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椭圆标准方程典型例题20道

时间:2015-12-16

椭圆标准方程典型例题 20 道
例 1 已知椭圆 mx2 ? 3 y 2 ? 6m ? 0 的一个焦点为(0,2)求 m 的值.

0? , a ? 3b ,求椭圆的标准方程. 例 2 已知椭圆的中心在原点,且经过点 P?3,
例 3 ?ABC 的底边 BC ? 16 , AC 和 AB 两边上中线长之和为 30,求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的 轨迹. 例 4 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 例 5 已知椭圆方程

4 5 2 5 和 ,过 P 点作焦点所 3 3

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? ,长轴端点为 A1 , A2 ,焦点为 F1 , F2 , P 是椭圆上一点, a 2 b2 ?A1PA2 ? ? , ?F1PF2 ? ? .求: ?F1PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示).

0? ,且在定圆 B: 例 6 已知动圆 P 过定点 A?? 3, ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,求动圆圆心 P 的轨迹
2

方程.

例 7 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,(1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; 2 ? 2 2?

(2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程;

1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (3)过 A?2,
(4)椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? , 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

1 2

例 8 已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点?
1

(2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

例 9 以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点,过直线 l:x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最 12 3

短,点 M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.

例10 已知方程

x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围. k ?5 3? k

例11 已知 x 2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 ? 的取值范围. 例 12 例13 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点的椭圆方程. 知圆 x 2 ? y 2 ? 1 ,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段,求线段中点 M 的轨迹.

例 14 已知长轴为 12,短轴长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆,过它对的左焦点 F1 作倾斜解为 圆于 A , B 两点,求弦 AB 的长. 例 15 椭圆

? 的直线交椭 3

x2 y2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,则 ON ( O 为坐标原点)的 25 9 3 值为 A.4 B.2 C.8 D. 2

x2 y2 ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不同的 例 16 已知椭圆 C: ? 4 3
两点关于该直线对称. 例 17 在面积为 1 的 ?PMN 中, tan M ? 过 P 点的椭圆方程. 例 18 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆

1 , tan N ? ?2 ,建立适当的坐标系,求出以 M 、 N 为焦点且 2

x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,求直线 l 的方程. 36 9

2


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