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高中数学必修四第一章知识点(精华集锦)

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高中数学必修 4 第一章三角函数知识点总结
文献编辑者——周俞江
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角??负角:按顺时针方向旋转形成的角
??零角:不作任何旋转形成的角
2、角? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则 称? 为第几象限角.
? ? 第一象限角的集合为 ? k ?360 ? ? ? k ?360 ? 90 , k ? ? ? ? 第二象限角的集合为 ? k ?360 ? 90 ? k ?360 ?180 , k ? ? ? ? 第三象限角的集合为 ? k ?360 ?180 ? ? ? k ?360 ? 270 , k ? ? ? ? 第四象限角的集合为 ? k ?360 ? 270 ? ? ? k ?360 ? 360 , k ? ? ? ? 终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 , k ? ? ? ? 终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ? ? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ?90 , k ? ? ? ? 3、与角? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ?360 ??, k ? ?
4、已知? 是第几象限角,确定 ? ?n? ?* ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再 n
从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则? 原来是第几象限 对应的标号即为 ? 终边所落在的区域.
n
“唯一让你变得与众不同的天赋是持续不断的忍耐和坚持”

等分角所在象限的判断方法,在解决这类问题时,我们既可以采用常规的代数法,也

可以利用数形结合思想,采用图示法巧妙对 ? 角所在的象限做出正确判断。
n
一、代数法

就是利用已知条件写出? 的范围,由此确定 ? 角的范围,再根据 ? 角的范围确定所

n

n

在的象限;

【例 1】已知? 为第一象限角,求 ? 角所在的象限。
2
解:∵ ? 为第一项限角

∴ k ?360?<?<k ?360? ? 90? (k ? Z)

k ?180?<? <k ?180? ? 45? 2

(k ? Z)

若 k 为偶数时:

则 k ? 2n(n ? Z) ,则

n ? 360?<? <n ? 360? ? 45? 2

(n ? Z)

∴ ? 角是第一象限角;
2

若 k 为奇数时:

则 k ? 2n ?1(n ? Z ) ,则 n?360? ?180?<? <n?360? ? 225?(n ? Z)
2
∴ ? 角是第三象限角;
2
因此, ? 角是第一象限或第三象限角
2
【例 2】已知? 为第二项限角,求 ? 角所在的象限。
2

解:∵ ? 为第二项限角

∴ k ?360? ? 90? ? ? ? k ?360? ?180? (k ? Z)

k ?180? ? 45? ? ? ? k ?180? ? 90? 2

(k ? Z)

若 k 为偶数时: k ? 2n(n ? Z ) ,则 n ? 360? ? 45? ? ? ? n ? 360? ? 90? (n ? Z)
2 ∴ ? 角是第一象限角;
2

若 k 为奇数时:
k ? 2n ?1(n ? Z ) ,则 n?360? ? 225? ? ? ? n?360? ? 270?(n ? Z)
2
∴ ? 角是第三象限角;
2
因此, ? 角是第一象限或第三象限角
2
二、图示法

就是在平面直角坐标系中,将坐标系的每个象限 n 等分,通过“标号”、“选号”
和“定象限”几个步骤最后确定 ? 角所在的象限;
n
【例 3】已知? 为第三项限角,求 ? 角所在的象限。
3

1 43 2
3O 412

2 1 4
3

(图 1)
解:第一步:因为要求 ? 角所在的象限,所以画出直角坐标系,如图 1 所示,把每个
3
象限等分三等份;

第二步:标号,如图所示,从靠近 x 轴非负半轴的第一项限内区域开始,按逆时针 方向,在图中依次标上 1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4;

第三步:因为? 为第三项限角,所以在图中将数字 3 的范围画出,可用阴影表示;
第四步:定象限,阴影部分在哪一部分, ? 角的终边就在那个象限;
3
由以上步骤可知,? 为第三项限角, ? 角为第一、第三或第四象限角。
3
【例 4】已知? 为第四项限角,求 ? 角所在的象限。
2

32

4

1

1o 4

23

解:第一步:因为要求 ? 角所在的象限,所以画出直角坐标系,
2

(图 2)

如图 2 所示,把每个象限等分二等份; 第二步:标号,如图所示,从靠近 x 轴非负半轴的第一象限内区域开始,按逆时针
方向,在图中依次标上 1,2,3,4,1,2,3,4;
第三步:因为? 为第四项限角,所以在图中将数字 4 的范围画出,可用阴影表示;
第四步:定象限,阴影部分在哪一部分, ? 角的终边就在那个象限;
2

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

6、半径为 r 的圆的圆心角? 所对弧的长为l ,则角? 的弧度数的绝对值是 ? ? l .
r

7、弧度制与角度制的换算公式: 2?

? 360

,1

?

? 180

,1

?

? ??

180 ?

? ??

? 57.3



8、若扇形的圆心角为? ??为弧度制?,半径为 r ,弧长为l ,周长为C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,

C ? 2r ? l , S ? 1 lr ? 1 ? r2 .
22
9、设? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y? ,它与原点的距离

? ? 是 r r ? x2 ? y2 ? 0 ,则 sni ? ? y ,cos? ? x ,tan? ? y ? x ? 0? .若在单位圆中,则有 sin? ? y ,

r

r

x

cos? ? x , tan? ? y 。
x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切

为正,第四象限余弦为正.

“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任

何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;

第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,

其余全部是“-”。

11、三角函数线: sin? ? ?? , cos? ? ?? , tan? ? ?? .

y
PT v O MA x

12、同角三角函数的基本关系: ?1?sin2 ? ? cos2 ? ?1

? ? sin2 ? ?1? cos2 ?,cos2 ? ?1? sin2 ? ; ?2? sin? ? tan? cos?

? ??

sin ?

?

tan ?

cos ? ,

cos?

?

sin ? tan ?

? ??



13、三角函数的诱导公式:

?1?sin?2k? ?? ? ? sin? , cos?2k? ?? ? ? cos? , tan?2k? ?? ? ? tan? ?k ??? .

?2?sin?? ?? ? ? ?sin? , cos?? ?? ? ? ?cos? , tan?? ?? ? ? tan? .

?3?sin ??? ? ? ?sin? , cos??? ? ? cos? , tan??? ? ? ? tan? .

?4?sin?? ?? ? ? sin? , cos?? ?? ? ? ?cos? , tan?? ?? ? ? ? tan? .

口诀:函数名不变,符号看象限.(注意:这里都是以“π”“ 2k? ”开始的)

? 5? sin

? ??

? 2

??

? ??

?

cos ?



cos

? ??

? 2

??

? ??

?

sin ?



? 6 ? sin

? ??

? 2

??

? ??

?

cos ?



cos

? ??

? 2

?

?

? ??

?

? sin ?



口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.(注意:都是以“ ? ”开始的)
2
特别注意:以上两个口诀可以合二为一“奇变偶不变,符号看象限”(其中奇偶是“ ? ”
2

的奇数倍还是偶数倍),对于太大的角,可以先化小在利用“奇变偶不变,符号看象限”。

推算公式:3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系:

sin( 3? +α)=-cosα
2
cos( 3? +α)=sinα
2

sin( 3? -α)=-cosα
2
cos( 3? -α)=-sinα
2

诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。

“奇、偶”指的是 π/2 的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”

是指正弦变余弦,余弦变正弦”。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角 α 看

做锐角,不管 α 是多大的角,都必须“看成锐角”,不考虑 α 角所在象限,看 n·(π/2)±α

是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。

14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin?x ???

的图象;再将函数 y ? sin?x ??? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 倍(纵
?
坐标不变),得到函数 y ? sin??x ??? 的图象;再将函数 y ? sin??x ??? 的图象上所有点的
纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变),得到函数 y ? ?sin??x ???的图象.
函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到
?
函数

y ? sin?x 的图象;再将函数 y ? sin?x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得
?
到函数 y ? sin??x ??? 的图象;再将函数 y ? sin??x ??? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩 短)到原来的 ? 倍(横坐标不变),得到函数 y ? ?sin??x ???的图象.

函数 y ? Asin(wx ??) 的性质:

①振幅: A ;②周期:T ? 2? ;③频率: f ? 1 ? w ;④相位:?x ?? ;⑤初相:? .

W

T 2?

0=00

sin a

0

cos a

1

tan a

0

角度
函数 sin a cos a

? =300 6

1

2

3

2 3

3

0=00

? =900

2

? =450 4
2 2 2 21
? ? 1800

0

1

0

1

0

-1

? =600 3
3 12 2 3
3? =2700 2
-1
0

? =900 2
1 0 不存在
2? =3600
0 1

“终有一天,你会特别感谢今天努力的你”

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

x? R

x? R

??x ?

x

?

k?

?

? 2

,k

?

??? ?

值域

y ???1,1?

y ???1,1?

最值 周期性

当 x ? ? + 2k? (k ? Z) 时 , 当 x ? 2k? ?k ??? 时,
2

ymax ? 1;

ymax ? 1;

当 x ? - ? + 2k? (k ? Z) 时,
2

当 x ? ? + 2k? (k ? Z) 时,

ymin ? ?1.

ymin ? ?1.

T ? 2?

T ? 2?

y?R
既无最大值也无 最小值 T??

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数



在 ?-? ? 2k? ,2k? ?(k ? Z) 上

单调性

???-

? 2

?

2k?

,

? 2

?

2k?

???( k

?Z)

上是增函数;



?? ?? 2

?

2k? ,

3? 2

?

2k?

? ??

(k

?Z)

是增函数;

在 ??- ? ? k? , ? ? k? ??

在 ?2k? ,? ? 2k? ?(k ? Z) 是减 ? 2

2?

函数

?k ??? 上 是 增 函

数.

上是减函数. 对称轴 x ? ? ? kπ(k ? Z)
2
对称中 (k? ,0)(k ? Z )


x ? k? ( k ? Z )
(? ? k? ,0) (k ? Z ) 2

( k? ,0) (k ? Z ) 2


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