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2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准(加试)

时间:2015-07-08

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准

加试
一、(本题满分 40 分) 如图,已知⊙O1 与⊙O 外切于点 P,⊙O2 与⊙O 内切于点 Q,线段 O1O2 与 PQ 交于点 G,
过 G 作⊙O1 的切线 GN,切点为 N.求证:直线 NG 与⊙O2 也相切.
Q

N

G

O2

O1

P

O

证明:过 G 作⊙O2 的切线 GM,切点为 M,连 O1O,OQ,O1N,O2M,

则点 P 在 O1O 上,点 O2 在 OQ 上.

过 O2 作 O2H∥PQ 交 OO1 于 H 点.

设⊙O1,⊙O2,⊙O 的半径分别为 r1,r2,R,

则由 O2H∥PQ 得,PH=QO2=r2,且OO12GG=OP1HP=rr12,而OO21MN=rr12,

所以,OO12GG=OO21MN .

…………… 20 分

又 GN,GM 分别为⊙O1、⊙O2 的切线,所以∠O1NG=90°=∠O2MG,

所以 Rt△NO1G∽Rt△MO2G,所以∠O1GN=∠O2GM.

从而有 N、G、M 三点共线,即直线 NG 与⊙O2 也相切.

…………… 40 分

Q

N O1

G PH

O2
M O

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试1 卷(加试)参考答案 第 1 页 共 4 页
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二、(本题满分 40 分)

设 n 为正整数,2≤xi≤8,i=1,2,…,n.证明:(x1+x2+…+xn)(x11+x12+…+x1n)≤(54n)2, 并讨论何时等号成立?

证明:因为

(x1+x2+…+xn)(x11+x12+…+x1n)=(x41+x42+…+

xn 4

)(x41+x42+…+x4n)

≤14(x41+x42+…+

xn 4

+x41+x42+…+x4n)2,



所以,只要证明:x41+x42+…+

xn 4

+x41+x42+…+x4n≤25n.…………………20 分

令 f(x)=4x+4x,x∈[2,8].

由 f ′(x)=14-x42=0,得 x=4.

因此,当 x∈(2,4),f ′(x)<0,f(x)为单调减函数;

当 x∈(4,8),f ′(x)>0,f(x)为单调增函数.

故 f(x)≤max{ f(2),f(8)}=52,

于是 f(xi)≤25 (i=1,2,…,n ) ,当且仅当 xi=2 或 8 时,f(xi)=52. ②

因此,x41+x42+…+

xn 4

+x41+x42+…+x4n=f(x1)+

f(x2)+…+f(xn)≤25+52+…+25=52n.

所以(x1+x2+…+xn)(x11+x12+…+x1n)≤(54n)2. 要使(x1+x2+…+xn)(x11+x12+…+x1n)=(54n)2,

………………………30 分

??? 由①②知,必须有

x41+x42+…+

xn 4

=x41+x42+…+x4n,

f(xi)=52,xi=2或8,i=1,2,…,n.

设 x1,x2,…,xn 中,有 p 个等于 2,q 个等于 8,则 p+q=n,且24·p+48·q=42·p+48·q. 因此 p=q,n=2p,即 n 为偶数.

而当 n 为偶数时,且 x1,x2,…,xn 中一半取 2,一半取 8 时,等号成立. 故当且仅当 n 为偶数,且 x1,x2,…,xn 中一半取 2,一半取 8 时等号成立.
…………………………… 40 分

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试2 卷(加试)参考答案 第 2 页 共 4 页
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三、(本题满分 50 分)

已知一凸 n 边形的任意相邻两个内角的差都是 20°.试求 n 的最大值.

解:(1)证明 n 为偶数.

记凸 n 边形为 A1A2…An, 则 A2=A1±20°,A3=A2±20°=A1±20°±20°,…, Ak=A1±20°1±20°…±20°=A1+pk20°-qk20°, 其中 pk 为“+”号的个数,qk 为“-”的个数,且 pk+qk=k-1. 在上式中令 k=n+1,即知 An+1=A1+pn+120°-qn+120°=A1+pn+120°-(n-pn+1)20°=A1,

得 pn+1=n-pn+1,即 n=2pn+1,所以 n 为偶数. (2)证明 n≤34.

……………… 20 分

设 n 个内角中最大的为 x,则所有内角中至少还应包括另一角 x-20°,

且所有内角中任意相邻的两角不相同,且其和不超过 2x-20°,即平均不超过 x-10°,

故有(n-2)·180°=A1+A2+…+An≤n(x-10°),nx≥(n-2)·180°+n·10°. 因为 x<180°,所以 n·180°>nx≥(n-2)·180°+n·10°,

从而 n<36,又因为 n 为偶数,所以 n≤34.

……………… 40 分

(3)证明 n=34 能取到.

不妨设凸 34 边形内角中只有两个值 x 和 x-20°,它们相间出现,各为一半,

有 17(2x-20°)=32×180°,x=301570°<180°.x-20°>0,

知存在满足条件的凸 34 边形.

由(1)(2)(3)可知,n 的最大值为 34.

……………… 50 分

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试3 卷(加试)参考答案 第 3 页 共 4 页
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四、(本题满分 50 分)

证明:存在无穷多个正整数 n,使得 cosn>22001145.

证明:(1)证明任给一个正整数 k 存在一个正整数 n,使得 cosn>1-1k.

取一正整数 M,使得 cos2Mπ>1-1k.

…………10 分

令 α=21π,则 α 为无理数.

考虑以下 M+1 个数:{α},{2α},…,{Mα},{(M+1)α},

({x}=x-[x],[x]表示不大于 x 的最大整数). 将区间[0,1)分成 M 个小区间:[0,M1 ),[M1 ,M2 ),…,[MM-1,1), 由抽屉原理可知,一定存在 1≤i<j≤M+1,使得{iα},{jα}在同一个小区间,

因此,|{jα}-{iα}|<M1 ,从而|nα-([jα]-[iα])|<M1 ,

其中 n=j-i,1≤n≤M.

…………………………20 分

所以 cosn=cos2π·2nπ=cos2πnα=cos2π|nα-([jα]-[iα])|

=cos2π|{jα}-{iα}|>cos2Mπ>1-1k.

……………………… 30 分

(2)证明有无穷多正整数 n,使得 cosn>22001145.

我们用反证法来证明上述结论.

假设只有有限个正整数 n,使得 cosn>22001145,

则可令使 cosn>22001145成立的正整数 n 的个数 t.

不妨设这 t 个正整数为 n1,n2,…,nt,

并且满足 1>cos nt>cos nt-1>…>cos n2>cos n1>22001145=1-20115.

取正整数 k1 满足 1- 1k1>cos nt,由(1)可知存在正整数 n,使得 cos n>1- 1k1>22001145. 这与使 cosn>22001145成立的正整数 n 的个数是 t 矛盾.

所以存在无穷多个正整数 n,使得 cosn>22001145.

………………………50 分

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试4 卷(加试)参考答案 第 4 页 共 4 页
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