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课时跟踪检测 (五十一) 随机事件的概率

时间:2017-08-31


课时跟踪检测
?

(五十一)

随机事件的概率

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

1 1 1.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则乙不输的概率是( 2 3 5 A. 6 1 C. 2 2 B. 3 1 D. 3

)

1 1 解析:选 A 乙不输包含两种情况:一是两人和棋,二是乙获胜,故所求概率为 + = 2 3 5 . 6 2.一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球,其数量分别为 3,2,1,从中任取两球,则 互斥而不对立的两个事件为( )

A.至少有一个白球;都是白球 B.至少有一个白球;至少有一个红球 C.恰有一个白球;一个白球一个黑球 D.至少有一个白球;红球、黑球各一个 解析:选 D 红球、黑球各取一个,则一定取不到白球,故“至少有一个白球”“红 球、黑球各一个”为互斥事件,又任取两球还包含“两个红球”这个事件,故不是对立事 件. 3.掷一个骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”,事件 B 表示“小于 5 的点数出现”,则一次试验中,事件 A+ B 发生的概率为( 1 A. 3 2 C. 3 1 B. 2 5 D. 6 )

2 1 4 2 解析:选 C 掷一个骰子的试验有 6 种可能结果,依题意 P(A)= = ,P(B)= = , 6 3 6 3 2 1 所以 P( B )=1-P(B)=1- = , 3 3 因为 B 表示“出现 5 点或 6 点”的事件, 因此事件 A 与 B 互斥, 从而 P(A+ B )=P(A) 1 1 2 +P( B )= + = . 3 3 3 4.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2,该同学 的身高在[160,175] cm 的概率为 0.5,那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为________.

解析:由对立事件的概率可求该同学的身高超过 175 cm 的概率为 1-0.2-0.5=0.3. 答案:0.3 5.如果事件 A 与 B 是互斥事件,且事件 A∪B 发生的概率是 0.64,事件 B 发生的概率 是事件 A 发生的概率的 3 倍,则事件 A 发生的概率为________. 解析:设 P(A)=x,P(B)=3x, ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=x+3x=0.64. ∴P(A)=x=0.16. 答案:0.16 ? 二保高考,全练题型做到高考达标

1.(2017· 石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生 产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是 5%和 3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率 为( ) A.0.95 C.0.92 B.0.97 D.0.08

解析: 选 C 记抽检的产品是甲级品为事件 A, 是乙级品为事件 B, 是丙级品为事件 C, 这三个事件彼此互斥,因而所求概率为 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92. 2.袋中装有 3 个白球,4 个黑球,从中任取 3 个球,则下面事件是互斥事件但不是对 立事件的为( )

A.恰有 1 个白球和全是白球; B.至少有 1 个白球和全是黑球; C.至少有 1 个白球和至少有 2 个白球; D.至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球. 解析:选 A 由题意可知,事件 C、D 均不是互斥事件;A、B 为互斥事件,但 B 又是 对立事件,满足题意只有 A,故选 A. 1 3.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 ,都是白子 7 12 的概率是 .则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是( 35 1 A. 7 17 C. 35 12 B. 35 D.1 )

解析: 选 C 设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A, “从中取出 2 粒都是白子”为事 件 B,“任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C,则 C=A∪B,且事件 A 与 B 互斥.所以

1 12 17 17 P(C)=P(A)+P(B)= + = ,即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为 . 7 35 35 35 4. 抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点)一次, 观察掷出向上 的点数,设事件 A 为掷出向上为偶数点,事件 B 为掷出向上为 3 点,则 P(A∪B)=( 1 A. 3 1 C. 2 2 B. 3 5 D. 6 )

1 解析:选 B 事件 A 为掷出向上为偶数点,所以 P(A)= . 2 1 事件 B 为掷出向上为 3 点,所以 P(B)= , 6 又事件 A,B 是互斥事件,事件(A∪B)为事件 A,B 有一个发生的事件,所以 P(A∪B) 2 =P(A)+P(B)= . 3 5. 设条件甲: “事件 A 与事件 B 是对立事件”, 结论乙: “概率满足 P(A)+P(B)=1”, 则甲是乙的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

解析:选 A 若事件 A 与事件 B 是对立事件,则 A∪B 为必然事件,再由概率的加法 公式得 P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币 3 次,事件 A:“至少出现一次正面”,事件 B:“3 7 1 次出现正面”,则 P(A)= ,P(B)= ,满足 P(A)+P(B)=1,但 A,B 不是对立事件. 8 8 6.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A={抽到一等品},事件 B={抽到二等品}, 事件 C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是 一等品”的概率为________. 解析:“抽到的不是一等品”与事件 A 是对立事件,∴所求概率为 1-P(A)=0.35. 答案:0.35 7.袋中装有 9 个白球,2 个红球,从中任取 3 个球,则①恰有 1 个红球和全是白球; ②至少有 1 个红球和全是白球; ③至少有 1 个红球和至少有 2 个白球; ④至少有 1 个白球和至少有 1 个红球. 在上述事件中,是对立事件的为________(填序号). 解析:至少有 1 个红球和全是白球不同时发生,且一定有一个发生,所以②中两事件 是对立事件. 答案:② 8.一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次

只取一个,取得两个红球的概率为

7 1 ,取得两个绿球的概率为 ,则取得两个同颜色的球 15 15

的概率为________;至少取得一个红球的概率为________. 解析:由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只 需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为 P= 7 1 8 + = . 15 15 15

由于事件 A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事件, 则至少取得 一个红球的概率为 1 14 P(A)=1-P(B)=1- = . 15 15 答案: 8 14 15 15

9.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和 其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机 抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾” 箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物” 箱 100 240 20 “其他垃圾” 箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率. 解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = = . 厨余垃圾总量 400+100+100 3 (2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确.事件 A 的概率 约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其 他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即 P( A )约为 0.7=0.3. 10.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超 市购物的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 1至4件 x 5至8件 30 9 至 12 件 25 13 至 16 件 y 17 件 以上 10 400+240+60 =0.7,所以 P(A)约为 1- 1 000

结算时间(分 钟/分)

1

1.5

2

2.5

3

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)求 x,y 的值. (2)求顾客一次购物的结算时间超过 2 分钟的概率. 解:(1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45, 所以 x=15,y=20. (2)记 A:一位顾客一次购物的结算时间超过 2 分钟. A1:该顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟. A2:该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟. 20 10 将频率视为概率,可得 P(A)=P(A1)+P(A2)= + =0.3. 100 100 所以一位顾客一次购物的结算时间超过 2 分钟的概率为 0.3. ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.若随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等于 0,且分别为 P(A)=2-a,P(B) =3a-4,则实数 a 的取值范围为____________. 解析:因为随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等于 0,且分别为 P(A)=2-a, P(B)=3a-4, 0<P?A?<1, ? ? 所以?0<P?B?<1, ? ?P?A?+P?B?≤1, 0<2-a<1, ? ? 即?0<3a-4<1, ? ?2a-2≤1. 4 3? 答案:? ?3,2? 2.某保险公司利用简单随机抽样的方法,对投保的车辆进行抽样,样本车辆中每辆车 的赔付结果统计如下: 赔偿金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1 000 130 2 000 100 3 000 150 4 000 120 4 3 解得 <a≤ . 3 2

(1)若每辆车的投保金额为 2 800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率. (2)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中,车 主是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4 000 元的概率.

解:(1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”,B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”, 150 120 以频率估计概率得 P(A)= =0.15,P(B)= =0.12, 1 000 1 000 由于投保额为 2 800 元,赔付金额大于投保金额的情形是赔付 3 000 元和 4 000 元, 所以其概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元”,由已知,样本车辆中车主是新 司机的有 0.1×1 000=100(位), 而赔付金额为 4 000 元的车辆中车主为新司机的有 0.2×120 =24(位), 24 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 =0.24, 100 由频率估计概率得 P(C)=0.24.


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