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【步步高】2017版高考数学理江苏大二轮总复习练习:专题八 第1讲几何证明选讲.doc

时间:2017-04-07


第1讲

几何证明选讲

1.(2016· 江苏) 如图,在△ ABC 中,∠ABC=90° ,BD⊥AC,D 为垂足,E 是 BC 的中点,求 证:∠EDC=∠ABD.

证明 由 BD⊥AC,可得∠BDC=90° , 1 由 E 为 BC 中点,可得 DE=CE= BC, 2 则∠EDC=∠C,由∠BDC=90° ,得∠C+∠DBC=90° , 又∠ABC=90° ,则∠ABD+∠DBC=90° , ∴∠ABD=∠C, 又∵∠EDC=∠C,∴∠EDC=∠ABD. 1 2.(2016· 课标全国乙) 如图,△ OAB 是等腰三角形,∠AOB=120° .以 O 为圆心, OA 为半径 2 作圆.

(1)证明:直线 AB 与⊙O 相切; (2)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆, 证明:AB∥CD.

证明 (1)设 E 是 AB 的中点,连结 OE. 因为 OA=OB,∠AOB=120° , 所以 OE⊥AB,∠AOE=60° . 1 在 Rt△ AOE 中,OE= AO,即 O 到直线 AB 的距离等于⊙O 的半径,所以直线 AB 与⊙O 2 相切. (2)因为 OA=2OD,所以 O 不是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设 O′是 A,B,C,D 四点 所在圆的圆心, 作直线 OO′.由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上, 又 O′在线段 AB 的垂直 平分线上,所以 OO′⊥AB. 同理可证,OO′⊥CD,所以 AB∥CD. 3.(2016· 课标全国甲)如图,在正方形 ABCD 中,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合), 且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F.

(1)证明:B,C,G,F 四点共圆; (2)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积. (1) 证 明 因 为 DF⊥EC , 则 ∠EFD = ∠DFC = 90°, 易 得 ∠DEF = ∠CDF , 所 以

△ DEF∽△CDF, DF DE DG 则有∠GDF=∠DEF=∠FCB, = = , CF CD CB 所以△ DGF∽△CBF, 由此可得∠DGF=∠CBF. 所以∠CGF+∠CBF=180° , 所以 B,C,G,F 四点共圆. (2)解 由 B,C,G,F 四点共圆,

CG⊥CB 知 FG⊥FB.连结 GB. 由 G 为 Rt△ DFC 斜边 CD 的中点,知 GF=GC, 故 Rt△ BCG≌Rt△ BFG. 1 1 1 所以四边形 BCGF 的面积 S 是△ GCB 的面积 S△ GCB 的 2 倍,即 S=2S△ GCB=2× × × 1= . 2 2 2

本讲主要考查相似三角形与射影定理, 圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理, 圆周角 定理及弦切角定理,相交弦、切割线、割线定理等,本部分内容多数涉及圆,并且多是以圆 为背景设计的综合性考题,考查逻辑推理能力.

热点一 相似三角形及射影定理 1.相似三角形的判定定理 判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等,那么这两个三角形相似. 判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比 例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例,那么这两个三角形相似. 2.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜边上 射影与斜边的比例中项. 例 1 如图所示,在△ ABC 中,∠CAB=90° ,AD⊥BC 于 D,BE 是∠ABC 的平分线,交 AC DF AE 于 E,交 AD 于 F,求证: = . AF EC

证明 由三角形的内角平分线定理得, DF BD 在△ ABD 中, = ,① AF AB AE AB 在△ ABC 中, = ,② EC BC 在 Rt△ ABC 中,由射影定理知, AB2=BD· BC, BD AB 即 = .③ AB BC

DF AB 由①③得: = ,④ AF BC DF AE 由②④得: = . AF EC 思维升华 (1)在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比 例式”.(2)证题时,作垂线构造直角三角形是解该类问题的常用方法. 跟踪演练 1 如图所示,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,且 AD∶BD=9∶4, 求 AC∶BC 的值.

解 方法一 因为∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,所以由射影定理, 得 AC2=AD· AB,BC2=BD· AB. AC AD· AB AD 所以( )2= = . BC BD· AB BD 又 AD∶BD=9∶4, 所以 AC∶BC=3∶2. 方法二 因为 AD∶BD=9∶4, 所以可设 AD=9k,BD=4k,k 为正实数, 又∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D, 由射影定理,得 CD2=AD· BD, 所以 CD=6k. 由勾股定理,得 AC=3 13k 和 BC=2 13k, 所以 AC∶BC=3∶2. 热点二 相交弦定理、切割线定理的应用 1.圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 2.圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 4.相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 5.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

例 2 如图所示,AB 为⊙O 的直径,P 为 BA 的延长线上一点,PC 切⊙O 于点 C,CD⊥AB, 垂足为 D,且 PA=4,PC=8,求 tan∠ACD 和 sin P.

解 连结 OC,BC.因为 PC 为⊙O 的切线, 所以 PC2=PA· PB.

故 82=4· PB, 所以 PB=16. 所以 AB=16-4=12. 由条件,得∠PCA=∠PBC, 又∠P=∠P, 所以△ PCA∽△PBC, AC PC 所以 = . BC PB 因为 AB 为⊙O 的直径, 所以∠ACB=90° . 又 CD⊥AB,所以∠ACD=∠B. AC PC 8 1 所以 tan∠ACD=tan B= = = = . BC PB 16 2 因为 PC 为⊙O 的切线,所以∠PCO=90° . 又⊙O 直径为 AB=12,所以 OC=6,PO=10. OC 6 3 所以 sin P= = = . PO 10 5 思维升华 系. (2)利用相似关系求解线段长度要灵活地在三角形中对条件进行转化或等比替换. 跟踪演练 2 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P. (1)圆中线段长度成比例的问题,要结合切割线定理、相交弦定理,构造比例关

(1)求证:PM2=PA· PC; (2)若⊙O 的半径为 2 3,OA= 3OM,求 MN 的长. (1)证明 连结 ON,则 ON⊥PN,且△ OBN 为等腰三角形,

则∠OBN=∠ONB, ∵∠PMN=∠OMB=90° -∠OBN, ∠PNM=90° -∠ONB, ∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN. 根据切割线定理,有 PN2=PA· PC, ∴PM2=PA· PC. (2)解 OM=2, 在 Rt△ BOM 中,BM= OB2+OM2=4. 延长 BO 交⊙O 于点 D,连结 DN. BO BM 由条件易知△ BOM∽△BND,于是 = , BN BD 2 3 4 即 = ,∴BN=6. BN 4 3 ∴MN=BN-BM=6-4=2. 热点三 四点共圆的判定 1.圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3.圆内接四边形的性质定理 (1)圆的内接四边形的对角互补; (2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 4.圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.

例 3 如图,AB 是圆 O 的直径,弦 CA,BD 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于 点 F,连结 FD.

求证:∠DEA=∠DFA. 证明 连结 AD,∵AB 是圆 O 的直径, ∴∠ADB=90° ,∴∠ADE=90° , 又∵EF⊥FB,∴∠AFE=90° , 所以 A,F,E,D 四点共圆, ∴∠DEA=∠DFA. 思维升华 (1)如果四点与一定点距离相等,那么这四点共圆;(2)如果四边形的一组对角互

补,那么这个四边形的四个顶点共圆;(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么这 个四边形的四个顶点共圆. 跟踪演练 3 (2015· 湖南)如图,在⊙O 中,相交于点 E 的两弦 AB,CD 的中点分别是 M,N, 直线 MO 与直线 CD 相交于点 F,证明:

(1)∠MEN+∠NOM=180° ; (2) FE· FN=FM· FO. 证明 (1)如图所示,因为 M,N 分别是弦 AB,CD 的中点,所以 OM⊥AB,ON⊥CD,

即∠OME=90° ,∠ENO=90° , 所以∠OME+∠ENO=180° , 又四边形的内角和等于 360° , 故∠MEN+∠NOM=180° . (2)由(1)知,O,M,E,N 四点共圆, 故由割线定理即得 FE· FN=FM· FO.

1.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90° ,且 AB=6,AC=4,AD=12,求 BE 的值.

解 ∵AC=4,AD=12,∠ACD=90° , ∴CD2=AD2-AC2=128, ∴CD=8 2. 又∵AE⊥BC,∠B=∠D, ∴△ABE∽△ADC, ∴ AB BE = , AD CD

AB· CD 6× 8 2 ∴BE= = =4 2. AD 12 a 2.如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD= ,点 E,F 分别为 2 线段 AB,AD 的中点,求 EF 的值.

a 解 连结 DE,由于 E 是 AB 的中点,故 BE= . 2

a 又 CD= ,AB∥DC,CB⊥AB, 2 ∴四边形 EBCD 是矩形. a 在 Rt△ ADE 中,AD=a,F 是 AD 的中点,故 EF= . 2 3.如图,D,E 分别为△ ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ ABC 的外接圆于 F,G 两点. 若 CF∥AB,证明:

(1)CD=BC; (2)△ BCD∽△GBD. 证明 (1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点, 所以 DE∥BC.

又已知 CF∥AB,故四边形 BCFD 是平行四边形, 所以 CF=BD=AD. 而 CF∥AD,连结 AF, 所以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF. 因为 CF∥AB,所以 BC=AF, 故 CD=BC. (2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD, 所以∠BGD=∠BDG. 由 BC=CD 知∠CBD=∠CDB, 又因为∠GDB=∠DBC,所以∠DGB=∠DCB, 所以△ BCD∽△GBD.

A 组 专题通关 1.如图,在?ABCD 中,E 是 DC 边的中点,AE 交 BD 于 O,S△ DOE=9 cm2,求△ AOB 的面 积.

解 ∵在?ABCD 中,AB∥DE,

S△ AOB AB 2 ∴△AOB∽△EOD,∴ =( ) . S△ DOE DE ∵E 是 CD 的中点, 1 1 ∴DE= CD= AB, 2 2 则 AB S△ AOB =2,∴ =22=4, DE S△ DOE

∴S△ AOB=4S△ DOE=4× 9=36(cm2). 2.(2015· 重庆改编) 如图,圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E,过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延 长线交于点 P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1,求 BE 的值.

解 首先由切割线定理得 PA2=PC· PD, 62 因此 PD= =12,CD=PD-PC=9, 3 又 CE∶ED=2∶1, CE· ED 6× 3 因此 CE=6,ED=3,再由相交弦定理得 AE· EB=CE· ED,所以 BE= = =2. AE 9 3.如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 3 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF= ,求线段 CD 2 的长.

解 因为 AF· BF=EF· CF, 解得 CF=2, 3 2 8 所以 = ,即 BD= . 4 BD 3 设 CD=x,AD=4x, 64 4 所以 4x2= ,所以 x= . 9 3 4 即线段 CD 的长是 . 3 4. 如图,Rt△ ABC 中,∠BAC=90° ,AD⊥BC 于 D,BE 平分∠ABC 交 AC 于 E,EF⊥BC 于 F.

求证:EF∶DF=BC∶AC. 证明 ∵∠BAC=90° ,且 AD⊥BC, ∴由射影定理得 AC2=CD· BC, ∴ AC BC = .① CD AC

∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD, ∴ AE AC = . DF CD

又 BE 平分∠ABC,且 EA⊥AB,EF⊥BC, EF AC ∴AE=EF,∴ = .② DF CD 由①、②得 EF BC = , DF AC

即 EF∶DF=BC∶AC. 5.(2015· 陕西) 如图,AB 切⊙O 于点 B,直线 AO 交⊙O 于 D,E 两点,BC⊥DE,垂足为 C.

(1)证明:∠CBD=∠DBA; (2)若 AD=3DC,BC= 2,求⊙O 的直径. (1)证明 因为 DE 为⊙O 直径, 则∠BED+∠EDB=90° , 又 BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90° , 从而∠CBD=∠BED. 又 AB 切⊙O 于点 B,得∠DBA=∠BED, 所以∠CBD=∠DBA. (2)解 由(1)知 BD 平分∠CBA, 则 BA AD = =3,又 BC= 2, BC CD

从而 AB=3 2, 所以 AC= AB2-BC2=4, 所以 AD=3.

由切割线定理得 AB2=AD· AE, AB2 即 AE= =6, AD 故 DE=AE-AD=3,即⊙O 的直径为 3. 6.如图,四边形 ABDC 内接于圆,BD=CD,过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点.

(1)求证:∠EAC=2∠ECD; (2)若 BD⊥AB,BC=BE,AE=2,求 AB 的长. (1)证明 因为 BD=CD,所以∠BCD=∠CBD. 因为 CE 是圆的切线,所以∠ECD=∠CBD. 所以∠ECD=∠BCD,所以∠BCE=2∠ECD. 因为∠EAC=∠BCE,所以∠EAC=2∠ECD. (2)解 因为 BD⊥AB,所以 AC⊥CD,AC=AB. 因为 BC=BE,所以∠BEC=∠BCE=∠EAC, 所以 EC=AC=AB. 由切割线定理得 EC2=AE· BE, 即 AB2=AE· (AE-AB), 即 AB2+2AB-4=0, 解得 AB= 5-1. B 组 能力提高 7.(2015· 课标全国Ⅱ) 如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点, ⊙O 与△ ABC 的底边 BC 交于 M、 N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB、AC 分别相切于 E、F 两点.

(1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 3,求四边形 EBCF 的面积. (1)证明 由于△ ABC 是等腰三角形,AD⊥BC,所以 AD 是∠CAB 的平分线.

又因为⊙O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE=AF, 故 AD⊥EF. 从而 EF∥BC. (2)解 由(1)知,AE=AF,AD⊥EF, 故 AD 是 EF 的垂直平分线, 又 EF 为⊙O 的弦,所以 O 在 AD 上. 连结 OE,OM,则 OE⊥AE. 由 AG 等于⊙O 的半径得 AO=2OE,所以∠OAE=30° . 所以△ ABC 和△ AEF 都是等边三角形. 因为 AE=2 3,所以 AO=4,OE=2. 1 因为 OM=OE=2,DM= MN= 3, 2 所以 OD=1. 10 3 所以 AD=5,AB= . 3 1 ?10 3?2 3 1 3 16 3 所以四边形 EBCF 的面积为 × × - × (2 3)2× = . 2 ? 3 ? 2 2 2 3 8.如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于点 D,AC⊥CD,DE⊥AB,C、E 为垂足, 连结 AD,BD. 若 AC=4,DE=3,求 BD 的长.

解 因为 CD 与⊙O 相切于 D, 所以∠CDA=∠DBA, 又因为 AB 为⊙O 的直径,所以∠ADB=90° . 又 DE⊥AB,所以△ EDA∽△DBA, 所以∠EDA=∠DBA,所以∠EDA=∠CDA, 又∠ACD=∠AED=90° ,AD=AD,

所以△ ACD≌△AED. 所以 AE=AC=4, 所以 AD= AE2+DE2=5, DE AE DE 15 又 = ,所以 BD= · AD= . BD AD AE 4


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