nbhkdz.com冰点文库

初中数学竞赛专题培训(20):类比与联想

时间:

初中数学竞赛专题培训 类比就是根据两种事物一部分类似的性质,推测这两种事 物其他类似性质的推理方法.例如,由分数的性质类似地推测分 式的性质;由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系;由一 次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法,推测二次函 数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等. 联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动.当我们 遇到一个数学问题时,常常想起与它类似的问题、类似的解法, 从而有利于新问题的解决. 利用类比与联想,常常可以发现新命题和扩展解题思路. 1.类比与发现 第二十讲 类比与联想 例 2 如图 2-114.已知△ABC 中,∠C=4∠B=4∠A,BD 是 AC 边上的中线,E 点在 AB 上,且∠AED=∠C,S△ABC=1,求 S△AED. 解 类似例 1 的解法,引 CF⊥AB 于 F,交 BD 于 H,显然△ADE 不相似于△CBH.但由已知条件 ∠C=4∠B=4∠A, 例 1 已知:△ABC 中,∠C= 90°,AC=BC=1,BD 是 AC 边上 的中线,E 点在 AB 边上,且 ED⊥BD.求△DEA 的面积(图 2-113). 则 ∠A=∠B=30°,∠C=120°. 由于 CF 平分∠C,所以 ∠ACF=60°. 又因为∠AED=∠ACB,∠A=∠A,所以 解 引 CF⊥BA 于 F,由于 BC= AC,所以 CF 是底边 AB 上的中 线.因为 H 为△ABC 的重心,所以 所以 △ADE∽△ABC, 因为∠C=∠BDE=90°,所以 ∠ADE=∠CBH. 由于△AFC 中∠AFC=90°,∠A=30°,所以若设 CF=x,则 又由∠A=∠BCH=45°,可知△ADE∽△CBH.所以 类比 如果保留例 1 中等腰三角形诸条件, 去掉直角这一特殊 性,那么是否会产生类似的命题呢?由此想到例 2. 类比 如果保留例 1 中的直角等条件, 去掉等腰三角形这一特 殊性,可以类似地得到例 3. │b-c│<a<b+c,① 即三角形任意一边小于其余两边之和,大于其余两边之差. 例 3 已知△ABC 中∠C= 90°,AC=2BC=2,BD 是 AC 边上的中 线,CF⊥AB 于 F,交 BD 于 H(图 2-115).求 S△CBH. 我们对①类比:是否有 存在呢?如果②存在,那么就发现了如下命题(例 4). 解 本题直接求 S△CBH 有些困难,联想例 1、例 2 中的△ADE, 不妨引辅助线 DE⊥BD 交 AB 于 E. 由于 AC=2BC=2,D 是 AC 的中点,且∠C=∠BDE=90°,所以 ∠CBH=∠ADE=45°. 因为 CF⊥AB 于 F,所以∠BCH=∠A.由于 BC=AD=1,所以 △CBH≌△ADE, 所以 S△CBH=S△ADE. 因此只要求出 S△ADE 即可,为此,设 DE=x,则 2.联想与解题 例 5 a,b 为两个不相等且都不为零的数,同时有 a +pa+q=0,b +pb+q=0, 2 2 分析与解 由已知条件,联想到方程根的定义,a,b 是方程 x +px+q=0 的两个根,由 a,b 不为零,有 (2)例 3 由例 1 类比而来, 最自然的想法是求 S△ADE,为增加难 度与变换方式获得新命题,故例 3 反求 S△CBH. 我们知道一个三角形的三边如果是 a,b,c,那么就有 2 分析与解 这是一个根式的化简问题,分子、分母大同小异, 自然联想到应用因式分解,使分子、分母具有公因式,化简就很 容易了. 例 6 如果(z-x) -4(x-y)(y-z)=0,求证: x+z=2y. 分析与解 (1)展开原式有 z -2xz+x -4(xy-y -xz+yz)=0, 例 8 图 2-116 是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的“弦 合并、配方得 (x+z) -4y(x+z)+4y =0, 即 (x+z-2y) =0, 所以 x+z=2y. (2)如果看已知条件: (z-x) -4(x-y)(y-z)=0, 很像二次方程根的判别式 b -4ac 的形式,因此,可联想到方 程 (x-y)t +(z-x)t+(y-z)=0(x-y≠0)有二相等实根.由 (x-y)+(z-x)+(y-z)=0 可知 1 是以上方程的根,再由根与系数关系知 即 c =2ab+b -2ab+a , 即 c =a +b . 这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明 的证法.后人沿用“出入相补原理”,也就是割补原理解决了许 多数学问题,也创造了“勾股定理”的许多新证法.事实上每位 所以 x+z=2y. 当 x=y=0,即 x=y 时,有 x=y=z,所以 x+z=2y. 例 7 化简 初中同学,学了勾股定理,只要用心思考,一定会用割补法想出 更新的证明勾股定理的方法.下面的几例,便是同学们提出的割 补图. 设 a,b,c 分别为直角三角形的勾、股、弦. (1)在图 2-117 中,有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 图”,其中“弦实”是弦平方的面积,“弦图”以弦为边作正方 形(如正方形 ABCD),然后在“弦图”内部作四个直角三角形(如 △AHB,△BEC,△CDF,△DAG).设 a,b,c 为四个直角三角形的 勾、股、弦,则根据“出入相补原理”就有 练习二十 1.在直角△ABC 中,∠C=90°. (1)如果以此直角三角形三边为边,分别作三个正三角形(如 图 2-121),那么面积 S1,S2,S3 之间有什么关系? (2)如果以此直角三角形三边为直径,分别作三个半圆,那么 a +b =(S3+S5)+(S1+S2+S4) =(S4+S5)+(S1+S2+S3) =2S2+S1+S3=c2. (2)在图 2-118 中,有 a +b =(S3+S4)+(S1+S2) =S1+S3+S4+S'2+S5=c2 2 2 2 2 面积 S1,S2,S3 之间有什么关系(如图

初中数学竞赛专题培训(20):类比与联想.doc

初中数学竞赛专题培训(20):类比与联想_初一数学_数学_初中教育_教育专区。初

全国初中数学竞赛辅导(初2)第20讲 类比与联想.doc

全国初中数学竞赛辅导(初2)第20类比与联想 - 第二十类比与联想 类比

初中数学竞赛专题辅导 类比与联想.doc

初中数学竞赛专题辅导 类比与联想 - 初中数学竞赛专题辅导 类比与联想 类比就是

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第20讲 类比与....doc

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第20类比与联想_初二数学_数学_初中教育_教育专区。全国,初中数学,竞赛,教案学案全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集...

八年级数学竞赛 第20讲 类比与联想.doc

八年级数学竞赛20类比与联想 - 八年级数学竞赛二十类比与联想 类比就是根据两种事物一部分类似的性质,推测这两种事物其他类似 性质的推理方法.例如,...

初中数学竞赛:类比与联想.doc

初中数学竞赛:类比与联想 - 初中数学竞赛:类比与联想 类比就是根据两种事物一部

初中数学竞赛专题培训.doc

初中数学竞赛专题培训_数学_初中教育_教育专区。. ...59 第二十类比与联想 ......,于是猜想:ak+20=ak,若此式成立,说明分式的有关概念和性质与分数相...

第20讲 类比与联想.doc

20类比与联想_初二数学_数学_初中教育_教育专区。第20类比与联想 河北衡水实验中学奥数培训经典讲解 第二十类比与联想 类比就是根据两种事物一部分...

第20讲 类比与联想-.doc

20类比与联想-_数学_初中教育_教育专区。www.czsx.com.cn 第二十类比与联想类比就是根据两种事物一部分类似的性质,推测这两种事物其他类似性质的 推理...

初中数学竞赛专题培训(19):特殊化与一般化.doc

初中数学竞赛专题培训(19):特殊化与一般化_初二数学_数学_初中教育_教育专区。...引 DE⊥BC 于 E,DF⊥AC 于 F. 因为 另外,特殊化、一般化和类比联想结合...

类比与联想.doc

数学中的实际问题的解决,大多是从联想相应的为数学模型开始的. 例7 海滩上的...竞赛讲座 31类比与联想 9页 免费 第20类比与联想-初二... 9页 1...

初中数学竞赛专题培训(14):中位线及其应用.doc

初中数学竞赛专题培训(14):中位线及其应用 - 初中数学竞赛专题培训 第十四讲

初中数学竞赛专题培训(21):分类与讨论.doc

初中数学竞赛专题培训(21):分类与讨论_初三数学_数学_初中教育_教育专区。初

初中数学竞赛专题培训(25):同余式.doc

初中数学竞赛专题培训(25):同余式_计算机硬件及网络...同余式的写法,使我们联想起等式.其实同余式和代数...20份文档 乘机安全小贴士 安全乘机指南 如何选择安全...

初中数学竞赛专题培训(30):生活中的数学(2).doc

初中数学竞赛专题培训(30):生活中的数学(2) - 初中数学竞赛专题培训 第三

初中数学竞赛专题培训.doc

初中数学竞赛专题培训_初三数学_数学_初中教育_教育...59 第二十类比与联想 ......使得 a<α...

初中数学竞赛专题培训(12):平行四边形.doc

初中数学竞赛专题培训(12):平行四边形 - 鼎吉教育(Dinj 练 Educa

初中数学竞赛专题培训(16):相似三角线(2).doc

初中数学竞赛专题培训讲练 初中数学竞赛专题培训上一讲主要讲述了相似三角形与...20份文档 乘机安全小贴士 安全乘机指南 如何选择安全的航班 正确使用机上氧气...

初中数学竞赛专题培训(7):根式及其运算.doc

初中数学竞赛专题培训 二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础,在 进行

初中数学竞赛专题培训(14):中位线及其应用.doc

初中数学竞赛专题培训(14):中位线及其应用 - 初中数学竞赛专题培训 泛的应用