二、填空题 → → → → 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若AB· AC=BA· BC=1, 那么 c=________. → → → → 解析 由题意知AB· AC+BA· BC=2, → → → → → → → 即AB· AC-AB· BC=AB· (AC+CB) → → =AB2=2?c=|AB|= 2. 答案 2

→ → → → → BA· BC 7.(2014· 南通一调)在△ABC 中,若 AB=1,AC= 3,|AB+AC|=|BC|,则 → |BC| =________. → → → 解析 易知满足|AB+AC|=|BC|的 A,B,C 构成直角三角形的三个顶点,且∠A → → BA· BC → 1 为直角,于是 =|BA|· cos∠ABC=1×cos 60° =2. → |BC| 1 答案 2 8.(2013· 东北三校一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 → → (3b-c)cos A=acos C,S△ABC= 2,则BA· AC=________. 解析 依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin Acos C, 即 3sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0,

1 2 2 于是有 cos A=3,sin A= 1-cos2A= 3 , 1 1 2 2 又 S△ABC=2· bcsin A=2bc× 3 = 2, → → 1 所以 bc=3,BA· AC=bccos(π-A)=-bccos A=-3×3=-1. 答案 -1 三、解答题 9.已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1),M 是圆 C 上的任意一点,点 N → → 在线段 MA 的延长线上,且MA=2AN,求点 N 的轨迹方程. → → 解 设 M(x0,y0),N(x,y).由MA=2AN,得 ?x0=3-2x, (1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),∴? ?y0=3-2y. ∵点 M(x0,y0)在圆 C 上, ∴(x0-3)2+(y0-3)2=4, 即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4.∴x2+y2=1. ∴所求点 N 的轨迹方程是 x2+y2=1. → → 10. (2014· 北京海淀模拟)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若AB· AC → → =BA· BC=k(k∈R). (1)判断△ABC 的形状; (2)若 c= 2,求 k 的值. → → → → 解 (1)∵AB· AC=cbcos A,BA· BC=cacos B, → → → → 又AB· AC=BA· BC,∴bccos A=accos B, ∴sin Bcos A=sin Acos B, 即 sin Acos B-sin Bcos A=0,∴sin(A-B)=0, ∵-π<A-B<π,∴A=B,即△ABC 为等腰三角形. → → b2+c2-a2 c2 (2)由(1)知,AB· AC=bccos A=bc· 2bc = 2 =k,

∵c= 2,∴k=1. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 → → → → 1. 已知向量OB=(2,0), 向量OC=(2,2), 向量CA=( 2cos α, 2sin α), 则向量OA → 与向量OB的夹角的取值范围是( π? ? A.?0,4? ? ? ?π 5 ? B.?4,12π? ? ? ). π? ?5 C.?12π,2? ? ? ?π 5 ? D.?12,12π? ? ?

→ → → 解析 由题意,得OA=OC+CA=(2+ 2cos α,2+ 2sin α),所以点 A 的轨迹 是圆 → → (x-2)2+(y-2)2=2,如图,当 A 位于使直线 OA 与圆相切时,向量OA与向量OB 的 夹角分别达到最大、最小值,故选 D. 答案 D → 1→ → → 2.(2014· 北京东城区期末)已知△ABD 是等边三角形,且AB+2AD=AC,|CD| = 3,那么四边形 ABCD 的面积为( 3 A. 2 解析 3 B.2 3 C.3 3 9 D.2 3 ).

→ → → 1→ → → ?1 → → ? 如图所示,CD=AD-AC=2AD-AB,∴CD2=? AD-AB?2, ?2 ?

→ → → 1→ 即 3=4AD2+AB2-AD· AB, → → ∵|AD|=|AB|, → → → 5→ ∴4|AD|2-|AD||AB|cos 60° =3,∴|AD|=2. → → → 1→ → 1→ 又BC=AC-AB=2AD,∴|BC|=2|AD|=1, → → → ∴|BC|2+|CD|2=|BD|2,∴BC⊥CD. 1 1 3 ∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD=2×22×sin 60° +2×1× 3=2 答案 B 二、填空题 3.(2014· 苏锡常镇二调)已知向量 a,b 满足|a|= 2,|b|=1,且对一切实数 x,|a +xb|≥|a+b|恒成立,则 a 与 b 的夹角大小为________. 解析 |a|= 2,|b|=1,|a+xb|≥|a+b|对一切实数 x 恒成立,两边平方整理得 x2 3,故选 B.

+2a· bx-2a· b-1≥0 对一切实数 x 恒成立,所以(2a· b)2+4(2a· b+1)≤0,即(a· b a· b 2 +1)2≤0,所以 a· b=-1,故 cos<a,b>=|a||b|=- 2 ,又<a,b>∈[0,π],所 3π 3π 以<a,b>= 4 ,即 a,b 的夹角是 4 . 答案 3π 4

三、解答题 x ? ? 4.(2014· 南通模拟)已知向量 m=? 3sin 4,1?, ? ? x x? ? n=?cos 4,cos24?. ? ? ?2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? 3 -x?的值; ? ? (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a -c)cos B=bcos C,求函数 f(A)的取值范围. x x x 解 (1)m· n= 3sin 4· cos 4+cos24

x 1+cos 2 3 x ? x π? 1 = 2 sin 2+ =sin?2+6?+2, 2 ? ? ? x π? 1 ∵m· n=1,∴sin?2+6?=2. ? ? ? π? ? x π? 1 cos?x+3?=1-2sin2?2+6?=2, ? ? ? ? 1 ?2π ? ? π? cos? 3 -x?=-cos?x+3?=-2. ? ? ? ? (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 ∴cos B=2, π 2π ∵0<B<π,∴B=3,∴0<A< 3 . π A π π ?A π? ?1 ? ∴ < + < ,sin? 2 +6?∈?2,1?. 6 2 6 2 ? ? ? ? ? x π? 1 又∵f(x)=sin?2+6?+2, ? ? ?A π? 1 ∴f(A)=sin? 2 +6?+2. ? ? 3? ? 故函数 f(A)的取值范围是?1,2?. ? ? 方法强化练 —— 平面向量 用书 P283) (建议用时:90 分钟) ( 对应学生

一、选择题 1.(2014· 福建质检)已知向量 a=(m2,4),b=(1,1),则“m=-2”是“a∥b”的 ( ).

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 依题意,当 m=-2 时,a=(4,4),b=(1,1),所以 a=4b,即 a∥b,即由 m=-2 可以推出 a∥b;当 a∥b 时,m2=4,得,m=± 2,所以不能推得 m=-2, 即“m=-2”是“a∥b”的充分不必要条件. 答案 A 2.(2013· 德州一模)已知向量 a=(2,3),b=(k,1),若 a+2b 与 a-b 平行,则 k 的值是( ). 2 C.3 D.14

2 A.-6 B.-3

解析 由题意得 a+2b=(2+2k,5),且 a-b=(2-k,2),又因为 a+2b 和 a-b 平 2 行,则 2(2+2k)-5(2-k)=0,解得 k=3. 答案 C 3.(2013· 浙江五校联考)已知|a|=|b|=|a-2b|=1,则|a+2b|=( A.9 B.3 C.1 D.2 ).

解析 由|a|=|b|=|a-2b|=1,得 a2-4a· b+4b2=1, ∴4a· b=4,∴|a+2b|2=a2+4a· b+4b2=5+4=9, ∴|a+2b|=3. 答案 B 4.(2014· 郑州一模)已知平面向量 a=(-2,m),b=(1, 3),且(a-b)⊥b,则 实数 m 的值为( A.-2 3 ). C.4 3 D.6 3

B.2 3

解析 因为(a-b)⊥b,所以(a-b)· b=a· b-b2=0,即-2+ 3m-4=0,解得 m =2 3. 答案 B 5. (2014· 长春一模)已知|a|=1, |b|=6, a· (b-a)=2, 则向量 a 与 b 的夹角为( π π π π A.2 B.3 C.4 D.6 解析 a· (b-a)=a· b-a2=2,所以 a· b=3, a· b 3 1 π 所以 cos<a,b>=|a||b|= =2.所以<a,b>=3. 1×6 ).

答案 B 6.(2013· 潮州二模)已知向量 a=(1,-cos θ),b=(1,2cos θ)且 a⊥b,则 cos 2θ 等于( ). 2 D. 2

1 A.-1 B.0 C.2

解析 a⊥b?a· b=0,即 1-2cos2θ=0,∴cos 2θ=0. 答案 B 7.(2014· 成都期末测试)已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 → → → 2OA+OB+OC=0,则有( → → → → A.AO=2OD B.AO=OD → → → → C.AO=3OD D.2AO=OD → → → → → → → → → → 解析 由 2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-2OA=2AO,即OB+OC=2OD= → → → 2AO,所以OD=AO,即 O 为 AD 的中点. 答案 B → → → → 8.(2013· 潍坊一模)平面上有四个互异点 A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)· (AB → -AC)=0,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定 ). ).

→ → → → → 解析 由(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0, → → → → → → 得[(DB-DA)+(DC-DA)]· (AB-AC)=0, → → → → 所以(AB+AC)· (AB-AC)=0. → → → → 所以|AB|2-|AC|2=0,∴|AB|=|AC|, 故△ABC 是等腰三角形. 答案 B

9. (2013· 兰州一模)在△ABC 中, G 是△ABC 的重心, AB, AC 的边长分别为 2,1, → → ∠BAC=60° .则AG· BG=( 8 A.-9 10 B.- 9 C. 5- 3 9 ). D.- 5- 3 9

解析 由 AB=2,AC=1,∠BAC=60° ,所以 BC= 3,∠ACB=90° ,将直角三 ? 3 1? 角形放入直角坐标系中, 如图所示, 则 A(0,1), B(- 3, 0), 所以重心 G?- , ?, ? 3 3? → ? → → ? 3 2? → ?2 3 1? 3 2? ?2 3 1? ?,所以AG· ? ?= 所以AG=?- ,- ?,BG=? BG=?- ,- ?· , 3 3 3 3 3 3? ? 3 ,3? ? ? ? ? ? 8 -9. 答案 A 10.(2014· 皖南八校第三次联考)已知正方形 ABCD(字母顺序是 A→B→C→D)的 → → 边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点(可以与 A 或 B 重合), 则DE· CD的最大值是( 1 A.1 B.2 C.0 D.-1 ).

解析 建立直角坐标系如图所示,设 E(x,0),x∈[0,1],则 D(0,1),C(1,1),B(1,0), → → 所以DE· CD=(x,-1)· (-1,0)=-x,当 x=0 时取得最大值 0. 答案 C 二、填空题 11.(2013· 济南模拟)若 a=(1,-2),b=(x,1),且 a⊥b,则 x=________. 解析 由 a⊥b,得 a· b=x-2=0,∴x=2. 答案 2

12.(2013· 昆明期末考试)已知向量 a=(1,1),b=(2,0),则向量 a,b 的夹角为 ________. 解析 a=(1,1),b=(2,0),∴|a|= 2,|b|=2, a· b 2 2 π ∴cos<a,b>=|a||b|= = 2 ,∴<a,b>=4. 2 2 π 答案 4 13.(2014· 杭州质检)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠A=30° ,BC=1,D 为斜边 → → AB 的中点,则AB· CD=________.

→ → → → → → → → → 解析 AB· CD=AB· (AD-AC)=AB· AD-AB· AC=2×1-2× 3cos 30° =-1. 答案 -1 14. (2014· 湖南长郡中学、 衡阳八中联考)已知 G1, G2 分别为△A1B1C1 与△A2B2C2 → → → → 的重心,且A1A2=e1,B1B2=e2,C1C2=e3,则G1G2=________(用 e1,e2,e3 表 示). → → → → 解析 由A1A2=A1G1+G1G2+G2A2=e1 → → → → C1C2=C1G1+G1G2+G2C2=e3 → → → → ①, B1B2=B1G1+G1G2+G2B2=e2 ②,

③,且 G1,G2 分别为△A1B1C1 与△A2B2C2 的重

→ → → → → → 心, 所以A1G1+B1G1+C1G1=0, G2A2+G2B2+G2C2=0,将①②③相加得G1G2= 1 3(e1+e2+e3). 1 答案 3(e1+e2+e3) 三、解答题 15.(2013· 漯河调研)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(2,1), A(1,0),B(cos θ,t). → → → → (1)若 a∥AB,且|AB|= 5|OA|,求向量OB的坐标; → (2)若 a∥AB,求 y=cos2θ-cos θ+t2 的最小值.

→ 解 (1)∵AB=(cos θ-1,t), → 又 a∥AB,∴2t-cos θ+1=0.∴cos θ-1=2t.① → → 又∵|AB|= 5|OA|,∴(cos θ-1)2+t2=5.② 由①②得,5t2=5,∴t2=1.∴t=± 1. 当 t=1 时,cos θ=3(舍去),当 t=-1 时,cos θ=-1, → ∴B(-1,-1),∴OB=(-1,-1). (2)由(1)可知 t= cos θ-1 , 2 ?cos θ-1?2 4

∴y=cos2θ-cos θ+

6 5 3 1 5? ? 1 =4cos2θ-2cos θ+4=4?cos2θ-5cos θ?+4 ? ? 3? 1 5? =4?cos θ-5?2-5, ? ? 3 1 ∴当 cos θ=5时,ymin=-5. π? ? 16.设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈?0,2?. ? ? (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2 x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,及|a|=|b|,得 4sin2 x=1. π? 1 π ? 又 x∈?0,2?,从而 sin x=2,所以 x=6. ? ? (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2 x π? 1 3 1 1 ? = 2 sin 2x-2cos 2x+2=sin?2x-6?+2, ? ? π? π? π ? ? 当 x=3∈?0,2?时,sin?2x-6?取最大值 1. ? ? ? ? 3 所以 f(x)的最大值为2. 17.(2013· 银川调研)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点.

→ → → (1)求GA+GB+GO; → → → → 1 (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证:m+ 1 n=3. (1)解 → → → → → ∵GA+GB=2GM,又 2GM=-GO,

→ → → → → ∴GA+GB+GO=-GO+GO=0. (2)证明 → 1 显然OM=2(a+b).

→ 2→ 1 因为 G 是△ABO 的重心,所以OG=3OM=3(a+b). → → 由 P,G,Q 三点共线,得PG∥GQ, → → 所以,有且只有一个实数 λ,使PG=λGQ. → → → 1 1 ?1 ? 而PG=OG-OP=3(a+b)-ma=?3-m?a+3b, ? ? → → → 1? 1 1 ? GQ=OQ-OG=nb-3(a+b)=-3a+?n-3?b, ? ? 1? ? 1 ? 1 ? ?1 ? n-3?b?. 所以?3-m?a+3b=λ?-3a+? ? ? ? ? ? ? 1 1 - m =- ? ?3 3λ, 又因为 a,b 不共线,所以? 1? 1 ? n - ? = λ , ? ?3 ? 3? ? 1 1 消去 λ,整理得 3mn=m+n,故m+n=3. 18.(2014· 太原模拟)已知 f(x)=a· b,其中 a=(2cos x,- 3sin 2x),b=(cos x,1)(x ∈R). (1)求 f(x)的周期和单调递减区间; → → (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,f(A)=-1,a= 7,AB· AC =3,求边长 b 和 c 的值(b>c).



(1) 由 题 意 知 , f(x) = 2cos2x - 3 sin 2x = 1 + cos 2x - 3 sin 2x = 1 +

π? ? 2cos?2x+3?, ? ? ∴f(x)的最小正周期 T=π, ∵y=cos x 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减, π ∴令 2kπ≤2x+3≤2kπ+π(k∈Z), π π 得 kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z). π π? ? ∴f(x)的单调递减区间?kπ-6,kπ+3?,k∈Z. ? ? π? ? (2)∵f(A)=1+2cos?2A+3?=-1, ? ? π? ? ∴cos?2A+3?=-1. ? ? π π 7π π π 又3<2A+3< 3 ,∴2A+3=π.∴A=3. → → ∵AB· AC=3,即 bc=6,由余弦定理得 a2=b2+c2- 2bccos A=(b+c)2-3bc,7=(b+c)2-18,b+c=5, 又 b>c,∴b=3,c=2.


【创新设计,教师用书】(人教A版,理科)2015届高考数学第....doc

【创新设计,教师用书】(人教A版,理科)2015届高考数学第一轮复习细致讲解练:选修4-2 矩阵与变换_数学_高中教育_教育专区。选修 4-2 矩阵与变换 A [最新考纲]...

(教师用书)高考数学第一轮复习 矩阵与变换细致讲解练 ....doc

(教师用书)高考数学第一轮复习 矩阵与变换细致讲解练 理 新人教A版选修42 【创新设计】 (教师用书)2015 届高考数学第一轮复习 矩阵与变换 细致讲解练 理 新...

2015届高考数学复习专题汇总(链接).doc

高考数学大一轮总复习配套课件+课时训练(人教 A 版,理科) 2015 届《智慧测评...高效训练 【创新设计,教师用书】2015 届高考数学第一轮复习细致讲解练(人教 ...

2018版高考数学理科一轮设计:第1~3章教师用书(人教A版).doc

2018版高考数学理科一轮设计:第1~3章教师用书(人教A版)_高考_高中教育_教育专区。2018 2018 版高考数学理科一轮设计:第 1~3 章教师用书(人教 A 版)本资料...

【创新设计】高考数学一轮总复习 第四篇 三角函数、解....doc

【创新设计】高考数学一轮总复习 第四篇 三角函数、解三角形教案 理 苏教版 - 第(1)课时 课题:书法---写字基本知识 课型:新授课 教学目标:1、初步掌握书写...

热点2018届高考数学(新课标版 文)二轮复习细致讲解课件....ppt

热点2018届高考数学(新课标版 文)二轮复习细致讲解课件第8章高考数学填空题的

【热点重点难点专题透析】(新课标)2016届高考数学二轮....ppt

【热点重点难点专题透析】(新课标)2016届高考数学轮复习 细致讲解 第8章

热点2018届高考数学(新课标版 文)二轮复习细致讲解课件....ppt

热点2018届高考数学(新课标版 文)二轮复习细致讲解课件第7章高考数学选择题的

2018-2019学年高中一轮复习语文通用版:专题检测 “得体....doc

2018-2019学年高中一轮复习语文通用版:专题检测 “得体题”仿真高考练 Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。精选资料专题检测 “得体题”仿真高考练 1.下列各...

如何抓好高三数学第二轮复习.doc

如何抓好高三数学第轮复习 摘要:如何抓好高三复习阶段的几轮复习,让学生 通过几轮的复习后真正得到实质性的提高,实现更大突破, 一直是高三数学教师积极探索的一个...

2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:131导数....ppt

2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:131导数的概念及基本运算_

优化方案届高考数学文科大纲版一轮复习配套课件113 相....ppt

优化方案届高考数学文科大纲版一轮复习配套课件113 ...0.169 目录 考点

【精编】人教A版高中数学必修五课件高二第二章 数列2-3....ppt

【精编】人教A版高中数学必修五课件高二第二章 数列2-3《等差数列的前n项和》(新课导入%2B新课讲授%2B课堂_数学_高中教育_教育专区。第二章 数列 2.3 等差...

2017届高考地理二轮复习热点重点难点细致讲解专题二人....ppt

2017届高考地理二轮复习热点重点难点细致讲解专题二人文地理事象与原理第7讲农业

人教版年级数学上册教学工作计划(四篇).doc

方案计划参考范本人教版年级数学上册教学工作计划(四篇) 目录:人教版年级数学上册教学工作计划一 人教版年级上册数学复习计划二 人教版小学数学第册教学工作计划三 ...

高考语文一轮复习语言基础知识运用辨析病句(二)搭配....doc

高考语文一轮复习语言基础知识运用辨析病句(二)搭配不当讲解_高考_高中教育_.

高中语文苏教版必修一讲解与例题:第四专题 江南的冬景.doc

高中语文苏教版必修一讲解与例题:第四专题 江南的冬景_高三语文_语文_高中教育_教育专区。江南的冬景问题导学 1.本文是如何抓住景物特点描写景物的?试以一幅画面...

高考生物一轮复习细致讲解练:选修3(5份)第三讲 胚胎工程.doc

高考生物一轮复习细致讲解练:选修3(5份)第三讲 胚胎工程_高考_高中教育_教育

高考生物一轮复习细致讲解练:选修3(5份)第二讲 细胞工程.doc

高考生物一轮复习细致讲解练:选修3(5份)第二讲 细胞工程_高考_高中教育_教育

高考生物一轮复习细致讲解练:选修3(5份)第五讲 生态工程.doc

高考生物一轮复习细致讲解练:选修3(5份)第五讲 生态工程_高考_高中教育_教育