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2018版高中数学人教B版选修1-1学案:第二单元 疑难规律方法 第二章 Word版含答案

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1 椭圆的定义在解题中的妙用 椭圆定义反映了椭圆的本质特征,揭示了曲线存在的几何性质.有些问题,如果恰当运用定 义来解决,可以起到事半功倍的效果,下面通过几个例子进行说明. 1.求最值 例 1 线段|AB|=4,|PA|+|PB|=6,M 是 AB 的中点,当 P 点在同一平面内运动时,PM 的长 度的最小值是( ) A.2B. 2C. 5D.5 解析 由于|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故由椭圆定义知 P 点的轨迹是以 M 为原点,A、B 为焦点 的椭圆,且 a=3,c=2,∴b= a2-c2= 5.于是 PM 的长度的最小值是 b= 5. 答案 C 2.求动点坐标 x2 y2 例 2 椭圆 + =1 上到两个焦点 F1,F2 距离之积最大的点的坐标是________. 9 25 解析 设椭圆上的动点为 P,由椭圆的定义可知 |PF1|+|PF2|=2a=10, 所以|PF1|· |PF2|≤? ? |PF1|+|PF2|?2 ?10?2 2 ? =? 2 ? =25, 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号. ? ?|PF1|+|PF2|=10, 由? 解得|PF1|=|PF2|=5=a, ?|PF1|=|PF2|, ? 此时点 P 恰好是椭圆短轴的两端点, 即所求点的坐标为(± 3,0). 答案 (± 3,0) 点评 由椭圆的定义可得“|PF1|+|PF2|=10”,即两个正数|PF1|,|PF2|的和为定值,结合均值 不等式可求|PF1|,|PF2|积的最大值,结合图形可得所求点 P 的坐标. 3.求焦点三角形面积 x2 y2 例 3 如图所示, 已知椭圆的方程为 + =1, 若点 P 在第二象限, 且∠PF1F2=120° , 求△PF1F2 4 3 的面积. 解 由已知得 a=2,b= 3, 所以 c= a2-b2=1,|F1F2|=2c=2. 在△PF1F2 中,由余弦定理得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos120° , 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|, 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|. 6 将②代入①,得|PF1|= . 5 1 所以 S△PF1F2= |PF1|· |F1F2|· sin120° 2 1 6 3 3 3 = × ×2× = 3,即△PF1F2 的面积是 3. 2 5 2 5 5 点评 在△PF1F2 中,由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|,|PF2|的方程组,消去|PF2|可求 |PF1|. 从以上问题,我们不难发现,凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题,我们应首先考虑利用椭 圆的定义求解. ② ① 2 如何求椭圆的离心率 1.由椭圆的定义求离心率 例 1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于 4 个不同的点,顺次连接这四个点和两 个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为________. x2 y2 解析 如图所示,设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),半焦距为 c,由题 a b 意知∠F1AF2=90° ,∠AF2F1=60° . ∴|AF2|=c, |AF1|=2c· sin60° = 3c. ∴|AF1|+|AF2| =2a=( 3+1)c. c 2 ∴e= = = 3-1. a 3+1 答案 点评 决. 2.解方程(组)求离心率 x2 y2 例 2 椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左焦点为 F1(-c,0),A(-a,0)、B(0,b)是两个

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