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高中数学2-2第一章导数及其应用导学案

时间:2017-11-22


1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念

1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数从 x1 到 x2 的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.

1.平均变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 Δ y f(x2)-f(x1) (1)定义式: = . Δx x2-x1 (2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. (4)几何意义:已知 P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是函数 y=f(x)的图象上两点,则平均变化 Δ y f(x2)-f(x1) 率 = 表示割线 P1P2 的斜率. Δx x2-x1 2.瞬时变化率 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 (1)定义式: lim
Δx→0

Δy f(x0+Δ x)-f(x0) =l lim __ . Δ x Δx→0 Δx

(2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时,平均变化率趋近的值. (3)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢. 3.导数的概念 Δy f(x0+Δ x)-f(x0) = lim x Δx→0 Δx f′(x0)或 y′| x=x
0

定义式 记法 实质

Δx→0Δ

lim

函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率

1.判断(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)函数 f(x)=c(c 为常数)在区间[x1,x2]上的平均变化率 Δy 为 0.( Δx ) ) )

(2)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数值与Δ x 值的正、负无关.(

(3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1,x2]上函数值的变化快慢的物理量.(

(4)在导数的定义中,Δ x,Δ y 都不可能为零.( 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)?

)

2.如图,函数 y=f(x)在 A,B 两点间的平均变化率是(

)

A.1 C.2 Δy f(3)-f(1) 1-3 解析:选 B. = = =-1. 2 Δx 3-1

B.-1 D.-2

3.已知 f(x)=-2x+1,则 f′(0.5)=________.答案:-2 1 4.函数 y=f(x)= 在 x=1 处的瞬时变化率为________.答案:-1 x

求函数的平均变化率 已知函数 f(x)=2x2+3x-5. Δy (1)当 x1=4,且Δ x=1 时,求函数增量Δ y 和平均变化率 ; Δx (2)求(1)中的平均变化率的几何意义. 【解】 因为 f(x)=2x2+3x-5,所以Δy=f(x1+Δx)-f(x1)
2 =2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2x1 +3x1-5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx

=2(Δx)2+(4x1+3)Δx. Δy 21 (1)当 x1=4,Δx=1 时,Δy=2?12+(4?4+3)?1=21,则 = =21. Δx 1 Δy f(5)-f(4) (2)在(1)中, = ,它表示抛物线上点 A(4,39)与点 B(5,60)连线的斜率. Δx 5-4

求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量Δx=x2-x1; (2)求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1); Δy f(x2)-f(x1) (3)求平均变化率 = . Δx x2-x1 1.(2017· 宁波高二检测)已知函数 y=x2+1 的图象上一点(1, 2)及邻近一点

Δy (1+Δ x,2+Δ y),则 等于( Δx A.2 C.2+Δ x

) B.2x D.2+(Δ x)2

Δy f(1+Δx)-f(1) [(1+Δx)2+1]-2 解析:选 C. = = =2+Δx. Δx Δx Δx 2.求函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δ x]上的平均变化率,并求当 x0=2,Δ x= 0.1 时平均变化率的值. 解:函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
2 2 f(x0+Δx)-f(x0) [3(x0+Δx)2+2]-(3x0 +2) 6x0·Δx+3(Δx) = = =6x0+3Δx. (x0+Δx)-x0 Δx Δx

当 x0=2,Δx=0.1 时, 函数 y=3x2+2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6?2+3?0.1=12.3. 实际问题中的瞬时速度 一质点的运动方程为 s=8-3t2,其中 s 表示位移(单位:m),t 表示时间(单位:s). (1)求质点在[1,1+Δ t]这段时间内的平均速度; (2)求质点在 t=1 时的瞬时速度. Δs 8-3(1+Δt)2-8+3?12 【解】 (1)质点在[1, 1+Δt]这段时间内的平均速度为 = Δt Δt =(-6-3Δt)(m/s). Δs Δs (2)由(1)知 =-6-3Δt.当Δt 趋近于 0 时, 趋近于-6, Δt Δt 所以质点在 t=1 时的瞬时速度为-6 m/s.

求运动物体瞬时速度的三个步骤 第一步:求时间改变量Δt 和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0); Δs 第二步:求平均速度 v = ; Δt Δs 第三步:求瞬时速度,当Δt 无限趋近于 0 时, 无限趋近于的常数 v 即为瞬时速度, Δt 即 v=s′(t0). 1.一物体的运动方程为 s=7t2-13t+8,且在 t=t0 时的瞬时速度为 1,则 t0= ________.
2 解析:因为Δs=7(t0+Δt)2-13(t0+Δt)+8-7t0 +13t0-8

=14t0?Δt-13Δt+7(Δt)2,

所以 lim

Δs = lim (14t0-13+7Δt)=14t0-13=1,所以 t0=1.答案:1 Δt→0 Δt Δt→0

2.一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)=3t-t2. (1)求此物体在 t=2 时的瞬时速度; (2)求 t=0 到 t=2 时的平均速度. 解:(1)取一时间段[2,2+Δt],Δs=s(2+Δt)-s(2)=[3(2+Δt)-(2+Δt)2]-(3?2-22) Δs -Δt-(Δt)2 =-Δt-(Δt)2, = =-1-Δt, Δt Δt Δs =lim (-1-Δt)=-1,所以当 t=2 时,物体的瞬时速度为-1. Δt→0 Δt Δt→0 lim (2)因为当 t∈[0,2]时,Δt=2-0=2. Δs 2 Δs=s(2)-s(0)=(3?2-22)-(3?0-02)=2. v = = =1. Δt 2 所以在 0 到 2 之间,物体的平均速度为 1. 用定义求函数的导数 根据导数的定义,求下列函数的导数: (1)求函数 y=x2+3 在 x=1 处的导数; 4 (2)求函数 y= 2在 x=2 处的导数. x Δy 2Δx+(Δx)2 【解】(1)Δy=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2,所以 = =2+Δx. Δx Δx 所以 y′|x=1= lim (2+Δx)=2.
Δx→0

(Δx)2+4Δx 4 4 4 (2)因为Δy= , 2- 2= 2-1=- (Δx+2) 2 (Δx+2) (Δx+2)2 Δy Δx+4 所以 =- . Δx (Δx+2)2 所以 lim
Δx→0Δx

Δy =- lim

2=-1. Δx→0(Δx+2)

Δx+4

求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的三个步骤

简称:一差、二比、三极限. 1.设函数 f(x)=ax+3,若 f′(1)=3,则 a 等于( )

A.2 C.3 解析:选 C.因为 f′(1)= lim
Δx→0

B.-2 D.-3 f(1+Δx)-f(1) a(1+Δx)+3-(a+3) = lim =a. Δx Δx Δx→0

因为 f′(1)=3,所以 a=3.故选 C. 1 2.求函数 y=x- 在 x=1 处的导数. x 1 Δx 1 1- ?=Δx+ 解:因为Δy=(1+Δx)- -? , 1 ? ? 1+Δx 1+Δx Δx Δx+ 1 +Δ x Δy Δy 1 所以 = =1+ .当Δx→0 时, →2,所以 f′(1)=2, Δx Δx 1+Δx Δx 1 即函数 y=x- 在 x=1 处的导数为 2. x

1.瞬时速度与平均速度的区别和联系 区别: 瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态, 而平均速度则是刻画物体在一段时间 内的运动状态,与该段时间内的某一时刻无关. 联系:瞬时速度是平均速度的极限值. 2.函数 f(x)在 x0 处的导数 Δy Δy (1)当Δ x≠0 时,比值 的极限存在,则 f(x)在点 x0 处可导;若 的极限不存在,则 Δx Δx f(x)在点 x0 处不可导或无导数. (2)在点 x=x0 处的导数的定义可变形为 f′(x0) = lim f(x)-f(x0) . x-x0 Δx→x0 lim
Δx→0

f(x0-Δ x)-f(x0) 或 f′(x0)= -Δ x

1.设函数 y=f(x)=x2-1,当自变量 x 由 1 变为 1.1 时,函数的平均变化率为( A.2.1 C.2 Δy f(1.1)-f(1) 0.21 解析:选 A. = = =2.1. 0.1 Δx 1.1-1 2 1 2.已知 f(x)= ,且 f′(m)=- ,则 m 的值等于( x 2 A.-4 C.-2 B.2 D.±2 ) B.1.1 D.0

)

解析:选 D.f′(x)= lim 于是-

Δx→0

f(x+Δx)-f(x) 2 =- 2, x Δx

2 1 =- ,m2=4,解得 m=± 2. m2 2

3.某物体做匀速运动,其运动方程是 s=vt+b,则该物体在运动过程中,其平均速度 与任何时刻的瞬时速度的关系是________. 解析:v0= lim = lim
Δt→0

Δs s(t0+Δt)-s(t0) v(t0+Δt)-vt0 = lim = lim Δt Δt→0 Δt Δt Δt→0

Δt→0

v· Δt =v.答案:相等 Δt

1 4.已知函数 f(x)=x+ ,分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变 x 化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快. 1 2+ -(1+1) 2 f(2)-f(1) 1 解: 自变量 x 从 1 变到 2 时, 函数 f(x)的平均变化率为 = = ; 1 2 2-1 1 1 3+ ? 5+ -? 5 ? 3? 14 f(5)-f(3) 自变量 x 从 3 变到 5 时,函数 f(x)的平均变化率为 = = . 2 15 5-3 1 14 1 因为 < ,所以函数 f(x)=x+ 在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快. 2 15 x

[A 基础达标] Δy 1.若函数 y=f(x)=x2-1, 图象上点 P(2, 3)及其邻近点 Q(2+Δ x, 3+Δ y), 则 =( Δx A.4 C.4+Δ x
2 2

)

B.4Δ x D.Δ x

解析:选 C.因为Δy=(2+Δx) -1-(2 -1)=4Δx+(Δx)2, Δy 4Δx+(Δx)2 所以 = =4+Δx. Δx Δx 2.一质点运动的方程为 s=5-3t2,若一质点在时间段[1,1+Δ t]内相应的平均速度为 -3Δ t-6,则该质点在 t=1 时的瞬时速度是( A.-3 C.6 ) B.3 D.-6
Δt→0

解析:选 D.由平均速度和瞬时速度的关系可知,v=s′(1)= lim (-3Δt-6)=-6. 3. 某物体的运动规律是 s=s(t), 则该物体在 t 到 t+Δ t 这段时间内的平均速度是( Δ s s(t+Δ t)-s(t) A. v = = Δt Δt B. v = s(Δ t) Δt )

s(t) C. v = t

s(t+Δ t)-s(Δ t) D. v = Δt

解析:选 A.由平均速度的定义可知,物体在 t 到 t+Δt 这段时间内的平均速度是其位 移改变量与时间改变量的比. 所以 v = Δs s(t+Δt)-s(t) = . Δt Δt f(Δx) =-1,则 f′(0)=( Δx B.-1 D.2 )

4.若可导函数 f(x)的图象过原点,且满足 lim A.-2 C.1

Δx→0

解析:选 B.因为 f(x)图象过原点,所以 f(0)=0, 所以 f′(0)= lim
Δx→0

f(0+Δx)-f(0) f(Δx) = lim =-1.故选 B. Δx Δx Δx→0

3 5.某物体做直线运动,其运动规律是 s=t2+ (t 的单位是秒,s 的单位是米),则它在 4 t 秒末的瞬时速度为( 123 A. 米/秒 16 C.8 米/秒 ) 125 B. 米/秒 16 67 D. 米/秒 4

3 3 (4+Δt)2+ -16- 4 4+Δt Δs 解析:选 B.因为 = Δt Δt -3Δt (Δt)2+8Δt+ 4(4+Δt) Δs 3 3 125 = =Δt+8- .所以 lim =8- = . 16 16 Δt 16+4Δt Δt→0 Δt 2 6.已知函数 y= +3,当 x 由 2 变到 1.5 时,函数的增量Δ y=________. x 2 1 1 ? ?2 ? 4 解析:Δy=f(1.5)-f(2)=? ?1.5+3?-?2+3?=3-1=3.答案: 3 7.如图所示,函数 y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最 大的一个区间是________.

解析:由平均变化率的定义可知,函数 y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平 均变化率分别为: f(x2)-f(x1) f(x3)-f(x2) f(x4)-f(x3) , , ,结合图象可以发 x2-x1 x3-x2 x4-x3

现函数 y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].

答案:[x3,x4] 8. 子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动, 如果它的加速度是 a=5?105 m/s2, 子弹从枪口射出所用的时间为 1.6?10 3s,则子弹射出枪口时的瞬时速度为________m/s.


1 解析:运动方程为 s= at2. 2 Δs 1 1 1 1 2 因为Δs= a(t0+Δt)2- at2 =at0+ aΔt, 0=at0Δt+ a(Δt) .所以 2 2 2 2 Δt 所以 v= lim Δs - =at0.又因为 a=5?105 m/s2,t0=1.6?10 3s, Δt

Δt→0

所以 v=at0=8?102=800(m/s).答案:800 9.若函数 y=f(x)=-x2+x 在[2,2+Δ x](Δ x>0)上的平均变化率不大于-1,求Δ x 的 取值范围. 解: 因为函数 y = f(x) 在 [2 , 2 +Δ x] 上的平均变化率为 Δy f(2+Δx)-f(2) = = Δx Δx

-(2+Δx)2+(2+Δx)-(-4+2) -4Δx+Δx-(Δx)2 = =-3-Δx, Δx Δx 所以由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.又因为Δx>0,所以Δx>0, 即Δx 的取值范围是(0,+∞). 10.已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动.(位移单位:cm,时间单位:s) (1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求 Δs ; Δt

Δs (2)当 t=2,Δ t=0.001 时,求 ; Δt (3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度. Δs s(t+Δt)-s(t) 2(t+Δt)2+3-(2t2+3) 解: = = =4t+2Δt. Δt Δt Δt Δs (1)当 t=2,Δt=0.01 时, =4?2+2?0.01=8.02(cm/s). Δt (2)当 t=2,Δt=0.001 时, (3)v= lim Δs =4?2+2?0.001=8.002(cm/s). Δt

Δt→0

Δs = lim (4t+2Δt)=4t=4?2=8(cm/s). Δt Δt→0 [B 能力提升] )

11. 已知点 P(x0, y0)是抛物线 y=3x2+6x+1 上一点, 且 f′(x0)=0, 则点 P 的坐标为( A.(1,10) C.(1,-2) Δy f(x0+Δx)-f(x0) 解析:选 B. = Δx Δx B.(-1,-2) D.(-1,10)



3(x0+Δx)2+6(x0+Δx)+1-3x2 0-6x0-1 =3Δx+6x0+6, Δx Δy = lim (3Δx+6x0+6)=6x0+6=0,所以 x0=-1. Δx Δx→0

所以 f′(x0)= lim

Δx→0

把 x0=-1 代入 y=3x2+6x+1,得 y=-2.所以 P 点坐标为(-1,-2). 12. (2017· 泉州期中)设函数 f(x)在 x=x0 处可导, 则 lim A.f′(x0) C.-f′(x0) 解析:选 C. lim 选 C. 1 ? ?- ,x>0, x 13.已知函数 f(x)=? 求 f′(4)· f′(-1)的值. ?1+x2,x≤0 ? 解:当 x=4 时,Δy=- = Δx 4+Δx-2 1 1 1 1 + = - = 2 4 4+Δx 4+Δx 2 4+Δx
Δx→0 Δx→0

f(x0-Δ x)-f(x0) 等于( Δx

)

B.f′(-x0) D.-f(-x0) f(x0-Δx)-f(x0) f(x0-Δx)-f(x0) =- lim =-f′(x0),故 Δx -Δx Δx→0

Δy 1 .所以 = . Δx 2 4+Δx( 4+Δx+2) 2 4+Δx( 4+Δx+2) Δy 1 1 1 = lim = = . Δx Δx→0 2 4+Δx( 4+Δx+2) 2? 4?( 4+2) 16 Δy f(-1+Δx)-f(-1) 1 .当 x=-1 时, = 16 Δx Δx

所以 lim

Δx→0

所以 f′(4)= =

1+(-1+Δx)2-1-(-1)2 =Δx-2,由导数的定义,得 f′(-1)= lim (Δx-2) Δx Δx→0 1 1 ?(-2)=- . 16 8

=-2,所以 f′(4)· f′(-1)=

14.(选做题)若一物体运动方程如下:(位移单位:m,时间单位:s)
2 ? ?29+3(t-3) ,0≤t<3, ? s=f(t)= 2 ?3t +2,t≥3. ?

求:(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度 v0; (3)物体在 t=1 时的瞬时速度. 解:(1)因为物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,位移变化量为Δs=3?52 +2-(3?32+2)=3?(52-32)=48,所以物体在 t∈[3,5]内的平均速度为 Δs 48 = =24 (m/s). Δt 2 (2)求物体的初速度 v0,即求物体在 t=0 时的瞬时速度.

Δs f(0+Δt)-f(0) 因为物体在 t=0 附近位移的平均变化率为 = Δt Δt = 29+3[(0+Δt)-3]2-29-3(0-3)2 =3Δt-18, Δt Δs = lim (3Δt-18)=-18, Δt Δt→0

所以物体在 t=0 处位移的瞬时变化率为 lim 即物体的初速度 v0=-18 m/s.

Δt→0

(3)物体在 t=1 时的瞬时速度即为物体在 t=1 处位移的瞬时变化率. Δs f(1+Δt)-f(1) 因为物体在 t=1 附近位移的平均变化率为 = Δt Δt = 29+3[(1+Δt)-3]2-29-3(1-3)2 =3Δt-12, Δt Δs = lim (3Δt-12)=-12, Δt Δt→0

所以物体在 t=1 处位移的瞬时变化率为 lim 即物体在 t=1 时的瞬时速度为-12 m/s.

Δt→0

1.1.3 导数的几何意义 1.理解曲线的切线的含义. 切线方程. 4.理解导函数的定义,会用定义法求简单函数的导函数. 2.理解导数的几何意义. 3.会求曲线在某点处的

1.导数的几何意义 (1)切线的定义

如图,对于割线 PPn,当点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确定 位置的直线 PT 称为点 P 处的切线. (2)导数的几何意义 导数的几何意义:函数 f(x) 在 x = x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k ,即 k = lim
Δx→0

f(x0+Δ x)-f(x0) =f′(x0). Δx 2.导函数的概念 (1)定义:当 x 变化时,f′(x)便是 x 的一个函数,我们称它为 f(x)的导函数(简称导数). (2)记法:f′(x)或 y′,即 f′(x)=y′= lim
Δx→0

f(x+Δ x)-f(x) . Δx

1.判断(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同.( (2)函数在一点处的导数 f′(x0)是一个常数.( ) ) )

(3)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x=x0 处的函数值.( (4)函数 f(x)=0 没有导数.( ) )

(5)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点.( 答案:(1)? (2)√ (3)√ (4)?
2

(5)? )

2.已知曲线 y=f(x)=2x 上一点 A(2,8),则点 A 处的切线斜率为( A.4 C.8 答案:C 3.已知 y=f(x)的图象如图,则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( ) B.16 D.2

A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)=f′(xB)D.不能确定 解析:选 B.由图可知,曲线在点 A 处的切线的斜率比曲线在点 B 处的切线的斜率小, 结合导数的几何意义知 f′(xA)<f′(xB),选 B. 1 4.曲线 y= 在点 P(1,1)处的切线的方程为________.答案:x+y-2=0 x

曲线在某点处的切线方程 1 1 3, ?处的切线方程. 求曲线 y= 在点 M? ? 3? x

【解】 因为 y′= lim

? 1 -1? ?x+Δx x?
Δx

Δx→0

= lim

Δx→0

-1 -1 = 2, x +xΔx x
2

1? 1 1 所以曲线 y= 在点 M? ?3,3?处的切线斜率为-9, x

1? 1 1 所以曲线在点 M? ?3,3?处的切线方程为 y-3=-9(x-3),即 x+9y-6=0.

(1)求曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程的步骤 ①求出点 P 的坐标(x0,f(x0)). ②求出函数在 x0 处的变化率 f′(x0),从而得到曲线在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率. ③利用点斜式写出切线方程. (2)求曲线过点 P 的切线,点 P 不一定是切点,也不一定在曲线上,即使点 P 在曲线上 也不一定是切点. 1 1.(2017· 青岛高二检测)若函数 f(x)=x- ,则它与 x 轴交点处的切线的方 x 程为________. 1 解析:由 f(x)=x- =0 得 x=± 1,即与 x 轴交点坐标为(1,0)或(-1,0). x 1 1 (x+Δx)- -x+ x x+Δx 1 1 因为 f′(x)= lim = lim ?1+x(x+Δx)?=1+ 2, x ? Δx Δx→0 Δx→0 ? 1 所以切线的斜率 k=1+ =2,所以切线的方程为 y=2(x-1)或 y=2(x+1). 1 即 2x-y-2=0 或 2x-y+2=0.答案:2x-y-2=0 或 2x-y+2=0 2.试求过点 P(1,-3)且与曲线 y=x2 相切的直线的斜率以及切线方程.
2 解:设切点坐标为(x0,y0),则有 y0=x0 .因 y′= lim Δx→0

Δy (x+Δx)2-x2 = lim =2x. Δx Δx→0 Δx

所以 k=y′| x=x0 =2x0.因切线方程为 y-y0=2x0(x-x0),
2 2 将点(1,-3)代入,得-3-x0 =2x0-2x2 0,所以 x0-2x0-3=0,所以 x0=-1 或 x0=3.

当 x0=-1 时,k=-2;当 x0=3 时,k=6.所以所求直线的斜率为-2 或 6. 当 x0=-1 时,y0=1,切线方程为 y-1=-2(x+1),即 2x+y+1=0; 当 x0=3 时,y0=9,切线方程为 y-9=6(x-3),即 6x-y-9=0. 利用导数的几何意义求切点坐标[学生用书 P5] 已知曲线 f(x)=x2+6 在点 P 处的切线平行于直线 4x-y-3=0, 求点 P 的坐标. 【解】 设切点 P 坐标为(x0,y0). f′(x)= lim
Δx→0

f(x+Δx)-f(x) (x+Δx)2+6-(x2+6) = lim = lim (2x+Δx) Δx Δx Δx→0 Δx→0

=2x.所以点 P 在(x0,y0)处的切线的斜率为 2x0.因为切线与直线 4x-y-3=0 平行,
2 所以 2x0=4,x0=2,y0=x0 +6=10,即切点为(2,10).

若本例中的“平行于直线 4x-y-3=0”变为“垂直于直线 2x-y+5=

0”,其他条件不变,求点 P 的坐标. 解:由本例解析知,点 P(x0,y0)处的切线的斜率为 2x0.因为切线与直线 2x-y+5=0 垂 1 97? 1 97 直,所以 2x0?2=-1,得 x0=- ,y0= ,即切点为? ?-4,16?. 4 16

求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤 (1)先设切点坐标(x0,y0); (2)求导函数 f′(x); (3)求切线的斜率 f′(x0); (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程,解方程求 x0; (5)点(x0,y0)在曲线 f(x)上,将(x0,y0)代入求 y0 得切点坐标. x2 1 1.已知曲线 y= 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2 A.1 C.3 解析:选 A.因为 y′= lim
Δx→0

)

B.2 D.4 Δy 1 1 = x= ,所以 x=1,所以切点的横坐标为 1. Δx 2 2

1 2.已知曲线 f(x)=- 2在点 P 处的切线平行于直线 2x+y-1=0,求切点 P 的坐标. x 解 : 设 切 点 P 为 (x0 , y0) , 则 k = f′(x0) = lim
2

Δx→0

f(x0+Δx)-f(x0) = lim Δx Δx→0

(x0+Δx) 1 1 - + 2 (x0+Δx)2 x0 x2 2x0+Δx 2 0(x0+Δx) = lim = lim 2 2= 3. x0 Δx Δx Δx→0 Δx→0 x0(x0+Δx) 2 因为切线平行于直线 2x+y-1=0,所以切线斜率为-2.所以 3=-2. x0 所以 x0=-1.所以 f(x0)=f(-1)=-1.所以切点 P 的坐标为(-1,-1). 导数几何意义的综合应用[学生用书 P6] 设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x +y=6 平行.求 a 的值. 【解】 因为Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)3+a(x+Δx)2-9(x+Δx)-1-(x3+ax2-9x -1)=(3x2+2ax-9)Δx+(3x+a)(Δx)2+(Δx)3, Δy Δy 所以 =3x2+2ax-9+(3x+a)Δx+(Δx)2,所以 f′(x)= lim =3x2+2ax-9 Δx Δx→0 Δx a 2 a2 a2 a2 x+ ? -9- ≥-9- .由题意知 f′(x)的最小值是-12,所以-9- =-12, =3? ? 3? 3 3 3 即 a2=9,因为 a<0,所以 a=-3.

-x2 0 2

导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导, 利用题目所提供的诸如 直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题,此处常与函数、方程、不等式等知识 相结合. 若抛物线 y=4x2 上的点 P 到直线 y=4x-9 的距离最短,求点 P 的坐标. 解:由点 P 到直线 y=4x-9 的距离最短知过点 P 的切线与直线 y=4x-9 平行. Δy 4(x+Δx)2-4x2 设 P(x0,y0),y′= lim = lim = lim (8x+4Δx)=8x, Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx→0 1 所以点 P 处的切线斜率为 8x0,8x0=4,且 y0=4x2 0,得 x0= ,y0=1, 2 1 ? 所以点 P 的坐标为? ?2,1?.

1.曲线上某点处的导数与切线的关系 (1)函数 f(x)在 x0 处有导数,则在该点处函数 f(x)表示的曲线必有切线,且导数值是该切 线的斜率. (2)函数 f(x)表示的曲线在点(x0, f(x0))处有切线, 但函数 f(x)在该点处不一定可导, 如 f(x) = x在 x=0 处有切线,但不可导. 2. “函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)”“导函数 f′(x)” “导数”之间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f′(x0),就是在该点处函数值的改变量与自变量的改变量之比的 极限值,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数是对某一区间内任意点 x 而言的,就是函数 f(x)的导函数 f′(x). (3)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值,即 f′(x0)=y′|x=x0. 这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一. 3. (易误防范)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异. 过 点 P 的切线,点 P 不一定是切点,也不一定在曲线上,即使点 P 在曲线上也不一定是切点; 在点 P 处的切线,点 P 必为切点,且在曲线上.
3

1.曲线 y=-2x2+1 在点(0,1)处的切线的斜率是( A.-4 C.4 B.0 D.-2

)

Δy Δy 解析:选 B.因为Δy=-2(Δx)2,所以 =-2Δx, lim = lim (-2Δx)=0,由导 Δx Δx→0 Δx Δx→0 数的几何意义知切线的斜率为 0. 2.设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a 等于( )

A.1 1 C.- 2 解析:选 A.因为 y′|x=1= lim

1 B. 2 D.-1 a(1+Δx)2-a?12 2aΔx+a(Δx)2 = lim = lim (2a Δx Δx Δx→0 Δx→0

Δx→0

+aΔx)=2a,所以 2a=2,所以 a=1. 3.曲线 y=x2-3x 的一条切线的斜率为 1,则切点坐标为________. 解析:设 f(x)=y=x2-3x,切点坐标为(x0,y0), f′(x0)= lim = lim
Δx→0

(x0+Δx)2-3(x0+Δx)-x2 0+3x0 Δx

Δx→0

2x0Δx-3Δx+(Δx)2 =2x0-3=1,故 x0=2,y0=x2 0-3x0=4-6=-2, Δx

故切点坐标为(2,-2).答案:(2,-2) 4. 已知抛物线 y=f(x)=x2+3 与直线 y=2x+2 相交, 求它们交点处抛物线的切线方程.
?y=x2+3, ? 解:由方程组? 得 x2-2x+1=0,解得 x=1,y=4,所以交点坐标为(1,4), ? y = 2 x + 2 , ?



(Δx+1)2+3-(12+3) =Δx+2.当Δx 趋于 0 时Δx+2 趋于 2. Δx

所以在点(1,4)处的切线斜率 k=2.所以切线方程为 y-4=2(x-1),即 y=2x+2.

, [A 基础达标] 1 3 1.(2017· 信阳高级中学月考)已知曲线 y= x2-2 上一点 P(1,- ),则在点 P 处的切线 2 2 的倾斜角为( A.30° C.135° 解 析 : 选 B. 曲 线 y = ) B.45° D.165° 1 2 x - 2 在 点 P 处 的 切 线 斜 率 为 k = lim 2 Δx→0

1 1 (1+Δx)2-2-( ?12-2) 2 2 1 = lim (1+ Δx)=1, 2 Δx Δx→0 所以在点 P 处的切线的倾斜角为 45°.故选 B. π 2.(2017· 太原高二检测)下列各点中,在曲线 y=x2 上,且在该点处的切线倾斜角为 的 4 是( ) A.(0,0) B.(2,4)

1 1? C.? ?4,16? 解析:选 D.设切点为(x0,y0),则 y′|x=x0= lim 1 1 所以 x0= ,y0= . 2 4
Δx→0

1 1? D.? ?2,4? (x0+Δx)2-x2 π 0 =2x0=tan =1, 4 Δx

3.若曲线 f(x)=x2 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A.4x-y-4=0 C.4x-y+3=0 解析:选 A.设切点为(x0,y0),因为 f′(x)= lim
Δx→0

)

B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0 (x+Δx)2-x2 = lim (2x+Δx)=2x. Δx Δx→0

由题意可知,切线斜率 k=4,即 f′(x0)=2x0=4, 所以 x0=2.所以切点坐标为(2,4),切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0,故选 A. 4.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1 B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 )

解析:选 A.因为点(0,b)在直线 x-y+1=0 上,所以 b=1. (x+Δx)2+a(x+Δx)+1-x2-ax-1 又 y′= lim =2x+a,所以过点(0,b)的切线 Δx Δx→0 的斜率为 y′|x=0=a=1. 5. 如图, 函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8, 则 f(5)+f′(5)等于( )

A.2 C.4

B.3 D.5

解析:选 A.易得切点 P(5,3),所以 f(5)=3,k=-1,即 f′(5)=-1. 所以 f(5)+f′(5)=3-1=2. 6.已知函数 y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线 3x-y-2=0 平行,则 y′|x=2=________. 解析:因为直线 3x-y-2=0 的斜率为 3,所以由导数的几何意义可知 y′|x=2=3. 答案:3 b 7.已知函数 y=ax2+b 在点(1,3)处的切线斜率为 2,则 =________. a a(1+Δx)2+b-a-b 解析:lim = lim (a· Δx+2a)=2a=2, 所以 a=1, 又 3=a?12+b, Δx Δx→0 Δx→0

b 所以 b=2,即 =2.答案:2 a 1 8.已知曲线 y=f(x)= x,y=g(x)= 过两曲线交点作两条曲线的切线,则曲线 f(x)在交 x 点处的切线方程为________.

? ?x=1, ?y= x, ? 解析:由? 1 得? 所以两曲线的交点坐标为(1,1).由 f(x)= x, ?y=1, y= ? ? ? x
得 f′(x)= lim
Δx→0

1+Δx-1 = lim Δx Δx→0

1 1 = , 1+Δx+1 2

1 所以 y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y-1= (x-1).即 x-2y+1=0. 2 答案:x-2y+1=0 9.求曲线 y=x2-2x 上点 P(a,0)处的切线方程. 解:由 P 在曲线上可得 a2-2a=0,解得 a=0 或 a=2.由导数的定义得 y′= lim
Δx→0

Δy (x+Δx)2-2(x+Δx)-(x2-2x) = lim Δx Δx→0 Δx

2Δx〃x+(Δx)2-2Δx = lim = lim (2x+Δx-2)=2x-2. Δx Δx→0 Δx→0 所以 y′|x=0=2?0-2=-2,y′|x=2=2?2-2=2. 故在点 P1(0,0)处的切线方程为 y-0=-2(x-0),即 y=-2x. 在点 P2(2,0)处的切线方程为 y-0=2(x-2),即 y=2x-4. 10.已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线, 且 l1⊥l2.求直线 l2 的方程. 解:因为 y′= lim 所以 y′|x=1=3, 所以直线 l1 的方程为 y=3(x-1), 即 y=3x-3, 设直线 l2 过曲线 y=x2+x-2 上的点 P(x0,
2 x2 0+x0-2),则直线 l2 的方程为 y-(x0+x0-2)=(2x0+1)(x-x0). Δx→0

Δy (x+Δx)2+(x+Δx)-2-(x2+x-2) = lim =2x+1, Δx Δx→0 Δx

2 1 22 因为 l1⊥l2,所以 3(2x0+1)=-1,x0=- ,所以直线 l2 的方程为 y=- x- . 3 3 9 [B 能力提升] )

1 11.曲线 y=x+ 上任意一点 P 处的切线斜率为 k,则 k 的取值范围是( x A.(-∞,-1) C.(-∞,1) B.(-1,1) D.(1,+∞)

1 解析:选 C.y=x+ 上任意一点 P(x0,y0)处的切线斜率为 k=y′|x=x0 x

1 1 (x0+Δx)+ -?x + ? x0+Δx ? 0 x0? 1 1 = lim = lim ?1-x2+x Δx?=1- 2<1. x0 ? Δx Δx→0 Δx→0 ? 0 0 即 k<1. 12. 设 f(x)存在导函数, 且满足 lim f(1))处的切线斜率为( A.2 C.1 解析:选 B. lim =f′(x)=-1. 13.已知直线 l:y=4x+a 与曲线 C:y=x3-2x2+3 相切,求 a 的值及切点坐标. 解:设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0,y0), 因为 f′(x)= lim = lim
Δx→0 Δx→0 Δx→0

f(1)-f(1-2Δ x) =-1, 则曲线 y=f(x)上点(1, 2Δ x

) B.-1 D.-2 f(1)-f(1-2Δx) f(1-2Δx)-f(1) = lim 2Δx -2Δx Δx→0

f(x+Δx)-f(x) Δx

Δx→0

(x+Δx)3-2(x+Δx)2+3-(x3-2x2+3) =3x2-4x, Δx

2 由题意可知 k=4,即 3x2 0-4x0=4,解得 x0=- 或 x0=2, 3 2 49 所以切点的坐标为(- , )或(2,3). 3 27 2 49 49 2 121 当切点为(- , )时,有 =4?(- )+a,a= . 3 27 27 3 27 当切点为(2,3)时,有 3=4?2+a,a=-5. 121 2 49 所以当 a= 时,切点为(- , );当 a=-5 时,切点为(2,3). 27 3 27 14.(选做题)已知函数 f(x)=x3. (1)求函数 f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程; 2 (2)若函数 f(x)的图象为曲线 C,过点 P( ,0)作曲线 C 的切线,求切线的方程. 3 解:(1)由导函数的概念,得 f′(x)= lim = lim
Δx→0

f(x+Δx)-f(x) (x+Δx)3-x3 = lim Δx Δx Δx→0

Δx→0

x3+3x· Δx(x+Δx)+(Δx)3-x3 3x· Δx(x+Δx)+(Δx)3 = lim Δx Δx Δx→0

=[3x(x+Δx)+(Δx)2]=3x2, f′(1)=3,所以函数 f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程为 y-1=3(x-1),即 y=3x-2.
2 (2)设切点为 Q(x0,x3 0),则由第一问得切线的斜率为 k=f′(x0)=3x0,

2 2 2 3 切线方程为 y-x3 0=3x0(x-x0),即 y=3x0x-2x0.因为切线过点 P( ,0), 3
2 所以 2x0 -2x3 0=0,解得 x0=0 或 x0=1,从而切线方程为 y=0 或 y=3x-2.

1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 1 1.能根据定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y=x2,y= ,y= x的导数. x 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

1.几个常用函数的导数

函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=x f(x)=x2 f(x)= 1 x

导数 f′(x)=0 f′(x)=1 f′(x)=2x f′(x)=- 1 x2

f(x)= x 2.基本初等函数的导数公式 函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x

1 f′(x)= 2 x

导数 f′(x)=0 f′(x)=αxα
-1

f′(x)=cos__x f′(x)=-sin__x

f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x

f′(x)=axln__a f′(x)=ex 1 f′(x)= xln a 1 f′(x)= x

1.判断(正确的打“√”,错误的打“?”) π? π (1)? ?sin3?′=cos3.( ) ) )

1? 1 (2)因为(ln x)′= ,所以? ?x?′=ln x.( x (3)若 f′(x)=sin x,则 f(x)=cos x.( 答案:(1)? (2)?
n

(3)? )

2.曲线 y=x 在 x=2 处的导数为 12,则 n 等于( A.1 C.3 答案:C 3.函数 f(x)=x3 的斜率等于 1 的切线有( A.1 条 C.3 条 答案:B ) B.2 D.4

B.2 条 D.不确定

π? 3 4.已知 f(x)=cos x,则 f′? ?3?=________.答案:- 2

运用导数公式求导数[学生用书 P7] 求下列函数的导数. (1)y=2 017;(2)y= 1
3 2

;(3)y=3x;(4)y=log3x.

x

【解】 (1)因为 y=2 017,所以 y′=(2 017)′=0. 2 -3- 2 -3 (2)因为 y= =x ,所以 y′=- x 1=- x . 3 3 3 2 x 1 (3)因为 y=3x,所以 y′=3xln 3. (4)因为 y=log3x,所以 y′= 1 . xln 3
2 -3 2 5

用公式求函数导数的方法 (1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解. (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进 行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导.

3 1 5 - 如 y= 4可以写成 y=x 4, y= x3可以写成 y=x5等, 这样就可以直接使用幂函数的求导 x

公式求导,以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. 1 1.已知函数 f(x)= 3,则 f′(-3)=( x A.81 C.-243 )

B.243 1 D.- 27

3 - - 解析:选 D.因为 f(x)=x 3,所以 f′(x)=-3x 4=- 4, x 3 1 所以 f′(-3)=- =- . 27 (-3)4 1 2.已知 f(x)=ln x 且 f′(x0)= 2,则 x0=________. x0 1 1 1 解析:因为 f(x)=ln x(x>0),所以 f′(x)= ,所以 f′(x0)= = 2,所以 x0=1.答案:1 x x0 x0 3.求下列函数的导数. 1 (1)y= 1;(2)y=2 017x;(3)y=ln 3;(4)y=x x3. x2 解:由求导公式得
1 1 1- 1 3 1 (1)y′=(x-2)′=- x-2 1=- x-2=- 3. 2 2 2x2

(2)y′=2 017xln 2 017. (3)y′=(ln 3)′=0. (4)因为 y=x x3,
5 5 5 5- 5 3 5x x 所以 y=x2,所以 y′= x2 ′= x2 1= x2= . 2 2 2

()

利用导数公式求曲线的切线方程 π 1? (1)求过曲线 y=sin x 上一点 P? ?6,2?且与过这点的切线垂直的直线方程. (2)已知点 P(-1,1),点 Q(2,4)是曲线 y=x2 上的两点,求与直线 PQ 平行的曲线 y= x2 的切线方程. π 1? 【解】 (1)因为 y=sin x,所以 y′=cos x,曲线在点 P? ?6,2?处的切线斜率是 π 3 2 y′|x=π=cos = .所以过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为- , 6 2 3 6 π 1 2 x- ?, 故所求的直线方程为 y- =- ? 6? ? 2 3

即 2x+ 3y-

3 π - =0. 2 3

(2)因为 y′=(x2)′=2x,设切点为 M(x0,y0),则 y′|x=x0=2x0, 又因为直线 PQ 的斜率为 k= 4-1 =1,而切线平行于直线 PQ, 2+1

1 1? 1 所以 k=2x0=1,即 x0= ,所以切点为 M? ?2,4?. 2 1 1 所以所求的切线方程为 y- =x- ,即 4x-4y-1=0. 4 2 在本例(2)中是否存在与直线 PQ 垂直的切线,若有,求出切线方程,若 没有,说明理由. 4-1 解:假设存在与直线 PQ 垂直的切线,因为 PQ 的斜率为 k= =1, 2+1 所以与 PQ 垂直的切线斜率 k=-1,设切点为(x′0,y′0),则 y′|x=x′0=2x′0, 1? 1 1 1 令 2x′0=-1,则 x′0=- ,y′0= ,切线方程为 y- =-? ?x+2?,即 4x+4y+1=0. 2 4 4

(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. ②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. (2)求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤

π 1? 1.(2017· 辽宁抚顺高二质检)曲线 y=cos x 在点 P? ?3,2?处的切线与 y 轴交 点的纵坐标是( 1 3π A. - 2 9 1 3π C. + 2 6 ) 1 3π B. + 2 9 1 3π D. - 2 6

π 1? π 3 解析: 选 C.因为 y′=-sin x, 切点为 P? 所以切线的斜率 k=y′|x=π=-sin =- , ?3,2?, 3 2 3 π 1 3 1 3π x- ?,令 x=0,得 y= + 所以切线方程为 y- =- ? ,故选 C. 2 2 ? 3? 2 6 2.已知曲线 y=ln x 的一条切线方程为 x-y+c=0,求 c 的值. 1 解:设切点为(x0,ln x0),由 y=ln x 得 y′= . x

1 因为曲线 y=ln x 在 x=x0 处的切线为 x-y+c=0,其斜率为 1.所以 y′|x=x0= =1, x0 即 x0=1,所以切点为(1,0).所以 1-0+c=0,所以 c=-1.

关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)幂函数 f(x)=xα 中的 α 可以由 Q*推广到任意实数. (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反” . (3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数. (4)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的倒数. [注意] 遇到含有根式的函数求导数一般先化为幂函数的形式再求导.

1.下列函数中,导函数是奇函数的是( A.y=sin x C.y=ln x

) B.y=ex 1 D.y=cos x- 2

1 解析:选 D.y=cos x- ,y′=-sin x 为奇函数,故选 D. 2 1 1 2.曲线 y= x2 在点(1, )处的切线的倾斜角为( 2 2 π A.- 4 π C. 4 B.1 3 D. π 4 )

π 解析:选 C.y′=x,所以切线的斜率 k=tan α=1,所以 α= . 4 1 1 3.已知 f(x)= ,g(x)=mx,且 g′(2)= ,则 m=________. x f′(2) 1 1 解析:f′(x)=- 2,g′(x)=m.因为 g′(2)= ,所以 m=-4.答案:-4 x f′(2) 1 4.在曲线 y= 2上求一点 P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135°. x 解:设 P 点坐标为(x0,y0),因为 y′=-2x 3,


所以 y′|x=x0=-2x0 3=tan 135°=-1,即 2x0 3=1,
- -

所以 x0= 2.将 x0= 2代入曲线方程得 y0=

3

3

3

2 , 2

? ? 所以所求 P 点坐标为? 3 2, 2?. 2? ?
3

[A 基础达标] 1.已知函数 f(x)=x3,若 f′(x0)=6,则 x0=( A. 2 C.± 2 ) B.- 2 D.±1

解析:选 C.因为 f′(x)=3x2,所以 f′(x0)=3x2 0=6,解得 x0=± 2. 2.下列结论中不正确的是( A.若 y=0,则 y′=0 B.若 y=5x,则 y′=5 C.若 y=x 1,则 y′=-x
- -2

)

1 1 1 D.若 y=x2,则 y′= x2 2 1 1 1 1 解析:选 D.当 y=x2时,y′=(x2)′= x-2. 2

3.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( 9 A. e2 4 C.e2 B.2e2 e2 D. 2

)

解析:选 D.因为 y′=ex,所以切线的斜率 k=e2, 所以切线方程为 y=e2x-e2,它与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-e2),(1,0), e2 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 2 1 4.过曲线 y= 上一点 P 的切线的斜率为-4,则 P 的坐标为( x 1 ? ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?1 ? A.? ?2,2?B.?2,2?或?-2,-2?C.?-2,-2?D.?2,-2? 1 1 1 解析:选 B.因为 y′=- 2,令- 2=-4,得 x=± , x x 2 1 ? ? 1 ? P 的坐标为? ?2,2?或?-2,-2?,故选 B. 5. 设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1, 1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn, 则 x1? x2? ?? xn


)

的值为( 1 A. n n C. n+1

) 1 B. n+1 D.1

n-1 n 1 2 3 n 1 解析:选 B.由题意得 xn= ,则 x1?x2??〃xn= ? ? ??? ? = , 2 3 4 n n+1 n+1 n+1 故选 B.

1 6.质点的运动方程是 s= 4(其中 s 的单位是 m,t 的单位是 s).则质点在 t=3 s 时的速 t 度是________. 1 4 - - 解析: 因为 s=t 4, 所以 s′=-4t 5, 所以质点在 t=3 s 时的速度是(-4)? 5=- (m/s). 3 243 4 答案:- m/s 243 1 7.设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直,则点 P 的 x 坐标为________. 1 1 解析:设 f(x)=ex,则 f′(x)=ex,所以 f′(0)=1.设 g(x)= (x>0),则 g′(x)=- 2.由题意可 x x 得 g′(xP)=-1,解得 xP=1.所以 P(1,1).答案:(1,1) 8. 设 f0(x)=sin x, f1(x)=f′0(x), f2(x)=f′1(x), ?, fn+1(x)=f′n(x), n∈N, 则 f2 017(x)=________. 解析:由已知 f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,? 依次类推可得,f2 017(x)=f1(x)=cos x. 答案:cos x 9.已知 P、Q 两点为抛物线 x2=2y 上两点,点 P、Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P、 Q 两点分别作抛物线的切线,两切线相交于点 A,求 A 点的坐标. 解:因为点 P、Q 的横坐标分别为 4,-2,且点 P、Q 都在抛物线上,所以可得 P(4, 8),Q(-2,2);因为 y′=x,所以 kPA=4,kQA=-2,联立直线 PA、QA 的直线方程,
? ? ?y-8=4(x-4), ?x=1, 得? 解得? 即点 A 的坐标为(1,-4). ?y-2=-2(x+2), ?y=-4, ? ?

10.求与曲线 y=f(x)= x2在点 P(8,4)处的切线垂直,且过点(4,8)的直线方程.
1 2 2 1 2 1 3 3 解: 因为 y= x2, 所以 y′=( x2)′= x3 ′= x-3.所以 f′(8)= ?8-3= , 即曲线在点 P(8, 3 3 3

3

()

1 4)处的切线的斜率为 .所以适合条件的直线的斜率为-3.从而适合条件的直线方程为 y-8= 3 -3(x-4),即 3x+y-20=0. [B 能力提升] )

11.曲线 y=ln x 在点 M 处的切线过原点,则该切线的斜率为( A.1 C.-1 B.e 1 D. e

1 1 解析:选 D.设 M(x0,ln x0),由 y=ln x 得 y′= ,所以切线斜率 k=y′|x=x0= , x x0 1 1 所以切线方程为 y-ln x0= (x-x0).由题意得 0-ln x0= (0-x0)=-1, x0 x0

1 1 即 ln x0=1,所以 x0=e.所以 k= = .故选 D. x0 e 12.若曲线 y=x-2在点(a,a-2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a =________.
1 1 3 解析:因为 y=x-2,所以 y′=- x-2, 2 1 1 3 所以曲线在点(a,a-2)处的切线斜率 k=- a-2, 2 1 1 3 3 1 所以切线方程为 y-a-2=- a-2 (x-a).令 x=0 得 y= a-2;令 y=0 得 x=3a. 2 2 1 1

1 3 1 9 1 因为该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S= · 3a· a-2= a2=18,所以 a=64. 2 2 4 答案:64 13.过原点作曲线 y=ex 的切线,求切点的坐标及切线的斜率. 解:因为(ex)′=ex,设切点坐标为(x0,ex0),则过该切点的直线的斜率为 ex0, 所以所求切线的方程为 y-e x0=e x0 (x-x0).因为切线过原点, 所以-e x0=-x0?e x0,x0=1.所以切点为(1,e),斜率为 e. 14.(选做题)已知两条曲线 y1=sin x,y2=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点, 使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由. 解:不存在.由于 y1=sin x,y2=cos x,设两条曲线的一个公共点为 P(x0,y0),所以两 条曲线在 P(x0,y0)处的斜率分别为 k1=y′1|x=x0=cos x0,k2=y′2| x=x0=-sin x0. 若使两条切线互相垂直,必须使 cos x0?(-sin x0)=-1,即 sin x0?cos x0=1,也就是 sin 2x0=2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂 直. 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.能够综合运用导数公式和导数运 算法则求函数的导数. 3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.

1.导数的运算法则 设两个函数分别为 f(x)和 g(x) 两个函数的和的导数 两个函数的差的导数 [f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x) [f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x)

两个函数的积的导数

[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)· g′(x)

两个函数的商的导数

? f(x) ?′=f′(x)g(x)-f(x)g′(x) ?g(x)? [g(x)]2 ? ?
(g(x)≠0)

2.复合函数 一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 u,y 可以表示 复合函数的概念 成 x 的函数,那么称这个函数为函数 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数,记作 y=f(g(x)) 复合函数的求导 法则 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y′x =y′u?u′x,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积

1.判断(正确的打“√”,错误的打“?”) π ex+cos ?′=ex.( (1)? 4? ? ) ) )

(2)函数 f(x)=sin(-x)的导数为 f′(x)=cos x.( (3)y=cos 3x 由函数 y=cos u,u=3x 复合而成.( 1 g′(x) (4)当 g(x)≠0 时,?g(x)?′=- 2 .( ? ? g (x) 答案:(1)√ (2)? (3)√ (4)√ )

π? π 2.设 f(x)=sin x-cos x,则 f(x)在 x= 处的导数 f′? ?4?=( 4 A. 2 C.0 答案:A 1 3.已知 f(x)= ,则 f′(x)等于( 1+x 1 A. 1+x 1 C. (1+x)2 答案:D 4.函数 y=xln x 的导数为________.答案:ln x+1 ) B.- 1 1+x B.- 2 D. 2 2

)

1 D.- (1+x)2

利用导数运算法则求导数 求下列函数的导数.

(1)y=3x2+xcos x; 1 (2)y=lg x- 2; x (3)y=(x2+3)(ex+ln x); (4)y=x2+tan x; ex (5)y= . x+1 【解】 (1)y′=6x+cos x+x(cos x)′=6x+cos x-xsin x. (2)y′=(lg x)′-(x 2)′=


1 2 + . xln 10 x3

1? x (3)y′=(x2+3)′(ex+ln x)+(x2+3)(ex+ln x)′=2x(ex+ln x)+(x2+3)? ?e + x ? 3 =ex(x2+2x+3)+2xln x+x+ . x sin x ? cos2x-sin x(-sin x) sin x (4)因为 y=x2+ ,所以 y′=(x2)′+? ′ = 2 x + ?cos x? cos x cos2x =2x+ (5)y′= 1 . cos2x

(ex)′(x+1)-(x+1)′ex ex(x+1)-ex xex = = . 2 2 (x+1) (x+1) (x+1)2

求函数的导数的策略 (1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数. (2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. 1 1.已知函数 f(x)=cos x- (x∈R,x≠0),则 f′(1)的值为( x A.-1-sin 1 C.-1+sin 1 B.1+sin 1 D.1-sin 1 )

1 1 解析:选 D.因为 f(x)=cos x- ,所以 f′(x)=-sin x+ 2,所以 f′(1)=-sin 1+1. x x 1 2.若函数 f(x)= f′(-1)x2-2x+3,则 f′(-1)的值为( 2 A.0 C.1 B.-1 D.2 )

1 解析:选 B.因为 f(x)= f′(-1)x2-2x+3,所以 f′(x)=f′(-1)x-2. 2 所以 f′(-1)=f′(-1)?(-1)-2,所以 f′(-1)=-1. 3.求下列函数的导数:

1 2 1 (1)y= x5+ x3;(2)y=lg x-ex;(3)y=ex(x4-3x2-5x+6);(4)y= · cos x. 5 3 x 1 5 2 3? 4 2 ?1 5? ?2 3? 解:(1)y′=? ?5x +3x ?′=?5x ?′+?3x ?′=x +2x . (2)y′=(lg x-ex)′=(lg x)′-(ex)′= 1 -ex. xln 10

(3)y′=(ex)′(x4-3x2-5x+6)+ex(x4-3x2-5x+6)′=ex(x4-3x2-5x+6)+ex(4x3-6x-5) =ex(x4+4x3-3x2-11x+1). (4)法一:y′=?
1 1 1 1 1 · cos x?′=? ?′cos x+ (cos x)′=(x-2)′cos x- sin x ? x ? ? x? x x

cos x+2xsin x 1 3 1 cos x 1 cos x 1 =- x-2cos x- sin x=- - sin x=- - sin x=- . 2 x 2 x3 x 2x x x 2x x 法二:y′=? 1

? x

· cos x?′=?

?

?

cos x? (cos x)′ x-cos x( x)′ ′= x ? ( x)2

1 cos x 1 xsin x+ -sin x〃 x-cos x〃 〃x-2 2 2 x cos x+2xsin x = =- =- . x x 2x x

求复合函数的导数 求下列函数的导数. (1)y=(2x+3)2; (2)y=e
-2x



(3)y=sin(πx+φ)(其中 π,φ 均为常数). 【解】 (1)函数 y=(2x+3)2 可以看作函数 y=u2 和 u=2x+3 的复合函数.根据复合函 数求导法则有 y′x=y′u?u′x=(u2)′·(2x+3)′=4u=8x+12. (2)函数 y=e
-2x

可以看作函数 y=eu 和 u=-2x 的复合函数.根据复合函数求导法则有
-2x

y′x=y′u?u′x=(eu)′(-2x)′=-2eu=-2e

.

(3)函数 y=sin(πx+φ)可以看作函数 y=sin u 和 u=πx+φ 的复合函数,根据复合函数求 导法则有 y′x=y′u?u′x=(sin u)′·(πx+φ)′=πcos u=πcos(πx+φ).

求复合函数的导数的步骤

1.设函数 f(x)=(1-2x3)10,则 f′(1)等于( A.0 C.-1 B.60 D.-60

)

解析:选 B.f′(x)=10(1-2x3)9(-6x2)所以 f′(1)=10(1-2)9(-6)=60. 2.求下列函数的导数: (1)y=ln(6x+4); (2)y= 2x-1; (3)y=cos2x. 解:(1)y′= (2)y′= 1 3 · (6x+4)′= . 6x+4 3x+2

1 1 · (2x-1)′= . 2 2x-1 2x-1

(3)y′=2cos x〃(cos x)′=-2cos x〃sin x=-sin 2x. 与切线有关的综合问题 已知函数 f(x)=ax2+ln x 的导数为 f′(x). (1)求 f(1)+f′(1); (2)若曲线 y=f(x)存在垂直于 y 轴的切线,求实数 a 的取值范围. 【解】 (1)由题意,函数的定义域为(0,+∞),由 f(x)=ax2+ln x, 1 得 f′(x)=2ax+ ,所以 f(1)+f′(1)=3a+1. x (2)因为曲线 y=f(x)存在垂直于 y 轴的切线, 故此时切线斜率为 0, 问题转化为在 x∈(0, 1 1 +∞)内导函数 f′(x)=2ax+ 存在零点,即 f′(x)=0?2ax+ =0 有正实数解, x x 即 2ax2=-1 有正实数解,故有 a<0,所以实数 a 的取值范围是(-∞,0).

解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素 .其他的条件可以 进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做 到准确. (3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点. 1.曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程是____________. 3 解析:利用求导法则与求导公式可得 y′=(3ln x+1)+x· =3ln x+4. x 所以 k 切=y′|x=1=4,所以切线方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y-3=0. 答案:4x-y-3=0

2.(2017· 临沂高二检测)已知函数 f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数 f′(x)=2x-8. (1)求 a,b 的值; (2)设函数 g(x)=exsin x+f(x),求曲线 g(x)在 x=0 处的切线方程. 解:(1)因为 f(x)=ax2+bx+3(a≠0),所以 f′(x)=2ax+b,又知 f′(x)=2x-8, 所以 a=1,b=-8. (2)由第一问可知 g(x)=exsin x+x2-8x+3,所以 g′(x)=exsin x+excos x+2x-8, 所以 g′(0)=e0sin 0+e0cos 0+2?0-8=-7,又知 g(0)=3, 所以 g(x)在 x=0 处的切线方程为 y-3=-7(x-0).即 7x+y-3=0.

1.对导数运算法则的理解 (1)导数的加(减)法法则推广:即[u(x)± v(x)± ?± w(x)]′=u′(x)± v′(x)± ?± w′(x). (2)函数积的求导法则特例: 当 g(x)=c 时, [cf(x)]′=cf′(x)(c 为常数); [af(x)+bg(x)]′=af′(x) +bg′(x)(a,b 为常数).

? f(x) ?′≠ f′(x) , ? f(x) ?′=? 1 ?′=- g′(x) . (3)函数商的导数: ?g(x)? g′(x) 当 f(x)=1 时, ?g(x)? ?g(x)? [g(x)]2 ? ? ? ?
(4)复合函数的求导:只研究 y=f(ax+b)型的复合函数的求导. 2.导数的求法 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则 的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先,在化简时,要注意化简的等价 性,避免不必要的运算失误;其次,利用导数公式求函数的导数时,一定要将函数化为基本 初等函数中的某一个,再套用公式求导数. 3.(易误防范)复合函数求导时,一定要注意求导是从外层到内层,层层求导的法则来 进行的. 同时要注意导数的运算法则, 计算时首先观察函数的形式, 对其化简, 然后再求导, 这样可以减少运算量,提高运算速度,避免差错.

1 - 1.函数 y= (ex+e x)的导数是( 2 1 - A. (ex-e x) 2 C.ex-e
-x

) 1 - B. (ex+e x) 2 D.ex+e
-x

1 x -x ? 1 x -x 解析:选 A.y′=? ?2(e +e )?′=2(e -e ). 2.(2017· 朔州高二检测)函数 f(x)=2x2-ln x 在 x=1 处的切线方程是( A.y=4x-5 C.y=3x-2 B.y=3x-1 D.y=4x-2 )

1 解析:选 B.由题意,得 f′(x)=4x- .因为 f(1)=2,f′(1)=4?1-1=3, x 所以切线方程为 y-2=3(x-1),即 y=3x-1. x2 3.函数 y= 的导数为________. x+3 x (x )′(x+3)-x (x+3)′ 2x(x+3)-x x +6x 解析:y′=?x+3?′= = = . ? ? (x+3)2 (x+3)2 (x+3)2 x2+6x 答案: (x+3)2 ex 4.已知 f(x)= ,若 f′(x0)+f(x0)=0,求 x0 的值. x (ex)′x-ex·x′ ex(x-1) 解:因为 f′(x)= = (x≠0).所以由 f′(x0)+f(x0)=0,得 x2 x2 ex0(x0-1) ex0 1 + =0.解得 x0= . x2 x 2 0 0
2 2 2 2 2

[A 基础达标] 1.函数 y=(x+1)2(x-1)在 x=1 处的导数等于( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:选 D.y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)(x-1)+(x+1)2 =3x2+2x-1,所以 y′|x=1=4. 2.(2017· 吉林大学附中期末考试)已知函数 f(x)=sin x-cos x,且 f′(x)=2f(x),则 tan x =( ) A.-3 C.1 B.3 D.-1

解析:选 B.由 f(x)=sin x-cos x,可得 f′(x)=cos x+sin x. 又 f′(x)=2f(x),所以 cos x+sin x=2(sin x-cos x),整理得 3cos x=sin x, sin x 所以 tan x= =3.故选 B. cos x x2+a2 3.函数 y= (a>0)在 x=x0 处的导数为 0,那么 x0=( x A.a C.-a 解析:选 B.y′=? B.±a D.a2 2x· x-(x2+a2) x2-a2 x2+a2? 2 ′= = 2 ,由 x2 a. 0-a =0,得 x0=± x2 x ? x ? ) )

x 4.(2017· 杭州二中期末考试)曲线 y= 在点(1,1)处的切线方程为( 2x-1

A.x-y-2=0 C.x+4y-5=0

B.x+y-2=0 D.x-4y-5=0

2x-1-2x 1 解析:选 B.y′= ,当 x=1 时,y′=-1, 2=- (2x-1) (2x-1)2 所以切线方程是 y-1=-(x-1),整理得 x+y-2=0,故选 B. 5.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2exf′(1)+3ln x,则 f′(1)=( A.-3 2 C. 1-2e B.2e 3 D. 1-2e )

3 解析:选 D.因为 f′(1)为常数,所以 f′(x)=2exf′(1)+ ,所以 f′(1)=2ef′(1)+3, x 所以 f′(1)= 3 . 1-2e

6.f(x)=(2x+a)2,且 f′(2)=20,则 a=________.解析:因为 f′(x)=8x+4a, f′(2)=20,即 16+4a=20.所以 a=1.答案:1 7.若 f(x)=log3(2x-1),则 f′(2)=________.解析:因为 f′(x)=[log3(2x-1)] ′= 1 2 2 2 (2x-1)′= ,所以 f′(2)= .答案: 3ln 3 3ln 3 (2x-1)ln 3 (2x-1)ln 3 8.已知函数 f(x)=ax4+bx2+c,若 f′(1)=2,则 f′(-1)=________. 解析: 法一: 由 f(x)=ax4+bx2+c, 得 f′(x)=4ax3+2bx.因为 f′(1)=2, 所以 4a+2b=2, 即 2a+b=1.则 f′(-1)=-4a-2b=-2(2a+b)=-2. 法二:因为 f(x)是偶函数,所以 f′(x)是奇函数,所以 f′(-1)=-f′(1)=-2.答案:-2 9.求下列函数的导数: ex+1 (1)y=xsin2x;(2)y= x ; e -1 x+cos x (3)y= ;(4)y=cos x?sin 3x. x+sin x 解:(1)y′=(x)′sin2x+x(sin2x)′=sin2x+x· 2sin x〃(sin x)′=sin2x+xsin 2x. (2)y′= (3)y′= = = (ex+1)′(ex-1)-(ex+1)(ex-1)′ -2ex = x . x 2 (e -1) (e -1)2 (x+cos x)′(x+sin x)-(x+cos x)(x+sin x)′ (x+sin x)2

(1-sin x)(x+sin x)-(x+cos x)(1+cos x) (x+sin x)2 -xcos x-xsin x+sin x-cos x-1 . (x+sin x)2

(4)y′=(cos x〃sin 3x)′=(cos x)′sin 3x+cos x(sin 3x)′=-sin xsin 3x+3cos xcos 3x. 10.已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线 y=x-3 相

切,求实数 a、b、c 的值. 解:因为曲线 y=ax2+bx+c 过点 P(1,1),所以 a+b+c=1.①因为 y′=2ax+b, 所以 4a+b=1.②又因为曲线过点 Q(2,-1),所以 4a+2b+c=-1.③ 联立①②③,解得 a=3,b=-11,c=9. [B 能力提升] t-1 +2t2(位移单位:m,时间单位:s), t2

11.已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)= 则 t=3 s 时物体的瞬时速度为________. 解析:因为 s(t)=

t-1 t 1 1 1 +2t2= 2- 2+2t2= - 2+2t2, t2 t t t t

1 1 1 2 323 所以 s′(t)=- 2+2·3+4t,所以 v=s′|t=3=- + +12= , t t 9 27 27 323 323 即物体在 t=3 s 时的瞬时速度为 m/s.答案: m/s 27 27 12.已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= ________. 1 解析:因为 y=x+ln x,所以 y′=1+ ,y′|x=1=2. x 所以曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 因为 y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, 所以 a≠0(当 a=0 时曲线变为 y=2x+1 与已知直线平行).
?y=2x-1, ? 由? 消去 y,得 ax2+ax+2=0.由 Δ=a2-8a=0, 2 ? y = ax +( a + 2 ) x + 1 , ?

解得 a=8.答案:8 13.已知曲线 C:y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且直线 l 与曲线 C 相切于点(x0,y0)(x0 ≠0),求直线 l 的方程及切点坐标. y0 解:因为直线 l 过原点,所以直线 l 的斜率 k= (x0≠0),因为点(x0,y0)在曲线 C 上, x0 y0 2 2 2 所以 y0=x3 0-3x0+2x0,所以 =x0-3x0+2,又 y′=3x -6x+2,所以 k=y′|x=x0 x0 y0 y0 2 2 2 =3x2 0-6x0+2,又 k= ,所以 3x0-6x0+2= =x0-3x0+2,整理得 2x0-3x0=0, x0 x0 3 3 1 因为 x0≠0,所以 x0= ,此时,y0=- ,k=- , 2 8 4 1 3 3 所以直线 l 的方程为 y=- x,切点坐标为( ,- ). 4 2 8 14.(选做题)已知函数 f(x)=ex(cos x-sin x),将满足 f′(x)=0 的所有正数 x 从小到大排 成数列{xn},证明:数列{f(xn)}为等比数列.

证明:f′(x)=[ex(cos x-sin x)]′=ex(cos x-sin x)+ex(-sin x-cos x)=-2exsin x, 因为 f′(x)=0,即-2exsin x=0,又 x 为正数,解得 x=nπ,n 为正整数, 从而 xn=nπ,n=1,2,3,?.所以 f(xn)=enπ(cos nπ-sin nπ)=(-1)nenπ, f(xn+1)=(-1)n 1e(n
+ +1)π

f(xn+1) (-1)n 1e n 1 π ,则 = =-eπ. f(xn) (-1)nenπ
+ ( + )

所以数列{f(xn)}是首项为 f(x1)=-eπ,公比为 q=-eπ 的等比数列. 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.

1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a,b)内的函数 y=f(x) f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地,设函数 y=f(x),在区间(a,b)上 导数的绝对值 越大 越小 函数值变化 快 慢 函数的图象 比较“陡峭” (向上或向下) 比较“平缓” f(x)的单调性 单调递增 单调递减

1.判断(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0,则函数 f(x)在定义域上单调递增.( (2)函数 f(x)在某区间内单调递增,则一定有 f′(x)>0.( ) ) )

(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上的导数的绝对值越大.( 答案:(1)? (2)? (3)√ )

2.函数 f(x)=2x-sin x 在(-∞,+∞)上是( A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 答案:A 3.函数 f(x)=2x2-x 的单调递增区间是( )

1 1? ? 1 1? ? ? ? ? A.? ?4,+∞?B.?-∞,4?C.?-4,+∞?D.?-∞,-5? 答案:A 4.函数 f(x)=x-ex 的单调增区间为________,单调减区间为________. 答案:(-∞,0) (0,+∞)

利用导数研究函数的单调性 (1)已知 f′(x)是函数 y=f(x)的导函数, 若 y=f′(x)的图象如图所示, 则函数 y=f(x) 的图象可能是( )

1 (2)证明:f(x)=ex+ x在(0,+∞)上是增函数. e 【解】 (1)选 D.由导函数的图象可知,当 x<0 时,f′(x)>0,即函数 f(x)在(-∞,0)上 为增函数;当 0<x<2 时,f′(x)<0,即函数 f(x)在(0,2)上为减函数;当 x>2 时,f′(x)>0, 即函数 f(x)在(2,+∞)上为增函数.观察选项易知 D 正确. 1 - - (2)证明:因为 f(x)=ex+ x,所以 f′(x)=ex-e x=e x(e2x-1),当 x∈(0,+∞)时, e 由指数函数的性质知 e x>0,e2x>1,所以 f′(x)>0,


1 因此函数 f(x)=ex+ x在(0,+∞)上是增函数. e

利用导数研究函数单调性的方法 第一步:求定义域,对函数求导; 第二步:解导数等于 0 时的方程; 第三步: 导数大于 0 的区间与定义域求交集为增区间, 小于 0 的区间与定义域求交集为

减区间,即“正增负减”. 1.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( A.y=sin xB.y=xexC.y=x3-xD.y=ln x-x 解析:选 B.B 中,y′=(xex)′=ex+xex=ex(x+1)>0 在(0,+∞)上恒成立, 所以 y=xex 在(0,+∞)上为增函数.对于 A、C、D 都存在 x>0,使 y′<0 的情况. sin x ?π ? 2.证明函数 f(x)= 在?2,π?上单调递减. x 证明:因为 f′(x)= (sin x)′x-sin x(x)′ xcos x-sin x π ? = .由于 x∈? ?2,π?,所以 cos x<0, x2 x2 )

π ? sin x>0.因此 xcos x-sin x<0,故 f′(x)<0,所以 f(x)在? ?2,π?上单调递减. 利用导数求函数的单调区间 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=x3-2x2+x; (2)f(x)=3x2-2ln x. 【解】 (1)函数的定义域为 R,因为 f(x)=x3-2x2+x,所以 f′(x)=3x2-4x+1. 1? 1 令 f′(x)>0,解得 x>1 或 x< .因此 f(x)的单调递增区间是? ?-∞,3?,(1,+∞). 3 1 ? 1 令 f′(x)<0,解得 <x<1.因此 f(x)的单调递减区间是? ?3,1?. 3 3x2-1 3x2-1 2 (2)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=6x- =2· .令 f′(x)>0,即 2· >0, x x x 解得 x> 3x2-1 3 3 ;令 f′(x)<0 , 即 2· <0 , 解得 0<x< . 所以 f(x) 的单调递增区间为 3 x 3

? 3,+∞?,单调递减区间为?0, 3?. 3? ?3 ? ?
求函数单调区间的步骤

[注意] ①求函数的单调区间,必须在函数的定义域内进行. ②函数的单调区间之间只能用“和”或“, ”隔开,不能用符号“∪”连接. (2017· 长沙一中期末考试)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) B.(0,3) D.(2,+∞) )

解析:选 D.f′(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,当 f′(x)>0,即 x>2 时,f(x)单调递增,故选 D. 含参数的单调性问题[学生用书 P14] 已知函数 f(x)=x3-ax-1.若 f(x)在 R 上为增函数,求实数 a 的取值范围. 【解】 f′(x)=3x2-a.因为 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, 所以 f′(x)=3x2-a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立,即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立. 因为 3x2≥0,所以只需 a≤0. 又因为 a=0 时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1 在 R 上是增函数,所以 a≤0, 即实数 a 的取值范围为(-∞,0].

1.若函数 f(x)不变,若 f(x)在区间(-1,1)上为减函数,试求 a 的取值范围. 解: 由 f′(x)=3x2-a≤0 在(-1, 1)上恒成立, 得 a≥3x2 在(-1, 1)上恒成立. 因为-1<x<1, 所以 3x2<3, 所以 a≥3.即当 a 的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)上为减函数. 2.若函数 f(x)不变,若 f(x)的单调递减区间为(-1,1),求 a 的值. 解:由本例可知,f(x)的单调递减区间为?-

?

3a 3a 3a? ,所以 =1,即 a=3. , 3 3 3 ?

已知函数 f(x)在(a,b)内的单调性,求参数的取值范围的步骤: 第一步:求导数 y=f′(x); 第二步:转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)对 x∈(a,b)恒成立问题; 第三步:由不等式恒成立求参数取值范围; 第四步:验证等号是否成立. 1.若函数 f(x)=a(x3-x)的单调减区间为?-

?

3 3? ,则 a 的取值范围是 , 3 3?

________. 解析:由 f′(x)=a(3x2-1)=3a?x-

?

3?? 3? 3 3 <0 的解集为?- , ?,知 a>0. x+ 3 ?? 3? ? 3 3?

答案:(0,+∞) 2.若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是________. 解析:因为 f′(x)=3x2+2x+m,且 f(x)是 R 上的单调函数,所以只能在 R 上是递增的, 1 1 所以 f′(x)=3x2+2x+m≥0 恒成立,所以 Δ=4-12m≤0,所以 m≥ .答案:[ ,+∞) 3 3

1.函数在区间(a,b)上的导数与单调性的关系

(1)若在某区间上有有限个点使 f′(x)=0,其余的点恒有 f′(x)>0,则 f(x)仍为增函数(减函 数的情形完全类似). (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有 f′(x)≥0 且在(a,b)内的任一非空 子区间上 f′(x)不恒为 0. 2.利用导数解决单调性问题需要注意的问题 (1)定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断 函数的单调区间. (2)如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能 用“, ”或“和”等隔开. 【规范解答】 含参数函数的单调区间的求解 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=ln x-ax2+(2-a)x,讨论 f(x)的单调递增区间. 【解】 f(x)的定义域为(0,+∞).? 1 f′(x)= -2ax+(2-a)= x - (2x+1)(ax-1) . x (4 分) (2 分)

若a≤0?,则 f′(x)>0, 所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (7 分)

1 1 若a>0?,则由 f′(x)=0 得 x= ,且当 x∈?0, ?时,f′(x)>0; ? a? a 1 分类讨论是本题难点当 x> 时,f′(x)<0, a 1? 所以 f(x)在? ?0,a?上单调递增. (10 分)

综上所述,当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 1 0, ? . 当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为? ? a? (12 分)

(1)讨论含有参数的函数的单调性,通常归结为求含参数不等式的解集问题,而对含有 参数的不等式要针对具体情况进行讨论, 但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类 讨论的标准. (2)此题对含参数的函数的单调性进行了讨论.另外,已知函数的单调性确定参数问题 更是各类考试的重点,应注意掌握.

1.函数 f(x)=ex-x 的单调递增区间是(

)

A.(-∞,0) C.(0,+∞)

B.(-∞,1) D.(1,+∞)

解析:选 C.f′(x)=ex-1,由 f′(x)>0,得 ex-1>0,即 ex>1,所以 x>0, 所以 f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 2.下列叙述中正确的是( )

A.若 f(x)在区间(a,b)上是增函数,则对任意 x∈(a,b),都有 f′(x)>0 B.若在区间(a,b)上对任意 x 都有 f′(x)>0,则 f(x)在区间(a,b)上是增函数 C.若 f(x)在区间(a,b)上是单调函数,则 f′(x)必存在 D.若 f′(x)在区间(a,b)上都存在,则 f(x)必为单调函数 解析:选 B.若 f(x)在区间(a,b)上是增函数,则 f′(x)≥0,故 A 错;f(x)在区间(a,b)上 是否单调与 f′(x)是否存在无必然联系,故 C 错;f(x)=2 在区间(a,b)上的导数存在,但 f(x) 无单调性,故 D 错. 3.如图所示的是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,则在[-2,5]上函数 f(x)的递增 区间为________.

解析:因为在(-1,2)和(4,5]上 f′(x)>0,所以 f(x)在[-2,5]上的单调递增区间为(-1, 2)和(4,5].答案:(-1,2)和(4,5] x2+k 4.求证:f(x)= (k>0)在(-∞,- k)上是增函数. x x2+k x2-k 证明:f(x)= (k>0)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). f′(x)= 2 . x x 当 x∈(-∞,- k)时,x2>k,即 x2-k>0,所以 f′(x)= x2+k 所以 f(x)= (k>0)在(-∞,- k)上是增函数. x x2-k >0, x2

, [A 基础达标] 1.函数 f(x)=(a2+1)x+b 在 R 上( A.单调递增 C.有增有减 ) B.单调递减 D.单调性与 a、b 有关

解析:选 A.f′(x)=a2+1>0,所以 f(x)在 R 上单调递增. 2.若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象可能为( )

解析: 选 C.观察题图可知: 当 x<0 时, f′(x)>0, 则 f(x)单调递增; 当 0<x<1 时, f′(x)<0, 则 f(x)单调递减,即 f(x)的图象在 x=0 左侧上升,右侧下降.故选 C. 3.函数 f(x)=xe x 的一个单调递增区间是(


) B.[2,8] D.[0,2]

A.[-1,0] C.[1,2] 解析:选 A.因为 f′(x)=

ex-xex - - =(1-x)· e x>0,又因为 e x>0,所以 x<1. (ex)2 )

4.函数 y=xln x 在(0,5)上的单调性是( A.单调递增 B.单调递减

1? ?1 ? C.在? ?0,e?上单调递减,在? e,5?上单调递增 1? ?1 ? D.在? ?0,e?上单调递增,在?e,5?上单调递减 1 解析:选 C.由已知得函数的定义域为(0,+∞).因为 y′=ln x+1,令 y′>0,得 x> . e 1? 1 ?1 ? 令 y′<0,得 x< .所以函数 y=xln x 在? ?0,e?上单调递减,在? e,5?上单调递增. e 5.若函数 f(x)=x3-ax2-x+6 在(0,1)内单调递减,则实数 a 的取值范围是( A.a≥1 C.a≤1 B.a=1 D.0<a<1 )

解析:选 A.因为 f′(x)=3x2-2ax-1,又 f(x)在(0,1)内单调递减, 所以不等式 3x2-2ax-1<0 在(0,1)内恒成立,所以 f′(0)≤0,且 f′(1)≤0, 所以 a≥1. 6.函数 f(x)=(x2+x+1)ex(x∈R)的单调减区间为________. 解析:f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=ex(x2+3x+2)=ex(x+1)(x+2),

令 f′(x)<0,解得-2<x<-1,所以函数 f(x)的单调减区间为(-2,-1). 答案:(-2,-1) 7.使 y=sin x+ax 为 R 上的增函数的 a 的取值范围是________. 解析:因为 y′=cos x+a≥0,所以 a≥-cos x 对 x∈R 恒成立.所以 a≥1. 答案:[1,+∞) 8. 若函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的单调减区间为(-1, 3), 则 b=________, c=________.
?f′(-1)=0, ? ?3-2b+c=0, ? 解析:f′(x)=3x2+2bx+c,由条件知? 即? ?f′(3)=0, ? ?27+6b+c=0. ?

解得 b=-3,c=-9.答案:-3 -9 9.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点 P(1,2),且在点 P 处的切线斜率 为 8. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 解:(1)因为函数 f(x)的图象过点 P(1,2),所以 f(1)=2,所以 a+b=1.① 又函数图象在点 P 处的切线斜率为 8,所以 f′(1)=8.又 f′(x)=3x2+2ax+b, 所以 2a+b=5.②解由①②组成的方程组,可得 a=4,b=-3. 1 (2)由第一问得 f′(x)=3x2+8x-3,令 f′(x)>0,可得 x<-3 或 x> ; 3 1 令 f′(x)<0,可得-3<x< .所以函数 f(x)的单调增区间为(-∞,-3), 3 1? 1 ( ,+∞),单调减区间为? ?-3,3?. 3 (x-1)2 10.已知函数 f(x)=ln x- . 2 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)证明:当 x>1 时,f(x)<x-1.
?x>0, ? -x2+x+1 1 解:(1)f′(x)= -x+1= ,x∈(0,+∞).由 f′(x)>0 得? 2 x x ?-x +x+1>0, ?

1+ 5 ? 1+ 5?. 解得 0<x< .故 f(x)的单调递增区间是?0, ? 2 2 ? ? 1-x2 (2)证明:令 F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞).则 F′(x)= .当 x∈(1,+∞)时,F′ x (x)<0,所以 F(x)在(1,+∞)上单调递减,故当 x>1 时,F(x)<F(1)=0, 即当 x>1 时,f(x)<x-1. [B x 11.已知函数 f(x)=- x+ln 2,则( e ) 能力提升]

1 1 1 1 1 1 1 1 A.f( )=f( )B.f( )<f( )C.f( )>f( )D.f( ),f( )的大小关系无法确定 e 2 e 2 e 2 e 2 -ex-(-x)ex x-1 解析:选 C.f′(x)= = x ,当 x<1 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. e ex·ex 1 1 1 1 因为 < <1,所以 f( )>f( ).故选 C. e 2 e 2 12.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)=0,则关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________. 解析:

因为在(0,+∞)上 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增,又 f(x)为偶函数, 所以 f(-1)=f(1)=0,且 f(x)在(-∞,0)上单调递减,f(x)的草图如图所示, 所以 xf(x)<0 的解集为(-∞,-1)∪(0,1).答案:(-∞,-1)∪(0,1) 1 1 13.若函数 f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内单调递减,在(6,+∞)上单调 3 2 递增,试求 a 的范围. 解:法一:

如图所示,f′(x)=(x-1)[x-(a-1)]. 若在(1,4)内 f′(x)≤0,在(6,+∞)内 f′(x)≥0,且 f′(x)=0 有一根为 1,则另一根在[4,
? ? ?f′(4)≤0, ?3(5-a)≤0, 6]上.所以? 即? 所以 5≤a≤7.即 a 的取值范围为[5,7]. ?f′(6)≥0, ? ?5(7-a)≥0. ?

法二:f′(x)=x2-ax+a-1,因为 f(x)在(1,4)内单调递减,所以 f′(x)≤0 在(1,4)上恒成 立,即 a(x-1)≥x2-1 在(1,4)上恒成立.所以 a≥x+1.因为 2<x+1<5, 所以当 a≥5 时,f′(x)≤0 在(1,4)上恒成立.又因为 f(x)在(6,+∞)上单调递增, 所以 f′(x)≥0 在(6,+∞)上恒成立.所以 a≤x+1.因为 x+1>7,所以 a≤7 时, f′(x)≥0 在(6,+∞)上恒成立.综上知 a 的取值范围为[5,7]. 14.(选做题)设函数 f(x)=xekx(k≠0). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求 k 的取值范围. 1 解:(1)由 f′(x)=(1+kx)ekx=0,得 x=- (k≠0). k

1? 若 k>0,则当 x∈? ?-∞,-k?时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 1 ? 当 x∈? ?-k,+∞?时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 1? 若 k<0,则当 x∈? ?-∞,-k?时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 1 ? 当 x∈? ?-k,+∞?时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 1 (2)由第一问知,若 k>0,则当且仅当- ≤-1,即 0<k≤1 时,函数 f(x)在(-1,1)内单 k 调递增; 1 若 k<0,则当且仅当- ≥1,即-1≤k<0 时,函数 f(x)在(-1,1)内单调递增. k 综上可知,函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k 的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. 1.3.2 函数的极值与导数 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).

1.极小值点与极小值 (1)特征:函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小, f′(a)=0. (2)符号:在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0. (3)结论:点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. 2.极大值点与极大值 (1)特征:函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大, f′(b)=0. (2)符号:在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0. (3)结论:点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 3.极值的定义 (1)极小值点、极大值点统称为极值点. (2)极大值与极小值统称为极值.

1.判断(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)函数的极大值一定大于极小值.( )

(2)导数为 0 的点一定是极值点.(

) ) )

(3)函数 y=f(x)一定有极大值和极小值.(

(4)若一个函数在给定的区间存在极值,则极值点一定在区间的内部.( (5)函数的极值点是自变量的值,极值是函数值.( 答案:(1)? (2)? (3)? (4)√ (5)√ )

2.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

A.1 个 C.3 个 答案:A 3.函数 y=2x3-x2 的极大值为( A.0 27 C.0, 16 答案:A )

B.2 个 D.4 个

B.-9 27 D. 16

4.函数 f(x)=ex-x 的极小值为________.答案:1

求函数的极值点和极值 求下列函数的极值. (1)f(x)= 2x - -2;(2)f(x)=x2e x. x +1
2

【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R. 2(x2+1)-4x2 2(x-1)(x+1) f′(x)= =- . (x2+1)2 (x2+1)2 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞, -1) - ?

-1 0 极小值-3

(-1,1) + ?

1 0 极大值-1

(1,+∞) - ?

由上表可以看出,当 x=-1 时,函数有极小值,且极小值为 f(-1)=-3;

当 x=1 时,函数有极大值,且极大值为 f(1)=-1. (2)函数 f(x)的定义域为 R.f′(x)=2xe x-x2e x=x(2-x)e x.
- - -

令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,0) - ? 0 0 极小值 0 (0,2) + ? 2 0 极大值 4e
-2

(2, +∞) - ?

由上表可以看出,当 x=0 时,函数有极小值,且极小值为 f(0)=0. 4 当 x=2 时,函数有极大值,且极大值为 f(2)= 2. e

求可导函数 f(x)极值的步骤 (1)求导数 f′(x). (2)求方程 f′(x)=0 的根. (3)检测 f′(x)在方程根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么 f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. 1.函数 y=1+3x-x3 的极大值点为________,极小值点为________. 解析:y′=3-3x2=3(1-x)(1+x),令 y′=0,解得 x1=-1,x2=1. 当 x<-1 时,y′<0,函数是减函数,当-1<x<1 时,y′>0,函数是增函数, 当 x>1 时,y′<0,函数是减函数,所以当 x=-1 时,函数有极小值. 当 x=1 时,函数有极大值.答案:1 -1 2.求下列函数的极值: ln x (1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)= . x 解:(1)函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 的定义域为 R, 且 f′(x)=3x2-6x-9. 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + 单调递增? -1 0 10 (-1,3) - 单调递减? 3 0 -22 (3,+∞) + 单调递增?

因此,x=-1 是函数 f(x)的极大值点,极大值为 f(-1)=10; x=3 是函数 f(x)的极小值点,极小值为 f(3)=-22. 1-ln x ln x (2)函数 f(x)= 的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= ,令 f′(x)=0,得 x=e. x x2

当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,e) + 单调递增? e 0 1 e (e,+∞) - 单调递减?

1 因此,x=e 是函数 f(x)的极大值点,极大值为 f(e)= ,函数 f(x)没有极小值点. e 已知函数极值求参数值 已知函数 f(x)=6ln x-ax2-8x+b(a,b 为常数),且 x=3 为 f(x)的一个极值点. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 6 【解】 (1)因为 f′(x)= -2ax-8,所以 f′(3)=2-6a-8=0,解得 a=-1. x (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞).由(1)知 f(x)=6ln x+x2-8x+b. 2(x2-4x+3) 6 所以 f′(x)= +2x-8= .由 f′(x)>0 可得 x>3 或 0<x<1(x<0 舍去), x x 由 f′(x)<0 可得 1<x<3. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞),单调递减区间为(1,3).

已知函数极值求参数的值(范围) (1)根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须 验证根的合理性. 1.已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取 值范围是( ) B.-3<a<6 D.a<-1 或 a>2

A.-1<a<2 C.a<-3 或 a>6

解析:选 C.由题意知 f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0 有两个不相等的根,所以 Δ>0,解得 a>6 或 a<-3.故选 C. 2.已知函数 y=f(x)=ax3+bx2,当 x=1 时,有极大值 3. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数的极小值. 解:(1)f′(x)=3ax2+2bx.
? ? ? ?f(1)=3, ?a+b=3, ?a=-6, 由题意,知? 即? 解得? 经检验,满足题意. ?f′(1)=0, ? ?3a+2b=0, ?b=9. ? ?

(2)由第一问,知 y=-6x3+9x2.

所以 y′=-18x2+18x=-18x(x-1).令 y′=0,解得 x1=1,x2=0.所以当 x<0 时,y′ <0;当 0<x<1 时,y′>0;当 x>1 时,y′<0.所以当 x=0 时,y 取极小值为 0.

函数极值的综合应用 已知 f(x)=x3+bx2+cx+2. (1)若 f(x)在 x=1 时有极值-1,求 b,c 的值. (2)在(1)的条件下,若函数 y=f(x)的图象与函数 y=k 的图象恰有三个不同的交点,求实 数 k 的取值范围. 【解】 (1)因为 f(x)=x3+bx2+cx+2,所以 f′(x)=3x2+2bx+c.
? ?3+2b+c=0, 由已知得 f′(1)=0,f(1)=-1,所以? 解得 b=1,c=-5. ?1+b+c+2=-1, ?

经验证,b=1,c=-5 符合题意. 5 (2)由(1)知 f(x)=x3+x2-5x+2,f′(x)=3x2+2x-5.由 f′(x)=0,得 x1=- ,x2=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x)

?-∞,-5? 3? ?
+ ?

- 0

5 3

?-5,1? ? 3 ?
- ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ?

极大值

5? 229 5 由表可知,当 x=- 时,函数取得极大值且极大值为 f? ?-3?= 27 ,当 x=1 时,函数取 3 得极小值且极小值为 f(1)=-1. 229? 根据题意结合下图可知实数 k 的取值范围为? ?-1, 27 ?.

若将本例(2)中的条件“恰有三个不同的交点”改为“恰有一个交点” , 其他条件不变,实数 k 的取值范围是什么? 5? 229 解:由本例解析知函数 y=f(x)的极大值为 f? ?-3?= 27 ,极小值为 f(1)=-1,根据函数 229 图象,要使函数 y=f(x)的图象与函数 y=k 的图象恰有一个交点,只需 k> 或 k<-1.故实 27

229 ? 数 k 的取值范围为(-∞,-1)∪? ? 27 ,+∞?.

(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题,一般地,方程 f(x)=0 的根 就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标,方程 f(x)=g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)的图象的 交点的横坐标. (2)事实上利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画 出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数, 从 而为研究方程根的个数问题提供了方便. 已知函数 f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数 f(x)在 x=-1 处取得极值,直 线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围. 解:因为 f(x)在 x=-1 处取得极值且 f′(x)=3x2-3a,所以 f′(-1)=3?(-1)2-3a=0, 所以 a=1.所以 f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,由 f′(x)=0,解得 x1=-1,x2=1. 当 x<-1 时,f′(x)>0;当-1<x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0. 所以由 f(x)的单调性可知,f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1, 在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3.作出 f(x)的大致图象如图所示:

因为直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合 f(x)的图象可知,m 的取 值范围是(-3,1).

可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 (1)必要条件:可导函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极值的必要条件是 f′(x0)=0. (2)充分条件: 可导函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极值的充分条件是 f′(x)在 x=x0 两侧异号. 总之: ①可导函数的极值点是导数为零的点, 但是导数为零的点不一定是极值点, 即“点 x0 是可导函数 f(x)的极值点”是“f′(x0)=0”的充分不必要条件. ②可导函数 f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0,且在 x0 左侧和右侧 f′(x)的 符号不同. ③如果在 x0 的两侧 f′(x)的符号相同,则 x0 不是 f(x)的极值点.

1.已知函数 y=f(x),x∈R 有唯一的极值,且 x=1 是 f(x)的极小值点,则( A.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)≥0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)≤0 B.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)≥0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)≥0

)

C.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)≤0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)≥0 D.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)≤0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)≤0 解析:选 C.由极小值点的定义,知极小值点左右两侧的导函数值是左负右正,又函数 f(x),x∈R 有唯一的极值,故当 x∈(-∞,1)时,f′(x)≤0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)≥0. 2 2.设函数 f(x)= +ln x,则( x )

1 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 2 1 2 1 解析:选 D.函数 f(x)= +ln x 的定义域为(0,+∞).f′(x)= - 2,令 f′(x)=0,即 - x x x x 2 =0 得,x=2,当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.因此 x=2 为 f(x)的 x2 极小值点,故选 D. 3.函数 f(x)=ax-1-ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________. 1 ax-1 解析:因为 x>0,f′(x)=a- = ,所以当 a≤0 时, x x f′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立, 所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 f(x)在(0,+∞)上没有极值点.答案:0 2 4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 分别在 x=1 与 x=- 处取得极值. 3 (1)求 a,b 的值; 3 (2)若 f(-1)= ,求 f(x)的单调区间和极值. 2 2 解:(1)由题可知,f′(x)=3x2+2ax+b=0 的两根为 x=1 与 x=- , 3 b 2 2a 1 1 所以 =- ,- = ,得 a=- ,b=-2,经检验符合题意. 3 3 3 3 2 3 1 (2)由 f(-1)= ,得 c=1,所以 f(x)=x3- x2-2x+1,f′(x)=3x2-x-2. 2 2 2 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=- .x,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3

x f′(x) f(x)

?-∞,-2? 3? ?
+ 单调递增

- 0

2 3

?-2,1? ? 3 ?
- 单调递减

1 0 1 - 2

(1,+∞) + 单调递增

49 27

2? ? 2 ? 所以函数 f(x)的单调递增区间是? ?-∞,-3?,(1,+∞),单调递减区间是?-3,1?,

49 1 极大值为 ,极小值为- . 27 2

[A 基础达标] 1.下列四个函数中,能在 x=0 处取得极值的函数是( ①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x )

A.①② 解析:选 B.①④为单调函数,不存在极值.

B.②③ C.③④

D.①③

2.函数 f(x)=ln x-x 在区间(0,e)上的极大值为( A.-e C.1-e

)

B.-1 D.0

1 解析:选 B.函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -1.令 f′(x)=0,得 x=1.当 x∈(0, x 1)时,f′(x)>0,当 x∈(1,e)时,f′(x)<0,故 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)=ln 1-1=0-1 =-1. 3.已知函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,则该函数的一个递增区间是 ( ) A.(2,3) C.(2,+∞) B.(3,+∞) D.(-∞,3)

解析:选 B.因为 f′(x)=6x2+2ax+36,且在 x=2 处有极值, 所以 f′(2)=0,24+4a+36=0,a=-15,所以 f′(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3), 由 f′(x)>0 得 x<2 或 x>3. 4.对于函数 f(x)=x3-3x2,给出命题:①f(x)是增函数,无极值;②f(x)是减函数,无极 值;③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2);④ 值,f(2)=-4 是极小值.其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个 f(0) = 0 是 极 大

解析:选 B.f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令 f′(x)>0,得 x>2 或 x<0,令 f′(x)<0,得 0<x<2, 所以①②错误,③④正确. 5.设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( )

a+2b 解析:选 C.y′=(x-a)(3x-a-2b),由 y′=0 得 x1=a,x2= . 3 根据用导数求极值的方法及选项可得,当 x=a 时,y 取得极大值 0, a+2b 当 x= 时,y 取得极小值且极小值为负.故选 C. 3 6.函数 y=3x3-9x+5 的极大值为________. 解析:y′=9x2-9.令 y′=0,得 x=± 1. 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表:

x y′ y

(-∞,-1) + 单调递增?

-1 0 极大值

(-1,1) - 单调递减?

1 0 极小值

(1,+∞) + 单调递增?

从上表可以看出,当 x=-1 时,函数 y 有极大值 3?(-1)3-9?(-1)+5=11. 答案:11 7.设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=a ln x+bx2+x 的两个极值点,则常数 a=________. a+2b+1=0, ? ? a 2 2 解析:因为 f′(x)= +2bx+1,由题意得?a 所以 a=- .答案:- x 3 3 ? ?2+4b+1=0. 8.若函数 f(x)=x3-3ax+1 在区间(0,1)内有极小值,则 a 的取值范围为________. 解析:f′(x)=3x2-3a.当 a≤0 时,在区间 (0,1)上无极值.当 a>0 时,令 f′(x)>0, 解得 x> a或 x<- a.令 f′(x)<0,解得- a<x< a. 若 f(x)在(0,1)内有极小值,则 0< a<1.解得 0<a<1.答案:(0,1) 9.求下列函数的极值. 3 (1)f(x)= +3lnx x 1 (2)f(x)= 2+ln x. x 3 3 3 3(x-1) 解:(1)函数 f(x)= +3ln x 的定义域为(0,+∞),f′(x)=- 2+ = , x x x x2 令 f′(x)=0,得 x=1.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(0,1) - 单调递减?

1 0 3

(1,+∞) + 单调递增?

因此当 x=1 时,f(x)有极小值 3,无极大值.
2 2 1 x -2 (2)f′(x)=- 3+ = 3 ,x>0.令 f′(x)=0,得 x= 2. x x x

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:

x f′(x) f(x)

(0, 2) - ?

2 0 极小值

( 2,+∞) + ?

1 所以 x= 2 是 f(x)的极小值点,故 f(x)的极小值为 f( 2)= (1+ln 2),没有极大值. 2 1 3 10.设 f(x)=aln x+ + x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 2x 2 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 1 3 a 1 3 解:(1)因为 f(x)=aln x+ + x+1,所以 f′(x)= - 2+ . 2x 2 x 2x 2 因为曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴,所以该切线斜率为 0, 1 3 即 f′(1)=0,即 a- + =0,解得 a=-1. 2 2
2 1 3 1 1 3 3x -2x-1 (2)由第一问知 f(x)=-ln x+ + x+1(x>0),f′(x)=- - 2+ = 2x 2 x 2x 2 2x2



(3x+1)(x-1) . 2x2

1 1 令 f′(x)=0,解得 x1=1,x2=- (因 x2=- 不在定义域内,舍去). 3 3 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,1)上为减函数;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(1,+∞)上为增函数.所以 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3. [B 能力提升]

11.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则 函数 y=xf′(x)的图象可能是( )

解析:选 C.因为 f(x)在 x=-2 处取得极小值,所以当 x<-2 时, f(x)单调递减,即 f′(x)<0;当 x>-2 时,f(x)单调递增,即 f′(x)>0. 所以当 x<-2 时,y=xf′(x)>0;当 x=-2 时,y=xf′(x)=0; 当-2<x<0 时,y=xf′(x)<0;当 x=0 时,y=xf′(x)=0;当 x>0 时,y=xf′(x)>0. 结合选项中图象知选 C. 12.若 f(x)=ex-kx 的极小值为 0,则 k=________. 解析:因为 f(x)=ex-kx 的定义域为 R,所以 f′(x)=ex-k, 当 k≤0 时,f′(x)>0,f(x)在 R 上单调递增,所以 f(x)无极值. 当 k>0 时,由 f′(x)=0,得 x=ln k;令 f′(x)>0,得 x>ln k;令 f′(x)<0,得 x<ln k, 所以 f(x)极小=f(ln k)=eln k-kln k=k(1-ln k)=0,所以 1-ln k=0,即 k=e.答案:e 13.设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点? 1 解:(1)f′(x)=3x2-2x-1.令 f′(x)=0,则 x=- 或 x=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

?-∞,-1? 3? ?
+ ?

- 0

1 3

?-1,1? ? 3 ?
- ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ?

极大值

1? 5 所以 f(x)的极大值是 f? ?-3?=27+a,极小值是 f(1)=a-1. (2)函数 f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1, 由此可知,x 取足够大的正数时,有 f(x)>0,x 取足够小的负数时,有 f(x)<0, 1? 5 所以曲线 y=f(x)与 x 轴至少有一个交点.由第一问知 f(x)极大值=f? ?-3?=27+a, f(x)极小值=f(1)=a-1.因为曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点,

5 5 所以 f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0,即 +a<0 或 a-1>0,所以 a<- 或 a>1, 27 27 5? 所以当 a∈? ?-∞,-27?∪(1,+∞)时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 14.(选做题)已知函数 f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的极大值为 3?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理 由. 解:(1)f(x)=(x2+x+1)ex,f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex, 当 f′(x)>0 时,解得 x<-2 或 x>-1,当 f′(x)<0 时,解得-2<x<-1, 所以函数的单调增区间为(-∞,-2),(-1,+∞);单调减区间为(-2,-1). (2)令 f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)· ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0, 得 x=-a 或 x=-2,因为 a≤2,所以-a≥-2.列表如下: x f′(x) f(x) (-∞,-2) + ? -2 0 极大值


(-2,-a) - ?

-a 0 极小值

(-a,+∞) + ?

由表可知,f(x)极大值=f(-2)=(4-2a+a)e 2=3,解得 a=4-3e2≤2, 所以存在实数 a≤2,使 f(x)的极大值为 3,此时 a=4-3e2. 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

, 1.函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的最值 (1)能够取得最值的前提条件: 在区间[a, b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线. (2)函数的最值必在极值点或端点处取得. 2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.

1.判断(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)函数的最大值不一定是函数的极大值.( )

(2)函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.( (3)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.( 答案:(1)√ (2)? (3)? ) )

)

2.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上(

A.无最值 B.有极值 C.有最大值 D.有最小值答案:A 3.函数 y=x3-3x+3 在区间[-3,3]上的最小值为( A.1 C.21 答案:D x 1 4.函数 f(x)= 的最大值为________.答案: 2 x+1 B.5 D.-15 )

求函数的最值 求下列函数的最值: 1 (1)f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3];(2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π]. 2 【解】 (1)f(x)=2x3-12x,所以 f′(x)=6x2-12=6(x+ 2)(x- 2),令 f′(x)=0, 解得 x=- 2或 x= 2.因为 f(-2)=8,f(3)=18,f( 2)=-8 2,f(- 2)=8 2; 所以当 x= 2时,f(x)取得最小值-8 2;当 x=3 时,f(x)取得最大值 18. 1 2 4 (2)f′(x)= +cos x,令 f′(x)=0,又 x∈[0,2π],解得 x= π 或 x= π. 2 3 3 2 ? π 4 3 2 3 π = + ,f? π?= π- .所以当 x=0 时,f(x)有最小值 计算得 f(0)=0,f(2π)=π,f? ?3 ? 3 2 ?3 ? 3 2 f(0)=0;当 x=2π 时,f(x)有最大值 f(2π)=π.

求函数最值的四个步骤 第一步,求函数的定义域. 第二步:求 f′(x),解方程 f′(x)=0. 第三步:列出关于 x,f(x),f′(x)的变化表. 第四步:求极值、端点处的函数值,确定最值. 4x 1.函数 f(x)= 2 (x∈[-2, 2])的最大值是________, 最小值是________. x +1 解析:因为 f′(x)= 4(x2+1)-2x· 4x -4x2+4 = 2 ,令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1. 2 2 (x +1) (x +1)2

8 8 又因为 f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)= ,f(-2)=- , 5 5

所以 f(x)在[-2,2]上的最大值为 2,最小值为-2.答案:2 -2 x-1 2.求函数 f(x)= x 的最值. e x-1 1· ex-ex(x-1) 2-x 解:函数 f(x)= x 的定义域为 x∈R.f′(x)= = x , e e (ex)2 当 f′(x)=0 时,x=2,当 f′(x)>0 时,x<2,当 f′(x)<0 时,x>2. 所以 f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以 f(x)无最小值,且当 x 1 =2 时,f(x)max=f(2)= 2. e 含参数的最值问题 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为 3,最小值为-29,求 a, b 的值. 【解】 由题设知 a≠0,否则 f(x)=b 为常函数,与题设矛盾. 求导得 f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=4(舍去). ①当 a>0,且 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

-1

(-1,0) +

0 0 b

(0,2) - 减函数

2

-7a+b

增函数

-16a+b

由表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b,也就是函数在[-1,2]上的最大值, 所以 f(0)=b=3.又 f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), 所以 f(2)=-16a+3=-29,解得 a=2. ②当 a<0 时,同理可得,当 x=0 时, f(x)取得极小值 b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,所以 f(0)=b=-29. 又 f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),所以 f(2)=-16a-29=3, 解得 a=-2.综上可得,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29.

(1)含参数的函数最值问题的两类情况 ①能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题. ②对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于 0,等 于 0,小于 0 三种情况.若导函数恒不等于 0,则函数在已知区间上是单调函数,最值 在端点处取得;若导函数可能等于 0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定 最值. (2)已知函数最值求参数值(范围)的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值 (范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导

数,利用导数研究函数的单调性及极值点,用参数表示出最值后求参数的值或范围. 1.函数 f(x)=x3-3x2-9x+k 在区间[-4,4]上的最大值为 10,则其最小 值为( ) B.-71 D.-22

A.-10 C.-15

解析:选 B.f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),令 f′(x)=0,得 x=3 或 x=-1. 因为 f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20, 所以 f(x)max=k+5=10,得 k=5,所以 f(x)min=k-76=-71. 2.已知 h(x)=x3+3x2-9x+1 在区间[k,2]上的最大值是 28,求 k 的取值范围. 解:h(x)=x3+3x2-9x+1,h′(x)=3x2+6x-9.令 h′(x)=0,得 x1=-3,x2=1, 当 x 变化时 h′(x)及 h(x)的变化情况如下表.

x h′(x) h(x)

(-∞,-3) + ?

-3 0 28

(-3,1) - ?

1 0 -4

(1,+∞) + ?

当 x=-3 时,取极大值 28;当 x=1 时,取极小值-4. 而 h(2)=3<h(-3)=28,如果 h(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,则 k≤-3. 函数最值问题的综合应用 设函数 f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. (1)求 a,b 的值; (2)若对于任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值范围. 【解】 (1)f′(x)=6x2+6ax+3b,因为函数 f(x)在 x=1 及 x=2 时取得极值,
? ? ?6+6a+3b=0, ?a=-3, 所以 f′(1)=0,f′(2)=0,即? 解得? ?24+12a+3b=0, ?b=4. ? ?

(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c, f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).当 x∈(0,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,2)时,f′(x)<0;当 x∈(2,3)时,f′(x)>0. 所以,当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)=5+8c,又 f(0)=8c,f(3)=9+8c. 所以当 x∈[0,3]时,f(x)的最大值为 f(3)=9+8c. 因为对于任意的 x∈[0,3],有 f(x)<c2 恒成立,所以 9+8c<c2,解得 c<-1 或 c>9. 因此 c 的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). 若本例中“x∈[0,3]”变为“x∈(0,3)”仍有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值 范围.

解:由本例解析知 f(x)<f(3)=9+8c,所以 9+8c≤c2, 即 c≤-1 或 c≥9,所以 c 的取值范围为(-∞,-1]∪[9,+∞).

不等式恒成立问题常用的解题方法

已知 f(x)=-x3+x-1, g(x)=-2x+m, 当 x∈(0, 2)时,f(x)<g(x)恒成立, 求实数 m 的取值范围. 解:因为 f(x)<g(x)等价于-x3+x-1<-2x+m,x∈(0,2),即 m>-x3+3x-1, 令 h(x)=-x3+3x-1,h′(x)=-3x2+3,x∈(0,2),令 h′(x)=0,则 x=1, 即当 h′(x)>0 时,0<x<1;当 h′(x)<0 时,1<x<2. 当 x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表: x h′(x) h(x) (0,1) + ? 1 0 1 (1,2) - ?

所以 h(x)max=h(1)=1,当 m>h(x)max=1,即 m>1 时,f(x)<g(x)恒成立.

1.利用最值求解恒成立问题的依据 (1)不等式 f(x)≥0 在定义域内恒成立,等价于 f(x)min≥0; (2)不等式 f(x)≤0 在定义域内恒成立,等价于 f(x)max≤0; (3)不等式 f(x)>g(x),x∈(a,b)恒成立,等价于 F(x)=f(x)-g(x)>0,x∈(a,b)恒成立. [ 说明 ] f(x)min>g(x)max. 2.(易误防范)辨析函数的极值与最值 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言. (2)在函数的定义区间[a,b]内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一 个. (3)函数 f(x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【规范解答】 利用导数证明不等式 不等式 f(x)>g(x) , x ∈ (a , b) 恒成立 , 还可以等价转化为当 x∈(a , b) 时 ,

1 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)= x2-aln x(a∈R). 2 (1)求 f(x)的单调区间; 1 2 (2)当 x>1 时,证明: x2+ln x< x3. 2 3 【解】 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
2 a x -a f′(x)=x- = . x x

(1 分)

当a≤0?时, f′(x)>0,则 f(x)的单 调递增区间为(0,+∞), 当a>0?时,由 f′(x)>0 得 x> a, 由 f′(x)<0,得 0<x< a, 所以当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为( a,+∞),单调递减区间为(0, a).(5 分) (2)证明:当 x>1 时, 1 2 2 x +ln x< x3 恒成立, 2 3 2 1 令 g(x)= x3- x2-ln x,?(7 分) 3 2
3 2 1 2x -x -1 构造新函数是本题难点g′(x)=2x2-x- = x x

(2 分)



2x3-2x2+x2-1 (x-1)(2x2+x+1) = , x x

(9 分)

当 x>1 时,g′(x)>0,故 g(x)在(1,+∞)上递增,所以 g(x)>g(1)>0, 2 1 所以 x3- x2-ln x>0. 3 2 (12 分)

利用导数解决不等式问题(如:证明不等式,比较大小等),其实质就是利用求导数的方 法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类 问题通常是构造一个函数, 然后考查这个函数的单调性, 结合给定的区间和函数在该区间端 点的函数值使问题得以求解.

1.如图所示,函数 f(x)导函数的图象是一条直线,则(

)

A.函数 f(x)没有最大值也没有最小值 B.函数 f(x)有最大值,没有最小值 C.函数 f(x)没有最大值,有最小值 D.函数 f(x)有最大值,也有最小值 解析:选 C.由导函数图象可知,函数 f(x)只有一个极小值点 1,即 f(x)在 x=1 处取得最 小值,没有最大值. 2.函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是( A.1,-1 C.3,-17 B.1,-17 D.9,-19 )

解析:选 C.f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令 f′(x)=0,得 x=± 1. 又 f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1? [-3,0], 所以最大值为 3,最小值为-17. 3.函数 f(x)=3x+sin x 在 x∈[0,π]上的最小值为________. 解析:f′(x)=3xln 3+cos x.因为 x∈[0,π]时,3xln 3>1,-1≤cos x≤1, 所以 f′(x)>0,所以 f(x)递增,所以 f(x)min=f(0)=1.答案:1 4.求函数 f(x)=4x3+3x2-36x+5 在区间[-2,+∞)上的最值. 3 解:f′(x)=12x2+6x-36,令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2= . 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) -2 0 57

?-2,3? 2? ?
- ?

3 2 0 - 115 4

?3,+∞? ?2 ?
+ ?

3 3 ? 由于当 x> 时,f′(x)>0,所以 f(x)在? ?2,+∞?上为增函数. 2 115 因此,函数 f(x)在[-2,+∞)上只有最小值- ,无最大值. 4

, 1.函数 f(x)=x3-3x(-1<x<1)( )

[A 基础达标]

A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,也无最小值 D.无最大值,但有最小值 解析:选 C.f′(x)=3x2-3=3(x2-1).因为-1<x<1,所以 x2<1. 所以 3(x2-1)<0,即 f′(x)<0.所以 f(x)是(-1,1)上的减函数,f(1)<f(x)<f(-1), 故 f(x)在-1<x<1 时既无最大值,也无最小值,故选 C. 2.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A.5,15 B.5,-4 )

C.5,-15

D.5,-16

解析:选 C.y′=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令 y′=0 得 x=-1 或 x=2.当 x=2 时 y =-15,当 x=0 时 y=5,当 x=3 时,y=-4.故选 C. x 3.函数 y= x在[0,2]上的最大值是( e 1 A.当 x=1 时,y= e C.当 x=0 时,y=0 ) 2 e2

B.当 x=2 时,y=

1 1 D.当 x= 时,y= 2 2 e

1-x 解析:选 A.因为 y′= x ,所以当 y′=0 时,x=1. e x 又因为当 0<x<1 时,y′>0,当 1<x<2 时,y′<0,所以 x=1 是 y= x的极大值点, e 1 所以在[0,2]上 ymax= . e π? 4.当函数 y=x+2cos x 在? ?0,2?上取得最大值时,x 的值为( A.0 π C. 3 解析:选 B.y′=(x+2cos x)′=1-2sin x. π? ?π π? 令 x∈? ?0,6?时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 x∈?6,2?时,f′(x)≤0,f(x)单调递减, π? 所以 f(x)max=f? ?6?. 5.已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2] 上的最小值是( A.-37 C.-5
2

)

π B. 6 π D. 2

) B.-29 D.以上都不对

解析:选 A.因为 f′(x)=6x -12x=6x(x-2),所以 f(x)在(-2,0)上为增函数, 在(0,2)上为减函数,所以当 x=0 时,f(0)=m 最大,所以 m=3. 因为 f(-2)=-37,f(2)=-5,所以最小值为-37. 6.若函数 f(x)在区间[a,b]上满足 f′(x)>0,则 f(a)是函数的最________值,f(b)是函数的 最________值. 解析:由 f′(x)>0 知,函数 f(x)在区间[a,b]上为增函数,所以 f(a)为最小值,f(b)为最大 值. 答案:小 大

π π? 7.函数 f(x)=sin x+cos x 在 x∈? ?-2,2?时的最大值,最小值分别是________. π π? 解析:f′(x)=cos x-sin x,令 f′(x)=0,即 tan x=1,而 x∈? ?-2,2?, π? π ? π? ?π? 所以 x= .又 f? ?4?= 2,f?-2?=-1,f?2?=1, 4 π π? ?π? ? π? 所以 x∈? ?-2,2?时,函数的最大值为 f?4?= 2,最小值为 f?-2?=-1. 答案: 2,-1 8.函数 f(x)=ax3+2ax+1 在区间[-3,2]上有最大值 4,则实数 a=________. 解析:f′(x)=3ax2+2a=a(3x2+2).当 a>0 时,f′(x)>0, 1 所以 f(x)max=f(2)=8a+4a+1=4,解得 a= ;当 a<0 时,f′(x)<0, 4 1 1 1 所以 f(x)max=f(-3)=-27a-6a+1=4,解得 a=- .答案: 或- 11 4 11 9.已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值. 解:(1)因为 f′(x)=3ax2+2x+b,所以 g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b. 1 因为 g(x)是奇函数,所以 g(-x)=-g(x),从而 3a+1=0,b=0,解得 a=- ,b=0, 3 1 因此 f(x)的表达式为 f(x)=- x3+x2. 3 1 (2)由第一问知 g(x)=- x3+2x,所以 g′(x)=-x2+2,令 g′(x)=0. 3 5 4 2 4 解得 x1=- 2(舍去),x2= 2,而 g(1)= ,g( 2)= ,g(2)= , 3 3 3 4 2 4 因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为 g( 2)= ,最小值为 g(2)= . 3 3 10.(2017· 大庆一中期末考试)已知函数 f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,且曲线 y=f(x)在 x 1 =1 处与直线 y=- 相切. 2 (1)求 a,b 的值; 1 (2)求 f(x)在[ ,e]上的最大值. e a 1 解:(1)f′(x)= -2bx.由曲线 y=f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, x 2 f′(1)=0 a-2b=0 a=1 ? ? ? ? ? ? 得? 1,即? 1,解得? 1. f(1)=- -b=- ? ? ? 2 2 ? ? ?b=2

1-x2 1 1 (2)由第一问,得 f(x)=ln x- x2,定义域为(0,+∞).f′(x)= -x= . 2 x x 1 令 f′(x)>0,得 0<x<1,令 f′(x)<0,得 x>1,所以 f(x)在( ,1)上单调递增,在(1,e)上单 e 1 1 调递减,所以 f(x)在[ ,e]上的最大值为 f(1)=- . e 2 [B 能力提升] )

1 π 11.若函数 f(x)=asin x+ sin 3x 在 x= 处有最值,则 a 等于( 3 3 A.2 2 3 C. 3 B.1 D.0

π π 解析:选 A.因为 f(x)在 x= 处有最值,所以 x= 是函数 f(x)的极值点. 3 3 π? π 又因为 f′(x)=acos x+cos 3x(x∈R),所以 f′? ?3?=acos 3+cos π=0,解得 a=2. 12.已知函数 f(x)=ax3-3x+1,且对任意 x∈(0,1],f(x)≥0 恒成立,则实数 a 的取值 范围是________. 3x-1 3x-1 解析:当 x∈(0,1]时,不等式 ax3-3x+1≥0 可化为 a≥ 3 .设 g(x)= 3 ,x∈(0,1], x x

?x-1? 6 ? 2? 3x -(3x-1)· 3x 1 则 g′(x)= =- .令 g′(x)=0,得 x= . x6 x4 2
3 2

g′(x)与 g(x)随 x 的变化情况如下表: x g′(x) g(x)

?0,1? ? 2?
+ ?

1 2 0 极大值 4

?1,1? ?2 ?
- ?

因此 g(x)的最大值为 4,则实数 a 的取值范围是[4,+∞).答案:[4,+∞) 1 13.设函数 f(x)= x2ex. 2 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 1 ex ex 解:(1)f′(x)=xex+ x2ex= x(x+2).由 x(x+2)>0,解得 x>0 或 x<-2. 2 2 2 ex 所以 f(x)的增区间为(-∞,-2),(0,+∞).由 x(x+2)<0,得-2<x<0. 2 所以 f(x)的减区间为(-2,0). 所以 f(x)的单调增区间为(-∞,-2),(0,+∞),单调减区间为(-2,0).

2 (2)令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=-2.因为 f(-2)= 2,f(2)=2e2,f(0)=0, e 所以 f(x)∈[0,2e2].又因为 f(x)>m 恒成立,所以 m<0.故 m 的取值范围为(-∞,0). 14.(选做题)已知 f(x)=xln x. (1)求函数 f(x)的最小值; 1 2 (2)证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x> x- 成立. e ex 解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1. 1 1 当 x> 时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当 0<x< 时,f′(x)<0,f(x)为减函数. e e 1 1 所以函数 f(x)的最小值为 f( )=- . e e x 2 1 (2)证明:问题等价于证明 xln x> x- .由第一问可知 f(x)=xln x 的最小值是- , e e e 1-x 1 x 2 当且仅当 x= 时取到.设 m(x)= x- ,x∈(0,+∞),则 m′(x)= x , e e e e 1 x 2 易知 m(x)max=m(1)=- ,当且仅当 x=1 时取到,所以 xln x> x- . e e e 1 2 从而对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x> x- 成立. e ex 导数在研究函数中的应用(强化练) 一、选择题 1.对于函数 y=f(x),x∈(a,b), “f′(x)>0”是“函数 y=f(x)为增函数”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 2.函数 f(x)=3+x· ln x 的单调递增区间是( 1 A.(0, ) e 1 C.( ,+∞) e ) B.(e,+∞) 1 D.( ,e) e

1 解析:选 C.f′(x)=ln x+1,由 f′(x)>0,所以 x> . e 1 3.函数 f(x)= x3-4x+4 的极大值与极小值之和为( 3 A.8 C.10 解析:选 A.由题知 f′(x)=x2-4=0,x=± 2, 8 8 则极大值与极小值的和为 -8+4- +8+4=8,故选 A. 3 3 26 B. 3 D.12 )

1 4.函数 f(x)=x+ 的极值情况是( x

)

A.当 x=1 时,取极小值 2,但无极大值 B.当 x=-1 时,取极大值-2,但无极小值 C.当 x=-1 时,取极小值-2;当 x=1 时,取极大值 2 D.当 x=-1 时,取极大值-2;当 x=1 时,取极小值 2 1 解析:选 D.f′(x)=1- 2,令 f′(x)=0,得 x=± 1, x 函数 f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减, 所以当 x=-1 时,取极大值-2,当 x=1 时,取极小值 2. 1 5.函数 f(x)= x- x 在区间[0,+∞)上( 2 )

A.有最大值,无最小值 B.有最大值,有最小值 C.无最大值,无最小值 D.无最大值,有最小值 解析:选 A.由已知得 f(x)的定义域为[0,+∞),f′(x)= 1 1 - , 2 x 2

令 f′(x)>0,得 f(x)的单调递增区间为[0,1);令 f′(x)<0,得 f(x)的单调递减区间为(1,+∞). 所以 f(x)在区间[0,+∞)上有最大值,无最小值. 6.三次函数 y=f(x)=ax3-1 在 R 上是减函数,则( A.a=1 C.a≤0 B.a=2 D.a<0 )

解析:选 D.y′=3ax2,要使 f(x)在 R 上为减函数,则 y′≤0 在 R 上恒成立,即 a≤0, 又 a=0 时,y′=0 恒成立,所以 a≠0.综上 a<0. π π π 7.若函数 f(x)=cos x+2xf′( ),则 f(- )与 f( )的大小关系是( 6 3 6 π π A.f(- )=f( ) 3 6 π π C.f(- )<f( ) 3 6 π π B.f(- )>f( ) 3 6 D.不确定 )

π π π π 解析:选 C.依题意得 f′(x)=-sin x+2f′( ),所以 f′( )=-sin +2f′( ), 6 6 6 6 π 1 所以 f′( )= .因为 f′(x)=-sin x+1≥0, 6 2 π π π π 所以 f(x)=cos x+x 是 R 上的增函数,注意到- < ,于是有 f(- )<f( ). 3 6 3 6 8.若函数 y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值,则实数 a 的取值范围是( A.1<a<2 C.2<a<4 B.1<a<4 D.a>4 或 a<1 )

解析:选 B.y′=3x2-3a.当 a≤0 时,f′(x)≥0,函数 y=x3-3ax+a 为单调函数,不
? ?f′(1)<0 合题意,舍去;要使函数 y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值,则? , ?f′(2)>0 ? ?1-a<0, ? 即? 所以 1<a<4,故选 B. ?4-a>0, ?

9.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1],则 f(m)+f′(n) 的最小值是( A.-13 C.10
2

) B.-15 D.15

解析:选 A.f′(x)=-3x +2ax,由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知,f′(2)=0, 即-3?4+2a?2=0,所以 a=3,由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x. 易知 f(x)在区间[-1,0)上单调递减,在区间(0,1]上单调递增,所以当 m∈[-1,1]时, f(m)min=f(0)=-4.又 f′(x)=-3x2+6x 的图象开口向下,且对称轴为 x=1, 所以当 n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9.故 f(m)+f′(n)的最小值为-13. 10.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f′(x)>1-f(x),f(0)=6,其中 f′(x)是 f(x)的导函数,则不 等式 exf(x)>ex+5(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( )

A.(0,+∞)B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(3,+∞) 解析:选 A.不等式 exf(x)>ex+5 可化为 exf(x)-ex-5>0. 设 g(x)=exf(x)-ex-5,则 g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1]>0, 所以函数 g(x)在定义域 R 上单调递增.又 g(0)=0,所以 g(x)>0 的解集为(0,+∞). 二、填空题 11.函数 f(x)=x-2ln x 的单调递减区间是________. 2 2 解析:f′(x)=1- (x>0),令 f′(x)=1- <0, x x 得 0<x<2,因此,函数 f(x)=x-2ln x 的单调递减区间是(0,2).答案:(0,2) 1 12.函数 f(x)=ax2+bx 在 x= 处有极值,则 b 的值为________. a 1? 1 1 解析:f′(x)=2ax+b,因为函数 f(x)在 x= 处有极值,所以 f′? +b=0, ?a?=2a· a a 即 b=-2.答案:-2 k k 13.若函数 h(x)=2x- + 在(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,则实数 k x 3 =________. k 解析:h′(x)=2+ 2,根据题意,知 h′(1)=0,即 2+k=0, x 解得 k=-2,经验证,符合题意.答案:-2

1 14.函数 f(x)=- x3+x 在(a,10-a2)上有最大值,则实数 a 的取值范围是________. 3 解析:由于 f′(x)=-x2+1. 易知 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在[-1,1]上单调递增. a<1, ? ? 2 故函数 f(x)在(a,10-a2)上存在最大值的条件为?10-a >1, 即-2≤a<1. ? ?f(1)≥f(a). 答案:[-2,1) 三、解答题 π π? 15.求函数 f(x)=sin 2x-x 在 x∈? ?-2,2?时的最值. π π 解:f′(x)=2cos 2x-1.令 f′(x)=2cos 2x-1=0,解得 x1= ,x2=- . 6 6 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: π - 2

x

?-π, -π? 6? ? 2




π 6

?-π, π? ? 6 6?
+ ?

π 6

?π, ?6
π? 2? - ?

π 2

f′(x) f(x) π 2

0 π-3 3 6

0

?



π 2

π π 由上表可知 f(x)的最大值是 ,最小值是- . 2 2 m 16.求函数 f(x)=x+ (m>0)的单调区间. x m (x+ m)(x- m) 解:函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f′(x)=1- 2= . x x2 令 f′(x)>0,解得 x<- m或 x> m, m 所以函数 f(x)=x+ (m>0)的单调增区间为(-∞,- m),( m,+∞). x 令 f′(x)<0,解得- m<x< m且 x≠0, m 所以函数 f(x)=x+ (m>0)的单调减区间为(- m,0),(0, m). x 17.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 分别在 x=1,x=-2 处取得极值. (1)求 a,b 的值; c2-10 (2)若当 x∈[-3,2]时,f(x)> 恒成立,求 c 的取值范围. 2 解:(1)f′(x)=3x2+2ax+b.因为函数分别在 x=1,x=-2 处取得极值,

2a b 3 所以 1,-2 是 3x2+2ax+b=0 的两个根,所以 1-2=- ,-2= ,所以 a= ,b=-6. 3 3 2 (2)f′(x)=3x2+3x-6=3(x2+x-2)=3(x+2)(x-1),令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=1. f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 9 c+ 2 -3 (-3,-2) + ? -2 0 极大值 c+10 (-2,1) - ? 1 0 7 极小值 c- 2 (1,2) + ? c+2 2

2 7 7 c -10 所以 f(x)在区间[-3,2]上的最小值为 c- ,所以 c- > ,即 c2-2c-3<0, 2 2 2

解得-1<c<3. a(x-1)+bex 18.已知函数 f(x)= (a≠0). ex (1)当 a=-1,b=0 时,求函数 f(x)的极值; (2)当 b=1 时,若函数 f(x)没有零点,求实数 a 的取值范围. -x+1 x-2 解:(1)当 a=-1,b=0 时,f(x)= ,所以 f′(x)= x , ex e 所以当 x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 1 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以 f(x)的极小值为 f(2)=- 2,无极大值. e ax-a+ex ax-a+ex (2)当 b=1 时,f(x)= . 根据题意 , 知 =0 无实根, ex ex 即 ax-a+ex=0 无实根.令 h(x)=ax-a+ex,则 h′(x)=a+ex. 若 a>0,则 h′(x)>0,h(x)在 R 上单调递增,存在 x0,使得 h(x0)=0,不合题意; 若 a<0,令 h′(x)>0,得 x>ln(-a);令 h′(x)<0,得 x<ln(-a), 所以 h(x)min=h(ln(-a))=aln(-a)-2a.由题意,得 h(x)min>0, 即 aln(-a)-2a>0,解得-e2<a<0,符合题意.综上所述,a 的取值范围为(-e2,0). 1.4 生活中的优化问题举例 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 中的优化问题. 2.会利用导数解决简单的实际生活

面积、容积最大问题 在高为 H、底面半径为 R 的圆锥内作一个内接圆柱,当圆柱底面半径为多大时, 圆柱的体积最大?

【解】 设圆柱底面半径为 r,高为 h,体积为 V. r H R 1- ?, 在圆锥的轴截面△ABC 中,如图所示,因为 = ,所以 h=H? R ? ? r H-h r? H3 H2 2 所以 V=πr2h=πr2H? ?1-R?=πHr -π R r (0<r<R),所以 V′=2πHr-3π R r . 2 令 V′=0,得 r= R 或 r=0(舍去). 3 由于在(0,R)内函数只有一个极大值点,根据题意知该点即为最大值点, 2 4 所以当 r= R 时,体积最大,Vmax= πR2H. 3 27

利用导数解决几何问题,往往是求体积、面积的最值,首先看清题意,分析几何图形的 特征,设出变量,列出目标函数式,注明定义域,再转化为用导数求最值.若在定义域内只 有一个极值,则这个极值便为最值. 1.把长度为 l 的铁丝围成一个长方形,则围成的最大面积为( A.l2 l2 C. 8 l2 B. 4 l2 D. 16 )

l 解析:选 D.设长方形一边长为 x,则另一边长为 -x,从而可知面积 2 l l? l ? l l l l l 2 ? S=x? S′>0, <x< 时, ?2-x?=-x +2x?0<x<2?.令 S′=-2x+2=0 知 x=4.又 0<x<4时, 4 2 S′<0,故 Smax= l2 ,故选 D. 16

2.用长为 90 cm,宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去 一个小正方形,然后把四边翻转 90°,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的 容积最大?最大容积是多少?

解:设容器的高为 x,容器的体积为 V,则 V=(90-2x)(48-2x)x(0<x<24), 即 V=4x3-276x2+4 320x.因为 V′=12x2-552x+4 320, 由 V′=12x2-552x+4 320=0,得 x1=10,x2=36. 因为 0<x<10 时,V′>0,10<x<36 时,V′<0,x>36 时,V′>0,所以当 x=10 时,V 有极大值 V(10)=19 600.

又因为 0<x<24,所以 V(10)也是最大值.所以当 x=10 时,V 有最大值 V(10)=19 600. 故当容器的高为 10 cm 时,容器的容积最大,最大容积是 19 600 cm3. 用料(费用)最省问题 现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地, 已知轮船的最大航行速度为 35 海里/时, A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里, 每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成, 轮 船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6),其余费用为每小时 960 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶? 500 480 000 【解】 (1)依题意得 y= (960+0.6x2)= +300x, x x 480 000 且由题意知,函数的定义域为(0,35],即 y= +300x(0<x≤35). x -480 000 (2)由第一问知,y′= +300,令 y′=0,解得 x=40 或 x=-40(舍去), x2 因为函数的定义域为(0,35],所以函数在定义域内没有极值点. 480 000 又当 0<x≤35 时,y′<0,所以 y= +300x 在(0,35]上单调递减, x 480 000 故当 x=35 时,函数 y= +300x 取得最小值. x 故为了使全程运输成本最小,轮船应以 35 海里/时的速度行驶.

实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函 数的最小值,此时根据 f′(x)=0 求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后, 函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值. 1.一房地产公司有 50 套公寓要出租,当月租金定为 1 000 元时,公寓会 全部租出去, 当月租金每增加 50 元, 就会多一套租不出去, 而租出去的公寓每月需花费 100 元维修费,则租金定为________元时可获得最大收入. 解析:设没有租出去的公寓数为 x,则收入函数 f(x)=(1 000+50x)(50-x)-100(50-x), 所以 f′(x)=1 600-100x,解得 x=16,所以当 x=16 时,f(x)取最大值,把租金定为 1 800 元 时,收入最大.答案:1 800 2.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时 10 海里时,燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,问轮船的速度是 多少时,航行 1 海里所需的费用总和最小? 解:设速度为每小时 v 海里的燃料费是每小时 p 元,那么由题设的比例关系得 p=k· v3, 6 其中 k 为比例系数,它可以由 v=10,p=6 求得,即 k= 3=0.006,则 p=0.006v3.又设当 10

船的速度为每小时 v 海里时,行 1 海里所需的总费用为 q 元,那么每小时所需的总费用是 1 1 0.006v3+96(元), 而行 1 海里所需时间为v小时, 所以行 1 海里的总费用为 q=v(0.006v3+96) 96 96 0.012 =0.006v2+ v .q′=0.012v- 2 = 2 (v3-8 000),令 q′=0,解得 v=20. v v 因为当 v<20 时,q′<0;当 v>20 时,q′>0,所以当 v=20 时 q 取得最小值, 即速度为 20 海里/小时时,航行 1 海里所需费用总和最小. 利润最大问题 某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元, 月平均销售 a 件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结 果表明,如果产品的销售价格提高的百分率为 x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率 为 x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y(元). (1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 【解】 (1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+x),月平均销售量为 a(1-x2)件, 则月平均利润 y=a(1-x2)· [20(1+x)-15](元), 所以 y 关于 x 的函数关系式为 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1). 1 2 1 (2)由 y′=5a(4-2x-12x2)=0,得 x1= ,x2=- (舍去),当 0<x< 时,y′>0; 2 3 2 1 1 当 <x<1 时, y′<0, 所以函数 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1)在 x= 处取得极大值, 2 2 1? 即最大值.故改进工艺后,产品的销售价为 20? ?1+2?=30 元时,旅游部门销售该纪念品的 月平均利润最大.

(1)经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢, 以产量或单价为自变量很容易 建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. (2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润=收入-成本; ②利润=每件产品的利润?销售件数. 1.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数 1 关系式为 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 3 A.13 万件 C.9 万件 B.11 万件 D.7 万件 )

解析:选 C.因为 x>0,y′=-x2+81=(9-x)(9+x), 令 y′=0,解得 x=9 或 x=-9(舍去),当 x∈(0,9)时,y′>0,当 x∈(9,+∞)时,y′ <0,所以 y 先增后减.所以当 x=9 时函数取得最大值.选 C. 2.某连锁分店销售某种纪念品,每件纪念品的成本为 4 元,并且每件纪念品需向总店 交 3 元的管理费,预计当每件纪念品的售价为 x(7≤x≤9)元时,一年的销售量为(x-10)2 万 件. (1)求该连锁分店一年的利润 L(万元)与每件纪念品的售价 x(元)的函数关系式 L(x); (2)当每件纪念品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大 值. 解:(1)该连锁分店一年的利润 L(万元)与售价 x(元)的函数关系式为 L(x)=(x-7)(x-10)2,x∈[7,9].(2)L′(x)=(x-10)2+2(x-7)(x-10) =3(x-10)(x-8),令 L′(x)=0,得 x=8 或 x=10(舍去), 因为 x∈[7,8]时,L′(x)≥0,x∈[8,9]时,L′(x)≤0, 所以 L(x)在 x∈[7,8]上单调递增,在 x∈[8,9]上单调递减,所以 L(x)max=L(8)=4. 即当每件纪念品的售价为 8 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大利润为 4 万元.

1.解应用题的四步曲:(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问 题的主要关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;(4)对结果进行验证评估, 定性定量分析,做出正确的判断,确定答案. 2.解决优化问题的注意点 (1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应 舍去; (2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形,如果函数在 这点有极大(小)值,那么不用将该点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较,也可以知 道函数在该点处取得最大(小)值; (3)在解决优化问题时,将问题中涉及的变量关系用函数关系表示出来的同时,还要确 定函数关系中自变量的定义域.

1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油 1 温度(单位:℃)为 f(x)= x3-x2+8(0≤x≤5),那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( 3 A.8 C.-1 20 B. 3 D.-8 )

解析:选 C.原油温度的瞬时变化率为 f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当 x=1 时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1. 2.某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为 P 元, 销售量为 Q 件,且销量 Q 与零售价 P 有如下关系:Q=8 300-170P-P2,则最大毛利润为 (毛利润=销售收入-进货支出)( A.30 元 C.28 000 元 ) B.60 元 D.23 000 元

解析:选 D.毛利润为(P-20)Q,即 f(P)=(P-20)(8 300-170P-P2), f′(P)=-3P2-300P+11 700=-3(P+130)(P-30).令 f′(P)=0, 得 P=30 或 P=-130(舍去).又 P∈[20,+∞),故 f(P)max=f(P)极大值, 故当 P=30 时,毛利润最大,所以 f(P)max=f(30)=23 000(元). 3.甲、乙两地相距 400 km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 100 km/h,已 1 1 知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(km/h)的函数关系式为 P= v4- v3+ 19 200 160 15v. (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v(km/h)的函数关系式; (2)为使全程运输成本最低,汽车应以多大速度行驶?并求出最低运输成本.
3 5v2 400 400P v 解: (1) 汽车从甲地到乙地需用 v h , 故全程运输成本为 Q = v = - +6 48 2

000(0<v≤100). v2 (2)由第一问得 Q′= -5v,令 Q′=0,得 v=80(v=0 舍去).当 0<v<80 时,Q′<0; 16 当 80<v≤100 时,Q′>0. 2 000 所以当汽车的速度为 80 km/h 时,全程运输成本最低,最低运输成本为 元. 3

[A 基础达标] 4 1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的距离为 s= t3-2t2,那么速度为 0 3 的时刻是( ) B.0 秒 D.0 秒或 1 秒末

A.1 秒末 C.2 秒末

解析:选 D.由题意可得 t≥0,s′=4t2-4t,令 s′=0,解得 t1=0,t2=1. 2.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关的统计数据显示, 从上午 6 时到 9 时,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间 1 3 629 的关系可近似地用如下函数给出:y=- t3- t2+36t- ,则在这段时间内,通过该路段 8 4 4

用时最多的时刻是( A.6 时 C.8 时

) B.7 时 D.9 时

3 3 3 解析:选 C.y′=- t2- t+36=- (t+12)(t-8).令 y′=0,得 t=8 或 t=-12(舍去), 8 2 8 则当 6≤t<8 时,y′>0,当 8<t≤9 时,y′<0,所以当 t=8 时,通过该路段所用的时间最 多.故选 C.

3.某出版社出版一读物,一页上所印文字占去 150 cm2,上、下要留 1.5 cm 空白,左、 右要留 1 cm 空白,出版商为节约纸张,应选用的尺寸( )

A.左右长 12 cm,上下长 18 cmB.左右长 12 cm,上下长 19 cm C.左右长 11 cm,上下长 18 cmD.左右长 13 cm,上下长 17 cm 150 解析:选 A.设所印文字区域的左右长为 x cm,则上下长为 cm,所以纸张的左右长 x 150 ? 300 ?150 ? 为(x+2)cm,上下长为? ? x +3?cm,所以纸张的面积 S=(x+2)? x +3?=3x+ x +156. 300 所以 S′=3- 2 ,令 S′=0,解得 x=10.当 x>10 时,S 单调递增; x 当 0<x<10 时,S 单调递减. 所以当 x=10 时,Smin=216(cm2),此时纸张的左右长为 12 cm,上下长为 18 cm. 故当纸张的边长分别为 12 cm,18 cm 时最节约. 4.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 x ? ?-900+400x,0≤x≤390, 元, 若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? 则当总利润最大时, ? ?90 090,x>390, 每年生产产品的单位数是( A.150 C.250 解析:选 D.由题意得,总利润 x ? ?-900+300x-20 000,0≤x≤390, P(x)=? ? ?70 090-100x,x>390, 令 P′(x)=0,得 x=300,经检验当 x=300 时总利润最大,故选 D.
3 3

) B.200 D.300

5.某商品的进价为 3 元/件,根据以往经验,当售价为 8 元/件时,可卖出 30 件,市场 调查表明, 当售价每下降 1 元时, 销量可增加 10 件, 且售价下降 x 元时, 获得的利润为 L(x) 元,则 L(x)的最大值为( A.220 C.180 ) B.200 D.160

解析:选 D.当售价下降 x 元时,每件利润为(5-x)元,此时销量为(30+10x)件,所以 L(x)=(5-x)(30+10x)=10(5-x)(3+x)=10(-x2+2x+15)(0≤x≤5),所以 L′(x)=10(-2x+ 2)=20(-x+1),令 L′(x)=0,得 x=1;令 L′(x)>0,得 0≤x<1,L(x)单调递增;令 L′(x)<0, 得 1<x≤5,L(x)单调递减.所以当 x=1 时,L(x)取得最大值,为 160,故选 D. 6.甲、乙两地相距 240 km,汽车从甲地以速度 v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每 小时的运输成本由固定成本和可变成本组成, 固定成本为 160 元, 可变成本为 使全程运输成本最小,汽车应以________km/h 的速度行驶. 解析:设全程运输成本为 y 元,由题意知 2 ? 1 3? 240 ? 160 y= v ? ?160+6 400v ?(v>0),y′=240?- v2 +6 400v?,令 y′=0,得 v=80, 当 v>80 时,y′>0;当 0<v<80 时,y′<0.所以 v=80 时,ymin=720.答案:80 7.圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S,要使它的容积最大,它的高 h 与底面半径 R 的比应为________. S-2πR2 S-2πR2 2 解析:因为 S=2πRh+2πR2,所以 h= ,所以 V(R)= πR , 2πR 2πR 1 1 1 = (S-2πR2)R= SR-πR3.由 V′(R)= S-3πR2=0,得 S=6πR2,结合函数的单调性知 2 2 2 当 S=6πR2 时,容积最大,此时 6πR2=2πRh+2πR2.即 h∶R=2∶1.答案:2∶1 2 8. 某厂生产 x 件产品的总成本为 C 万元, 产品单价为 P 万元, 且满足 C=1 200+ x3, 75 500 P= ,则当 x=________时,总利润最高. x 500 2 2 解析:设总利润为 L(x)万元,则由题意得 L(x)=x· -1 200- x3=- x3+500 x- 75 75 x 2 250 1 200(x>0). 由 L′(x)=- x2+ =0, 得 x=25.令 L′(x)>0, 得 0<x<25; 令 L′(x)<0, 得 x>25, 25 x 得 L(x)在区间(0,25)上单调递增,在区间(25,+∞)上单调递减,所以当 x=25 时,总利润 最高.答案:25 9.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米.余下工程只需建两端桥墩之 间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2+ x)x 万元. 假设桥墩等距离分布, 所有桥墩在桥面距离计算中都视为点, 1 3 v 元. 为 6 400

且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解:(1)设需要新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m, m ? m m 256m 即 n= -1,所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x=256? ? x -1?+ x (2+ x)x= x + x m x+2m-256(0<x≤m). (2) 对第一问中函数 f(x) 求导得 , f ′ (x) =-
3 3 256m 1 1 640 2 320 3 2 2 + mx - = 2 (x - 512) = 2 (x - x 2 2 2x x

512)(0<x≤640).令 f′(x)=0,解得 x2=512,即 x=64. 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)上为减函数; 当 64<x≤640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640]上为增函数. m 640 所以 f(x)在 x=64 处取得极小值,也是最小值,此时 n= -1= -1=9. x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 10.

如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场, 圆心为 O, 半径 为 100 m,其与城站路一边所在直线 l 相切于点 M,MO 的延长线交圆 O 于点 N,A 为上半 圆弧上一点, 过点 A 作 l 的垂线, 垂足为点 B.市园林局计划在△ABM 内进行绿化, 设△ABM 的面积为 S(单位:m2). (1)以∠AON=θ(rad)为自变量,将 S 表示成 θ 的函数; (2)求使绿化面积最大时点 A 的位置及最大绿化面积. 解: (1)由题意知, BM=100sin θ, AB=100+100cos θ, 故 S=5 000sin θ(1+cos θ)(0<θ<π). (2) 因为 S = 5 000sin θ(1 + cos θ)(0<θ<π) , 所以 S′ = 5 000(cos θ + cos2θ - sin2θ) = 5 000(2cos2θ+cos θ-1)=5 000(cos θ+1)(2cos θ-1). 1 π 令 S′=0,得 cos θ= 或 cos θ=-1(舍去),又 θ∈(0,π),故 θ= . 2 3 π 1 π 1 当 0<θ< 时, <cos θ<1,S′>0;当 <θ<π 时,-1<cos θ< ,S′<0. 3 2 3 2 π 故当 θ= 时,S 取得极大值,也是最大值,最大值为 3 750 3,此时 AB=150. 3 即当点 A 距路边的距离为 150 m 时,绿化面积最大,最大面积为 3 750 3 m2. [B 能力提升]

11.若球的半径为 R,作内接于球的圆柱,则其侧面积的最大值为( A.2πR2 C.4πR2 B.πR2 1 D. πR2 2 h2 R2- , 4

)

解析: 选 A.设内接圆柱的高为 h,底面半径为 x,则 x= 所以 S 侧=2πxh=2πh h2 R2- =2π 4 h4 R2h2- , 4

h4 令 t=R2h2- ,则 t′=2R2h-h3,令 t′=0,得 h= 2R(舍负)或 h=0(舍去),当 0<h< 2 4 R 时,t′>0,当 2R<h<2R 时,t′<0,所以当 h= 2R 时,圆柱的侧面积最大. 所以侧面积的最大值为 2π 2R4-R4=2πR2,故应选 A. 12.某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比, 比例系数为 k(k>0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利 率为 x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为________. 解析:依题意知,存款额是 kx2,银行应支付的存款利息是 kx3,银行应获得的贷款利息 是 0.048kx2, 所以银行的收益是 y=0.048kx2-kx3(0<x<0.048), 故 y′=0.096kx-3kx2.令 y′=0, 解得 x=0.032 或 x=0(舍去).当 0<x<0.032 时,y′>0;当 0.032<x<0.048 时,y′<0.因此, 当 x=0.032 时,y 取得极大值,也是最大值,即当存款利率为 3.2%时,银行可获得最大收 益.答案:3.2% 13.水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历 年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为 1 ? ?(-t2+14t-40)e4t+50,0<t≤10. V(t)=? ? ?4(t-10)(3t-41)+50,10<t≤12. (1)该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期,以 i-1<t<i 表示第 i 月份(i=1,2,?, 12),问一年内哪几个月份是枯水期? (2)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7 计算). 解:(1)根据 t 的范围分段求解: 1 ①当 0<t≤10 时,V(t)=(-t2+14t-40)e t+50<50,化简得 t2-14t+40>0,解得 t<4 或 4 t>10.又 0<t≤10,故 0<t<4. ②当 10<t≤12 时,V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50, 化简得(t-10)(3t-41)<0,解得 10<t< 41 .又 10<t≤12,故 10<t≤12.综上得 0<t<4 或 3

10<t≤12.故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,4 月,11 月,12 月共 6 个月. (2)由第一问知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到,

1 1 3 1 1 - t2+ t+4?=- e4t(t+2)(t-8).令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去), 由 V′(t)=e4t? ? 4 2 ? 4

当 t 变化时,V′(t)与 V(t)的变化情况如下表:

t V′(t) V(t)

(4,8) + ?

8 0 极大值

(8,10) - ?

由上表,V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e2+50=108.32(亿立方米). 故一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米. 14.(选做题)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 m2 的三级污水处理池(平面图 如图所示).如果池四周围墙建造单价为 400 元/m,中间两道隔墙建造单价为 248 元/m,池 底建造单价为 80 元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 m.试设计污水池的长和宽,使总造 价最低,并求出最低总造价. 200 解:(1)设污水处理池的长为 x m,则宽为 m,再设总造价为 y 元,则有 y=2x?400 x 200 200 259 200 + ?2?400+248?2? +80?200=800x+ +16 000≥ x x x 2 259 200 259 200 800x· +16 000=2?800?18+16 000=44 800,当且仅当 800x= , x x

即 x=18 m 时,y 取得最小值. 100 所以当污水池的长为 18 m,宽为 m 时总造价最低,为 44 800 元. 9 324 200 1- 2 ? , (2)因为 0<x≤16,0< ≤16,所以 12.5≤x≤16,x≠18,令 φ′(x)=y′=800? x ? ? x x2-324 当 12.5≤x≤16 时,y′=800· 2 <0,所以 φ(x)在[12.5,16]上为减函数. x 从而 φ(x)≥φ(16)=45 000. 所以,当该池的长为 16 m,宽为 12.5 m 时,总造价最低,最低总造价为 45 000 元. 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 1.了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法. 和变速运动的物体行驶的路程. 2.会求曲边梯形的面积

[学生用书 P23]

1.连续函数与曲边梯形 (1)连续函数 如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线,那么就把它称为区间 I 上的连续函数. (2)曲边梯形 把由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.

2.曲边梯形的面积与变速直线运动的路程 (1)求曲边梯形面积的步骤 ①分割:如图,将[a,b]分割,等分成 n 个小区间. b-a 每个小区间的长度为Δ x= . n

②近似代替:将①所分的每一个小曲边梯形的面积用小矩形面积Δ S′i 近似代替,其中 ξi ∈[xi-1,xi]. ③求和:由②知 ④取极限:由③得 (2)如果物体做变速直线运动,速度函数为 v = v (t),那么也可以采用分割、近似代替、求 和、取极限的方法,求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s.

,当 n→∞时,

1.判断(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)求汽车行驶的路程时,分割的区间表示汽车行驶的路程.( (2)利用“以直代曲”思想求出的曲边梯形的面积是近似值.( (3)利用求和符号计算 ( ) ) )

答案:(1)? (2)√

(3)√ )

2.把区间[-1,2]n 等分,所得的 n 个小区间的长度均为( 1 A. n 3 C. n 答案:C 3.函数 f(x)=x2 在区间? A.f(x)的值变化很小 C.f(x)的值不变化 答案:D i-1 i ? ? n ,n?上( ) 2 B. n 4 D. n

B.f(x)的值变化很大 D.当 n 很大时,f(x)的值变化很小

4.已知某物体运动的速度 v=2t-1,t∈[0,10],若把区间 10 等分,取每个小区间右 端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为________. 答案:100

求曲边梯形的面积 1 求由直线 x=0,x=1,y=0 及曲线 f(x)= x2 所围成的图形的面积. 2 【解】 (1)分割将区间[0,1]等分成 n 个小区间:

?0,1?,?1,2?,?,?i-1, i ?,?,?n-1,1?,每个小区间的长度为Δx=1. ? n? ?n n? n ? n n? ? n ?
过各分点作 x 轴的垂线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,它们的面积分别记作ΔS1, ΔS2,?,ΔSn. (2)近似代替 在区间? i-1 i-1 i ? 1 i-1?2 1 , 上,用 n 处的函数值2? ? n n? ? n ? 作为高,以小区间的长度Δx=n作为底

1 i-1?2 1 边长的小矩形的面积近似代替第 i 个小曲边梯形的面积,即ΔSi≈ ? ·. 2? n ? n (3)求和

曲边梯形的面积为 1 1 1 ?1? 2 1 1 ?2? 2 1 1 ?n-1? 2 1 1 1 1- ? = 0· + · · + · · + ? + · · = [12 + 22 + ? + (n - 1)2] = ? n 2 ?n? n 2 ?n? n 2 ? n ? n 2n3 6 ? n?

?1- 1 ?. ? 2n?
(4)取极限

1 1? 1?? 1 1- 1- ?= . 曲边梯形的面积为 S=lim n?? 2n? 6 n ∞ 6?


由极限法求曲边梯形的面积的步骤 第一步:分割.在区间[a,b]中等间隔地插入 n-1 个分点,将其等分成 n 个小区间[xi
-1

,xi](i=1,2,?,n),小区间的长度Δxi=xi-xi-1. 第二步:近似代替.“以直代曲”,用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出小

曲边梯形面积的近似值. 第三步:求和.将 n 个小矩形的面积进行求和得 Sn. 第四步:取极限.当 n→∞时,Sn→S,S 即为所求. 1 1.直线 x=1,x=2,y=0 与曲线 y= (x>0)围成曲边梯形,将区间[1,2] x 进行 100 等分后第一个小区间上曲边梯形的面积是________. 1 1 解析: 将曲边梯形近似地看成矩形, 其边长分别为 f(1)=1, , 故面积=1? =0.01. 100 100 答案:0.01 2.利用定积分的定义求由 y=3x,x=0,x=1,y=0 围成的图形的面积. 解:(1)分割:把区间[0,1]等分成 n 个小区间? i-1 i ? ? n ,n?(i=1,2,?,n),其长度为Δx

1 = .分别过上述 n-1 个分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,其面积记为 n ΔSi(i=1,2,?,n). (2)近似代替:用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积,得ΔSi=f? 3 (i-1)(i=1,2,?,n). n2 (3)作和: 3 3 n-1 = 2[1+2+?+(n-1)]= · . n 2 n i-1 1 i-1? = n ? n ?Δx=3· n ·

n 3 3 n-1 3 (4)求极限:S=lim = . 2(i-1)=lim · ? n ∞ n ∞ 2 n n 2 i=1
→ →

变速直线运动路程的求法 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻 t 的速度为 v(t)=-t2+5(t 的 单位:h,v 的单位:km/h),试计算这辆汽车在 0≤t≤2 这段时间内汽车行驶的路程 s(单位: km). 【解】 (1)分割:在时间区间[0,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,将区间分成 n 个小 区间,记第 i 个小区间为? 2(i-1) 2i? , (i=1,2,?,n), n n? ?

2? ?2 4? 2i 2(i-1) 2 ?2(n-1),2?上行驶 Δt= - = ,把汽车在时间段? ?0,n?,?n,n?,?,? n n n n ? 的路程分别记为Δs1,Δs2,?,Δsn,则有 sn= ? Δ si.
i=1 n

2i (2)近似代替:取 ξi= (i=1,2,?,n), n
2 2i? 2 4i2 2 10 ?-?2i? +5?· Δsi≈v? · Δ t = =- ? + (i=1,2,?,n). ?n? n2 n n ? ?n? ?n

(3)求和: 4?12 2 4?22 2 4?n2 2 =- 2 ? - 2 ? -?- 2 ? +10 n n n n n n 8 =- 3[12+22+?+n2]+10 n 8 n(n+1)(2n+1) =- 3? +10 n 6 1 1 1 1+ ??1+ ?+10. =-8· ? 2n? 3? n?? (4)取极限: 22 因此,行驶的路程为 km. 3

求变速直线运动的路程的方法 求变速直线运动路程的问题 , 方法和步骤类似于求曲边梯形的面积 , 用 “ 以直代 曲”“逼近”的思想求解.求解过程为分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直 线运动的时间区间. 1.汽车运动速度与时间的关系为 v(t)=t2,运动时间为 2 小时,将运动时 间区间分割为 200 等份,则汽车在第 i 个时间区间上的运动路程是________.
2 i ?2 1 ? i ? ·1 = 解析: 在第 i 个区间上的运动速度为? , 运动时间为 , 所以路程 s = i ?100? ?100? 100 100

i2 i2 3.答案: 100 1003 6 2.一辆汽车做变速直线运动,设汽车在时刻 t 的速度 v(t)= 2(t 的单位:h,v 的单位: t km/h),求汽车在 t=1 到 t=2 这段时间内运动的路程 s(单位:km). 解:(1)分割. 把区间[1,2]等分成 n 个小区间?

?

n+i-1 n+i? (i=1,2,?,n),每个区间的长度Δt , n n ?

1 = ,每个时间段行驶的路程记为Δsi(i=1,2,?,n). n

故路程和 sn= ? Δ si.
i=1

n

(2)近似代替.Δsi≈v? =

2 n+i-1? 1 ? n ?· · Δt=6· ? n ? ?n+i-1? n

6 1 6n 6n (i=1,2,3,?,n). 2≈ 2· = n i - 1 ( n + i - 1 ) ( n + i - 1 )(n+i) ?1+ ? n ? ?

n 1 1 1 1 1 1 6n (3)求和.sn= ? =6n?n-n+1+n+1-n+2+?+2n-1-2n? ? ? (n+i-1)(n+i) i=1

1 1? =6n? ?n-2n?. 1 1? (4)取极限.s= lim sn= lim 6n? ?n-2n?=3.
n →∞ n→∞

1.求曲边梯形面积的“以直代曲”思想 教材在求抛物线 y=x2 与直线 x=1, y=0 所围成的平面图形的面积时, 用每个小区间左 端点的函数值近似替代在该小区间上的函数值,由图可知 S 矩形 ABCD<S 曲边梯形 ABED,但当 n→∞ 时,其和式无限趋近于一个常数,即能用来求曲边梯形的面积,从而可将“以直代曲”的方 案加以拓展,即可以取小区间内任意一点 xi 所对应的函数值 f(xi)作为小矩形一边的长,和式 Sn=f(x1)Δ x+f(x2)Δ x+?+f(xn)Δ x 近似表示曲边梯形的面积.

图示求曲边梯形面积的四个步骤

2. “以不变代变”求变速直线运动的路程 与求曲边梯形面积类似, 我们采取“以不变代变”的方法, 把求变速直线运动的路程问 题,化归为求匀速直线运动的路程问题.

1.将区间[a,b]等分成 n 份,则每个小区间的长度为( 1 A. n a B. n

)

b C. n

b-a D. n

b-a 解析: 选 D.因为原区间长度为 b-a, 将其等分成 n 份后, 每一个小区间的长度均为 . n 2.直线 y=2x+1 与直线 x=0,x=m,y=0 围成图形的面积为 6,则正数 m=( A.1 C.3 B.2 D.4 )

1 解析:选 B.由题意,直线围成梯形的面积为 S= (1+2m+1)m=6,解得 m=2,m=-3(舍 2 去).
n i 3. ? =________. n i=1 n i n+1 1 1 n(n+1) n+1 解析: ? = (1+2+?+n)= · = .答案: n n n 2 2 2 i=1

4.(2017· 大连高二检测)物体运动的速度和时间的函数关系式为 v(t)=2t(t 的单位:h,v 的单位:km/h),近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时,把区间 6 等分,则路程近似 值(每个 ξi 均取值为小区间的右端点)为________km. 解析:以小区间右端点时的速度为小区间的平均速度,可得路程近似值为 S=(2?3+ 2?4+2?5+2?6+2?7+2?8)?1=66(km). 答案:66

[A 基础达标] 1.在“近似代替”中,函数 f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值( A.只能是区间左端点的函数值 f(xi) B.只能是区间右端点的函数值 f(xi+1) C.可以是该区间内任一点的函数值 D.以上答案均正确 解析:选 C.作近似计算时,Δx=xi+1-xi 很小,所以在区间[xi,xi+1]上,可以认为函数 f(x)的值变化很小, 近似地等于一个常数, 所以 f(x)在区间[xi, xi+1]上的近似值可以是区间[xi, xi+1]上任一点的函数值. 2.在求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x2 所围成的曲边三角形的面积时,把区间[0, 2]等分成 n 个小区间,则第 i 个小区间是( A.? i-1 i ? ? n ,n? ) i i+1? B.? , ?n n ? )

C.?

?

2(i-1) 2i? , n n?

2i 2(i+1)? D.? , n ?n ?

2 解析:选 C.将区间[0,2]等分为 n 个小区间后,每个小区间的长度为 ,第 i 个小区间 n 为? 2(i-1) 2i? , . n n? ? 3. 求由直线 x=0, x=2, y=0 与曲线 y=x2+1 所围成的曲边梯形的面积时, 将区间[0, 2]5 等分,按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( A.3.92,5.52 C.2.51,3.92 B.4,5 D.5.25,3.59 )

2? ?2 4? ?4 6? ?6 8? ?8 ? 解析:选 A.将区间[0,2]5 等分为? ?0,5?,?5,5?,?5,5?,?5,5?,?5,2?,以小区间 左端点对应的函数值为高,得 2 2 4 2 6 2 8 2 2 S1=?1+?5? +1+?5? +1+?5? +1+?5? +1?? =3.92, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 2 2 4 2 6 2 8 2 以小区间右端点对应的函数值为高,得 S2=??5? +1+?5? +1+?5? +1+?5? +1+

?? ?

? ?

? ?

? ?

2 22+1]? =5.52.故选 A. 5 1 4.在求由曲线 y= 与直线 x=1,x=3,y=0 所围成图形的面积时,若将区间 n 等分, x 并且用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第 i 个小曲边梯形的面积Δ Si 约等于( 2 A. n+2i 2 C. n(n+2i) 2 B. n+2i-2 1 D. n+2i )

n+2(i-1) n+2i? 2 解析:选 A.每个小区间长度为 ,第 i 个小区间为? ,因此第 i 个 , n n n ? ? 1 2 2 小曲边梯形的面积ΔSi≈ ·= . n+2i n n+2i n 5.若做变速直线运动的物体 v(t)=t2,在 0≤t≤a 内经过的路程为 9,则 a 的值为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:选 C.将区间[0,a]n 等分,记第 i 个区间为?

?

a(i-1) ai? , (i=1,2,?,n),此 n n?

2 n ai?2 a a a a3 2 ?ai? · 区间长为 ,用小矩形面积? · 近似代替相应的小曲边梯形的面积 , 则 ? ?n? n ? n ? n=n3?(1 n i=1

1 1 a3 1+ ??1+ ?近似地等于速度曲线 v(t)=t2 与直线 t=0,t=a,t 轴围成的 +22+?+n2)= ? n?? 2n? 3?

1 1 a3 a3 1+ ??1+ ??=9,所以 =9,解得 a=3. 曲边梯形的面积.依题意得 lim ? 3 ? n?? 2n?? 3 n→∞ ? ? 6.在区间[0,8]上插入 9 个等分点后,则所分的小区间长度为________,第 5 个小区 间是________. 解析:在区间[0,8]上插入 9 个等分点后,把区间[0,8]10 等分,每个小区间的长度为 16 ? 8 4 4 ?16 ? = ,第 5 个小区间为? ? 5 ,4?.答案:5 ? 5 ,4? 10 5 7.对于由直线 x=1,y=0 和曲线 y=x3 所围成的曲边三角形,把区间 3 等分,则曲边 三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是________. 1? ?1 2? ?2 ? 3 1 解析:将区间[0,1]三等分为? ?0,3?,?3,3?,?3,1?,各小矩形的面积和为 S1=0 ?3 1?3 1 ?2?3 1 1 1 +? · + · = . 答案: 3 3 ? ? 3 ? ? 3 9 9 8.当 n 很大时,可以代替函数 f(x)=x2 在区间? 1? ?i-1? ?i? ?i 1 ? ①f? ?n?;②f?n?;③f? n ?;④f?n-2n?. 解析:因为当 n 很大时,区间? i-1 i ? 1 ? n ,n?上的任意的取值的函数值都可以代替,又因为n i-1 i ? ? n ,n?上的值有________.

i-1 i ? i-1 ?i-1 i ? i ?i-1 i ? i 1 ?i-1 i ? ? ? ? n ,n?, n ∈? n ,n?,n∈? n ,n?,n-2n∈? n ,n?,故能代替的有②③④. 答案:②③④ 9.利用分割,近似代替,求和,取极限的办法求函数 y=1+x,x=1,x=2 的图象与 x 轴围成梯形的面积,并用梯形的面积公式加以验证. 解:f(x)=1+x 在区间[1,2]上连续,将区间[1,2]分成 n 等份,则每个区间的长度为Δ i-1 i-1 1 i xi= ,在[xi-1,xi]=?1+ (i=1,2,3,?,n),于是 f(ξi) ,1+ ?上取 ξi=xi-1=1+ n n n n? ? i-1 i-1 =f(xi-1)=1+1+ =2+ ,从而 n n

(n-1) 5 1 2 1 1 n(n-1) = · n+ 2[0+1+2+?+(n-1)]=2+ 2? =2+ = - . n n n 2 2n 2 2n 5 1? 5 - = . 则 S= lim Sn= lim ? ? → → n ∞ n ∞ 2 2n? 2 如下进行验证:如图所示,由梯形的面积公式得:

1 5 S= ?(2+3)?1= . 2 2 10.某物体在笔直的道路上做变速直线运动,设该物体在时刻 t 的速度为 v(t)=7-t2(单 位:km/h),试计算这个物体在 0≤t≤1(单位:h)这段时间内运动的路程 s(单位:km). 1 1 2 i-1 i ? 0, ?,? , ?,?,? 解:将区间[0,1]进行 n 等分,得到 n 个小区间:? ? n? ?n n? ? n ,n?,?, 1 ?n-1,1?.即 ξ = i (i=1,2,?,n),则物体的每个时间段内运动的路程Δs ≈v(ξ )· i i i Δ t= n n ? n ?

?7- i 2?,i=1,2,?,n. ? n?
n 1 22 n2 1 n(n+1)(2n+1)? 1 7- 2+7- 2+?+7- 2?= ?7n- sn= ? Δ si= ? n n n ? ? n n 6n2 ? ? i=1

2

1 1 1 1+ ??2+ ?. =7- ? n ?? n? 6? 1 1 1 20 1+ ??2+ ??= . 于是 s= lim sn= lim ?7-6? ? n?? n?? 3 n→∞ n →∞ ? 20 所以这个物体在 0≤t≤1 这段时间内运动的路程为 km. 3 [B 11.在等分区间的情况下,f(x)= 的极限形式正确的是( ) 能力提升]

1 (x∈[0,2])及 x 轴所围成的曲边梯形的面积和式 1+x2

1 2? 1 2? n ? n ? 2· 2· A. lim ? ? ? i ? n?B. lim ? ? ?2i? n? ? 1+ ? n→∞ ?1+ ? n→∞ i=1? ?n? ? i=1? ? n ? ? 1 n n ? 1 1 · n? i ?2 ? C. lim ? ?1+i2?n?D. lim ? ? ? ? ? n→∞ ?1+?n? ? n→∞ ? i=1 i=1? 2 解 析 : 选 B. 将区 间 n 等 分 后 , 每个 小区 间 的长 度 为 Δ x = , 第 i 个小 区 间为 n

?2(i-1),2i?(i=1,2,3,?,n),则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和 n n? ?
2? ? 1 2· ? ? n 2 i 式的极限形式为 lim ? ? ?. ?1+? n→∞ ?n? ? i=1?
n

12.设函数 f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a,

π? 2 * ? 2π? b]上的面积.已知函数 y=sin nx 在? ?0,n?(n∈N )上的面积为n,则 y=sin 3x 在?0, 3 ?上的 面积为________. π? 2 2 * ? π? 解析:由于 y=sin nx 在? ?0,n?(n∈N )上的面积为n,则 y=sin 3x 在?0,3?上的面积为3. 2π? 2π 2 4 4 而 y=sin 3x 的周期为 ,所以 y=sin 3x 在? ?0, 3 ?上的面积为3?2=3.答案:3 3 13.弹簧在拉伸过程中,力(单位:N)与伸长量(单位:m)成正比,即力 F(x)=kx(k 为常 数, x 是伸长量),求将弹簧从平衡位置拉长 b m 所做的功. 解:(1)分割 在区间[0,b]上等间隔地插入 n-1 个分点,将它分成 n 个小区间,记第 i 个小区间为

?i-1b, i b?(i=1,2,?,n),其长度为Δx= i b-i-1b=b.在各个小区间上力所做的功记 n n n n ? ? n
为ΔWi(i=1,2,?,n),显然 W= ? Δ Wi.
i=1 n

i ? i ib b (2)近似代替取 ξi= b,于是ΔWi≈ΔW′i=F? Δx=k· · . ?nb?· n n n (3)求和

(4)取极限

1 所以将弹簧从平衡位臵拉长 b m 所做的功为 kb2N〃m. 2 14.(选做题)如图所示,求直线 x=0,x=3,y=0 与二次函数 f(x)=-x2+2x+3 所围 成的曲边梯形的面积.

解:

(1)如图,分割,将区间[0,3]n 等分,则每个小区间?

3(i-1) 3i? , (i=1,2,?,n) n n? ?

3 的长度为Δx= .分别过各分点作 x 轴的垂线,把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形. n (2)近似代替 以每个小区间的左端点函数值为高作 n 个小矩形. 则当 n 很大时,用 n 个小矩形面积之和 Sn 近似代替曲边梯形的面积 S. (3)求和 Sn= ?f? ? i=1
n n 3(i-1)? 9(i-1)2 3(i-1) ? 3 Δx= ? ?- +2? +3 ?n 2 n n n ? ? ? i=1

27 18 =- 3 [12+22+?+(n-1)2]+ 2 [1+2+3+?+(n-1)]+9 n n 27 1 18 n(n-1) =- 3 ? (n-1)n(2n-1)+ 2 ? +9 n 6 n 2 1?? 1? ? 1? =-9? ?1-n??1-2n?+9?1-n?+9. (4)取极限 1 1 1 1- ??1- ?+9?1- ?+9?=-9(1-0)(1-0)+9(1-0)+9=9. S= lim Sn= lim ? -9? n 2 n n? ? ? ? ? ? ? ? → → n ∞ n ∞ 即所求曲边梯形面积为 9. 1.5.3 定积分的概念 1.了解定积分的概念,会用定义求定积分. 2.理解定积分的几何意义. 3. 掌握定积分的基本性质.

1.定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?<xn=b 将区间[a,b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,?,n),作和式∑ f(ξi)Δ =
i 1 n b-a x=∑ __ f(ξi),当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间 n i=1 n

[a,b]上的定积分,记作?bf(x) dx,即?bf(x)dx=

?a

?a

,其中,a 与 b 分别叫做积分下

限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分?bf(x)dx 表示由直线 x=a,

?a

x=b,y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积. 3.定积分的性质 k b (1)?bkf(x)dx= ? ? f(x)dx(k 为常数);

?a ?a
a

a

(2)?b[f1(x)± f2(x)]dx=?bf1(x)dx±?bf2(x)dx;

?a

?a

(3)? ? f(x)dx=∫ af(x)dx+∫ cf(x)dx(其中 a<c<b).
c b

b

1.判断(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)?bf(x)dx=?bf(t)dt.(

?a ?a ?a

?a

) ) )

(2)?bf(x)dx 的值一定是一个正数.( (3)?b(x2+2x)dx=?bx2dx+?b2xdx.(

?a

?a

答案:(1)√ (2)?

(3)√
2

2.关于定积分 a=? (-2)dx 的叙述正确的是(

?-1

)

A.被积函数为 y=2,a=6 B.被积函数为 y=-2,a=6 C.被积函数为 y=-2,a=-6 D.被积函数为 y=2,a=-6 答案:C 1 3.直线 x=1,x=2,y=0 与曲线 y= 围成曲边梯形的面积用定积分表示是( x A.?20dx )

?1
2

1 B.?2 dx ?x
0

C.? dx ?x 答案:D

11

1 D.?2 dx ?x
1

4.计算定积分?1 (2-x)dx=________.答案:4

? -1

利用定义计算定积分

利用定积分的定义,计算?2(3x+2)dx 的值.

?1

【解】 令 f(x)=3x+2. (1)分割 在 区 间 [1 , 2] 上 等 间 隔 地 插 入 n - 1 个 分 点 , 把 区 间 [1 , 2] 等 分 成 n 个 小 区 间

?n+i-1,n+i?(i=1,2,?,n),每个小区间的长度为 n ? ? n
n+i n+i-1 1 Δx= - = . n n n (2)近似代替、求和
n n+i-1 n n+i-1 3(n+i-1) ? 1 ?· 取 ξi= (i=1,2,?,n),则 Sn= ?f? Δx= ? ? +2 · n n n ? ? ? ?n i=1 i=1

= ? ? ? i=1
n

2 3(i-1) 5? 3 3 n -n 13 3 + = 2[0+1+2?+(n-1)]+5= ? 2 +5= - . 2 2 n 2 2n n n? n

(3)取极限 13 3 ? 13 2 - = . (3x+2)dx= lim Sn= lim ? ? 2n? 2 ?1 n→∞ n→∞ ? 2 用定义求定积分的步骤

1.定积分?bf(x)dx 的大小(

?a

)

A.与 f(x)和积分区间[a,b]有关,与 ξi 的取法无关 B.与 f(x)有关,与区间[a,b]以及 ξi 的取法无关 C.与 f(x)以及 ξi 的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与 f(x)、积分区间[a,b]和 ξi 的取法有关 解析:选 A.当所分小区间无限多时,ξi 可以取小区间上任意一点对应的函数值,因此 与 ξi 的取法无关. 2.用定积分的定义证明?bkdx=k(b-a).

?a

证明:令 f(x)=k,用分点 a=x0<x1<x2<?<xi-1<xi<?<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小 区间[xi-1,xi](i=1,2,?,n),在每个小区间上任取一点 ξi(i=1,2,?,n).
n n b-a 作和式∑ f ( ξ ) Δ x = ∑ k· =k(b-a), i n i=1 i=1

因为当Δx→0(亦即 n→∞)时,k(b-a)→k(b-a),所以?bkdx=k(b-a).

?a

利用定积分的几何意义求定积分 利用几何意义计算下列定积分: (1)?3

?-3

9-x2dx;(2)?3 (3x+1)dx.

?-1

【解】 (1)在平面上 y= 9-x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆, 1 9 其面积为 S= · π〃32= π.所以由定积分的几何意义知?3 2 2 ? 9 9-x2dx= π. 2

-3

(2)由直线 x=-1,x=3,y=0 以及 y=3x+1 所围成的图形,如图所示: (3x+1)dx 表示由直线 x=-1,x=3,y=0 以及 y=3x+1 所围成的图形在 x 轴上方 ? ?-1 的面积减去在 x 轴下方的面积,所以?3 (3x+1)dx
3

?-1

1 1 1 1 50 2 3+ ??(3?3+1)- ?- +1??2= - =16. = ?? 2 ? 3? 2? 3 ? 3 3 (1)利用几何意义求定积分,关键是准确理解被积函数的图象,以及积分区间,正确利 用相关的几何知识求面积.不规则的图形常用分割法求面积,注意分割点的准确性. (2)一般地,如果图形的面积是直线段或圆弧围成时,可利用定积分的几何意义求定积 分,但要考虑函数的正负,是否具有对称性. 1.(2017· 济宁高二检测)由函数 y=-x 的图象,直线 x=1,x=0,y=0 所围成的图形的面积可表示为( ) A.?1(-x)dx

?0

B.?1|-x|dx

?0

C.?0 xdx

?-1

D.-?1xdx

?0

解析:选 B.由定积分的几何意义可知所求图形的面积为 S=?1|-x|dx.

?0

π π π 2.利用定积分的几何意义证明∫2- cos xdx=2∫20cos xdx 成立. 2

π π? ? π ? 证明:函数 y=cos x,x∈? ?-2,2?是偶函数,故曲线 y=cos x,x∈?-2,0?与坐标轴 π 0, ?与坐标轴围成图形的面积 S2,于是由定积 围成图形的面积 S1 等于曲线 y=cos x,x∈? ? 2? 分的几何意义,有 cos xdx=S1+S2=2S2= 利用定积分的性质求定积分 1 15 7 56 已知?1x3dx= ,?2x3dx= ,?2x2dx= ,?4x2dx= ,求下列各式的值: 4 4 3 3 ? ? ? ?
0 1 1 2

(1)? (3x )dx;

?0 ?1 ?1

2

3

(2)?4(6x2)dx; (3)?2(3x2-2x3)dx.

? 【解】 (1)?2(3x3)dx=3?2x3dx=3? ?? ?0 ?0 ? (2)?4(6x2)dx=6?4x2dx=6? ?? ?1
1 2 2

1 3

0

x dx+?2x3dx?

?1

?1+15?=12. = 3 ? ? ?4 4 ?

?1

1

x dx+?4x2dx?

?2

?7 56? ?=6??3+ 3 ?=126.
1 1

7 15 1 (3)?2(3x2-2x3)dx=?2(3x2)dx-?2(2x3)dx=3?2x2dx-2?2x3dx=3? -2? =- . 3 4 2 ? ? ? ? ?
1 1

利用定积分的性质计算定积分的方法 (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式,利用定积分的运算性质进行计算,可以 简化计算. (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数,一般利用积分区间的连续可加性 计算. 1.若?1 f(x)dx=2,?2f(x)dx=3,则?2 2f(x)dx 的值为(

?-1

?1

?-1

)

A.5 C.7 解析:选 B.?2 2f(x)dx=2?2 f(x)dx

B.10 D.8

?-1

?-1

=2?? ?-

1

?

1

f(x)dx+?2f(x)dx? =2?(2+3)=10. ?
1

?

2.已知?2xdx=2,则?2 |x|dx=________.

?0

?-2

解析:法一:?

2

? -2

|x|dx=?0 |x|dx+?2|x|dx=?0 (-x)dx+?2xdx=-?0 xdx+?2 xdx=2

?-2

?0

? -2

?0

?-2

?0

+2=4. 法二:因为 y=|x|在[-2,2]上为偶函数, 所以函数图象关于 y 轴对称,所以?2 |x|dx=2?2xdx=2?2=4.答案:4

? -2

?0

1.求定积分时常用的策略 (1)分段函数求定积分:分段函数求定积分,可先把每一段函数的定积分求出后再相加. (2)奇、偶函数在区间[a,b]上的定积分: ①若奇函数 y=f(x)的图象在[-a,a]上连续,则? ?-
a a a

f(x)dx =0; g(x)dx =2?a g(x)dx.

②若偶函数 y=g(x)的图象在[-a,a]上连续,则? ?-

a

?0

2.(易误防范)利用定积分的几何意义求定积分的两个关注点 由直线 x=a, x=b(a<b), x 轴及一条曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积设为 S, 则有: (1)在区间[a,b]上,若 f(x)≥0,则 S=?bf(x)dx.如图(1)所示,即?bf(x)dx=S.

?a

?a

(2)在区间[a,b]上,若 f(x)≤0,则 S=-?bf(x)dx,如图(2)所示,即?bf(x)dx=-S.

?a

?a

1.已知定积分?6f(x)dx=8,且 f(x)为偶函数,则

?0

f(x)dx=( ? ?-6 A.0 C.12

6

) B.16 D.8

解析:选 B.偶函数图象关于 y 轴对称,故?6 f(x)dx=2?6f(x)dx=16.故选 B.

? -6

?0

2.

图中阴影部分的面积用定积分表示为(

)

A.? 2 dxB.? (2 -1)dxC.? (2 +1)dxD.?1(1-2x)dx

?0

1 x

?0

1

x

?0

1

x

?0

解析:选 B.根据定积分的几何意义,阴影部分的面积为?12xdx-?11dx=?1(2x-1)dx.

?0

?0

?0

3.已知?b[f(x)+g(x)]dx=12,?bg(x)dx=6.则?b3f(x)dx=________.

?a

?a

?a

解析:因为?bf(x)dx+?bg(x)dx=?b[f(x)+g(x)]dx,所以?bf(x)dx=12-6=6,

?a

?a

?a

?a

所以?b3f(x)dx=3?bf(x)dx=3?6=18.答案:18

?a

?a

[A 基础达标] 1.? 1dx 的值为(

?0

1

) B.1 1 D. 2

A.0 C.2

解析:选 B.由定积分的几何意义知,?11dx 的值等于由 x=0,x=1,y=0,y=1 围成

?0
)

的正方形的面积 S,S=1?1=1,故选 B. 2.已知?t xdx=2,则?0 xdx 等于(

?0

?-t

A.0 B.2 C.-1 D.-2 解析:选 D.因为 f(x)=x 在[-t,t]上是奇函数, 所以?t xdx=0.而?t xdx=?0 xdx+?t xdx,又?t xdx=2,所以?0 xdx=-2.故选 D.

?-t

?-t

?-t

?0

?0
)

?-t

2 ? ?x ,x≥0, ? 3.设 f(x)= x 则?1 f(x)dx 的值是( ?2 ,x<0, ?- ? 1

A.?1 x2dxB.?1 2xdxC.?1 x2dx+?1 2xdxD.?0 2xdx+?1x2dx

?-1

?-1

?-1

?-1

? -1

?0

解析:选 D.由定积分性质(3)求 f(x)在区间[-1,1]上的定积分,可以通过求 f(x)在区间 [-1,0]与[0,1]上的定积分来实现,显然 D 正确,故应选 D. 4.定积分?1xdx 与?1 xdx 的大小关系是(

?0

?0

) B.?1xdx>?1 xdx

A.?1xdx=?1 xdx

?0

?0

?0

?0

C.?1xdx<?1 xdx

?0

?0

D.无法确定

解析:选 C.在同一坐标系中画出 y= x与 y=x 的图象如图.由图可知,当 x∈[0,1]

时,y= x的图象在 y=x 的图象上方.由定积分的几何意义知,?1xdx<?1 xdx.

?0

?0

3 5.由曲线 y=ex,直线 y=x,x=0,x= 所围成的平面图形的面积 S 可以表示为( 2

)

解析:选 C.

如图所示,阴影部分的面积为 S,则 S=S1-S2,其中 S1=∫ 0exdx(即由曲线 y=ex,直 3 线 x=0,x= 及 x 轴所围成的平面图形的面积), 2 3 xdx(即由直线 y=x,x=0,x= 及 x 轴所围成的平面图形的面积), 2 exdx- xdx= (ex-x)dx.

3 2

S2=

所以 S=

6 . 不 用 计 算 , 直 接 利 用 定 积 分 的 几 何 意 义 比 较 下 面 两 个 积 分 值 的 大 小 : ?1

?0

xdx________?1x2dx.

?0

解析:如图:

显然,?1xdx>?1x2dx.答案:>

?0

?0

7.设 f(x)是连续函数,若?1f(x)dx=1,?2f(x)dx=-1,则?2f(x)dx=________.

?0

?0

?1

解析:因为?2f(x)dx=?1f(x)dx+?2f(x)dx,所以?2f(x)dx=?2f(x)dx-?1f(x)dx=-2.

?0

?0

?1

?1

?0

?0

答案:-2

1 8.曲线 y= 与直线 y=x,x=2 所围成的图形面积用定积分可表示为________. x

1 1 x- ?dx. 解析:如图所示,阴影部分的面积可表示为?2xdx-?2 dx=?2? ? ?x ? ? x?
1 1 1

1 x- ?dx 答案:?2? x? ? ?
1

9.已知?bf(x)dx=8,?bg(x)dx=4,求下列定积分:

?a

?a

(1)?b[f(x)+g(x)]dx;(2)?b3f(x)dx;

?a ?a

?a

(3)?b[3f(x)-4g(x)]dx. 解:(1)?b[f(x)+g(x)]dx=?bf(x)dx+?bg(x)dx=8+4=12.

?a

?a

?a

(2)?b3f(x)dx=3?bf(x)dx=3?8=24.

?a ?a

?a

(3)?b[3f(x)-4g(x)]dx=?b3f(x)dx-?b4g(x)dx=3?bf(x)dx-4?bg(x)dx=24-16=8.

?a

?a

?a

?a

x,x∈[0,2), ? ?4-x,x∈[2,3), 10.(2017· 辽宁营口高二检测)已知 f(x)=? 求 f(x)在区间[0,5]上的 5 x ? ?2-2,x∈[3,5], 定积分.

解:如图画出函数 f(x)的图象. 1 1 3 由定积分的几何意义得?2xdx= ?2?2=2,?3(4-x)dx= ?(1+2)?1= , 2 2 2 ? ?
0 2

?5-x?dx=1?2?1=1.所以 5f(x)dx= 2xdx+ 3(4-x)dx+ 5?5-x?dx=2+3+1=9. ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ?2 2? ? ? ? ? ?2 2?
5 3 0 0 2 3

[B 11.若定积分?m

能力提升] )

?-2

π -x2-2xdx= ,则 m 等于( 4

A.-1 B.0C.1 D.2 解析: 选 A. 根据定积分的几何意义知 , 定积分 ?m

?-2

-x2-2x dx 的值就是函数 y =

-x2-2x的图象与 x 轴及直线 x=-2, x=m 所围成的图形的面积. y= -x2-2x是一个半 π 径为 1 的半圆,其面积等于 ,而?m 2 ? π -x2-2xdx= ,所以 m=-1. 4

-2

12. 解析:函数 y=1+sin x 的图象如图所示.

由正弦型函数图象的对称性可知, 答案:2π

(1+sin x)dx=S 矩形 ABCD=2π.

e2 e3 13.已知?e xdx= ,?e x2dx= ,求下列定积分的值: 2 ? 3 ?
0 0

(1)? (2x+x )dx.

?0 ?0

e

2

(2)?e (2x2-x+1)dx. e2 e3 e3 解:(1)?e (2x+x2)dx=2?e xdx+?e x2dx=2? + =e2+ . 2 3 3 ? ? ? e2 e3 (2)?e (2x -x+1)dx=2? x dx-?e xdx+?e 1dx,因为已知?e xdx= ,?e x2dx= , 2 ? 3 ? ? ? ? ?
2 e 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

又由定积分的几何意义知:? 1dx 等于直线 x=0,x=e,y=0,y=1 所围成的图形的面

?0

e

e3 e2 2 1 积,所以?e 1dx=1?e=e,故?e (2x2-x+1)dx=2? - +e= e3- e2+e. 3 2 3 2 ? ?
0 0

14.(选做题)利用定积分的几何意义求下列定积分: (1)?6(2x-4)dx;(2)?3

?0

?-2

16+6x-x2dx.

解:(1)所求定积分是由 y=2x-4,x=0,x=6,y=0 所围成的图形面积.如图阴影部 分,A(0,-4),B(6,8),M(2,0),C(6,0), 1 1 所以 S△AOM= ?2?4=4,S△MBC= ?4?8=16, 2 2 所以?6(2x-4)dx=12.

?0

(2)设 y= 16+6x-x2,即(x-3)2+y2=25(y≥0).如图所示,因为?3 表示以 5 为半径的圆的四分之一面积,所以?3 25 16+6x-x2dx= π. 4

?-2

16+6x-x2dx

?-2

1.6 微积分基本定理 1.了解微积分基本定理的含义. 2.掌握微积分基本定理的数学表达式. 3. 会利用微积分基本定理求函数的定积分.

1.微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a, b]上的连续函数, 并且 F′(x)=f(x), 那么?bf(x)dx

内容

?a

=F(b)-F(a) 符号 f(x)dx=F(x)|a=F(b)-F(a) ? ?a
b b

2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积为 S 下,则 b (1)当曲边梯形在 x 轴上方时,如图①,则∫ af(x)dx=S 上.

(2)当曲边梯形在 x 轴下方时,如图②,则∫ af(x)dx=-S 下.

b

(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图③,则∫ af(x)dx=S 上-S 下. b 若 S 上=S 下,则∫ af(x)dx=0. 1.判断(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)若 F′(x)=f(x),则 F(x)唯一.( ) (2)微积分基本定理中,被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导数.(

b

)

(3) 应 用微 积分 基本 定理求 定积 分的 值时 ,被 积函 数在 积分 区间 上必 须是 连续 函 数.( ) 答案:(1)? (2)√ (3)√ 1 2.计算?e dx 的值是( ) ?x
1

A.0 C.2 答案:D 3.下列积分值等于 1 的是( A.?1xdx

B.-1 D.1 ) C.?11dx

?0

B.?1(x+1)dx

?0

?0

1 D.?1 dx ?2
0

答案:C

4.?πsin xdx=________.解析:?πsin xdx=-cos x|π 0=(-cos π)-(-cos 0)=2.答案:2

?0

?0

求简单函数的定积分 求下列定积分. 1? x (1)?1xndx;(2)?2π(cos x-sin x)dx;(3)?2? ?e -x?dx.

?0

?0

?1

1 n+1 1 1 1 1 + + 解:(1)?1xndx= x |0= ?1n 1- ?0n 1= . n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 ?
0

?2π (2)?2π(cos x-sin x)dx=(sin x+cos x)? =(sin 2π+cos 2π)-(sin 0+cos 0)=0. ?0 ?0
1? x x 2 2 1 2 (3)?2? ?e -x?dx=(e -ln x)|1=(e -ln 2)-(e -ln 1)=e -e-ln 2.

?1

(1)用微积分基本定理求定积分的步骤 ①求 f(x)的一个原函数 F(x); ②计算 F(b)-F(a). (2)注意事项 ①有时需先化简被积函数,再求积分; ②f(x)的原函数有无穷多个,如 F(x)+c,计算时,一般只写一个最简单的,不再加任意 常数 c. 1 1? 1 1 + 2 dx=________.解析:?2? + 2?dx 1.?2? ? ?x x ? ? ?x x ?
1 1

1? 2 ? 1? 1 1 =? ?ln x-x?|1=?ln 2-2?-(ln 1-1)=ln 2+2.答案:ln 2+2 2.求下列定积分. (1)∫20sin2
π

x dx;(2)?3(2-x2)(3-x)dx;(3)?9 x(1+ x)dx. 2 ? ?
2 4

1 1 x 1-cos x ? 1 1 解:(1)sin2 = ,而? ?2x-2sin x?′=2-2cos x, 2 2 所以∫20sin2
π π π 1 1 1 1 x π 1 π-2 - cos x?dx=? x- sin x?|20= - = dx=∫20? . ?2 2 ? ?2 2 ? 2 4 2 4

(2)原式=?3(6-2x-3x2+x3)dx

?2

1 4? 3 ? 7 2 3 2 3 1 4? ? 2 3 1 4? =? ?6x-x -x +4x ?|2=?6?3-3 -3 +4?3 ?-?6?2-2 -2 +4?2 ?=-4. 2 1 x x+ x2?|9 (3)?9 x(1+ x)dx=?9( x+x)dx=? 3 2 ?4 ? ? ?
4 4

2 1 1 1 2? 2? ?2 =? ?3?9?3+2?9 ?-?3?4?2+2?4 ?=456.

求分段函数的定积分[学生用书 P29]
2 π ? ?x ,x≤0, (1)若 f(x)=? 求∫2-1f(x)dx; ?cos x-1,x>0, ?

(2)计算定积分?2|3-2x|dx.

?1

分段函数的定积分的求法 (1)利用定积分的性质(3),转化为各区间上定积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段函数的定积分再计算. 1.?1 e|x|dx=________.

?-1

x1 0 1 1 0 解析:?1 e|x|dx=?0 e xdx+?1exdx=-e x|0 -1+e |0=-e +e +e -e =2e-2.
- -

?-1

?-1

?0

答案:2e-2

2x+e ,0≤x≤1, ? ? 2.已知 f(x)=? 1 求?2f(x)dx. ?0 x- ,1<x≤2, ? ? x 1? 2 x 1 ?1 2 ?2 解:?2f(x)dx=?1(2x+ex)dx+?2? ?x-x?dx=(x +e )|0+?2x -ln x?|1

x

?0

?0

?1

1 2 3 ? ?1 ? =(1+e)-(0+e0)+? ?2?2 -ln 2?-?2?1-ln 1?=e+2-ln 2. 微积分基本定理的综合应用[学生用书 P30] (1)若?k(2x-3x2)dx=0(k>0),则 k 等于________.

?0

(2)已知 x∈(0,1],f(x)=?1(1-2x+2t)dt,则 f(x)的值域是________.

?0

2 3 【解析】 (1)?k(2x-3x2)dx=(x2-x3)|k 0=k -k =0,所以 k=0(舍)或 k=1.

?0

? (2)? (1-2x+2t)dt=[(1-2x)t+t ]? =2-2x,即 f(x)=-2x+2, ?0 ?0
1 2

1

因为 x∈(0,1],所以 f(1)≤f(x)<f(0),即 0≤f(x)<2,所以函数 f(x)的值域是[0,2). 【答案】 (1)1 (2)[0,2) 本例(2)中已知条件改为 f(t)=?1(1-2x+2t)dx,则 f(t)=________.

?0
1

? 解析:f(t)=? (1-2x+2t)dx=[(1+2t)x-x ]? =2t.答案:2t ?0 ?0
1 2

含参数问题的求解方法 利用定积分求参数时,注意方程思想的应用.一般地,首先要弄清楚积分变量和被积函 数.当被积函数中含有参数时,必须分清参数和变量,再进行计算.另外,需注意积分下限 不大于积分上限. 1.已知?1(x2+mx)dx=0,则实数 m 的值为(

?0

)

1 A.- 3 C.-1

2 B.- 3

D.-2 1 3 1 2? 1 1 1 2 解析:选 B。根据题意有?1(x2+mx)dx=? ?3x +2mx ?|0=3+2m=0,解得 m=-3. ?
0

1 2.若函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且 f(1)=4,f′(1)=1,?1f(x)dx=3 ,求函数 f(x)的解 6 ?
0

析式. 解:由题意知 f(1)=a+b+c=4,① f′(1)=2a+b=1,② 1 a b 1 又由?1f(x)dx=?1(ax2+bx+c)dx=3 知 + +c=3 .③ 6 3 2 6 ? ?
0 0

①②③联立,解得 a=-1,b=3,c=2,所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=-x2+3x+2.

1.求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数,要先化简,再求积分. (2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分. 2.应用微积分基本定理求定积分的注意事项 (1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系,揭示了被积函数与原函数 F(x)的导函 数之间的互逆运算关系,为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算原函数 F(x)在积分区间上的增量. (2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足 F′(x)=f(x)的原函数 F(x), 再计算 F(b) -F(a).

π 2θ? 1.∫30? ?1-2sin 2?dθ 的值为(

) 1 B.- 2 D. 3 2

A.- 1 C. 2

3 2

π π θ θ 1-2sin2 ?dθ=∫30cos θdθ= 解析:选 D.因为 1-2sin2 =cos θ,所以∫30? 2? ? 2 π

sin θ|30= 2.?2

3 ,故应选 D. 2 ) 7 B. +ln 2 2 9 D. 2 (x+1)2 x2+2x+1 1 1 x+2+ ?dx=? x2+2x+ln x?|2 dx=?2 dx=?2? x 2 ? ? ? ?1 x x ?1 ?1 ?1

(x+1)2 dx 等于( x ?1

A.3 5 C. +ln 2 2 解析:选 B.?2

1 2 ? ?1 2 ? 7 =? ?2?2 +2?2+ln 2?-?2?1 +2?1+ln 1?=2+ln 2.故选 B. 3.计算?1 (x2+sin x)dx=________.

?-1

x3 2 2 -cos x?|1 解析:?1 (x2+sin x)dx=? -1= .答案: 3 ? ? 3 3 ?
-1

[A 基础达标] 1.?1 (ex+2x)dx 等于(

?0

) B.e-1 D.e+1

A.1 C.e
0

1 解析:选 C. ?1 (ex+2x)dx=(ex+x2)|0 =(e1+1)-e0=e,故选 C. ?

2.若∫1 0(2x+k)dx=2-k,则实数 1 A. 2 C.1

k 的值为(

)

1 B.- 2 D.0

1 解析:选 A.因为?1 (2x+k)dx=2-k,所以 x2|1 0+kx|0=2-k,所以 1+k=2-k,

?0

1 所以 k= . 2 3.已知 f(x)=2-|x|,则?2 f(x)dx=(

?-1

) B .4 9 D. 2

A.3 7 C. 2

?2+x,x≤0, ? 解析:选 C.因为 f(x)=2-|x|=? 所以 ? ?2-x,x>0,
2 x2? 2 3 7 0 ?2x+x ?|0 ? 2 2 x - f ( x )d x = (2 + x )d x + (2 - x )d x = + |0= +2= . -1 ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? 2
-1 -1

0

4.若 f(x)=x2+2?1f(x)dx,则?1f(x)dx=(

?0

?0

) 1 B.- 3 D.1

A.-1 1 C. 3

1 3 1 1 x +2x∫10f(x)dx?|1 解析: 选 B. 因为 f(x)=x2+2?1f(x)dx, 所以∫10f(x)dx=? 0= +2? 3 ? ? 3 ? ?
0 0

1 f(x)dx,所以?1f(x)dx=- . 3 ?
0


5.(2017· 山西省实验中学期中考试)若?2(x-a)dx=∫ 4 0cos 2xdx,则 a=(

?1

)

A.-1 C.2

B .1 D.4

3π 3π 1 2 3 1 1 3 4 4 x -ax?|2 解析:选 C.?2(x-a)dx=? = - a , ∫ cos 2 x d x = sin 2 x | 1 0 0=- ,所以 -a 2 ? ? 2 2 2 2 ?

1

1 =- ,解得 a=2,故选 C. 2 1? 6.若?a ? ?2x-x?dx=3-ln 2,且 a>1,则 a=________.

?1

1? 2 a 2 2 解析:?a ? ?2x-x?dx=(x -ln x)|1=a -ln a-1,故有 a -ln a-1=3-ln 2,解得 a=2.

?1

答案:2 7.已知 2≤?2(kx+1)dx≤4,则实数 k 的取值范围为________.

?1

1 2 ?2 1 3 kx +x |1=(2k+2)-? k+1?= k+1, 解析:?2(kx+1)dx=? 2 2 ? ? ? ? 2 ?
1

2 ? 3 2 所以 2≤ k+1≤4,解得 ≤k≤2.答案:? ?3,2? 2 3 8.设 f(x)=kx+b,若?1f(x)dx=2,?2f(x)dx=3.则 f(x)的解析式为________.

?0

?1

1 2 1 kx +bx?? 解析:由? (kx+b)dx=2,得? ? =2,即2k+b=2,① 2 ? ? ? ? 0
1 0

1

1 2 ?1k+b?=3.所以3k+b=3,② kx +bx?? 由?2(kx+b)dx=3,得? = 3 , 即 (2 k + 2 b ) - ? ?2 ??1 ?2 ? 2 ?
1

2

3 3 3 由①②联立解得,k=1,b= ,所以 f(x)=x+ .答案:f(x)=x+ 2 2 2 9.计算下列定积分:

10. (2017· 辽宁鞍山高二检测)已知?1 (x3+ax+3a-b)dx=2a+6 且 f(t)=?t (x3+ax+3a

?-1

?0

-b)dx 为偶函数,求 a,b. 解:因为 f(x)=x3+ax 是奇函数,所以?1 (x3+ax)dx=0,

?-1

所以?1 (x3+ax+3a-b)dx=?1 (x3+ax)dx+?1 (3a-b)dx

?-1

?-1

?-1

=0+(3a-b)[1-(-1)]=6a-2b,

所以 6a-2b=2a+6,即 2a-b=3.① x4 ax2 t4 at2 + +(3a-b)x?|t0= + +(3a-b)t 为偶函数, 又 f(t)=?t (x3+ax+3a-b)dx=? ?4 2 ? 4 2 ?
0

所以 3a-b=0.②

由①②得 a=-3,b=-9. [B 能力提升] )

11.函数 F(x)=?xt(t-4)dt 在[-1,5]上(

?0

A.有最大值 0,无最小值 32 C.有最小值- ,无最大值 3

32 B.有最大值 0 和最小值- 3 D.既无最大值也无最小值

13 1 3 2 t -2t2?|x 解析: 选 B.F(x)=?x(t2-4t)dt=? F′(x)=x2-4x, 由 F′(x) 0= x -2x (-1≤x≤5). 3 ? ? 3 ?
0

=0,得 x=0 或 4.列表如下: x F′(x) F(x) -1 5 - 7 3 (-1,0) + ? 0 0 极大值 (0,4) - ? 4 0 极小值 (4,5) + ? 5 5 - 25 3

32 32 因为极大值 F(0)=0,极小值 F(4)=- ,所以函数 F(x)的最大值为 0,最小值为- . 3 3 故选 B. 12.?2 1 dx=________. ?1x +3x+2
2

解析:?2

1 1 1 1 dx=?2 dx=?2?x+1-x+2?dx ? ?1x +3x+2 ?1(x+1)(x+2) ?1?
2

=[ln(x+1)-ln(x+2)]|2 1=?ln

? x+1?|2=ln3-ln2=ln9.答案:ln9 ? 4 3 8 8 ? x+2? 1

13.计算?3 (|2x+3|+|3-2x|)dx.

?-3

解:设 y=|2x+3|+|3-2x|

? ? ? 3 3? =?6?-2<x<2?, ? ? ?4x??x≥3 2?,

3 x≤- ?, -4x? 2 ? ?

则 1 14.(选做题)已知 f′(x)是 f(x)在(0,+∞)上的导函数,满足 xf′(x)+2f(x)= 2,且?2[x2f(x) x ?
1

-ln x]dx=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x>0 时,证明不等式 2ln x≤ex2-2. 1 1 1 解:(1)由 xf′(x)+2f(x)= 2得 x2f′(x)+2xf(x)= ,即[x2f(x)]′= , x x x 所以 x2f(x)=ln x+c(c 为常数),即 x2f(x)-ln x=c.又?2[x2f(x)-ln x]dx=1,

?1

2 即?2cdx=1,所以 cx|2 1=1,即 2c-c=1,所以 c=1.所以 x f(x)=ln x+1,

?1

ln x+1 所以 f(x)= . x2 1 2 ?x -2x(ln x+1) x ln x+1 (2)证明:由第一问知 f(x)= (x>0),所以 f′(x)= x2 x4 =
1 1 1 -2ln x-1 ,当 f′(x)=0 时,x=e-2,f′(x)>0 时,0<x<e-2,f′(x)<0 时,x>e-2, x3 1 1

所以 f(x)在(0,e-2)上单调递增,在(e-2,+∞)上单调递减.
1 ln x+1 e e 所以 f(x)max=f(e-2)= ,所以 f(x)= ≤ ,即 2ln x≤ex2-2. 2 x2 2

1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用 1.应用定积分求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功. 2.将实际问题抽象为定积分的数学模型,然后应用定积分的性质来求解.

1.定积分在几何中的应用

从几何上看,如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分? bf(x)dx 表

?a

示直线 x=a,x=b,y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积. 2.定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间 [a,b]上的定积分,即 s=? bv(t)dt.

?a

(2)一物体在恒力 F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与 F 相同的方向移动 了 s(单位:m),则力 F 所做的功为 W=Fs;而若是变力所做的功,W 等于其力函数 F(x)在 位移区间[a,b]上的定积分,即 W=? bF(x)

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