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等差数列的概念与通项公式

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等差数列的概念与通项公式(1) 一、学习目标 1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式; 2.会解决知道 an , a1 , d , n 中的三个,求另外一个的问题. 二、课堂学习 一、知识建构 1.情境:观察下列数列: ⑴ 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,……; ⑵ 3 , 0 , ?3 , ?6 ,……, ① ② ③ ⑶ 第 23 届到第 28 届奥运会举行的年份为:1984,1988,1992,1996,2000,2004 ⑷ 某电信公司的一种计费标准是: 通话时间不超过 3 分钟, 收话费 0.2 元, 以后每分钟收话费 0.1 元,那么通话费按从小到大的次序依次为: 0.2,0.2 ? 0.1,0.2 ? 0.1? 2,0.2 ? 0.1? 3,? ④ ⑸ 如果 1 年期储蓄的月利率为 1.65% , 那么将 10000 元分别存 1 个月, 2 个月 , 3 个月 , …… 12 个月,所得的本利和依次为 10000 ? 16.5,10000 ? 16.5 ? 2,?10000 ? 16.5 ?12 , 2.问题 1:上面这些数列有何共同特征? 等差数列的定义: ⑤ 一般地,如果一个数列从起,每一项减去它的前一项所得的差都等,那么这个数列就叫做. 问题 2.数列①、②、③、④、⑤的通项公式存在吗?如果存在,你能否写出其通项公式? 若等差数列 {an } 的首项是 a1 ,公差是 d ,则数列 {an } 的通项公式 an ? . 注:由此可知: 共 8 页第 1 页 ⑴等差数列的单调性: d ? 0 为递增数列, d ? 0 为常数列, d ? 0 为递减数列. (对比一次函 数的 k 的取值与函数的单调性来理解) ⑵一个等差数列总可以由首项和公差来唯一确定. ⑶在 an , a1 , d , n 中“知三求一”. 三、典型例题 例 1.判断下列数列是否是等差数列 (1)1,1,1,1,1, (2)4,7,10,13,16 (3)3, 2, 1,-1,-2,-3 例 2.求出下列等差数列的未知项 (1)3,a,5 (2)3,b,c,-9 例 3.(1)求等差数列 8,5,2,…的第 20 项; (2)判断-401 是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是,是第几项,如果不是,说明理由. 变式:在等差数列 {an } 中,已知 a5 ? 10, a12 ? 31 . (1)求公差 d ; (2)求 a7 . 共 8 页第 2 页 例 4.(1)在等差数列 ?an ? 中,是否有 a n ? a n ?1 ? a n ?1 (n ? 2) ? 2 a n ?1 ? a n ?1 ,那么数列 ?an ? 一 2 (2)在数列 ?an ? 中,如果对于任意的正整数 n(n ? 2) ,都有 a n ? 定是等差数列吗? 四、知识建构 问题 1:在等差数列 {an } 中,已知 a3 ? 10, a9 ? 28 ,则 d ? . 归纳小结:在等差数列 {an } 中, d 为公差, am 与 an 有何关系? 问题 2:在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a5 ? 15, a7 ? 15, 则 a2 ? . ? 归纳小结:已知数列 ?an ? 是等差数列,公差为 d ,当 m, n, p, q ? N 且 m ? n ? p ? q 时,有. 等差数列的性质 (1)在等差数列 ?an ? 中,相隔等距离的项组成的数列是. 如: a1 , a3 , a5 , a7 ,……; a3 , a8 , a13 , a18 ,……; (2)在等差数列 ?an ? 中,若 m , n , p , q ? N ? 且 m ? n ? p ? q ,则. 共 8 页第 3 页 (3)在等差数列 ?an ? 中,对任意 m , n ? N ? , an ? , d ? (m ? n) ; (4)若三个数成等差数列,可设为 a ? d , 若四个数成等差数列,可设为 a ? 3d , a , a ? d ,公差为 d a ? d , a ? d , a ? 3d ,公差为 2 d . 五、典型例题 例 1. 已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,求首项 a1 和公差 d . 例 2.已知三个数成等差数列,其和为 15,其平方和为 83,求此三个数. 例 3. (1)在等差数列 {an } 中,是否有 an ? an ?1 ? an ?1 2 (n ? 2) ? an ?1 ? an ?1 2 (n ? 2) , (2)在数列 {an } 中,若对于任意的正整数 n ,都有 an ? 那么数列 {an } 一定是等差数列吗? 例 4. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 4 , an ? 4 ? 4 , ( n ? 2) an?1 共 8 页第 4 页 (1)令 bn ? 1 ,求证数列 {bn } 为等差数列; an ? 2 (2)求数列 {an } 的通项公式. 例 5:若三个数 a ? 4, a ? 2, 26 ? 2a ,适当排列后构成递增等差数列,求 a 的值和相应的数列. 1 例 6:若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 和 x2 ? x ? b ? 0(a ? b) 的四个根可组成首项为 的等差数列, 4 则 a ? b 的值是_________. 例 7:已知一个数列的通项公式是 an ? 30 ? n ? n2 . ⑴ 问 ? 60 是否是这个数列中的项? an ? 0 , an ? 0 ? ⑵ 当 n 分别为何值时, an ? 0 , ⑶ 当 n 为何值时, a n 有最大值?并求出最大值. 课后作业(1) 1.下列数列不是等差数列的是. 共 8 页第 5 页 ① 0, 0, 0,?, 0,? ③ 1, , ? ,? , ?

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