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2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:第四章 三角函数 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

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第一节

任意角和弧度制及任意角的三角函数
A 组 基础题组

1.与角 的终边相同的角可表示为( A.2kπ+45°(k∈Z)

)

B.k· 360°+ π(k∈Z)

C.k· 360°-315°(k∈Z) D.kπ+ (k∈Z) 2.将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( A. B. C.- D.)

3.(2016 菏泽模拟)在平面直角坐标系中,以 x 轴的非负半轴为角的始边,角 α,β 的终边分别与单位 圆交于点 A.B.和 C. ,则 sinαcosβ 等于( D. ) )

4.已知角 θ 是第四象限角,则 sin(sinθ)( A.大于 0 C.小于 0 B.大于或等于 0 D.小于或等于 0

5.在直角坐标系中,O 是原点,点 A 的坐标为( 标为 .

,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点,则 B 点坐

6.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sinθ=则 y= .

,

7.一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆半径的 ,面积等于圆面积的 ,则扇形的弧长与 圆周长之比为 .

8.已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦 AB 的长.

9.(2017 安徽宿城一中期末)如图所示,动点 P,Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动,点 P 按逆时针方向 每秒钟转 弧度,点 Q 按顺时针方向每秒钟转 弧度,求点 P,点 Q 第一次相遇时所用的时间、 相遇 点的坐标及 P,Q 点各自走过的弧长.

B 组 提升题组
10.下列命题中正确的是( )

A.若两扇形面积的比是 1∶4,则它们弧长的比是 1∶2 B.若扇形的弧长一定,则面积存在最大值 C.若扇形的面积一定,则弧长存在最小值 D.任意角的集合可与实数集 R 之间建立一一对应关系 11.已知角 α=2kπ- (k∈Z),若角 θ 与角 α 的终边相同,则 y= A.1 B.-1 C.3 D.-3 + + 的值为( )

12.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周,在旋转过程 中,若点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致为( )

13.已知点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,则角 θ 是第 14.在(0,2π)内,使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围为 15.已知 sinα<0,tanα>0. (1)求满足条件的 α 的集合; (2)试判断 tan sin cos 的符号.

象限角. .

答案全解全析 A 组 基础题组
1.C π= ×180°=360°+45°=720°-315°,

∴与角 π 的终边相同的角可表示为 k· 360°-315°,k∈Z.注意弧度制与角度制不能混用. 2.C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转分针,故所形成的角为负角,故 A、B 不正确.因为拨快

10 分钟,所以转过的角的大小应为圆周的 ,故所求角的弧度数为- ×2π=- . 3.B 因为角 α,β 的终边分别与单位圆交于点 和 , 所以 sinα= ,cosβ=- , 所以

sinαcosβ=- . 4.C ∵ 角 θ 为 第 四 象 限 角 ,∴-1<sinθ<0, 令 α=sinθ, 则 -1<α<0,∴ 角 α 为 第 四 象 限

角,∴sinα=sin(sinθ)<0. 5.答案 (-1, 解 析 )

依 题 意 知 OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°, 设 点 B 的 坐 标 为 (x,y), 则 ,即 B(-1, ).

x=2cos120°=-1,y=2sin120°= 6.答案 -8 解析 因为 sinθ= 7.答案 =-

,所以 y<0,且 y2=64,所以 y=-8.

解析 设圆的半径为 r,则扇形的半径为 ,记扇形的圆心角为 α, 则 = ,∴α= . = .

∴扇形的弧长与圆周长之比=

8.解析 设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α. (1)由题意可得 解得 或 ∴α= = 或 6.

(2)∵2r+l=8,∴S 扇形= lr= l· 2r≤ 4. 此时 r=2,AB=2sin1×2=4sin1.

= ×

=4,当且仅当 2r=l,即 α= =2 时,扇形面积取得最大值

9.解析 设 P,Q 第一次相遇时所用的时间是 t,则 t· +t·

=2π.所以 t=4(秒),即第一次相遇时所 , 则 P 点走过的弧长为 . 所以 C 点的坐标为

用的时间为 4 秒 . 设第一次相遇时 , 相遇点为 C, 则∠COx= · 4= π· 4= π,Q 点走过的弧长为 π· 4= π;xC=-cos · 4=-2,yC=-sin · 4=-2 (-2,-2 ).

B 组 提升题组
10.D 由扇形面积公式 S= l· r 得到面积由弧长和半径的乘积确定 ,而不是只由弧长确定 ,可知

A,B,C 错误.把角的概念推广到任意角之后,任意角的集合可与实数集 R 之间建立一一对应关系, 所以 D 正确. 11.B 由 α=2kπ- (k∈Z)知,角 α 的终边在第四象限,又角 θ 与角 α 的终边相同,所以角 θ 是第四 象限角,所以 sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0.所以 y=-1+1-1=-1. 12.C

如图,取弦 AP 的中点 D,连接 OD,设∠DOA=θ,则 d=2sinθ,l=2θ, 所以 d=2sin .故选 C. 13.答案 二 解析 因为点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,所以 sinθcosθ<0,2cosθ<0,即 为第二象限角. 14.答案 解析 所以 θ

如图所示,找出在(0,2π)内,使 sinx=cosx 的 x 值,显然 sin =cos = ,sin =cos =- .根据三角函 数线的变化规律得满足条件的 x∈ .

15.解析 (1)由 sinα<0,知 α 的终边在第三、四象限或 y 轴的负半轴上;由 tanα>0,知 α 的终边在 第一、三象限,故 α 的终边在第三象限,∴所求集合为 (2)由 2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z, 得 kπ+ < <kπ+ ,k∈Z, 易知当 k 为偶数时, 终边在第二象限; 当 k 为奇数时, 终边在第四象限. 当 的终边在第二象限时,tan <0,sin >0,cos <0,所以 tan sin cos 取正号;当 的终边在第四象 限时,tan <0,sin <0,cos >0,所以 tan sin · cos 也取正号.因此,tan sin cos 取正号. .


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