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江西师大附中,临川一中2014届高三期末联考理科数学试卷(带解析)

时间:2014-03-11


江西师大附中,临川一中 2014 届高三期末联考理科数学试卷
1.已知集合 A ? {x x ? 1 ? 1} , B ? {x | y ? ( ) x ? 2 , y ? R} ,则 A ? CR B ? ( A. (?2,?1) 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : B. (?2,?1] C. ( ?1,0)
1 2 D. [?1,0)

)

A ? {x x ? 1 ? 1} ? {x ? 2 ? x ? 0}



1 1 B ? {x | y ? ( ) x ? 2, y ? R} ? {x | ( ) x ? 2 ? 0} ? {x | x ? ?1} , CR B ? {x | x ? ?1} , 2 2

A ? CR B ? (?1,0) .
考点:集合的运算. 2.复数 z ? A. (1,?3) 【答案】B 【解析】 试题分析: z ?
1? i 在复平面上对应的点的坐标为( 2?i 1 3 B. ( ,? ) 5 5

)
3 3 D. ( ,? ) 5 5

C. (3,?3)

1 ? i ?1 ? i ?? 2 ? i ? 1 ? 3i 1 3 1? i 在复平面上对应的 ? ? ? ? i ,故复数 z ? 2?i 2?i 5 5 5 5

1 3 点的坐标为 ( ,? ) . 5 5

考点:复数的运算. 3.下列命题中正确的是( ) A.若 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 B.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 也为真命题 C.“函数 f ( x) 为奇函数”是“ f (0) ? 0 ”的充分不必要条件 D.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的否命题为真命题 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : A . 若 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 , 则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 , 是 错 误 的 , 因 为

x2 ? x ? 1 ? 0 的否定为 x2 ? x ? 1 ? 0 ;B.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 也为真命题,是错误
的, 因为 p ? q 为真命题则 p, q 至少有一个为真,p ? q 为真命题则 p, q 两个都为真; C. “函 数 f ( x) 为奇函数”是“ f (0) ? 0 ”的充分不必要条件,是错误的,因为函数 f ( x) 在 x ? 0 不 一定有定义; D. 命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的否命题为真命题是正确的, 因为命题“若

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x

2

? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ” 为真命题.

考点:命题真假判断. 4.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y ? 1 的最大值( )
? ? x ?1 ? 0 ? x? y ?5 ? 0

A.9 【答案】B 【解析】

B.8

C.7

D.6

试题分析:约束条件 ? ? x ? 2 y ? 1 ? 0 所表示的区域如下图,由图可知,当目标函数过 A ?1, 4 ? 取
14

? x? y ?5 ? 0 ? ? x ?1 ? 0

得最大值,故 z ? x ? 2 y ? 1 的最大值为 1 ? 2 ? 4 ? 1 ? 8 .

B

12

10

8

A x+y-5=0

6

x-1=0
4

B
2

C x-2y+1=0 x+2y=0
5 10 15 20

10

5

2

考点:线性规划.
4

5 .若直线 l1 : x ? ay ? 1 ? 0 与 l2 : 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直 , 则二项式 (ax2 ? )5 展开式中 x 的系数为
6

1 x

( ) A. ?40 B. ?10 C.10 【答案】A 【解析】
8 10

D.40

试题分析:直线 l1 : x ? ay ? 1 ? 0 与 l2 : 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,所以 4 ? 1 ? ? ?2? ?a ? 0 ,解得

a?2
r




2 5? r


r



1 1 (ax 2 ? ) ? 5(2 x ? ) 2 x x



5











Tr ?1 ? C ? 2 5x

?

? 1? r ?? ? ? C ? x ? ?

? 25 ? ? ?
5? r

r

0 1 03? 3 r ? 1, 得 r ? 3 , 故 二 项 式 x ?1r1 , 令

2 3 1 3 (ax2 ? )5 展开式中 x 的系数为 C5 ? 2 ? ? ?1? ? ?40 . x

考点:两直线垂直的性质,二项式定理. 6.已知函数 f ( x) ? cos

?x
3

,根据下列框图,输出 S 的值为( )

A.670 B. 670 【答案】C 【解析】

1 C.671 2

D.672

试题分析:第一次运行, f (1) ? cos 第二次运行, f (2) ? cos 第三次运行, 第四次运行, 第五次运行, 第六次运行,

?

2? 3 3? f (3) ? cos 3 4? f (4) ? cos 3 5? f (5) ? cos 3 6? f (6) ? cos ? 1 , s ? 2 , n ? 7 , 7 ? 2015 , 3

1 1 , s ? , n ? 2 , 2 ? 2015 , 3 2 2 1 1 ? ? , s ? , n ? 3 , 3 ? 2015 , 2 2 1 ? ?1 , s ? , n ? 4 , 4 ? 2015 , 2 1 1 ? ? , s ? , n ? 5 , 5 ? 2015 , 2 2 1 ? , s ? 1 , n ? 6 , 6 ? 2015 , 2 ?

?

2014? 1 1 ? ? ,s ? 670 ,n ? 2015 ,2015 ? 2015 , 3 2 2 2015? 1 ? , s ? 671 , n ? 2016 , 2016 ? 2015 , 第2015次运行, f (2015) ? cos 3 2 停止运行,此时输出 S 的值为 671 .
第2014次运行, f (2014) ? cos 考点:算法框图.
2 2 7 . 已 知 点 P(3,4) 和 圆 C:(x ? 2) +y =4,A,B 是 圆 C 上 两 个 动 点 , 且 |AB|= 2 3 , 则

OP? (OA? OB) (O 为坐标原点)的取值范围是(

)

A.[3,9] B.[1,11] C.[6,18] D.[2,22] 【答案】D 【解析】 试题分析:设 AB 的中点为 D ,则 OA ? OB ? 2OD ,又因为 AB ? 2 3 ,所以 CD ? 1 , 故点 D 在圆

??? ? ??? ?

????

? x ? 2?

2

? y2 ? 1 上 , 所 以 点 D 的 坐 标 为 ?2 ? c o ?s

,故 ,? s ?i n 而

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? OP ?( O A ? O )B ?2 O ?P O ? D 6 ? 3?c o s ? ??4 s ? in ? ?2
2?

2 ?? 6 ?? 5 s?i , n ? ?

?

2 ?

6 i n 2 2 ? 2, 22? . OP? (OA? OB) 的取值范围是 ?? ? ? ?5 ? ? s,所以则
? 后,得到 g ( x) 的图像,则 f ( x) 与 g ( x) 的图 3

考点:圆的方程,向量的数量积. 8.把函数 f ( x) ? sin x( x ? [0,2? ]) 的图像向左平移

像所围成的图形的面积为( ) A.4 【答案】D 【解析】 试题分析:函数 f ( x) ? sin x( x ? [0,2? ]) 的图像向左平移 B. 2 2 C. 2 3 D.2

?? ? ? 后,得到 g ( x) ? sin ? x ? ? ,得 3 3? ?

交点为, ? ?
4? 3 3

?? ?3

,

3 ? ? 4? 3? , , ? ? ? ? ? 3 ? , 则 f ( x ) 与 g ( x) 的 图 像 所 围 成 的 图 形 的 面 积 为 2 ? 2 ? ? ?
4?

??

? ? ?? ? ? ?? 3 ? ? sin x ? sin x ? dx ? ? cos x ? cos x ? ? ?? ? ?? ? 2 . ? ? 3 ?? 3 ?? ? ? ? ? ?
3

考点:三角函数平移变化,定积分. 9.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P,Q 是面对角线 A1C1 上的两个不同动点. ①存在 P,Q 两点,使 BP ? DQ; 0 ②存在 P,Q 两点,使 BP,DQ 与直线 B1C 都成 45 的角; ③若|PQ|=1,则四面体 BDPQ 的体积一定是定值; ④若|PQ|=1,则四面体 BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值. 以上命题为真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 试题分析:①存在 P,Q 两点,使 BP ? DQ 是正确的,因为当 P 为 A 1 ,Q 为 C1 时 BP ? DQ;②存 在 P,Q 两点,使 BP,DQ 与直线 B1C 都成 45 的角是错误的,因为 BP 与直线 B1C 所成的角最小 角为 60 ? ;③若|PQ|=1,则四面体 BDPQ 的体积一定是定值是正确的,设 AC 1 1 与 B1 D 1 的交点 为 O1 ,则 A1C1 ? 平面 O1BD ,平面 O1BD 将四面体 BDPQ 分成两个棱锥,高的和为 PQ , 故体积不变; ④若|PQ|=1, ,则四面体 BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值 是正确的,当 P,Q 在面对角线 A1C1 上移动时,在各个面上的正投影的面积不变,故它的正投 影的面积的和为定值. 考点:正方体的综合问题. 10.已知椭圆 C1 :
x2 a12 ? y2 b12 ? 1(a1 ? b1 ? 0) 与双曲线 C2 : x2 a2
2
0

?

y2 b2 2

? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 有相同的焦

点 F1,F2, 点 P 是两曲线的一个公共点 , e1 , e2 又分别是两曲线的离心率 , 若 PF1 ? PF2, 则
4e12 ? e22 的最小值为(

) C.
9 2

A.

5 2

B.4

D.9

【答案】C 【解析】 试题分析:由题意设焦距为 2c ,椭圆的长轴长 2a1 ,双曲线的实轴长为 2a2 ,不妨令 P 在 双 曲 线 的 右 支 上 , 由 双 曲 线 的 定 义 PF 1 ? PF 2 ? 2a2 ①,由椭圆的定义 ③,① +② 得
2 , ∴
2 2

PF1 ? PF2 ? 2a1
2 2

② , 又 PF1 ? PF2 , 故 PF1 ? PF2

2

2

? 4c 2

PF1 ? PF2 ? 2a12 ? 2a2 2
2 1 2

2 ④ , 将 ④ 代 入 ③ 得 a12 ? a2 ? 2c

2 2 2a2 2 a12 4c 2 c 2 4 ? a1 ? a2 ? a12 ? a2 2 5 2a2 2 a12 5 9 4e ? e2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 a1 a2 2a1 2a2 2 a1 2a2 2 a1 2a2 2

. 考点:双曲线的简单性质;椭圆的简单性质.

11.在等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 3 , a18 ? a19 ? a20 ? 87 ,则该数列前 20 项的和为____. 【答案】300 【解析】 试题分析:a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? 3 , 所以 a2 ? 1 ,a18 ? a19 ? a20 ? 3a19 ? 87 , 所以 a19 ? 29 , 该数列前 20 项的和为 S20 ?

20 20 ? a2 ? a19 ? ? ?1 ? 29 ? ? 300 . 2 2

考点:等差数列的运算. 12.把甲、乙、丙、丁、戊 5 人分配去参加三项不同的活动,其中活动一和活动二各要 2 人, 活动三要 1 人,且甲,乙两人不能参加同一活动,则一共有_____种不同分配方法. 【答案】24 【解析】 试题分析:把甲、乙、丙、丁、戊 5 人分配去参加三项不同的活动,其中活动一和活动二各
2 2 要 2 人 , 活 动 三 要 1 人 , 共 有 C5 C3 ? 30 种 方 法 , 其 中 甲 , 乙 两 人 参 加 同 一 活 动 由 2 2 C3 ? C3 ? 6 ,故把甲、乙、丙、丁、戊 5 人分配去参加三项不同的活动,其中活动一和活

动二各要 2 人,活动三要 1 人,且甲,乙两人不能参加同一活动,则一共有 30 ? 6 ? 24 种不同 分配方法. 考点:组合数计算. 13.已知正三棱锥 P ? ABC 中,E,F 分别是 AC,PC 的中点,若 EF ? BF,AB=2,则三棱锥 P ? ABC 的外接球的表面积为_________. 【答案】 6? 【解析】 试题分析: E,F 分别是 AC,PC 的中点, ∴ EF ? PA , ∵三棱锥 P ? ABC 为正棱锥, ∴ PA ? BC (对棱互相垂直) ,∴ EF ? BC ,又∵EF ? BF,而 BF ? BC ? B ,∴ EF ? 平面 PBC ,

∴ PA ? 平面 PBC ,∴ ?APB ? ?APC ? ?BPC ? 90? ,以 PA, PB, PC 为从同一定点 P 出发的正方体三条棱,将此三棱锥补成以正方体,则它们有相同的外接球,正方体的对角线 就是球的直径.又因为 AB=2,所以 PA ?

2 ,∴ 2R ? 3PA ? 6 ,∴ R ?
2

6 ,∴三棱 2

? 6? 6? 锥 P ? ABC 的外接球的表面积为 S ? 4? R ? 4? ? ? 2 ? ? ? 6? .故答案为: . ? ?
2

考点:球内接多面体;球的体积和表面积. 14.已知下列等式:

12 ? 1 12 ? 32 ? 52 ? 17 12 ? 32 ? 52 ? 7 2 ? 92 ? 49 12 ? 32 ? 52 ? 7 2 ? 92 ? 112 ? 132 ? 97
观察上式的规律,写出第 n 个等式________________________________________. 【答案】 12 ? 32 ? 52 ? 72 ? ?? (4n ? 5)2 ? (4n ? 3)2 ? 8n2 ? 8n ? 1 【解析】 试题分析: 1 ? 1
2

12 ? 32 ? 52 ? 1 ? 2 ?3 ? 5? ? 17 12 ? 32 ? 52 ? 72 ? 92 ? 1 ? 2 ?3 ? 5? ? 2 ?7 ? 9? ? 49
12 ? 32 ? 52 ? 72 ? 92 ?112 ?132 ? 1? 2 ?3 ? 5? ? 2 ?7 ? 9? ? 2 ?11?13? ? 97

?

12 ? 32 ? 52 ? 72 ??? (4n ? 5)2 ? (4n ? 3)2 ? 1 ? 2 ?3 ? 5? ??? 2 ?4n ? 5 ? 4n ? 3?
? 1? 2 ?3 ? 5? ??? 2 ? 4n ? 5 ? 4n ? 3? ? 1 ? 2 ?3 ? 5 ? 7 ? 9 ? ?? 4n ? 5 ? 4n ? 3?
? 1? 2? 2 ? n ? 1?? 3 ? 4n ? 3? ? 8n2 ? 8n ? 1 . 2

考点:归纳推理. 15.对于函数 y ? f ( x) 的定义域为 D,如果存在区间 [ m, n] ? D 同时满足下列条件: ① f ( x) 在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时, f ( x) 的值域也是[m,n],则称区间[m,n]是 该函数的“H 区间”.若函数 f ( x) ? ? ____________. 【答案】 ( ,1] ? (2e, e ]
?a ln x ? x ( x ? 0) 存在“H 区间”,则正数 a 的取值范围是 ? ? x ? a ( x ? 0)

3 4

2

【解析】 试题分析:当 x ? 0 时, f ( x) ? a ln x ? x , f '( x) ?

a?x a a?x ? 0, , f '( x) ? 0 , 得 ?1 ? x x x

得 0 ? x ? a ,此时函数 f ( x ) 为单调递增,当 x ? n 时,取得最大值,当 x ? m 时,取得最 小值,即 ?
22

2x ? a ln n ? n ? n ,即方程 a ln x ? x ? x 有两解,即方程 a ? 有两解,作出 ln x ?a ln m ? m ? m

2x 2x 的图像, 由图像及函数的导数可知, 当 x ? 1 时,y ? 在 x ? e 时取得最小值 2e , ln x ln x 2a 2x 2a 2 2 a? 在 x ? a 时, , 故方程 a ? 有两解, , 即a ? e , 故 a 的取值范围为 (2e, e ] ; ln a ln x ln a y?
20 18 16 14

f ? x? =
12

2?x ln?x?

10

8

6

4

2

10

5

5

10

15

20

2

当 x ? a 时,函数 f ( x ) 为单调递减,则当 x ? m 时,取得最大值,当 x ? n 时,取得最小值, 即?

?a ln m ? m ? n ,两式相减得, a ln m ? a ln n ? 0 ,即 m ? n ,不符合; a ln n ? n ? m ?

当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 为单调递减,则当 x ? m 时,取得最大值,当 x ? n 时,取得最小值, 即?

? ? ?m ? a ? n ? ? ?n ? a ? m

,两式相减可以得到 ?m ? ?n ? 1 ,回带到方程组的第一个式子得到

3 1 ? ?n ? a ? n ,整理得到 1 ? ?n ? n ? a ,由图像可知,方程有两个解,则 a ? ( ,1] 4

12

10

8

6

f ? x? = x

x+1
4

2

15

10

5

5

10

15

20

2

综上所述,正数 a 的取值范围是 ( ,1] ? (2e, e ] . 考点:新定义,方程的解.
4

3 4

2

6

16.已知 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若向量 m ? (cos B,2 cos

2

C ?1) 与向量 2

n ? (2a ? b, c) 共线.
(1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2 3, S?ABC ? 2 3 ,求 a,b 的值. 【答案】 (1) C ? 【解析】 试题分析: (1)向量 m ? (cosB,2 cos
2

a?2 a?4 ? (2) { b ? 4 或{ b ? 2 . 3
C ?1) 与向量 n ? (2a ? b, c) 共线,由共线向量的性 2

质可得 c cos B ? (2a ? b) cos C ,式子即含有边又含有角,又是求角 C 的大小,可考虑利用 正弦定理将边化为角,得 sin C cos B ? (2sin A ? sin B) cos C ,利用两角和的正弦公式 及三角形的性质可得 cos C

?

1 , 进而可求得角 C 的大小; (2) 若 c ? 2 3, S?ABC ? 2 3 , 2
? ,已知 S?ABC ? 2 3 ,可得 ab ? 8 ,由此可考虑利用余 3

求 a,b 的值,由(1)可知 C ? 弦定理得 c
2

? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,即 a2 ? b2 ? ab ? 12 ,从而可得 a,b 的值.

试题解析: (1)? m ? (cosB, cosC), m // n ?c cos B ? (2a ? b) cosC

? sinC cos B ? (2 sin A ? sin B) cosC ,
sinA ? 2sinAcosC ,? cosC ?
1 ? ? C ? (0,? ) ?C ? 2 3

(2)? c

2

? a 2 ? b2 ? 2abcosC ,? a 2 ? b2 ? ab ? 12 ①? S?ABC ? absinC ? 2 3

1 2

?ab ? 8 ②,

a?2 a?4 { 由①②得 或{ . b?4 b?2

考点:解三角形。 17.某商家推出一款简单电子游戏,弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形 的顶点与中心共七个点中的三个位置上(如图),用 S 表示这三个球为顶点的三角形的面积. 规定:当三球共线时,S=0;当 S 最大时,中一等奖,当 S 最小时,中二等奖,其余情况不中奖,一 次游戏只能弹射一次.

(1)求甲一次游戏中能中奖的概率; (2)设这个正六边形的面积是 6,求一次游戏中随机变量 S 的分布列及期望值. 【答案】 (1) P ? S P 0
3 35

1 ; (2)S 的可能值为:0,1,2,3,其分布列为 7
2
12 35

1
18 35

3
2 35

? ES ?

48 . 35

【解析】 试题分析: (1)由题意可知,这是随机变量的等可能事件的概率问题,弹射一次可以将三个
3 相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上共有 C7 种方法,

当 S 最大时它的方法数有 2 种,当 S 最小时,即 S ? 0 共有 3 种方法,一次游戏中能中奖的 方法数有 2 ? 3 ? 5 种,由古典概率求法可得甲一次游戏中能中奖的概率; (2)设这个正六 边形的面积是 6,一次游戏中随机变量 S 的可能值为:0,1,2,3,分别求出它们的概率,得分布 列,进而可求得期望值. 试题解析: (1)甲中奖的概率为 P ?

3? 2 1 ? C3 7 7

(2)S 的可能值为:0,1,2,3,其分布列为 S P 0
3 35

1
18 35

2
12 35

3
2 35

? ES ? 0 ?

3 18 12 2 48 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 35 35 35 35 35

考点:古典概率,分布列及期望值. 18.已知平行四边形 ABCD(图 1)中,AB=4,BC=5,对角线 AC=3,将三角形 ? ACD 沿 AC 折起至 0 ? PAC 位置(图 2),使二面角 P ? AC ? B 为 60 ,G,H 分别是 PA,PC 的中点.

(1)求证:PC ? 平面 BGH; (2)求平面 PAB 与平面 BGH 夹角的余弦值. 【答案】 (1)详见解析; (2)平面 PAB 与平面 BGH 夹角的余弦值

3 7 . 14

【解析】 试题分析: (1)求证: PC ? 平面 BGH ,证明线面垂直,只需证明线和平面内两条相交直 线垂直即可,由于 G , H 是 ?PAC 的中位线,,所以 GH // AC ,由已知 AB ? 4, BC ? 5 , 对 角 线 AC ? 3 , 得

AC 2 ? AB2 ? BC 2 , 从 而 可 得 AC ? AB, 即 P C ? A C , 即

G H ? P C,只需再找一条垂线即可, 若 BH ? PC 问题得证, 要证 BH ? PC , 只要 PB ? BC 即可, 由已知二面角 P ? AC ? B 为
60 , 可找二面角的平面角, 故过 C 作 CE
0

// AB 且 CE ? AB ,连 BE, PE , 则 ?PCE ? 600 ,

这样可证得 PB ? BC ,从而得证; (2)求平面 PAB 与平面 BGH 夹角的余弦值,求二面角的 大小,可采用向量法来求,以 CE 的中点 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意 可得各点的坐标, 分别找出两个平面的法向量, 即可求出平面 PAB 与平面 BGH 夹角的余弦值. 试题解析: (1)证明:过 C 作 CE

// AB 且 CE ? AB ,连 BE,PE

? AC2 ? AB2 ? BC2 ? AC ? AB ,

? 四边形 ABEC是矩形, AC ? CE ,?PC ? AC
0 ? AC ? 平面 PEC,? ?PCE ? 60 ?PC ? CE ? 4

??PCE 是正三角形

?BE// AC ?BE ? 平面 PEC
? BE ? PE ? PB ? PE 2 ? BE 2 =5=BC,
而 H 是 PC 的中点,?BH ? PC ,? G , H 是 ?PAC 的中位线,? GH // AC ,?GH ? PC
? GH ? BH ? H , ?PC ? 平面 BGH.

(2)以 CE 的中点 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(3,?2,0) , B (3,2,0)
P(0,0,2 3 ) , C (0,?2,0) ,

先求平面 PAB 的法向量为 n ? (2 3,0,3) ,而平面 BGH 的法向量为 PC ? (0,?2,?2 3) ,

设平面 PAB 与平面 BGH 的夹角为 ? ,则 cos? ? cos ? n, PC ? ?

3 7 . 14

考点:直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 2 19.已知正项数列{an}中,a1=1,且 log3an,log3an+1 是方程 x ? (2n ? 1)x+bn=0 的两个实根. (1)求 a2,b1; (2)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)若 cn ? bn , An 是 {cn } 前 n 项和, Bn ? 【答案】 (1)a2 时, An ? Bn . 【解析】 试题分析: (1)log3 an , log3 an?1 是方程 x2 ? ? 2n ?1? x ? bn ? 0 的两个实根,有根与系数 关系可得, log3 an
n2 ? 1 ,当 n ? N ? 时,试比较 An 与 Bn 的大小. 2

? 3 ,b1 ? 0 ; (2) (Ⅲ) 当 n ? 1 时, An ? Bn ,当 n ? 2 ?an ? 3n?1 (n ? N? ) ;

? log3 an?1 ? 2n ?1 , bn ? log3 an ? log3 an?1 ,求 a2 , b1 的

值,可利用对数的运算性质,及已知 a1 ? 1 ,只需令 n ? 1 即可求出 a2 , b1 的值; (2)求 数 列 {an } 的通项 公式, 由 log 3 an

? log 2? 1 得, an an?1 3 an? 1 ? n

? 32n?1 , 所以
9 的

an ? 2 an?1an?2 32 n?1 ? 9 ,得数列 {an } 的奇数项和偶数项分别是公比为 ? 2 n?1 ? 9 ,即 an an an?1 3

等比数列,分别写出奇数项和偶数项的通项公式,从而可得数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若
cn ? bn , An 是 {cn } 前 n 项和, Bn ?

n2 ? 1 ,当 n ? N ? 时,试比较 An 与 Bn 的大小,此题关键是 2

求 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 , 由 ( 1 ) 可 知 bn

? log ? n? ?1, 可 得 3 an ? log 3 an ?1 ? n

cn ? (n ?1)n ,当 n ? 1 时, A1 ? c1 =0, B1 =0,得 A1 ? B1 ,当 n ? 2 时,有基本不等式可得
cn ? (n ? 1)n ? 2n ? 1 3 5 2n ?1 n2 ?1 ,从而可得 An ? 0+ ? ? ?? = Bn ,即可得结论. ? 2 2 2 2 2

试题解析: (1)? log3 an ? log3 an ?1 ? 2n ? 1 ,? an an ?1 当 n ? 1 时, a1a2 ? 3 , ? a1 ? 1,? a2 ? 3 ,

? 32n ?1

? bn ? log3 an ? log3 an ?1 , ? b1 ? log3 a1 ? log3 a2 ? 0
(2)?

an ? 2 an ?1an ? 2 32 n ?1 ?9, ? 2 n ?1 ? 9 , ? an an an ?1 3

?{an } 的奇数项和偶数项分别是公比为 9 的等比数列.

? a2k ?1 ? a1 ? 9k ?1 ? 32k ? 2 , a2k ? a2 ? 9k ?1 ? 32k ?1(k ? N? ) ,
? ?3n ?1 ? an ? ? n ?1 ? ?3 (n为奇数) ? 3n ?1 (n ? N ? ) (n为偶数)

(Ⅲ) ? bn ? log3 an ? log3 an ?1 ? (n ? 1)n(n ? N ? ) ?cn ? (n ? 1)n 当 n ? 1 时, A1 ? c1 =0, B1 =0,? A1 ? B1 . 当 n ? 2 时, cn ? (n ? 1)n ?
An ? 0+

2n ? 1 2

3 5 2n ?1 n2 ?1 = Bn ? ? ?? ? 2 2 2 2 综上,当 n ? 1 时, An ? Bn ,当 n ? 2 时, An ? Bn .



3 ? A1 ? 0, B1 ? 0,? A1 ? B1 ? A2 ? 2, B2 ? ? A2 ? B2 ? A3 ? 2 ? 6, B3 ? 4? A3 ? B3 2
猜测 n ? 2 时, An ? B n 用数学归纳法证明 ①当 n ? 2 时,已证 A2 ? B2 ②假设 n ? k (k ? 2) 时, Ak ? B k 成立 当 n ? k ? 1 时, Ak ?1 ? Ak ? k (k ? 1) ?
k 2 ?1 k 2 ? 1 2k ? 1 (k ? 1) 2 ?1 ? B k ?1 ? k (k ? 1) ? ? ? 2 2 2 2

即 n ? k ? 1 时命题成立 根据①②得当 n ? 2 时, An ? B n 综上,当 n ? 1 时, An ? Bn ,当 n ? 2 时, An ? Bn 考点:求数列的通项公式,数列求和. 20.已知抛物线 C: x 2 ? 2 py( p ? 0) ,定点 M(0,5),直线 l : y ?
p 与 y 轴交于点 F,O 为原点,若 2

以 OM 为直径的圆恰好过 l 与抛物线 C 的交点. (1)求抛物线 C 的方程; (2) 过点 M 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点,连 AF,BF 延长交抛物线分别于 A?, B ? ,求证: 抛物 线 C 分别过 A?, B ? 两点的切线的交点 Q 在一条定直线上运动. 【答案】 (1)抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)求抛物线 C 的方程,只需求出 p 的值即可,由已知可知直线 l 与 y 轴的交点 又以 OM 为直径的圆恰好过直线 l 抛物线的交点, 设交点为 P ? p, F 为抛物线 C 的焦点,

? ?

p? ?, 2?

则 OP ? PM ,故 kOP ? kPM

p p 5? 2 ? ?1,解得 p ? 2 ,从而可得抛物线 C 的 ? ?1 ,即 2 ? p ?p

方程; (2),求证: 抛物线 C 分别过 A?, B ? 两点的切线的交点 Q 在一条定直线上运动,找出交 点 Q 点的坐标即可,故需求出过 A?, B ? 两点的切线的方程,而 A?, B ? 与 A, B 有关,故可设出 直线 AB 的方程为 y ? kx ? 5 (斜率一定存在) ,再设出 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) , A?( x0 , y0 ) ,利 用三点共线可得 A?(? 的切线方程为: y ? ?

4 4 4 4 再由导数的几何意义, 求出斜率, 得过点 A? , 2 ) ,B?(? , 2 ) , x1 x1 x2 x2

4 2 4 2 4 x ? 2 ,过点 B? 的切线方程为: y ? ? x ? 2 ,解出 yQ ? ,结 x1 x2 x1 x2 x1 x2

合?

1 ? y ? kx ? 5 ,得 x1 x2 ? ?20 ,即得 yQ ? ? ,从而得证。 2 5 ? x ? 4y
p p (5 ? ) ,? p ? 2 2 2

试题解析: (1)? 直线 l 与 y 轴的交点 F 为抛物线 C 的焦点,又以 OM 为直径的圆恰好过直 线 l 抛物线的交点,? p 2 ?

所以抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y (2)由题意知直线 AB 的斜率一定存在,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 5 , 又设 A( x1, y1 ), B( x 2 , y2 ) , A?( x0 , y0 ) ? A, F , A? 共线,? x1 ( y0 ? 1) ? x0 (1 ? y1 ) ? 0 , ( x0 ? x1 )( x0 x1 ? 4) ? 0
? x0 ? x1 ? x0 ? ?

4 4 4 4 4 , A?(? , 2 ) ,同理可求 B?(? , 2 ) x1 x1 x1 x2 x2

? y? ?

2 2 4 1 x ,? 过点 A? 的切线的斜率为 ? ,切线方程为: y ? ? x ? 2 , x1 x1 2 x1
4 2 4 x ? 2 ,联立得: yQ ? x1 x2 x2 x2

同理得过点 B? 的切线方程为: y ? ? 由?

? y ? kx ? 5 ? x 2 ? 4kx ? 20 ? 0 ? x1x2 ? ?20 2 ? x ? 4y

? yQ ?

4 1 1 ? ? ,即点 Q 在定直线 y ? ? 上运动. x1 x2 5 5

考点:抛物线方程,直线与抛物线的综合问题. 21.已知函数 f ( x) ? 4 ln x ? x2 ? ax(a ? R) . (1)当 a ? 6 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 有两个极值点 x1, x2 ,且 x1 ? (0,1] ,求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ? 4 ln 2 ; (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln 求实数 k 的取值范围. 【答案】 (1)
ax ? 2 6x
2

3 ,对于任意 a ? (2,4) 时,总存在 x ?[ ,2] ,使 g ( x) ? k (4 ? a 2 ) 成立, 2

f ( x) 的递增区间为 (0,1) 和 (2,??) ,递减区间为 (1,2) ; (2)详见解析; (Ⅲ)实

数 k 的取值范围为 [ 1 ,??) .
3

【解析】 试题分析: (1)当 a ? 6 时,求函数 f ( x) 的单调区间,由于函数 f ( x ) 含有对数函数,可通过 求 导 来 确 定 单 调 区 间 , 由 函 数 f ( x) ? 4 ln x ? x2 ? ax(a ? R) , 对 f ( x ) 求 导 得 ,

f ?( x) ?

2 x 2 ? ax ? 4 ,令 f ?( x) ?0 , f ?( x) ? 0 ,解不等式得函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 x

函数 f ( x) 有两个极值点 x1, x2 ,且 x1 ? (0,1] ,求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ? 4 ln 2 ,由于 f ( x) 有两个极 值 点 x1, x2 , 则 2 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有 两 个 不 等 的 实 根 , 由 根 与 系 数 关 系 可 得 ,
? ??0 ? a ? ,用 x1 表示 a, x2 ,代入 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,利用 0 ? x1 ? 1 即可证明; ? x1 ? x 2 ? (0 ? x ? 1 1) 2 ? ? ? x1 x2 ? 2

(Ⅲ) 对于任意 a ? (2, 4) 时,总存在 x ? [ , 2] ,使 g ( x) ? k (4 ? a2 ) 成立, 即 ? g( x)

3 2

?m x a

? k( 4 a ?)

2

恒 成 立 , 因 此 求 出 ? g ( x)?max ? 2ln(2a ? 2) ? 2a ? 4 ? 2ln 6 , 这 样 问 题 转 化 为 ,

2ln(2a ? 2) ? 2a ? 4 ? 2ln 6 ? k (4 ? a2 ) 在 a ? (2, 4) 上恒成立,构造函数,分类讨论可求出
实数 k 的取值范围. 试题解析: f ?( x) ?
4 2 x 2 ? ax ? 4 ? 2x ? a ? ( x ? 0) x x

(1)当 a ? 6 时, f ?( x) ?

2( x 2 ? 3 x ? 2) , x

令 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 2 , f ?( x) ? 0 ? 1 ? x ? 2 ,

? f ( x) 的递增区间为 (0,1) 和 (2,??) ,递减区间为 (1,2) .
(2)由于 f ( x) 有两个极值点 x1, x2 ,则 2 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个不等的实根,
? ? ??0 ? a?6 ? a ? ? ? x1 ? x2 ? (0 ? x1 ? 1) ? ?a ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? ? 2 ? x1 x2 ? 2 ? x2 ? x 1 ?

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 8 ln x1 ? x12 ?

4 x12

? 4 ln 2(0 ? x1 ? 1)

设 F ( x) ? 8ln x ? x 2 ?
F ?( x) ?

4 ? 4 ln 2(0 ? x ? 1) x2

8 8 2( x 2 ? 2) 2 ? 2x ? 3 ? ? ? 0 , ? F ( x) 在 (0,1] 上递减, x x x3

? F ( x) ? F (1) ? 3 ? 4 ln 2 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ? 4 ln 2 .

(Ⅲ)? g ( x) ? 2 ln(ax ? 2) ? x2 ? ax ? 2 ln6 ,
2ax( x ? 4 ? a2 ) 2a ax ? 2

2a ? g ?( x) ? ? 2x ? a ? ax ? 2

?

3 4 ? a2 2 a 3 3 4 ? a2 ? ? ? ? , x ? ,? x ? ? 0 , ? g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 x ?[ ,2] 递增, 2a a 2 2 2 2a 2

g ( x) max ? g (2) ? 2 ln(2a ? 2) ? 2a ? 4 ? 2 ln 6 ,

? 2 ln(2a ? 2) ? 2a ? 4 ? 2 ln 6 ? k (4 ? a2 ) 在 a ? (2,4) 上恒成立

令 h(a) ? 2 ln(2a ? 2) ? 2a ? 4 ? 2 ln6 ? k (4 ? a2 ) , 则 h( a ) ? 0 在 a ? (2,4) 上恒成立
? h?(a) ? 2 2a(ka ? k ? 1) ? 2 ? 2ka ? a ?1 a ?1

,又 h ( 2 ) ? 0

当 k ? 0 时, h?(a) ? 0 , h(a ) 在(2,4)递减, h(a ) ? h(2) ? 0 ,不合; 当 k ? 0 时, h?(a) ? 0 ? a ? 1 ? k ,
k

① 1 ? k ? 2 ? 0 ? k ? 1 时, h(a ) 在(2, 1 ? k )递减,存在 h(a ) ? h(2) ? 0 ,不合;
k 3
k

② 1 ? k ? 2 ? k ? 1 时, h(a ) 在(2,4)递增, h(a ) ? h(2) ? 0 ,满足.
k 3

综上, 实数 k 的取值范围为 [ 1 ,??) .
3

考点:函数的单调性,极值,函数的导数与不等式的综合问题.


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