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2011解析几何在高中数学中的应用及解题方法

时间:2011-12-24

高考专题: 2011 高考专题:解析几何常规题型及方法
一、高考风向分析: 高考风向分析:
高考解析几何试题一般共有 3--4 题(1--2 个选择题, 0--1 个填空题, 1 个解答题), 共计 20 多分, 考查 的知识点约为 20 个左右, 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆 锥曲线中的基础知识,大多概念性较强,小巧灵活,思维多于计算;而解答题重点考查圆锥曲线中的重 要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程,以向量为载体,立意新颖, 要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题,解决问题。

二、本章节处理方法建议: 本章节处理方法建议:
纵观 2006 年全国各省市 18 套文、理高考试卷,普遍有一个规律:占解几分值接近一半的填空、选 择题难度不大, 中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中; 而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理 想,其原因主要体现在以下几个方面:(1)解析几何是代数与几何的完美结合,解析几何的问题可以 涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识,形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数 等多种问题,因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一(2)解析几何的计算量相对偏大(3)在 大家的“拿可拿之分”的理念下,大题的前三道成了兵家必争之地,而排放位置比较尴尬的第 21 题或 22 题 (有时 20 题) 就成了很多人遗忘的角落, 加之时间的限制, 此题留白的现象比较普遍。 鉴 于解几的特点,建议在复习中做好以下几个方面.1.由于高考中解几内容弹性很大。有容易题,有中 难题。 因此在复习中基调为狠抓基础。 不能因为高考中的解几解答题较难, 就拼命地去搞难题, 套新题, 这样往往得不偿失;端正心态:不指望将所有的题攻下,将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得 到”的常规题上,这样复习,高考时就能保证首先将选择、填空题拿下,然后对于大题的第一个小问争 取得分,第二小题能拿几分算几分。

三、高考核心考点
1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等) 2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、 到角公式、夹角公式等) 3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、 截距是否为 0 等等) 4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、 几何法、待定系数法等) 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见 问题

四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面 常规题型方面
(1)中点弦问题 ) 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , 代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。



12

典型例题

给定双曲线 x ?
2

y2 = 1 。 A 1) 过 (2, 的直线与双曲线交于两点 P1 及 P2 , 求线段 P1 P2 2

的中点 P 的轨迹方程。
2 2 y1 y2 2 = 1 , x2 ? = 1。 分析:设 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) 代入方程得 x ? 2 2 2 1

两式相减得

( x1 + x 2 )( x1 ? x 2 ) ?

1 ( y1 + y 2 )( y1 ? y 2 ) = 0 。 2

又设中点 P(x,y),将 x1 + x 2 = 2 x , y1 + y 2 = 2 y 代入,当 x1 ≠ x 2 时得

2x ?

y ? y2 2y · 1 = 0。 2 x1 ? x 2 y1 ? y 2 y ?1 = , x1 ? x 2 x ? 2

又k =

代入得 2 x 2 ? y 2 ? 4 x + y = 0 。 当弦 P1 P2 斜率不存在时,其中点 P(2,0)的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是 2 x 2 ? y 2 ? 4 x + y = 0 说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。 变式练习: 变式练习: 给定双曲线 2x2 - y2 = 2 ,过点 B(1,1)能否作直线 L,使 L 与所给双曲线交于两点 Q1、Q2 两点,且点 B 是线段 Q1Q2 的中点?如果直线 L 存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. (2)焦点三角形问题 ) 椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点 F1 、 F2 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

典型例题

设 P(x,y)为椭圆

x2 y2 + = 1 上任一点, F1 ( ? c,0) , F2 (c,0) 为焦点, ∠PF1 F2 = α , a 2 b2

∠PF2 F1 = β 。
(1)求证离心率 e =

sin(α + β ) ; sin α + sin β

(2)求 | PF1 |3 + PF2 |3 的最值。 分析:(1)设 | PF1 | = r1 , | PF2 = r2 ,由正弦定理得

r1 r 2c = 2 = 。 sin α sin β sin(α + β )



12



r1 + r2 2c = , sin α + sin β sin(α + β ) c sin(α + β ) = a sin α + sin β

e=

(2) (a + ex ) 3 + ( a ? ex ) 3 = 2a 3 + 6ae 2 x 2 。 当 x = 0 时,最小值是 2a ;
3

当 x = ± a 时,最大值是 2a + 6e a 。
3 2 3

变式练习: 变式练习:

x2 y2 设 F1 、 F2 分别是双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的左、右两个焦点,P 是双曲线上的一点,若∠P= a b
θ,求证:S△=b cot
2

θ
2

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题 ) 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特 别注意数形结合的办法 典型例题
抛物线方程y 2 = p( x + 1) ( p > 0) ,直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且 OA⊥OB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。 p (1)证明:抛物线的准线为 1:x = ?1 ? 4
由直线 x+y=t 与 x 轴的交点(t,0)在准线右边,得 t > ?1 ? p ,而 4 t + p + 4 > 0 4

?x + y = t 由? 2 消去y得 x 2 ? ( 2 t + p) x + ( t 2 ? p) = 0 ?y = p( x + 1)

∵ ? = ( 2 t + p) 2 ? 4( t 2 ? p) = p( 4 t + p + 4) > 0
故直线与抛物线总有两个交点。 (2)解:设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2) ∴ x 1 + x 2 = 2 t + p,x 1 x 2 = t 2 ? p
∵OA⊥OB, ∴ k OA × k OB = ?1 则 x1x 2 + y1 y 2 = 0 又 y 1 y 2 = ( t ? x 1 )( t ? x 2 )



12

∴ x 1 x 2 + y 1 y 2 = t 2 ? ( t + 2) p = 0
∴ p = f ( t) = t2 t+2
( ?2 , 0) ∪ ( 0, + ∞ )

又p > 0, 4 t + p + 4 > 0得函数f ( t ) 的定义域是

变式练习: 变式练习: 直线 y=ax+1 与双曲线 3x -y =1 交于两点 A、B 两点
(1)若 A、B 都位于双曲线的左支上,求 a 的取值范围 (2)当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆经过坐标原点? (4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 )圆锥曲线的有关最值(范围)
2 2

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函

数,均值不等式)求最值。 典型例题 已知抛物线 y2=2px(p>0),过 M(a,0)且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|≤ 2p (1)求 a 的取值范围;(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值。 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于 a 的不等式,通过 解不等式求出 a 的范围,即:“求范围,找不等式 求范围 找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数,利用求函数 求范 的值域求出 a 的范围;对于(2)首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值, 即:“最值问题,函数思想”。 最值问题,函数思想 最值问题 解:(1)直线 L 的方程为:y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px,得:设直线 L 与抛物线两交点的坐标

? 4( a + p ) ? 4 a 2 > 0 ? 分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? x1 + x 2 = 2( a + p ) ,又 y1=x1-a,y2=x2-a, ? 2 ? x1 x 2 = a

∴| AB |= ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 = 2[( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] = 8 p( p + 2a) ∵0 <| AB |≤ 2 p,8 p ( p + 2a) > 0, ∴0 < 8 p( p + 2a ) ≤ 2 p,
解得:

?

p p <a≤? . 2 4

(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q,令其坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式得:

x3 =

x1 + x 2 2

=a+ p,

y3 =

y1 + y 2 ( x1 ? a ) + ( x 2 ? a ) = = p. 2 2



12

所 以 |QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2. 又 △ MNQ 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 |QM|=|QN|=

2P , 所 以 S △

NAB=

1 2 2 | AB | ? | QN |= p? | AB |≤ p ? 2 p = 2 p 2 ,即△NAB 面积的最大值为 2 P 2。 2 2 2

变式练习: 变式练习: 双曲线

x2 y2 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的两条准线间的距离为 3,右焦点到直线 x+y-1=0 的距离为 2 a b 2

(1)求双曲线的方程 (2)设直线 y=kx+m(k ≠ 0 且 m ≠ 0 )与双曲线交于两个不同的点 C、D,若 A(0,-1)且 AC = AD ,求实 数 m 的取值范围 (5)求曲线的方程问题 ) 1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和点 B(0,8) 关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程。 分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。 设出它们的方程,L:y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0) 设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:

k 2 ?1 2k 16k 8(k 2 ? 1) A( 2 ,? 2 , 2 ) B ,( 2 ) 因为 A、 均在抛物线上, 。 B 代入, 消去 p, 得: 2-k-1=0. k k +1 k +1 k +1 k +1
/

解得:k=

1+ 5 2 5 ,p= . 2 5 1+ 5 4 5 x,抛物线 C 的方程为 y2= x. 2 5
1 ,tanN=-2,建立适当的坐标系,求出以 M、N 为焦点且过点 P 的椭 2

所以直线 L 的方程为:y= 变式练习: 变式练习:

在面积为 1 的△PMN 中,tanM= 圆方程。 2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题

已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ ( λ >0),求动点 M 的轨迹方程, N M

O
五 12

Q

并说明它是什么曲线。 分析:如图,设 MN 切圆 C 于点 N,则动点 M 组成的集合是:P={M||MN|= λ |MQ|},由平面几何知识 可知:|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将 M 点坐标代入,可得:( λ 2-1)(x2+y2)-4 λ 2x+(1+4 λ 2)=0. 当 λ =1 时它表示一条直线;当 λ ≠1 时,它表示圆。这种方法叫做直接法。 变式练习: 变式练习: 过抛物线 y =4x 的焦点 F 作斜率为 k 的弦 AB,且 AB ≤8,此外,直线 AB 和椭圆 3x +2y =2 交
2 2 2

于不同的两点。 (1)求直线 AB 的斜率 k 的取值范围 (2)设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点,求 CD 中点 M 的轨迹方程 (6) 存在两点关于直线对称问题 ) 在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线 的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决) 典型例题 已知椭圆 C 的方程

x2 y2 + = 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 y = 4 x + m ,椭 4 3

圆 C 上有不同两点关于直线对称。 分析:椭圆上两点 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,代入方程,相减得 3( x1 + x 2 )( x1 ? x 2 ) +

4( y1 + y 2 ) ( y1 ? y 2 ) = 0 。
又x =

x1 + x 2 y + y2 y ? y2 1 ,y = 1 ,k = 1 = ? ,代入得 y = 3x 。 2 2 x1 ? x 2 4

又由 ?

? y = 3x 解得交点 ( ? m,?3m) 。 ?y = 4x + m ( ? m) 2 ( ?3m) 2 2 13 2 13 + < 1 ,得 ? <m< 。 4 3 13 13

交点在椭圆内,则有 变式练习: 变式练习:

为了使抛物线 ( y + 1) 2 = x + 1 上存在两点关于直线 y = mx 对称,求 m 的取值范围。 (7)两线段垂直问题 ) 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题, 常用 k 1 ·k 2 = 典型例题

y 1 ·y 2 = ?1 来处理或用向量的坐标运算来处理。 x 1 ·x 2

已知直线 l 的斜率为 k ,且过点 P ( ?2,0) ,抛物线 C: y 2 = 4( x + 1) ,直线 l 与抛物线 C

有两个不同的交点(如图)。 (1)求 k 的取值范围;



12

(2)直线 l 的倾斜角 θ 为何值时,A、B 与 的焦点连线互相垂直。 分析:(1)直线 y = k ( x + 2) 代入抛物线

抛物线 C

y
方 程 得

k x + ( 4 k ? 4) x + 4 k ? 4 = 0 ,
2 2 2 2

B A P (-2,0) O x

由 ? > 0 ,得 ?1 < k < 1( k ≠ 0) 。 (2)由上面方程得 x1 x 2 =

4k 2 ? 4 , k2

y1 y 2 = k 2 ( x1 + 2)( x 2 + 2) = 4 ,焦点为
由 k OA ·k OB =

O(0,0) 。

y1 y 2 k2 = 2 = ?1 ,得 x1 x 2 k ? 1

k=±

2 2 2 , θ = arctan 或 θ = π ? arctan 2 2 2

变式练习: 变式练习: 经过坐标原点的直线 l 与椭圆

( x ? 3) 2 y 2 + = 1 相交于 A、B 两点,若以 AB 为直径的圆恰好通过椭 6 2

圆左焦点 F,求直线 l 的倾斜角。

B:解题的技巧方面 解题的技巧方面
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、 韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明: (1)充分利用几何图形 ) 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外, 充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。 典型例题 设直线 3x + 4 y + m = 0 与圆 x 2 + y 2 + x ? 2 y = 0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,

若 OP⊥OQ ,求 m 的值。 解: ∵ 圆 x 2 + y 2 + x ? 2 y = 0 过原点,并且 OP⊥OQ ,

1 ∴ PQ 是圆的直径,圆心的坐标为 M ( ? ,1) 2 1 又 M ( ? ,1) 在直线 3x + 4 y + m = 0 上, 2 1 5 ∴ 3 × ( ? ) + 4 × 1 + m = 0, ∴ m = ? 即为所求。 2 2



12

评注:此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且 OP⊥OQ ,PQ 是圆的直径,圆心在直 线 3x + 4 y + m = 0 上,而是设 P ( x1 ,y1 ) 、Q( x 2 ,y 2 ) 再由 OP⊥OQ 和韦达定理求 m ,将会增大运 算量。 变式练习: 变式练习: 已知点 P(5,0)和圆 O: x 2 + y 2 = 16 ,过 P 作直线 l 与圆 O 交于 A、B 两点,求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。 评注:此题若不能挖掘利用几何条件 ∠OMP = 90° ,点 M 是在以 OP 为直径的圆周上,而利用参 数方程等方法,计算量将很大,并且比较麻烦。 充分利用韦达定理及“设而不求” 二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中 常常用到。 典型例题 已知中心在原点 O, 焦点在 y 轴上的椭圆与直线 y = x + 1 相交于 P、 两点, OP⊥OQ , Q 且

| PQ| =

10 ,求此椭圆方程。 2

解: 设椭圆方程为 ax 2 + by 2 = 1( a > b > 0) , 直线 y = x + 1 与椭圆相交于 P ( x1 ,y1 ) 、 ( x 2 ,y 2 ) Q 两点。 由方程组 ?

?y = x + 1
2 2 ?ax + by = 1

消去 y 后得

(a + b) x 2 + 2bx + b ? 1 = 0 ∴ x1 + x 2 = ? 2b b ?1 ,x1 x 2 = a +b a +b
(1)

由 k OP ? k OQ = ?1 ,得 y1 y 2 = ? x1 x 2 又 P、Q 在直线 y = x + 1 上,

? y1 = x1 + 1, ? ? y 2 = x 2 + 1,

( 2) (3)

∴ y1 y 2 = ( x1 + 1)( x 2 + 1) = x1 x 2 + ( x1 + x 2 ) + 1
把(1)代入,得 2 x1 x 2 + ( x1 + x 2 ) + 1 = 0 , 即

2(b ? 1) 2b ? +1= 0 a +b a +b
(4)

化简后,得

a +b = 2



12

由 | PQ| =

5 10 2 2 ,得 ( x1 ? x 2 ) + ( y1 ? y 2 ) = 2 2

∴ ( x1 ? x 2 ) 2 =

5 5 , ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = , 4 4 2b 2 4(b ? 1) 5 ( ) ? = a +b a +b 4 1 3 或b = 2 2

把(2)代入,得 4b 2 ? 8b + 3 = 0 ,解得 b =

3 1 或a = 2 2 3 1 由 a > b > 0 ,得 a = ,b = 。 2 2
代入(4)后,解得 a =

3x 2 y 2 ∴ 所求椭圆方程为 + =1 2 2
评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算。 变式练习: 变式练习: 若双曲线方程为

x2 y2 ? = 1 ,AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 中点,设 AB、OM a 2 b2 b2 a2

的斜率分别为 k AB 、k OM ,则 k AB ? k OM =

三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。 典型例题 且圆心 求经过两已知圆 C1 :x 2 + y 2 ? 4 x + 2 y = 0 和 C2 :x 2 + y 2 ? 2 y ? 4 = 0 的交点,

在直线 l : 2 x + 4 y ? 1 = 0 上的圆的方程。 解:设所求圆的方程为:

x 2 + y 2 ? 4 x + 2 y + λ ( x 2 + y 2 ? 2 y ? 4) = 0
即 (1 + λ ) x 2 + (1 + λ ) y 2 ? 4 x + 2(1 ? λ ) y ? 4λ = 0 , 其圆心为 C(

2 λ ?1 , ) 1+ λ λ +1

又 C 在直 线 l 上, ∴ 2?

2 λ ?1 1 + 4? ?1= 0 , 解 得 λ = , 代 入 所 设 圆 的 方 程 得 1+ λ λ +1 3

x 2 + y 2 ? 3x + y ? 1 = 0 为所求。
评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。 变式练习: 变式练习:



12

某直线 l 过直线 L1:4x-3y-12=0 和 L2:7x-y+28=0 的交点,且倾斜角为直线 L1 的倾斜角的一半, 求此直线 l 的方程 四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我 们常说的三角代换法。 典型例题 典型例题 P 为椭圆

x2 y2 + = 1 上一动点,A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四边形 OAPB a2 b2

面积的最大值及此时点 P 的坐标。 变式练习: 变式练习: 已知 P(x,y)是椭圆 x2+4y2=1 上任一点,试求 P 到直线 x + y – 2 = 0 的最小值及此时 P 的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法 ① 充分利用现成结果,减少运算过程 一般地, 求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是: 把直线方程 y = kx + b 代入圆锥曲线方程中, 得 到 型 如 ax 2 + bx + c = 0 的 方 程 , 方 程 的 两 根 设 为 x A , x B , 判 别 式 为 △ , 则

△ | AB| = 1 + k 2 ·| x A ? x B | = 1 + k 2· ,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。 |a|
例 求直线 x ? y + 1 = 0 被椭圆 x 2 + 4 y 2 = 16 所截得的线段 AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可 回避复杂运算。 例

F1 、 F2 是 椭 圆

x2 y2 + = 1 的 两 个 焦 点 , AB 是 经 过 F1 的 弦 , 若 | AB| = 8 , 求 值 25 9

| F2 A | + | F2 B |
③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A(3,2)为定点,点 F 是抛物线 y 2 = 4 x 的焦点,点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上移动,若

| PA|+| PF | 取得最小值,求点 P 的坐标。

五、高考试题选编
1. 过抛物线 y 2 = 6x 的焦点 F,作弦 AB⊥x 轴于 A、B 两点,则弦长 AB 等于(
A. 6
D. 36


C. 6 2

B. 18



12

2. 若直线 y = kx + 1 与焦点在 x 轴上的椭圆
5 A. (0, ) [1,5]

x2 y2 + = 1 总有公共点, 则实数 m 的取值范围是 ( 5 m B. (1, ) 5 C. [1,5)


D.

3. 直线 y = x + 1 被椭圆 3x 2 + 4 y 2 = 12 所截得的弦的中点坐标是(


C. ( ? 8 1 ,? ) 7 7 D.

A. ( ?
8 15 ( , ) 7 7

4 3 , ) 7 7

4 11 B. ( , ) 7 7

5 x2 4. 过 点 A ( ?1, ) 引 抛 物 线 y = 的一条弦,使该弦被 A 点平分,则该弦所在直线方程为 4 2 ( ) A. 4 x + 2 y ? 1 = 0 C. 4 x ? 2 y + 9 = 0 B. x + 2 y ? 4 = 0 D. x ? 2 y + 6 = 0
) C. 4 , 3

5. 设 x,y ∈ R 且 3x 2 + 4 y 2 = 12 ,则 x 2 + y 2 的最大值与最小值分别是(
A. 2 , 3 D. 8,6 B. 4 , 2 3

6. P 是抛物线 y 2 = x 上的点,F 是抛物线的焦点,则点 P 到 F 与 P 到 A ( 3, ? 1) 的距离之和的最小值是


A. 3 D. 7 2


B. 13 4 C. 4

2 2 7. 已 知 圆 C : ( x ? a ) + ( x ? 2) = 4( a > 0)及直线l : x ? y + 3 = 0.当直线l被C截得 的 弦 长 为 2 3

时,则 a=(
A. 2


B. 2 ?

2

C. 2 ? 1

D. 2 + 1

8.(03 全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点 F ( 7 ,0), 直线y = x ? 1与其相交于 M、N 两点,MN

中点的横坐标为 ?

2 , 则此双曲线的方程是( 3



A.

x2 y2 ? =1 3 4 x2 y2 ? =1 5 2

B.

x2 y2 ? =1 4 3

C.

D.

x2 y2 ? =1 2 5

9.(03 江苏)已知长方形四个顶点 A(0,0),B(2,0),C(2,1)和 D(0,1),一质点从 AB 的 中点 P0 沿与 AB 夹角为θ的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和

十一

12

P4(入射角等于反射角).设 P4 的坐标为(x4,0).若 1< x4<2,则 tanθ的取值范围是 ( ) A. ( ,1)

1 3 2 2 D. ( , ) 5 3

B. ( , )

1 2 3 3

C. ( , )

2 1 5 2

10.(03 广东)(双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1 MF2 = 120° ,则双曲线的离心 率为( A. ) B.

3

6 2

C.

6 3

D.

3 3

11. 直线 y = kx ? 1 与抛物线 ( y + 1) 2 = 4( x ? 2) 只有一个公共点,则 k 的值为________。
12. 曲线 C: y = ( x ? 2) 2 关于直线 x + y + 3 = 0 对称的曲线 C' 的方程_________。

13.(03 年上海) 给出问题: F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? = 1 的焦点,点 P 在双曲线上。若点 P 到焦点 F1 16 20

的距离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离 PF2 = ________ 。 某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由 PF1 ? PF2 = 8 ,即 9 ? PF2 = 8 ,得 PF2 = 1 或 17。 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在上面空格内;若不正确,将正确结果填在上 面空格内。

? 14. (03 年上海)在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A( 4, 3) 为 ?OAB 的直角顶点,已知 AB = 2 OA ,
且点 B 的纵坐标大于零。 (1)求向量 AB 的坐标。 (2)求圆 x 2 ? 6 x + y 2 + 2 y = 0 关于直线 OB 对称的圆的方程。 (3)是否存在实数 a ,使抛物线 y = ax 2 ? 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点?若不存在,说明理由; 若存在,求 a 的取值范围。
15. 已知抛物线 C: y = x 2 ? 2 m 2 x ? ( 2 m 2 + 1)( m ∈ R)

(1)求证:抛物线 C 与 x 轴交于一定点 M; (2)若抛物线与 x 轴正半轴交于 N,与 y 轴交于 P,求证:PN 的斜率是一个定值; (3)当 m 为何值时,三角形 PMN 的面积最小,并求此最小值。

十二

12


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