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全国新课标2017年高考数学大二轮复习专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图表面积与体积课件文_图文

时间:2017-06-14

第二编 专题整合突破
专题五 立体几何

第一讲 空间几何体的三视图、表 面积与体积

主干知识整合

[必记公式] 1.表面积公式 表面积=侧面积+底面积,其中 (1)多面体的表面积为各个面的 面积之和. (2)圆柱的表面积公式:S= 2πr(r+l) (其中, r 为底面半径, l 中圆锥的底面半径为 = S 侧+S 底 为圆柱的高). ,母线长为

(3)圆锥的表面积公式:S= πr(r+l) = S 侧+S 底 (其

r

l

).

2 2 π (r + r ′ +rl+r′l) (其中圆 (4)圆台的表面积公式: S=

台的上、下底面半径分别为 r 和 r′,母线长为 l 2.体积公式 (1)V 柱体= Sh ( S 为底面面积, h 为高).
1 (2)V 锥体= 3Sh ( S 为底面面积, h 为高).
4 3 (3)V 球= 3πR (其中

). ).

2 (5)球的表面积公式:S= 4πr (其中球的半径为 r

R

为球的半径).

[重要结论] 1 .画三视图的基本要求:正 ( 主 ) 俯一样长,俯侧 ( 左 ) 一样宽,正(主)侧(左)一样高. 2.三视图排列规则:俯视图放在正 (主)视图的下面; 侧(左)视图放在正(主)视图的右面. [失分警示] 1.未注意三视图中实、虚线的区别 在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线, 看不到的 轮廓线画成虚线.

2.不能准确分析组合体的结构致误 对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何 体的面积、体积是和还是差. 3.台体可以看成是由锥体截得的,此时截面一定与底 面平行. 4.空间几何体放置的方式不同时,对三视图可能会有 影响.

热点考向探究

考点 典例示法 典例 1

空间几何体的三视图与直观图 (1)[2016· 沈阳质检]“牟合方盖”是我国古代

数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美 的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面 在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形 伞(方盖).其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所 作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图 可能是( )

[解析] 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知, 当正视图和侧视图完全相同时,俯视图为 B,故选 B.

(2)[2015· 全国卷 Ⅱ]一个正方体被一个平面截去一部分 后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部 分体积的比值为( )

1 A.8 1 C.6

1 B.7 1 D.5

[解析]

如图,不妨设正方体的棱长为 1,则截去部分

1 为三棱锥 A-A1B1D1,其体积为6,又正方体的体积为 1, 5 1 则剩余部分的体积为6,故所求比值为5.故选 D.

1.由直观图确认三视图的方法 根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则 确认. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特 征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状.

针对训练 1.[2015· 北京高考]某四棱锥的三视图如图所示,该四棱 锥最长棱的棱长为( )

A.1 C. 3
解析

B. 2 D.2
由题中三视图知, 此四棱锥的直观图如图所示,

其中侧棱 SA⊥底面 ABCD,且底面是边长为 1 的正方形, SA=1,所以四棱锥最长棱的棱长为 SC= 3,选 C.

2.[2016· 贵州七校联考]如图所示,四面体 ABCD 的四 个顶点是长方体的四个顶点 (长方体是虚拟图形,起辅助作 用),则四面体 ABCD 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图 形)( )

A. ①②⑥

B. ①②③

C. ④⑤⑥

D. ③④⑤

解析 正视图应该是相邻两边长为 3 和 4 的矩形,其 对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,因此正视 图是①;侧视图应该是相邻两边长为 5 和 4 的矩形,其对 角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图 是②;俯视图应该是相邻两边长为 3 和 5 的矩形,其对角 线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是 ③,故选 B.

考点 典例示法 题型 1 典例 2

空间几何体的表面积与体积

以三视图为载体求几何体的表面积 [2015· 安徽高考 ]一个四面体的三视图如图 )

所示,则该四面体的表面积是(

A.1+ 3 C.1+2 2

B.2+ 3 D.2 2

[解析]

在长、宽、高分别为 2、1、1 的长方体中,该

1 四面体是如图所示的三棱锥 P-ABC, 表面积为2×1×2×2 3 + 4 ×( 2)2×2=2+ 3.

题型 2 典例 3

以三视图为载体求几何体的体积 [2016· 天津高考]已知一个四棱锥的底面是平

行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四

2 棱锥的体积为________ m3.

[解析]

根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为 2

m、高为 1 m 的平行四边形,四棱锥的高为 3 m,故其体积 1 为3×2×1×3=2(m3).

题型 3 典例 4

以空间几何体的结构特征求体积 如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面

π ABCD,PA=2 3,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=3.

(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC, 求三棱锥 P-BDF 的体积.
[解] (1)证明:因为 BC=CD, 所以△BCD 为等腰三角形, 又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD.从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直, 所以 BD⊥平面 PAC.

1 (2) 三棱锥 P - BCD 的底面 BCD 的面积 S△BCD = 2 1 2π BC· CD· sin∠BCD=2×2×2×sin 3 = 3. 由 PA⊥底面 ABCD,得 1 1 VP-BCD=3· S△BCD· PA=3× 3×2 3=2. 1 由 PF=7FC,得三棱锥 F-BCD 的高为8PA,故

1 1 1 1 1 VF-BCD=3· S△BCD· 8PA=3× 3×8×2 3=4, 1 7 所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-4=4.

几何体的表面积及体积问题求解技巧 (1)求表面积与体积的关键是分清几何体是多面体还是 旋转体, 是否能直接利用公式求解, 不能用公式直接求解的 可采用割补法、 等价转化法求解, 注意表面积与侧面积的区 别.

(2)根据几何体的三视图求其表面积与体积的三步法 ①根据给出的三视图判断该几何体的形状; ②由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量; ③套用相应的面积公式与体积公式计算求解.

考点 典例 5

多面体与球

(1)[2016· 西安质检]在四面体 S-ABC 中, )

SA⊥平面 ABC,∠BAC=120° ,SA=AC=2,AB=1,则 该四面体的外接球的表面积为( A.11π 10π C. 3
[解析]

B.7π 40π D. 3
∵AC=2,AB=1,∠BAC=120° ,

∴BC= 22+12-2×2×1×cos120° = 7,

7 设三角形 ABC 的外接圆半径为 r,则 2r=sin120° ,r= 21 3 . ∵SA⊥平面 ABC,SA=2, 三角形 OSA 为等腰三角形(O 为外接球球心), ? ? ? 21?2 2 ∴该三棱锥的外接球的半径 R= 1 +? ? = 3 ? ? ∴该三棱锥的外接球的表面积为 S=4πR
2 2

? =4π×? ? ?

10 3, 10? ? 3? ?

40π = 3 .故应选 D.

(2)[2016· 武昌调研 ]已知正四棱锥的顶点都在同一球面 上,且该棱锥的高为 4,底面边长为 2 2,则该球的体积为

125 π 6 ________. [解析] 如图,正四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心 O
在它的高 PO1 上,设球的半径为 R,底面边长为 2 2,所以 AC=4,

5 在 Rt△AOO1 中,R =(4-R) +2 ,所以 R=2,所以
2 2 2

4 3 125 球的体积 V=3πR = 6 π.

多面体与球切、接问题的求解方法 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心 及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间 问题转化为平面问题求解. (2)若球面上四点 P、A、B、C 构成的三条线段 PA、PB、 PC 两两互相垂直,且 PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关 元素“补形”成为一个球内接长方体,根据 4R2=a2+b2+ c2 求解.

(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长. (4)球和正方体的棱相切时,球的直径为正方体的面对 角线长. (5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或 只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清 球的半径(直径)与该几何体已知量的关系, 列方程(组)求解.

针对训练 1.[2016· 重庆测试]已知三棱锥 P-ABC 的所有顶点都在 球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角形, PC 为球 O 2 的直径,该三棱锥的体积为 6 ,则球 O 的表面积为( A.4π C.12π B.8π D.16π )

解析 依题意, 设球 O 的半径为 R, 球心 O 到平面 ABC 的距离为 d,则由 O 是 PC 的中点得,点 P 到平面 ABC 的 1 2 距离等于 2d,所以 VP-ABC= 2VO- ABC= 2× 3S△ABC×d =3 3 2 2 × 4 ×1 ×d= 6 ,解得 d=
? ? 2 ? 3?2 2 2 ? =1,所 3,又 R =d +? 3 ? ?

以球 O 的表面积等于 4πR2=4π,选 A.

2.[2015· 陕西西安模拟]已知三棱锥 D-ABC 中,AB =BC=1,AD=2,BD= 5,AC= 2,BC⊥AD,则该三 棱锥的外接球的表面积为( A. 6π C.5π B.6π D.8π )

解析 由勾股定理,知 DA⊥BC,AB⊥BC, ∴BC⊥平面 DAB,∴BC⊥BD, ∴CD= BD2+BC2= 6 . ∴AC2+AD2=2+4=6=CD2,

∴DA⊥AC. 取 CD 的中点 O,由直角三角形的性质知,O 到点 A, 6 B,C,D 的距离均为 2 , 其即为三棱锥的外接球球心. 故三棱锥的外接球的表面积为
? ? 6 ? ?2 4 π· ? ? =6π. 2 ? ?

高考随堂演练

[全国卷高考真题调研] 1.[2016· 全国卷Ⅰ]如图,某几何体的三视图是三个半 径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若该几何体的 28π 体积是 3 ,则它的表面积是( )

A.17π C.20π
解析

B.18π D.28π

1 由三视图可得此几何体为一个球切割掉8后剩下

7 4 3 28 的几何体,设球的半径为 r,故8×3πr = 3 π,所以 r=2, 7 3 2 2 表面积 S=8×4πr +4πr =17π,选 A.

2.[2015· 全国卷Ⅰ]圆柱被一个平面截去一部分后与半 球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图 和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r =( )

A.1

B.2

C.4

D.8

解析

由三视图可知,此组合体是由半个圆柱与半个

球体组合而成的,其表面积为 πr2+2πr2+4r2+2πr2=20π+ 16,所以 r=2,故选 B.

3.[2015· 全国卷Ⅱ]已知 A,B 是球 O 的球面上两点, ∠AOB=90° ,C 为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC 体 积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π C.144π B.64π D.256π )

1 1 2 13 解析 设球的半径为 r,则 VO-ABC=3×2×r h≤6r = 36.故 r=6.故 S 球=4πr2=144π.

4.[2014· 全国卷Ⅰ]如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条 棱中,最长的棱的长度为( )

A.6 2 C.4 2

B.6 D.4

解析

由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一

个三棱锥,如图所示.其中面 ABC⊥面 BCD,△ABC 为等 腰直角三角形,AB=BC=4,取 BC 的中点 M,连接 AM, DM,则 DM⊥面 ABC,在等腰△BCD 中,BD=DC=2 5, BC=DM=4,所以在 Rt△AMD 中,AD= AM2+DM2= 42+22+42=6,又在 Rt△ABC 中,AC=4 2<6,故该多 面体的各条棱中,最长棱为 AD,长度为 6,故选 B.

[其它省市高考题借鉴] 5. [2016· 山东高考]一个由半球和四棱锥组成的几何体, 其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )

1 2 A.3+3π 1 2 C.3+ 6 π

1 2 B.3+ 3 π 2 D.1+ 6 π

解析 根据三视图可知,四棱锥的底面是边长为 1 的 2 正方形、高是 1,半球的半径为 2 ,所以该几何体的体积
? 1 1 4 ? 1 2 ? 2?3 为3×1×1×1+2×3π? ? =3+ 6 π. ? 2 ?

6.[2015· 天津高考]一个几何体的三视图如图所示(单

8π 3 位:m),则该几何体的体积为________ m3.

解析

由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个

圆柱构成的组合体, 圆柱的底面圆的半径为 1 m, 高为 2 m, 圆锥的底面圆的半径和高都是 1 m, 且圆锥的底面分别与圆 1 8π 柱的两个底面重合,故该组合体的体积为 2π+2×3π= 3 (m3).


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