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2015-2016学年人教A版高中数学必修4课时作业23平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含答案

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课时作业 23 平面向量数量积的坐标表示、 模、 夹角
时间:45 分钟 分值:100 分

一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分) 1. 设 a=(1, -2), b=(3,1), c=(-1,1), 则(a+b)· (a-c)等于( A.11 C.-14 B.5 D.10 )

解析:a+b=(4,-1),a-c=(2,-3). ∴(a+b)· (a-c)=2×4+(-1)· (-3)=11. 答案:A 2.已知向量 a=(1,k),b=(2,2),且 a+b 与 a 共线,那么 a· b 的值为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:依题意得 a+b=(3,k+2),由 a+b 与 a 共线,得 3×k -1×(k+2)=0,解得 k=1,所以 a· b=2+2k=4. 答案:D → |=2|AP → |, 3.设点 A(2,0),B(4,2),若点 P 在直线 AB 上,且|AB 则点 P 的坐标为( A.(3,1) C.(3,1)或(1,-1) ) B.(1,-1) D.无数多个

→ |=2|AP → |得AB → =2AP → ,或AB → =-2AP →, 解析:设 P(x,y),由|AB → =(2,2),AP → =(x-2,y), AB 即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,1);

(2,2)=-2(x-2,y),x=1,y=-1,P(1,-1). 故 P(3,1)或(1,-1). 答案:C 4.已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2),若 c=a-(a· b)b,则|c| 等于( ) B.2 5 D.8 2

A.4 2 C.8

解析:易得 a· b=2×(-1)+4×2=6,所以 c=(2,4)-6(-1,2)= (8,-8),所以|c|= 82+?-8?2=8 2. 答案:D 5.a,b 为平面向量,已知 a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 夹 角的余弦值等于( 8 A.65 16 C.65 ) 8 B.-65 16 D.-65

解析: 设 b = (x , y) ,则 2a + b = (8 + x,6 + y) = (3,18) ,所以
? ? ?8+x=3 ?x=-5 a· b ? , 解得? , 故 b=(-5,12), 所以 cos?a, b?= |a||b| ?6+y=18 ?y=12 ? ?

16 =65.故选 C. 答案:C 6.以原点 O 及点 A(5,2)为顶点作等腰直角三角形 OAB,使 A= → 的坐标为( 90° ,则AB A.(2,-5) C.(-2,5) ) B.(-2,5)或(2,-5) D.(7,-3)或(3,7)

→ =(x,y),由|OA → |=|AB → |,得 52+22= x2+y2① 解析:设AB → ⊥AB → ,得 5x+2y=0② 由OA 联立①②,解得 x=-2,y=5 或 x=2,y=-5. → =(-2,5)或AB → =(2,-5). 故AB 答案:B 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) 7.已知 a=(1,n),b=(-1,n),且 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于 ________. 解析:2a-b=(3,n),∵(2a-b)· b=0, ∴n2-3=0,∴n2=3,∴|a|2=1+n2=4, ∴|a|=2. 答案:2 8.已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a → 的模为________. +b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量MN 解析:∵a∥b,∴2×(-2)-(-1)x=0, 解得 x=4,∴b=(4,-2), ∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y). ∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)· (b-c)=0, 即 6-3(-2-y)=0,解得 y=-4, → =(y-x,x-y)=(-8,8),∴|MN → |=8 2. ∴MN 答案:8 2 → =(2,2),OB → =(4,1),O 为坐标原点,在 x 轴上求一点 9.已知OA →· → 有最小值,则 P 点坐标为________. P,使AP BP →· → =(x-2,-2)· 解析:设 P(x,0),∴AP BP (x-4,-1)=(x-2)(x

→· → 有最小值,∴ -4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,当 x=3 时,AP BP P(3,0). 答案:(3,0) 三、解答题(共计 40 分,其中 10 题 10 分,11、12 题各 15 分) → =(6,1),BC → =(4,k),CD → =(2,1). 10.已知AB (1)若 A、C、D 三点共线,求 k 的值; → 与CD → 的夹角的余弦值. (2)在(1)的条件下,求向量BC → =AB → +BC → =(10,k+1), 解:(1)AC 又 A、C、D 三点共线, → ∥CD →. ∴AC ∴10×1-2(k+1)=0,解得 k=4. → 与CD → 的夹角为 θ, (2)设向量BC → =(4,4),则BC →· → =2×4+1×4=12, 由(1)得BC CD → |= 42+42=4 2,|CD → |= 22+12= 5, 又|BC →· → BC CD 12 3 10 则 cosθ= = = 10 . → | 4 2× 5 → ||CD |BC → 与CD → 的夹角的余弦值为3 10. 即向量BC 10 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3), C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → -tOC → )· → =0,求 t 的值. (2)设实数 t 满足(AB OC → =(3,5),AC → =(-1,1), 解:(1)由题设知AB

→ +AC → =(2,6),AB → -AC → =(4,4), 则AB → +AC → |=2 10,|AB → -AC → |=4 2. 所以|AB 故两条对角线的长分别为 2 10、4 2. → =(-2,-1),AB → -tOC → =(3+2t,5+t). (2)由题设知OC → -tOC → )· → =0,得(3+2t,5+t)×(-2,-1)=0, 由(AB OC 11 从而 5t=-11,故 t=- 5 . → =(1,7),OB → =(5,1),OP → =(2,1),点 X 为直 12.平面内有向量OA 线 OP 上的一个动点. →· → 取最小值时,求OX → 的坐标; (1)当XA XB (2)当点 X 满足(1)的条件和结论时,求 cos∠AXB 的值. → =(x,y), 解:(1)设OX ∵点 X 在直线 OP 上, → 与OP → 共线. ∴向量OX → =(2,1),∴x×1-y×2=0,即 x=2y, 又OP → =(2y,y),又XA → =OA → -OX → =(1-2y,7-y), ∴OX → =OB → -OX → =(5-2y,1-y), XB →· → =(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y 于是XA XB -2)2-8. →· → =5(y-2)2-8 取最小 由二次函数知识,可知当 y=2 时,XA XB → =(4,2). 值-8,此时OX → =(4,2)即 y=2 时, → =(-3,5), → =(1, →· → (2)当OX 有XA XB -1), XA XB =(-3)×1+5×(-1)=-8,

→· → -8 XA XB 4 17 ∴cos∠AXB= = =- 17 . →| 34· 2 → ||XB |XA


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