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12.2.1圆的标准方程(1)

时间:2014-04-25


【第12章 圆锥曲线】

圆的标准方程

曲线与方程
什么是方程的曲线和曲线的方程? 定义. 在直角坐标系中, 如果曲线C和二元方程 F ( x, y ) ? 0 之间满足: ①曲线C上的点的坐标都是方程的解; ②方程的解为坐标的点都在曲线C上; 则称:方程 F ( x, y ) ? 0为曲线C的方程; 曲线C是方程 F ( x, y ) ? 0 的曲线.

圆的精确定义
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径.

一般要求这个定长是正数.
试推导以C(a,b)为圆心, r为半径的圆的方程.
y
2

M ( x, y)
r

设 M ( x, y )是所求轨迹上一点,
则 | MC |? r ? ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2

C ( a, b)

? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
所求轨迹方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

非负
O
x

圆的标准方程
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径. 以C(a,b)为圆心, r?0为半径的圆的方程为:

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
称上述形式的圆的方程为圆的标准方程. 特别地, 以原点为圆心, r?0为半径的圆的标准方程是

x2 ? y 2 ? r 2
思考:确定一个圆需要知道几个条件?

1.口答下列方程所表示圆的圆心与半径.
( x ? 1) 2 ? y 2 ? 32 x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

课内练习

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 3

以原点为圆心的单位圆. 2. 写出下列圆的标准方程.

? x ? a?

2

? y2 ? a2

? ?a,0?

|a|

(1)以原点为圆心, 4为半径的圆. x 2 ? y 2 ? 16 (2)圆心在点C(3,4), 半径为 5

? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 5
2 2

【典型例题】

例1. 求以 C (1,3) 为圆心,并与直线3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的 圆的标准方程. 解. 因为圆与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切 所以圆心到直线的距离等于半径 由点到直线距离公式,得
r? 3 ?1 ? 4 ? 3 ? 7 3 ? (?4)
2 2

y
C r O

16 ? 5

x

所以圆的标准方程为:

? x ? 1?

2

? ? y ? 3?

2

256 ? 25

【典型例题】

例2. 求圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 13关于直线 y ? ? x 对称的 圆的标准方程. 解. 由圆心(?1,2)关于y??x的对称点为(?2,?1), 对称变换不改变长度, 所求圆的方程为:C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 13 圆的对称问题, 本质上就是圆心的对称问题.

课内练习
3. 写出下列圆的标准方程. (1)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)

? x ? 8?

2

? ? y ? 3? ? 25
2

(2)圆心在x轴, 半径为3, 且与y轴相切的圆.
( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 或者 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9
y

C (?3,0)

O

r

C (3,0)
x

【典型例题】

例3. 已知圆过点 A(2, ?3) 和 B(?2, ?5) ,若圆心在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,试求圆的标准方程. 解. 设圆心坐标为 C ( a, b) ,半径为 r 法一 ?(2 ? a) 2 ? (?3 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 由题意,得: ( ? 2 ? a ) ? ( ? 5 ? b ) ? r ? ?a ? 2b ? 3 ? 0 ? ? a ? ?1 ? 解方程组,得:?b ? ?2 ? ? r ? 10 所以所求的圆的标准方程为:( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 10

【典型例题】

例3. 已知圆过点 A(2, ?3) 和 B(?2, ?5) ,若圆心在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,试求圆的标准方程. y 解. 易求线段的中垂线方程: l1 : 2 x ? y ? 4 ? 0 o x 又已知圆心在直线 l2 : x ? 2 y ? 3 ? 0 · Q 求得 l1与l2 交点 Q(?1, ?2) · A(2,-3) 即为圆心坐标。又

· B(-2,-5)

r ? QA ? (2 ? 1)2 ? (?3 ? 2)2 ? 10
2

2

所以所求的圆的标准方程为:( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 10

点与圆的位置关系
一个圆过点P(12,0),且与y轴切于原点.求这个圆的方程,并判 断点A(6,-6)、 B(5,-5)、C(2.5,5)是在圆内,在圆外,还是在圆上. (x-6)2+y2=62 A在圆上,B在圆内,C在圆外

小结
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径. 以C(a,b)为圆心, r?0为半径的圆的方程为:

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
称上述形式的圆的方程为圆的标准方程. 特别地, 以原点为圆心, r?0为半径的圆的标准方程是

x2 ? y 2 ? r 2


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