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[第37讲]三角恒等变换(二)(恒等变换公式灵活应用、三角函数化简求值)(上)讲义浏览

时间:2012-02-22


第 13 讲 三角恒等变换(二) (恒等变换公式 灵活应用、三角函数化简求值)
满分晋级
三角函数 9 级

三角函数 8 级 三角恒等变换公 三角恒等变换公 式综合运用
三角函数 7 级 三角恒等变换公 式简单运用

解三角形

新课标剖析
当前 形势

三角函数、三角恒等变换、解三角形在近五年北京卷(理 考查 ~ 三角函数、三角恒等变换、解三角形在近五年北京卷 理)考查 5~13 分 在近五年北京卷
内容 A 两角和与差的正弦、余 弦、正切公式 要求层次 B C 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程,进一步体会向量方法的作用. 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余 弦、正切公式 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出 积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆) . 2008 年 2009 年 2010 年 (新课标) 具体要求



高考 要求

二倍角的正弦、余弦、 正切 简单的恒等变换 北京 高考 √



2006 年

2007 年

三角函数(下) ·第 4 讲·提高-尖子-目标·教师版

1

解读

第 15 题 12 分

第 13 题 5 分

第 15 题 第⑴问 6分

第 15 题第⑴问 6分

第 15 题 13 分

4.1 三角公式灵活运用

知识点睛
1.两角和与差的余弦公式 Cα ? β∶cos (α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β

Cα + β∶cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β

2.两角和与差的正弦公式 Sα ? β∶ (α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β sin

Sα + β∶ (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin

3. 两角和与差的正切公式 tan α + tan β Tα + β∶tan (α + β ) = . 1 ? tan α ? tan β tan α ? tan β Tα ? β∶tan (α ? β ) = . 1 + tan α ? tan β 4.二倍角公式 S2α : sin 2α = 2sin α cos α .
C2α : cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α . 2 tan α T2α : tan 2α = . 1 ? tan 2 α <教师备案>三角变换中常用的数学思想方法技巧有: ⑴角的变换: 30° 比如: 15° = 45° ? 30° = 60° ? 45° = 2

α = (α ? β ) + β = (α + β ) ? β = 2 ?

α

2

?π ? ?π ? 2α = ( α + β ) + (α ? β ) = (α + β ) ? ( β ? α ) = ? + α ? ? ? ? α ? ?4 ? ?4 ? β? ? 2α ? β = (α ? β ) + α = 2 ? α ? ? = α ? ( β ? α ) 2? ?

2

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α + ? ?α ? = ? +α ? + ? ?α ? = ? +α ? + ? ?α ? = ?2 ? ?4 ? ?4 ? ?3 ? ?6 ? 2 ?π ? ? 3π ? ?π ? ? 2π ? ?π ? ? 5π ? ?α ? = ? +α ? + ? ?α ? = π ? +α ? + ? ?α ? = ? +α ? + ? ?4 ? ? 4 ? ?3 ? ? 3 ? ?6 ? ? 6 ? ⑵函数名称的变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数,在三角函数中正余弦 是基础,通常化切为弦,变异名为同名; ⑶常数代换:在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,
π π π π = tan = 2sin = 2 sin ; 2 4 6 4 ⑷幂的变换:降幂是三角变换时常用的方法,常用的降幂公式有: 1 + cos 2α cos 2 α = , sin 2α = 1 ? cos 2α 2 2 但降幂并非绝对,有时也需要对某些式子进行升幂处理,比如: 1 + cos 2α = 2cos 2 α , ? cos 2α = 2sin 2 α ; 1 ± sin 2α = (sin α ± cos α )2 ; 1 ⑸公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用, 例如: tan α ± tan β = tan(α ± β ) ? (1 m tan α ? tan β ) ;



? ?π

? ?π

? ?π

? ?π

?

π

例如: 1 = sin 2 α + cos 2 α = sin

经典精讲

考点 1: 【例1】

角的代换

π? 5 ? ⑴ 已知 α 为锐角,且 cos ? α + ? = ,则 cos α 的值为 . 6 ? 13 ? 1 5 ⑵ 已知 α 、 β 均为钝角,且 cos (α + β ) = ? , cos 2α = ? ,则 sin (α ? β ) = _____ . 13 4 1 2 ⑶ 已知 tan α = , tan (α ? β ) = ? ,则 tan ( β ? 2α ) 等于( ) 2 5 1 1 1 1 A. ? B. C. ? D. 12 8 4 12 .

π? 3 π? π 3π ? ? 【拓3】 已知 cos ? α + ? = , ≤ α ≤ ,则 cos ? 2α + ? = 4? 5 4? 2 2 ? ?

【例2】

π? 2 ? ? π 3π ? 已知 cos ? x ? ? = , x∈? , ? . 4 ? 10 ? ?2 4 ? ⑴ 求 sin x 的值;

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3

π? ? ⑵ 求 sin ? 2 x + ? 的值. 3? ?

4

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考点 2:

给值求角问题

【铺1】 若 sin x =
A.
π 6

1 ?π ? , x ∈ ? ,π ? ,则 x 等于( ) . 2 2 ? ? π 5π 2π B. C. D. 3 6 3

【铺1】 已知 α 是三角形的内角,且 sin α =
A.
π 4

B.

3π 4

2 则角 α 等于( 2 π 3π 5π C. 或 D. 4 4 6

) .

π? 1 ? ? π π? 【铺2】 已知 cos ? 2 x + ? = ? , x ∈ ? ? , ? ,求角 x . 3? 2 ? 6 3? ?
3 ? 3π ? ? π 5π ? 【铺3】 已知 tan ? ? x ? = ? 且 x ∈ ? , ? ,求角 x . 4 3 ?4 4 ? ? ?

【例3】

⑴ 已知 α 、 β 均为锐角,且 sin α =

1 5

, cos β =

3 10

,则 α + β =



4 ⑵ 已知 α , 均为锐角,且 tan α = , β = 7 ,则 α + β = β tan . 3 2 3 【拓1】 已知 α 、 β ∈ ( 0 ,π ) ,且 cos α = , cos β = ,则 α + β 的大小为( 5 10 π 7π π 3π 3π A. B. C. 或 D. 4 4 4 4 4

) .

【拓2】 已知 α 、 β ∈ ( 0 ,π ) ,且 cos α = ?
A. π 4 B. 7π 4 C. π 3π 或 4 4

2 5

, cos β = ? D. 3π 4

3 10

,则 α + β 的大小为(

) .

【拓3】 已知 tan (α ? β ) =

1 1 , tan β = ? , α , β ∈ ( 0 , π ) ,求 2α ? β 的值. 2 7

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5

【例4】 (2010 崇文二模理 15) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴为始边作两个锐角 α,β , 它们的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. 已知 A , 的 B
5 7 2 , . 5 10 ⑴ 求 tan (α + β ) 的值;

y A

横坐标分别为

α
O

β

B x

⑵ 求 2α + β 的值.

4.2 三角函数的化简与求值
辅助角公式的运用:在求值问题中,要注意辅助角公式
y = a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin (α + ? ) 的应用,其中 tan ? =
b , ? 所在的象限由 a , 的符号确定. b a

经典精讲
【铺1】
1 3 cos α ? sin α 可以化为( ) 2 2 ?π ? ?π ? A. sin ? ? α ? B. sin ? ? α ? 6 3 ? ? ? ?

?π ? C. sin ? + α ? 6 ? ?

?π ? D. sin ? + α ? 3 ? ?

【铺2】 化简:
2sin 2

α
2

cos 2α + 2sin

α
2

cos

α
2

. ?1

π? π? ? ? 【铺3】 化简: 2 cos ? x + ? cos ? x ? ? + 3 sin 2 x . 4? 4? ? ?

【例5】 ⑴(2010 西城一模理 2)函数 y = sin x + cos x 的最小值和最小正周期分别是(

).

A. ? 2 ,2 π B. ?2 ,2 π C. ? 2 ,π D. ?2 ,π ⑵(2010 石景山一模理 13) 函数 y = cos2 x ? sin 2 x + 2sin x ? cos x 的最小正周期为_______, 此函数的值域为_______. ⑶ (2008 湖南理 6) ?π π? 函数 f ( x) = sin 2 x + 3 sin x cos x 在区间 ? , ? 上的最大值是( ) ?4 2? A. 1 B. 1+ 3 2 C.
3 2

D. 1 + 3

⑷ (2008 山东理 5) 7π ? π? 4 3 ? ? 已知 cos ? α ? ? + sin α = ,则 sin ? α + ? 的值为 6 ? 6? 5 ? ? 6



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【拓3】 已知函数 f ( x ) = a sin x ? b cos x ( a , b 为常数, a ≠ 0 , x ∈ R )在 x =
?π ? 则函数 f ? ? x ? = ______. 3 ? ?

π 处取得最小值 ?2 , 3

【例6】 (2010 天津理 17)已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + 2 cos 2 x ? 1( x ∈ R )
π? ? ⑴ 求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0 , ? 上的最大值和最小值; 2? ? 6 ?π π? ⑵ 若 f ( x0 ) = , x0 ∈ ? , ? ,求 cos 2x0 的值. 5 ?4 2?

π? ? (2010 宣武一模理 15)已知函数 f ( x ) = cos ? 2 x ? ? + sin 2 x ? cos 2 x . 3? ? ⑴ 求函数 f ( x ) 的最小正周期及图象的对称轴方程;

⑵ 设函数 g ( x ) = ? f ( x ) ? + f ( x ) ,求 g ( x ) 的值域. ? ?
2

实战演练

2 π? 1 π? ? ? 【演练 1】已知 tan (α + β ) = , ? β ? ? = ,则 tan ? α + ? = tan 5 4? 4 4? ? ?



3 1 【演练 2】已知 α , 均为锐角,且 tan α = , β = ,则 α + β = β tan 4 7



π? ? 【演练 3】设函数 f ( x ) = cos ? 2 x + ? + sin 2 x .求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期. 3? ?

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7

π? ? 【演练 4】若 cos α + 2sin α = ? 5 ,求 tan ? α + ? 的值. 4? ?

【演练 5】(2007 四川理 17) 1 13 π 已知 cos α = , cos (α ? β ) = ,且 0 < β < α < . 7 14 2 ⑴ 求 tan 2α 的值. ⑵ 求β .

大千世界
(第 22 届全国希望杯数学邀请赛高一 1 试) x ? x? 已知 f ( x) = 2sin sin ? θ ? ? ? 1 . 2 ? 2? θ ⑴若 f ( x) 是偶函数,则 cos = __________; 2 1 ⑵若 f ( x) 的最大值是 ,则 cos 2θ = ______. 2

参考答案 例1 5 3 12 1 5 3 + 12 ⑴= × + × = . 13 2 13 2 26 12 ? 5 15 ⑵= 52 8
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⑶A [拓 3] = ?
31 2 50

例2
4 . 5 π? π π 24 + 7 3 ? ⑵ sin ? 2 x + ? = sin 2 x cos + cos 2 x sin = ? . 3? 3 3 50 ?

⑴ sin x =

考点 2 [铺 1] C
[铺 1] C [铺 2] x =

π 6 11π [铺 3] x = . 12

例3 π ⑴ 4 3π ⑵ 4
[拓一] A [拓二] B [拓三] 2α ? β = ? 3π 4

例4
1 2+ tan α + tan β 7 =3. ⑴ tan(α + β ) = = 1 ? tan α ? tan β 1 ? 2 × 1 7 3π ⑵ 2α + β = . 4 [铺 1] A π? ? [铺 2] = ? 2 sin ? α + ? 4? ? π? ? [铺 3] = 2sin ? 2 x + ? 6? ?

例5 ⑴A
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9

⑵ π , ?? 2 , 2 ? . ? ? ⑶C ⑷ ?
4 5

[拓 3] ?2 cos x

例6 ⑴最大值为 2,最小值为 ?1 .
?? π ? π? π? π π? π 3?4 3 ? ? ⑵ cos 2 x0 = cos ?? 2 x0 + 6 ? ? 6 ? = cos ? 2 x0 + 6 ? cos 6 + sin ? 2 x0 + 6 ? sin 6 = 10 ? ? ? ? ? ?? ?

华山论剑 ⑴函数图象的对称轴方程为 x =
? 1 ? ⑵ g ( x ) 的值域为 ? ? 4 ,2 ? . ? ? [演练 1] 3 22
π 4 kπ π + (k ∈ Z) . 2 3

[演练 2] α + β =

1+ 3 ,最小正周期为 π . 2 π ? 1 + tan α 1 + 2 ? = = ?3 [演练 4] tan ? α + ? = 4 ? 1 ? tan α 1 ? 2 ? [演练 3] 函数 f ( x) 的最大值为 [演练 5]

(1) tan 2α = (2 ) β =
π 3

2 tan α 2× 4 3 8 3 = =? 1 ? tan 2 α 1 ? 4 3 2 47

(

)

大千世界 ⑴ 0 或 1 或 ?1 ; 1 ⑵ ? 2

10

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