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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修1-2【备课资源】2.1.1合情推理(一)(二 )_图文

时间:2013-11-08

2.1.1(二)

2.1.1 合情推理(二)
【学习要求】
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1.通过具体实例理解类比推理的意义. 2.会用类比推理对具体问题作出判断. 【学法指导】 类比推理是在两类不同的事物之间进行对比, 找出若干相同 或相似点之后, 推测在其他方面也可以存在相同或相似之处 的一种推理模式.归纳和类比是合情推理常用的思维方法, 其结论不一定正确.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.1(二)

1.类比推理
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(1)类比推理的定义 根据 两个(或两类) 对象之间在某些方面的 相似 或 相同 , 推演出它们在其他方面也 相似 或 相同 ,像这样的推理通 常称为类比推理,简称类比法. (2)类比推理的思维过程 观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论 2.合情推理 合情推理是根据 已有的事实 、 正确的结论 、实验和实践 的结果 , 以及个人的 经验 和直觉等推测某些结果的推理过 程. 归纳推理 和 类比推理 都是数学活动中常用的合情推理.

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2.1.1(二)

探究点一 平面图形与立体图形间的类比
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阅读下面的推理,回答后面提出的问题: 1.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特 征: (1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星; (2)有大气层,在一年中也有季节变更; (3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生 存,等等.科学家猜想:火星上也可能有生命存在.

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2.根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质: (1)a=b?a+c=b+c; (2)a=b?ac=bc;

2.1.1(二)

猜想不等式的性质: (1)a>b?a+c>b+c; (2)a>b?ac>bc;

本 (3)a=b?a2=b2 等等. (3)a>b?a2>b2 等等. 课 时 问题 1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点? 栏 目 答 类比推理的定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方 开 关

面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像 这样的推理通常称为类比推理,简称类比法.

问题 2 答

猜想一定正确吗? 不一定正确.

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2.1.1(二)

问题 3 类比圆的特征,填写下表中球的有关特征 圆的概念和性质 圆的周长
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球的类似概念和性质

球的表面积

球的体积 圆心与弦(非直径)中点 球心与截面圆(不经过球心的截 面圆)圆心的连线垂直于截面圆 的连线垂直于弦
圆的面积 与 圆 心 距 离相 等 的 两 与球心距离相等的两个截面圆面 弦相等;与圆心距离不 积相等;与球心距离不等的两个 等的两弦不等,距圆心 截面圆面积不等,距球心较近的 较近的弦较长

截面圆面积较大

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2.1.1(二)

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以点 P(x0,y0)为圆心, 以点 P(x0,y0,z0)为球心,r 为半 r 为半径的圆的方程为 径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 (x-x0)2+(y-y0)2=r2 +(z-z0)2=r2

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2.1.1(二)

例 1 如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长 记为 ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离 a1 a2 a3 a4 记为 hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则 h1+2h2+3h 3 1 2 3 4 2S +4h4= , k 类比以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 S1 S2 S3 S4 Hi(i=1,2,3,4),若 = = = =K,则 H1+2H2+3H3+ 1 2 3 4 4H4 等于多少?

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解 对平面凸四边形: 1 1 1 1 S= a1h1+ a2h2+ a3h3+ a4h4 2 2 2 2
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2.1.1(二)

1 =2(kh1+2kh2+3kh3+4kh4)

k = (h1+2h2+3h3+4h4), 2
2S 所以 h1+2h2+3h3+4h4= ; k
类比在三棱锥中, 1 1 1 1 V=3S1H1+3S2H2+3S3H3+3S4H4

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1 = (KH1+2KH2+3KH3+4KH4) 3
K = (H1+2H2+3H3+4H4). 3 3V 故 H1+2H2+3H3+4H4= . K

2.1.1(二)

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小结

解决此类问题注意用类比推理的方法去分析问题, 研究

当条件变化时,问题的本质有哪些不同,有哪些变化,如本题 中平面图形中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的距离. 平面图形中的面积类比三棱锥中的体积,进而计算出结果.

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跟踪训练 1 在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC 的两边 AB、AC 互相垂直, 则 AB2+AC2=BC2”.拓展到空间(如图),
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2.1.1(二)

类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥 的侧面面积与底面面积间的关系,可以 得出的结论是_____________________.

解析 类比条件: 平面→空间、边垂直→面垂直 两边 AB、AC 互相垂直―――――――――――――――→ 侧面 ABC、ACD、ADB 互相垂直.

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2.1.1(二)

边长→面积 2 结论:AB +AC =BC ―――――→S△ABC+S2 ACD+S2 ADB= △ △
2 2 2

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S2 BCD. △
答案 设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两
2 互相垂直,则 S2 ABC+S2 ACD+S△ADB =S2 BCD △ △ △

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探究点二 定义、定理或性质中的类比

2.1.1(二)

例 2 在等差数列{an}中,若 a10=0,证明等式 a1+a2+?+ an=a1+a2+?+a19-n(n<19,n∈N+)成立,并类比上述性
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质相应的在等比数列{bn}中, b9=1, 若 则有等式_____成立.
解析 在等差数列{an}中,由 a10=0, 得 a1+a19=a2+a18=?=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0,
∴a1+a2+?+an+?+a19=0, 即 a1+a2+?+an=-a19-a18-?-an+1,

又∵a1=-a19,a2=-a18,?,a19-n=-an+1,

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2.1.1(二)

∴a1+a2+?+an=-a19-a18-?-an+1=a1+a2+?+a19-n. 若 a9=0,同理可得 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a17-n.
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相应地,类比此性质在等比数列{bn}中, 可得 b1b2?bn=b1b2?b17-n,(n≤17,n∈N*).

答案 b1 b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N*)
小结 (1)运用类比思想找出项与项的联系,应用等差、等比

数列的性质解题是解决该题的关键. (2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质,一般情况 下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商).

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2.1.1(二)

跟踪训练 2 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S4,S8-S4, 则
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S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以上结论有:设等比数列 T16 {bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, 成 T12 等比数列.

T8 T12 答案 T4 T8

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2.1.1(二)

② 1.下列说法正确的是________.
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①由合情推理得出的结论一定是正确的; ②合情推理必须有前提有结论; ③合情推理不能猜想; ④合情推理得出的结论不能判断正误.

解析 根据合情推理可知,合情推理必须有前提有结论.

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2.1.1(二)

2.在平面上, 若两个正三角形的边长比为 1∶2, 则它们的面积 比为 1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为
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1∶8 1∶2,则它们的体积比为________.
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形,
∴它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是 两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,

∴它们的体积比为 1∶8.

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2.1.1(二)

c1+c2+?+cn 3.若数列{cn}是等差数列, 则当 dn= 时, 数列{dn} n
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也是等差数列,类比上述性质,若数列{an}是各项均为正数 n a1a2?an 的等比数列,则当 bn=___________时,数列{bn}也是等比 数列. 4.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想: 正
中心 四面体的内切球切于四面各正三角形的________.

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2.1.1(二)

1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得
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到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证 明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与 方向. 2.合情推理的过程概括为: 从具体问题出发 ―→ 观察、分析、比较、联想 ―→ 归纳、类比 ―→ 提出猜想


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