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高考数学(文科)立体几何练习题

时间:2016-05-27


立体几何
1.如图所示,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的 中点,D 为 PB 的中点,且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D-BCM 的体积. (1)证明 由已知,得 MD 是△ABP 的中位线, 所以 MD∥AP. 又 MD?平面 APC,AP?平面 APC, 故 MD∥平面 APC. (2)证明 因为△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, 所以 MD⊥PB.所以 AP⊥PB. 又 AP⊥PC,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC. 因为 BC?平面 PBC,所以 AP⊥BC. 又 BC⊥AC,AC∩AP=A,所以 BC⊥平面 APC. 因为 BC?平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 APC. (3)解 由(2)知,可知 MD⊥平面 PBC, 所以 MD 是三棱锥 D-BCM 的一条高, 又 AB=20,BC=4,△PMB 为正三角形, M,D 分别为 AB,PB 的中点, 经计算可得 MD=5 3,DC=5, 1 S△BCD= ×BC×BD×sin∠CBD 2 1 21 = ×5×4× =2 21. 2 5 1 所以 VD-BCM=VM-DBC= ×S△BCD×MD 3 1 = ×2 21×5 3=10 7. 3 2.如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F, 将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合),使得∠PEB=30° . (1)求证:EF⊥PB; (2)试问:当点 E 在何处时,四棱锥 P—EFCB 的侧面 PEB 的面积最大?并求此时四棱锥 P—EFCB 的体积.

(1)证明 ∵EF∥BC 且 BC⊥AB, ∴EF⊥AB,即 EF⊥BE,EF⊥PE.又 BE∩PE=E, ∴EF⊥平面 PBE,又 PB?平面 PBE,∴EF⊥PB. (2)解 设 BE=x,PE=y,则 x+y=4. 1 ∴S△PEB= BE· PE· sin∠PEB 2 1 1 x+y?2 = xy≤ ? =1. 4 4? 2 ? 当且仅当 x=y=2 时,S△PEB 的面积最大. 此时,BE=PE=2. 由(1)知 EF⊥平面 PBE, ∴平面 PBE⊥平面 EFCB, 在平面 PBE 中,作 PO⊥BE 于 O,则 PO⊥平面 EFCB. 即 PO 为四棱锥 P—EFCB 的高. 1 又 PO=PE· sin 30° =2× =1. 2 1 S 梯形 EFCB= ×(2+4)×2=6. 2 1 ∴VP—BCFE= ×6×1=2. 3 3.如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,P、Q 分别是线段 AB、CD 的中点, EP⊥平面 ABCD. (1)求证:DP⊥平面 EPC; FP (2)问在 EP 上是否存在点 F,使平面 AFD⊥平面 BFC?若存在,求出 的 AP 值;若不存在,说明理由. (1)证明 ∵EP⊥平面 ABCD, ∴EP⊥DP. 又 ABCD 为矩形,AB=2BC,P、Q 分别为 AB、CD 的中点,连接 PQ, 1 则 PQ⊥DC 且 PQ= DC. 2 ∴DP⊥PC. ∵EP∩PC=P,∴DP⊥平面 EPC.

(2)解 假设存在 F 使平面 AFD⊥平面 BFC, ∵AD∥BC,BC?平面 BFC,AD?平面 BFC, ∴AD∥平面 BFC. ∴AD 平行于平面 AFD 与平面 BFC 的交线 l. ∵EP⊥平面 ABCD,∴EP⊥AD,而 AD⊥AB, AB∩EP=P,∴AD⊥平面 EAB,∴l⊥平面 FAB. ∴∠AFB 为平面 AFD 与平面 BFC 所成二面角的平面角. ∵P 是 AB 的中点,且 FP⊥AB, ∴当∠AFB=90° 时,FP=AP. FP ∴当 FP=AP,即 =1 时,平面 AFD⊥平面 BFC. AP 4.(2013· 课标全国Ⅱ)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求三棱锥 C-A1DE 的体积. (1)证明 连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连接 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)解 因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 又因为 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,得∠ACB=90° , CD= 2,A1D= 6,DE= 3,A1E=3, 故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D. 1 1 1 所以 VC-A1DE = ×S△A1ED×CD= × × 6× 3× 2=1. 3 3 2 5.(2013· 辽宁)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是 圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC. 证明 (1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC, 由 PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC.

(2)连接 OG 并延长交 AC 于 M,连接 QM,QO,由 G 为△AOC 的重心, 得 M 为 AC 中点. 由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC, 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM?平面 QMO, MO?平面 QMO,BC∩PC=C, BC?平面 PBC,PC?平面 PBC. 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG?平面 QMO,所以 QG∥平面 PBC. 6.(2014· 四川)在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形.

(1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1; (2)设 D,E 分别是线段 BC,CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥平面 A1MC?请证明你的结论. (1)证明 因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, 所以 AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为 AB∩AC=A,AB?平面 ABC,AC?平面 ABC, 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC?平面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又由已知,AC⊥BC,AA1∩AC=A,AA1?平面 ACC1A1,AC?平面 ACC1A1, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. (2)解 取线段 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,设 O 为 A1C,AC1 的交点. 由题意知,O 为 AC1 的中点.

连接 MD,OE,OM,则 MD,OE 分别为△ABC,△ACC1 的中位线, 1 1 所以 MD 綊 AC,OE 綊 AC, 2 2

因此 MD 綊 OE. 从而四边形 MDEO 为平行四边形,则 DE∥MO. 因为直线 DE?平面 A1MC,MO?平面 A1MC, 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点),使直线 DE∥平面 A1MC.


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