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高中数学 3.2第4课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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精品 第3章 3.2 第 4 课时 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AA1 的中点,则点 A1 到平面 MBD 的距离是 ( ) A. C. 6 a 6 3 a 4 B. D. 30 a 6 6 a 3 解析: 以 D 为原点建立空间直角坐标系,正方体棱长为 a, 1 ? ? 则 A1(a,0,a),A(a,0,0),M?a,0, a?,B(a,a,0),D(0,0,0), 2 ? ? 设 n=(x,y,z)为平面 BMD 的法向量, → → 则 n·BM=0,且 n·DM=0, 1 ? → ? 1 ? → ? 而BM=?0,-a, a?,DM=?a,0, a?. 2 ? 2 ? ? ? 1 -y+ z=0, ? ? 2 所以? 1 x+ z=0, ? ? 2 1 y= z, ? ? 2 所以? 1 x=- z, ? ? 2 → 令 z=2,则 n=(-1,1,2),DA1=(a,0,a), → |DA1·n| 6 则 A1 到平面 BDM 的距离是 d= = a. |n | 6 答案: A 2.如图所示,在几何体 A-BCD 中,AB⊥面 BCD,BC⊥CD,且 AB=BC =1,CD=2,点 E 为 CD 中点,则 AE 的长为( A. 2 C.2 → → → → 解析: AE=AB+BC+CE, ) B. 3 D. 5 精品 → → → ∵|AB|=|BC|=1=|CE|, → → → → → → 且AB·BC=AB·CE=BC·CE=0. →2 → → → 2 又∵AE =(AB+BC+CE) , →2 ∴AE =3, ∴AE 的长为 3.故选 B. 答案: B 3.若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,AB1 与底面 ABCD 成 60°角,则 A1C1 到底面 ABCD 的距离为( A. 3 3 ) B.1 D. 3 C. 2 解析: 如图,A1C1∥面 ABCD, 所以 A1C1 到平面 ABCD 的距离等于点 A1 到平面 ABCD 的距离,由 AB1 与面 ABCD 所成的角是 60°,AB=1. ∴BB1= 3. 答案: D 4.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 ABC1D1 的距离是( A. C. 1 2 2 2 ) B. D. 2 4 3 2 解析: 取 B1C1 的中点 E,连结 OE,则 OE∥C1D1. ∴OE∥面 ABC1D1, ∴O 点到面 ABC1D1 的距离等于 E 点到平面 ABC1D1 的距离. 过 E 作 EF⊥BC1,易证 EF⊥面 ABC1D1 EF= 2 2 ,∴点 O 到平面 ABC1D1 的距离为 ,故选 B. 4 4 精品 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.如图,P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥平面 ABCD,若已知 AB=3,AD=4,PA=1, 则点 P 到 BD 的距离为________. 解析: 作 AE⊥BD 于 E,连结 PE, ∵PA⊥面 ABCD. ∴PA⊥BD ∴BD⊥面 PAE BD⊥PE, 即 PE 的长为点 P 到 BD 的距离 12 在 Rt△PAE 中,AE= , 5 PE= 答案: ?12?2 13 2 1 +? ? = . ?5? 5 13 5 6.如图所示,在直二面角 α -l-β 中,A,B∈l,AC? α ,AC⊥l,BD? β ,BD⊥l, AC=6,AB=8,BD=24,则线段 CD 的长为________. 解析: ∵AC⊥AB,BD⊥AB,AC⊥BD, → → → → → → ∴AC·AB=0,BD·AB=0,AC·BD=0, → → → → ∵CD=CA+AB+BD, →2 → → → 2 ∴CD =(CA+AB+BD) =676, → ∴|CD|=26. 答案: 26 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中棱长为 1,利用向量法求点 C1 到 A1C 的距离. 解析: 精品 如图所示,以 A 点为坐标原点, 以 AB、AD、AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A1(0,0,1),C(1,1,0),C1(1,1,1), → → 所以 A1C 的方向向量为A1C=(1,1, -1), C1 与直线 A1C 上一点 C(1,1,0)的向量CC1=(0,0,1) 1 所以CC1在A1C上的投影为:CC1· =- . → 3 |A1C| → → → 所以点 C1 到直线 A1C 的距离 d= → ?2 ?→ A 1C ? ? |CC1| - CC1· → ? ? |A1C|? ? → 2 A1C → = 1 6 1- = . 3 3 8.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,棱长为 a,E、F、G 分别是 CC1、A1D1、AB 的中点,求点 A 到平面 EFG 的距离. 解析: 如图建立空间直角坐标系, ? ? ? ? ? ? 则 A(a,0,0),E?0,a, ?,F? ,0,a?,G?a, ,0?, 2? ?2 ? ? ? 2 ? a a a a? → ?a ∴EF=? ,-a, ?, 2? ?2 → → a a? ? EG=?a,- ,- ?, ? ? 2 2 2? a ? ? GA=?0,- ,0?, ? 设 n=(x,y,z)是平面 EFG 的法向量, → ? ?n·E F =0 则? → ? ?n·E G =0 , 精品 ?x-2y+z=0 ? ∴? ?2x-y-z=0 ? , ∴x=y=z,可取 n=(1,1,1), → |GA·n| 2 3 ∴d= = = a. |n| 3 6 即点 A 到

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