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高考数学第一轮复习单元试卷9-数列的求和

时间:2012-07-30


制作老师:龚志军(Flagon)

手机:13818924346

联系 QQ:137070928

第九单元

数列的求和、极限、数学归纳法

一.选择题 (1) 已 知 等 差 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 S4=3 , S8=7 , 则 S12 的 值 是 ( ) A 8 B 11 C 12 D 15 (2) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 0 , a n ? 1 ?
an ? 3 ( n ? N ) ,则 a 20 = (
*

3a n ? 1



A 0

B

?

3
2

C

3
2

D
n-1

3 2

(3) 数列 1,(1+2),(1+2+2 ),…,( 1+2+2 +…+2 +…)的前 n 项和是 ( ) A 2n B 2n-2 C 2n+1- n -2 D n·n 2 (4) 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任选三个不同的数,如果这三个数经过 适当的排列成等差数列,则这样的等差数列一共有 ( ) A 20 个 B 40 个 C 10 个 D 120 个 (5) lim
1? 2 ? 3?? ? n n
2
n? ?

= (

) C
1 2
? 0

A2

B4

D ,则 ( )

0

(6) 如果 a1 , a 2 , ? , a 8 为各项都大于零的等差数列,公差 d A
a1 a 8 ? a 4 a 5

B

a1 a 8 ? a 4 a 5

C

a1 ? a 8 ? a 4 ? a 5

D a1 a 8 ? a 4 a 5
? 3n ? 2 2n ? 1

(7)已知等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn, 若 值是 ( A (8)
lim n? ?

Sn Tn

, 则 n? ?

lim

an bb



)
2 3

B
0 n

6 2
n n

C 的值是 ( C
*

3 2

D

9 4

C
1 5

?C

1 n

?C
2

2 n

?? ?C
n

A

1? 2 ? 2 ?? ? 2 1

)
1 2

B

D

1 3

4

(9) 已知数列{log2(an-1)}(n∈N )为等差数列,且 a1=3,a2=5,则
lim n? ?

(

1 a 2 ? a1

?

1 a3 ? a2

? ?? ?

1 a n ?1 ? a n

)=(

)
1 2

A

2

B

3 2 x1 2

C 1 , xn ?
1 2

D

(10) 已 知 数 列 ? x n ? 满 足 x 2 ? ( )

? x n ?1 ?

x n ? 2 ? , n ? 3, 4, … . 若 lim x n ? 2 , 则
n? ?

1

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3 2

B3

C4

D5

二.填空题 (11) 在等差数列{an}中,a1>0,a5=3a7,前 n 项和为 Sn,若 Sn 取得最大值,则 n= (12) 在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 S19=31,S31=19,则 S50 的值是______ (13)在等比数列{an}中,若 a9·a11=4,则数列{ log (14)若 a>0,且 a≠1, 则 lim 三.解答题
? 1 a ? 2 n ? ?? ?a ? 1 ? n 4 ? n 为偶 数
3 ? 2a 1? a
n n

.

1 2

a n }前 19 项之和为_______

n? ?

的值是

.

(15) 设数列{an}的首项 a1=a≠

1 4

,且 a n ? 1

,
n 为奇 数

记 b n ? a 2 n ?1 ?

1 4

,n==l,2,3,…· .

(I)求 a2,a3; (错误!未找到引用源。 )判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (错误!未找到引用源。 )求 lim ( b1 ? b 2 ? b3 ? ? ? b n )
n? ?

(16) 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, a n ? 1 ?

1 3

S n ,n=1,2,3,……,求

(错误!未找到引用源。 2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; )a (错误!未找到引用源。 a 2 ? a 4 ? a 6 ? ? ? a 2 n 的值. )

2

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(17) 已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a 1 , a 3 , a 2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ b n }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比 较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. .

(18) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 和数列 { a n } 满足下列条件:
a 1 ? a , a n ? f ( a n ?1 )( n ? 2 , 3 , 4 , ... ), a 2 ? a 1 , ... f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? k ( a n ? a n ?1 )( n ? 2 , 3 , 4 , ) ,其中 a 为常数,k 为非零常数.

(Ⅰ)令 b n ? a n ?1 ? a n ( n ? N *) ,证明数列 { b n } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅲ)当 | k |? 1 时,求 lim a n .
n? ?

3

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参考答案
一选择题: 1.C [解析]:∵{an}等差数列,∴2(S8 -S4)= S4+(S12-S8),且 S4=3,S8=7, 则 S12=12 2.B [解析]:已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 0 , a n ? 1 ? 则 a2 ? ? 3, a3 ? 3.C [解析]:∵( 1+2+22+…+2n-1)=2n-1 ∴数列 1,(1+2),(1+2+22),…,( 1+2+22+…+2n-1+…)的前 n 项和为: (2-1)+(22-1)+…+(2n-1)= 2n+1- n -2 4.B [解析]:当公差 d 为正时,若 d=1,则这样的等差数列有 8 个 若 d=2,则这样的等差数列有 6个 若 d=3, 则这样的等差数列有 4个 若 d=4, 则这样的等差数列有 2个 共有 20 个 当公差 d 为负时,也有 20 个。 5.C
n ( n ? 1) 1
1? 2 ? 3?? ? n n
2

an ?

3

3a n ? 1

(n ? N ) ,
*

3 , a 4 ? 0 , 有规律的重复了,故 a 20 = ?

3。

n

2

? n
2

1 2

n

[解析]: 6. B

=

2 2 n

=

2

[解析]:因为 a1 , a 2 , ? , a 8 为各项都大于零的等差数列,公差 d 故
a1a 8 ? a1 (a1 ? 7 d ) ? a1 ? 7 a1d ,
2

? 0

a 4 a 5 ? ( a 1 ? 3 d )( a 1 ? 4 d ) ? a 1 ? 7 a 1 d ? d

2

2

故 a1 a 8 ? a 4 a 5 7.C [解析]:因为等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,
4

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( 2 n ? 1)( a 1 ? a 2 n ? 1 )

( 2 n ? 1)( 2 a n )



Sn Tn

?

an 2 2 ? ? ( 2 n ? 1)( b 1 ? b 2 n ? 1 ) ( 2 n ? 1)( 2 b n ) bn 2 2
lim

若 8.C

Sn Tn

?

3n ? 2 2n ? 1

, 则 n? ?

an bb

= n? ?

lim

3n ? 2 2n ? 1

=

3 2

[解析]:

Cn ? Cn ? Cn ?? ? Cn
0 1 2

n

1? 2 ? 2 ?? ? 2
2

n

? 2

2
n ?1

n

?1

?

1 1 n 2?( ) 2

9.C [解析]:因为数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,∴ 故设 log2(an+1-1)-log2(an-1)=d 又 a1=3,a2=5,故 d=1 ∴
a n ?1 ? 1 an ? 1 ? 2,

故{an-1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴an-1=2n,∴an=2n+1,∴an+1-an=2n
( 1 a 2 ? a1 ? 1 a3 ? a2
?

? ?? ?

1 a n ?1 ? a n
1

)=

1 2

?

1 2
2

?? ?

1 2
n

?1?

1 2
n

则 lim ? ( n? 10.B

1 a 2 ? a1

1 a3 ? a2

? ?? ?

a n ?1 ? a n

) =1

[解析]:因为数列 ? x n ? 满足 x 2 ? 则 x3 ?

x1 2

, xn ?

1 2

? x n ?1 ?

x n ? 2 ? , n ? 3, 4, ….

1 x1 1 1 ( ? x1 ) ? ( 2 ? ) x1 2 2 2 2

x4 ? (

1 2
3

?

1 2

) x1 , x 5 ? (

1 2
4

?

1 2
3

?

1 2

) x1 , x 6 ? (

1 2
5

?

1 2
3

?

1 2

) x1

x7 ? (

1 2
6

?

1 2
5

?

1 2
3

?

1 2

) x1

……

5

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1

故 lim x n ?
n? ?

2 1? 1 4

x1 ?

2 3

x1

又 lim x n ? 2 ,故 x 1 ? 3
n? ?

二填空题: 11.7 或 8 [解析]:在等差数列{an}中,a1>0,∵a5=3a7,∴a1+4d= 3(a1+6d) ∴a1= ? 7 d ∴Sn=n( ? 7 d )+
n ( n ? 1) 2

d=

d 2

( n ? 15 n ) ,
2

∴n=7 或 8 时, Sn 取得最大值。 12.-50 [解析]:在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn, S19=19a1+19×9d S31=31a1+31×15d S31-S19=12 a1+12× 又 S19=31,S31=19, 故 a1+
49 2 d =-1 49 2 d

S50=-50 13.-19 [解析]:由题意 an>0,且 a1·a19 =a2·a18 =…=a9·a11= a 10 又 a9·a11=4 ,故 a 1 a 2 ? a 19 = 2 故 log
1 2

2

19

a 1 ? log

1 2

a 2 +…+ log

1 2

a 19 = log

1 2

( a 1 a 2 ? a 19 ) ? ? 19

14. -2 (a>1 时); 3 (0< a<1 时). [解析]:当 0< a<1 时, lim a =0,此时, lim
n? ?

n

3 ? 2a 1? a
n

n

n? ?

=3,

6

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:当 a>1 时, lim ( ) =0,此时 lim
n? ?

1 a

n

3 ? 2a 1? a
n

n

n? ?

1 n 3( ) ? 2 a = lim ? ?2 n? ? 1 n ( ) ?1 a

三解答题 (15)解(I)a2=a1+
1 4

=a+

1 4

,a3=

1 2

a2=

1 2

a+
1 4

1 8 1 2

; a+
1 4 3 8

(错误!未找到引用源。 )∵ a4=a3+ 所以 b1=a1-
1 4

=

, 所以 a5=
1 4

1 2 1 4

a4=

1 4 1 4

a+ ),

3 16

,

=a-

1 4 1 2

, b2=a3-

1 4

=

1 2

(a-

), b3=a5-

=

(a-

猜想:{bn}是公比为 证明如下: 因为 bn+1=a2n+1-
1 4

的等比数列·

=

1 2 1 4

a2n-

1 4

=

1 2 1 2

(a2n-1-

1 4

)=

1 2

bn, (n∈N*)

所以{bn}是首项为 a-

, 公比为

的等比数列·
b1 (1 ? 1? 1 2 1 2
n

) ?

(错误!未找到引用源。 lim ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? lim )
n? ?

b1 1? 1 2

n? ?

? 2(a ?

1 4

)

(16) 解(I)由 a1=1, a n ? 1 ?
a2 ? a4 ? 1 3 1 3 S1 ? 1 3 1 3 a1 ? 1 3

1 3

S n ,n=1,2,3,……,得


16 27 1 3

a3 ?

1 3

S2 ?

1 3

( a1 ? a 2 ) ?

4 9



S3 ?

( a1 ? a 2 ? a 3 ) ? 1 3


a n (n≥2) ,得 a n ? 1 ? 4 3 a n (n≥2) ,

由 a n ?1 ? a n ? 又 a2=
1 3

( S n ? S n ?1 ) ? 1 4 3 3

n?2 ,所以 an= ( ) (n≥2),

1 ? ? ∴ 数列{an}的通项公式为 a n ? ? 1 4 n ? 2 ? ( ) ?3 3

n ?1 n≥ 2


1 3

(错误!未找到引用源。 )由(错误!未找到引用源。 )可知 a 2 , a 4 , ? , a 2 n 是首项为 公 比 为
4 2 ( ) 3








7

n















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a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n

4 2n 1? ( ) 1 3 4 2n 3 ? [( ) ? 1] = ? 4 2 3 7 3 1? ( ) 3

(17)解(Ⅰ)由题设 2 a 3 ? a 1 ? a 2 , 即 2 a 1 q 2 ? a 1 ? a 1 q ,
? q ? 1或 ? 1 2 .

? a 1 ? 0 ,? 2 q ? q ? 1 ? 0 .
2

(Ⅱ)若 q ? 1, 则 S n ? 2 n ? 当 n ? 2时 , S n ? b n ? S n ? 1 ? 若q ? ?
1 2 ,则 S n ? 2n ?

n ( n ? 1) 2

?1 ?

n ? 3n
2

.

2
? 0.
2

( n ? 1)( n ? 2 ) 2

故 S n ? bn .

n ( n ? 1) 2

(?

1 2

)?

? n ? 9n 4
,

.

当 n ? 2时 , S n ? b n ? S n ? 1 ? ?

( n ? 1)( n ? 10 ) 4

故对于 n ? N ? , 当 2 ? n ? 9时 , S n ? b n ; 当 n ? 10 时 , S n ? b n ; 当 n ? 11时 , S n ? b n . (18)(Ⅰ)证明:由 b1 ? a 2 ? a 1 ? 0 ,可得
b 2 ? a 3 ? a 2 ? f ( a 2 ) ? f ( a 1 ) ? k ( a 2 ? a 1 ) ? 0 .由数学归纳法可证 b n ? a n ? 1 ? a n ? 0 ( n ? N *) .

由题设条件,当 n ? 2 时

bn b n ?1

?

a n ?1 ? a n a n ? a n ?1
n ?1

?

f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) a n ? a n ?1

?

k ( a n ? a n ?1 ) a n ? a n ?1

? k

因此,数列 { b n } 是一个公比为 k 的等比数列. (Ⅱ)解:由(1)知, b n ? k
b1 ? k
n ?1

( a 2 ? a 1 )( n ? n *)

当 k ? 1 时, b1 ? b 2 ? ... ? b n ? 1 ? ( a 2 ? a 1 )

1? k

n ?1

1? k

(n ? 2)

当 k ? 1 时, b1 ? b 2 ? ... ? b n ?1 ? ( n ? 1)( a 2 ? a 1 ) 而 b1 ? b 2 ? ... ? b n ?1
1? k
n ?1

(n ? 2) . ... ? ( a ? a ) ? a ? a ? ( a 2 ? a1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? n n ?1 n 1

(n ? 2)

所以,当 k ? 1 时, a n ? a 1 ? ( a 2 ? a 1 )

1? k 1? k

( n ? 2 ) .上式对 n ? 1 也成立.
n ?1

所以,数列 { a n } 的通项公式为 a n ? a ? ( f ( a ) ? a )
a n ? a 1 ? ( n ? 1)( a 2 ? a 1 )

1? k

( n ? N *) . 当 k ? 1 时

( n ? 2 ) 。上式对 n ? 1 也成立,所以,数列 { a n } 的通

项公式为 a n ? a ? ( n ? 1)( f ( a ) ? a ) (Ⅲ)解:当 | k |? 1 时,
n? ? n? ?

( n ? N *) ,

lim a n ? lim [ a ? ( f ( a ) ? a )

1? k

n ?1

1? k

] ? a?

f (a ) ? a 1? k

.

8


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