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第24届全国中学生物理竞赛复赛试题(WORD版)

时间:2010-03-01


第 24 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 (本题共七大题,满分 160 分) 本题共七大题,
一, (20 分)如图所示,一块长为 L = 1.00m 的光滑平板 PQ 固定在轻质弹簧上端,弹簧的下端与地 面固定连接.平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间(图中未画出竖直导轨) ,从而只能地竖直方向 运动.平板与弹簧构成的振动系统的振动周期 T = 2.00 s .一小球 B 放在光滑的水平台面上,台面的右侧 边缘正好在平板 P 端的正上方,到 P 端的距离为 h = 9.80m .平板静止在其平衡位置.水球 B 与平板 PQ 的质量相等.现给小球一水平向右的速度 0 ,使它从水平台面抛出.已知小球 B 与平板发生弹性碰撞, 碰撞时间极短,且碰撞过程中重力可以忽略不计.要使小球与平板 PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞,

0 的值应在什么范围内?取 g = 9.8m / s 2

二, (25 分)图中所示为用三角形刚性细杆 AB,BC,CD 连成的平面连杆结构图.AB 和 CD 杆可 分别绕过 A,D 的垂直于纸面的固定轴转动,A,D 两点位于同一水平线上.BC 杆的两端分别与 AB 杆和 CD 杆相连,可绕连接处转动(类似铰链) .当 AB 杆绕 A 轴以恒定的角速度 ω 转到图中所示的位置时, AB 杆处于竖直位置.BC 杆与 CD 杆都与水平方向成 45°角,已知 AB 杆的长度为 l ,BC 杆和 CD 杆的长 度由图给定.求此时 C 点加速度 a c 的大小和方向(用与 CD 杆之间的夹角表示)

三, (20 分)如图所示,一容器左侧装有活门 K 1 ,右侧装有活塞 B,一厚度可以忽略的隔板 M 将容器隔 成 a,b 两室,M 上装有活门 K 2 .容器,隔板,活塞及活门都是绝热的.隔板和活塞可用销钉固定,拔掉 销钉即可在容器内左右平移,移动时不受摩擦作用且不漏气.整个容器置于压强为 P0,温度为 T0 的大气 中.初始时将活塞 B 用销钉固定在图示的位置,隔板 M 固定在容器 PQ 处,使 a,b 两室体积都等于 V0;
1

K 1 , K 2 关闭.此时,b 室真空,a 室装有一定量的空气(容器内外气体种类相同,且均可视为理想气体) ,
其压强为 4P0/5,温度为 T0.已知 1mol 空气温度升高 1K 时内能的增量为 CV,普适气体常量为 R.

1.现在打开 K 1 ,待容器内外压强相等时迅速关闭 K 1 (假定此过程中处在容器内的气体与处在容器外 的气体之间无热量交换) ,求达到平衡时,a 室中气体的温度. 2.接着打开 K 2 ,待 a,b 两室中气体达到平衡后,关闭 K 2 .拔掉所有销钉,缓慢推动活塞 B 直至到 过容器的 PQ 位置.求在推动活塞过程中,隔板对 a 室气体所作的功.已知在推动活塞过程中,气体的压 强 P 与体积 V 之间的关系为 PV
CV + R CV

=恒量.

四, (25 分)图中 oxy 是位于水平光滑桌面上的直角坐标系,在 x > 0 的一侧,存在匀强磁场,磁场 方向垂直于 oxy 平面向里,磁感应强度的大小为 B.在 x < 0 的一侧,一边长分别为 l1 和 l 2 的刚性矩形超 导线框位于桌面上,框内无电流,框的一对边与 x 轴平行.线框的质量为 m,自感为 L.现让超导线框沿 x 轴方向以初速度 v 0 进入磁场区域,试定量地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度 v 0 大小的关 系. (假定线框在运动过程中始终保持超导状态)

五, (25 分)地 球 赤道表面 附近处 的重 力 加速度为 g 0 = 9.8m / s ,磁场 的磁 感 应强度的 大小
2

B0 = 3.0 × 10 5 T ,方向沿经线向北.赤道上空的磁感应强度的大小与 r 3 成反比(r 为考察点到地心的距
离) ,方向与赤道附近的磁场方向平行.假设在赤道上空离地心的距离 r = 5 Re ( Re 为地球半径)处,存 在厚度为 10km 的由等数量的质子和电子的等离子层(层内磁场可视为匀强磁场) ,每种粒子的数密度非常 低 , 带 电 粒 子 的 相 互 作 用 可 以 忽 略 不 计 . 已 知 电 子 的 质 量 me = 9.1 × 10
31

kg , 质 子 的 质 量

m p = 1.7 × 10 27 kg ,电子电荷量为 1.6 × 10 19 C ,地球的半径 Re = 6.4 × 10 6 m .
2

1.所考察的等离子层中的电子和质子一方面作无规则运动,另一方面因受地球引力和磁场的共同作用 会形成位于赤道平面内的绕地心的环行电流,试求此环行电流的电流密度. 2. 现 设 想 等 离 子 层 中 所 有 电 子 和 质 子 , 它 们 初 速 度 的 方 向 都 指 向 地 心 , 电 子 初 速 度 的 大 小

u e = 1.4 × 10 4 m / s ,质子初速度的大小 u P = 3.4 × 10 2 m / s .试通过计算说明这些电子和质子都不可能到
到达地球表面. 六, (25 分)图 1 所示为杨氏双缝干涉实验的示意图,取纸面为 yz 平面.y,z 轴的方向如图所示.线 光源 S 通过 z 轴,双缝 S1,S2 对称分布在 z 轴两侧,它们以及屏 P 都垂直于纸面.双缝间的距离为 d,光 源 S 到双缝的距离为 l,双缝到屏的距离为 D, d << D , d << l . 1.从 z 轴上的线光源 S 出发经 S1,S2 不同路径到 P0 点的光程差为零,相干的结果产生一亮纹,称为 零级亮纹. 为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响, 我们先研究位于轴外的线光源 S′ 形成的另一套干涉条纹,S′位于垂直于 z 轴的方向上且与 S 平行,两者相距 δ s ,则由线光源 S′出发分 别经 S1,S2 产生的零级亮纹 P0 , P0 与 P0 的距离 δ y = ___________________________________ 2.当光源宽度为 ω 的扩展光源时,可将扩展光源看作由一系列连续的,彼此独立的,非相干的线光源 组成.这样,各线光源对应的干涉条纹将彼此错开,在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果, 干涉条纹图像将趋于模糊,条纹的清晰度下降.假设扩展光源各处发出的光强相同,波长皆为 λ .当 ω 增 大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨,则此时光源的宽度 ω = ______________________________ 3.在天文观测中,可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径.遥远星体上每一点发出的光到达地球 处都可视为平行光,从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角 θ 就是星体的角直径.遥远星体 的角直径很小,为测量如些微小的角直径,迈克尔逊设计了测量干涉仪,其装置简化为图 2 所示.M1, M2,M3,M4 是四个平面反射镜,它们两两平行,对称放置,与入射光(a, a′)方向成 45°角.S1 和 S2 是一对小孔,它们之间的距离是 d.M1 和 M2 可以同步对称调节来改变其中心间的距离 h.双孔屏 到观察屏之间的距离是 D.a, a′和 b, b′分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束.设光线 a, a′垂直双孔屏和像屏,星光的波长是 λ ,试导出星体上角直径 θ 的计算式. 注:将星体作圆形扩展光源处理时,研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的影响会遇到数学困 难,为简化讨论,本题拟将扩展光源作宽度为 ω 的矩形光源处理.





图1

3

图2 七, (20 分)今年是我国著名物理学家,曾任浙江大学物理系主任的王淦昌先生诞生一百周年.王先 生早在 1941 年就发表论文, 提出了一种探测中微子的方案: Be 原子核可以俘获原子的 K 层电子而成为 Li 的激发态 ( Li ) ,并放出中微子(当时写作η)
7 7 *
7 7

Be + e →( 7 Li ) * + η
7

而 ( Li ) 又可以放出光子 γ 而回到基态 Li
7 *

( 7 Li ) * → 7 Li + γ
由于中微子本身很难直接观测,能过对上述过程相关物理量的测量,就可以确定中微子的存在,1942 年起,美国物理学家艾伦(R.Davis)等人根据王淦昌方案先后进行了实验,初步证实了中微子的存在. 1953 年美国人莱因斯(F.Reines)在实验中首次发现了中微子,莱因斯与发现轻子的美国物理学家佩尔 (M.L.Perl)分享了 1995 年诺贝尔物理学奖. 现用王淦昌的方案来估算中微子的质量和动量.若实验中测得锂核( Li )反冲能量(即 Li 的动能) 的 最 大 值 E R = 56.6ev , γ 光 子 的 能 量 hγ = 0.48Mev . 已 知 有 关 原 子 核 和 电 子 静 止 能 量 的 数 据 为
7 7

m Li c 2 = 6533.84 Mev ; m Be c 2 = 6534.19 Mev ; me c 2 = 0.51Mev .设在第一个过程中, 7 Be 核是静止
的,K 层电子的动能也可忽略不计.试由以上数据,算出的中微子的动能 P 和静止质量 mη 各为多少? η

4


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