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12.2(1)圆的方程

时间:2012-10-05


12.2(1) 圆的方程 ——圆的标准方程

圆的定义:
平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹).
? 圆心
? 半径

圆的标准方程:
以C (a, b)为圆心, r为半径的圆的标准方程:

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

说出下列圆的圆心和半径: ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 5; 圆心(2, ? 3)
2 2

半径 5

( x ? a ) ? y ? a ( a ? 0). 圆心( ?a ,0)
2 2 2

半径 | a |

例1.已知圆心为C (2, ?3), 求过P ( ?1, 0)的圆的标准 方程.

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 18
2 2

例2.求以C (1, 3)为圆心, 且与直线3 x ? 4 y ? 6 ? 0相切 的圆的标准方程.

( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9
2 2

例3.已知两点P (4, 9), Q(6, 3), ①求以PQ为直径的圆的 标准方程; ②判断(6, 7)是在圆上,圆内, 还是圆外.

( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 10
2 2

点(6, 7)在该圆内

点P与圆C的位置关系:
| PC |? r ? 点P 在圆C 外 | PC |? r ? 点P 在圆C 上 | PC |? r ? 点P 在圆C内

例4.求过A(3,1), B( ?1, 3), 且圆心在3 x ? y ? 2 ? 0上的 圆的标准方程.

( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 10
2 2

几种特殊位置的圆方程:
( x ? a )2 ? y 2 ? r 2 1.圆心在x轴上:

2.圆心在y轴上: x ? ( y ? b) ? r ( x ? a )2 ? ( y ? b )2 ? b 2 3.与x轴相切: ( x ? a )2 ? ( y ? b )2 ? a 2 4.与y轴相切:
2 2 2

( 5.圆心在x轴上与y轴相切: x ? a ) ? y ? a
2 2

2

6.圆心在y轴上与x轴相切:x 2 ? ( y ? b)2 ? b2 ( x ? a )2 ? ( y ? b )2 ? a 2 ? b 2 7.经过原点:

例5.判断( x ? 2)2 ? y 2 ? 8与( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 18 的位置关系.

外切

圆C1与圆C 2的位置关系:

外离:| C1C2 |? r1 ? r2
| 外切: C1C2 |? r1 ? r2

| 相交: r1 ? r2 |?| C1C2 |? r1 ? r2

内切:| C1C2 |?| r1 ? r2 | 内含:| C1C2 |?| r1 ? r2 |

例6.求以(5, 4)为圆心, 且与圆( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 相切的圆方程.
( x ? 5)2 ? ( y ? 4)2 ? 16 ( x ? 5)2 ? ( y ? 4)2 ? 36


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