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2018-2019学年高一数学人教A版必修2课件:2.2.3直线与平面平行的性质_图文

时间:2019-03-06

新课标导学

数 学
必修② ·人教A版

第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.3 直线与平面平行的性质

1 2 3

自主预习学案

互动探究学案

课时作业学案

自主预习学案

将一本书打开,扣在桌面上,使书脊所在的直线与桌面平行,观察过书脊

的每页纸和桌面的交线与书脊的位置.

直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一

平行 平面与此平面的交线与该直线__________

图形语言 符号语言 a∥α,a?β,__________ ?a∥b α∩β=b 作用

平行 证明两直线___________

1.直线 a∥平面 α,α 内有 n 条直线交于一点,则这 n 条直线中与直线 a 平 行的直线有 导学号 09024401 ( C A.0 条
[解析] 可能没有.

) C.0 或 1 条 D.无数条

B.1 条

a∥α,在平面α内,n条相交直线中与直线a平行的直可能有1条,也

2.若直线 l∥平面 α,则过 l 作一组平面与 α 相交,记所得的交线分别为 a、 b、c…,那么这些交线的位置关系为 导学号 09024402 ( A ) A.都平行 C.都相交但不一定交于同一点
[ 解析 ]

B.都相交且一定交于同一点 D.都平行或交于同一点

因为直线 l∥ 平面 α ,所以根据直线与平面平行的性质知 l∥a ,

l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥…,故选A.

3.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF∥平面 AB1C,则
2 导学号 09024403 线段 EF 的长度等于____.

[ 解析]

本题考查线面平行.

∵EF∥平面 AB1C,EF?平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 AB1C=AC,∴EF 1 ∥AC.又∵E 是 AD 的中点,∴EF=2AC= 2.

4.如右图所示,已知 AB∥平面 α,AC∥BD,且 AC、BD 与 α 分别相交于 点 C、D.求证:AC=BD. 导学号 09024404

[ 解析]

如右图所示,连接 CD,

∵AC∥BD, ∴AC 与 BD 确定一个平面 β, 又∵AB∥α,AB?β,α∩β=CD, ∴AB∥CD. ∴四边形 ABDC 是平行四边形.∴AC=BD.

互动探究学案

命题方向1 ?线面平行的性质定理
求证: 如果一条直线和两个相交平面都平行, 那么这条直线和它们 的交线平行. 导学号 09024405

[思路分析] 如何将线面平行转化为线线平行是本题关键.

[解析] 已知直线a、l,平面α、β满足α∩β=l,a∥α,a∥β.

求证:a∥l.
证明:如图所示,过a作平面γ交平面α于b, ∵a∥α,∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c, ∵a∥β,∴a∥c.则b∥c. 又∵b?β,c?β,∴b∥β.

又∵b?α,α∩β=l,∴b∥l.
又∵a∥b,∴a∥l.

『规律方法』

(1)已知线面平行,一般直接考虑用性质,利用构造法找或

作出经过直线的平面与已知平面相交得交线. (2)要证线线平行,可把它们转化为线面平行.

〔跟踪练习 1〕如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,N 是 PB 的中点,过 A、N、D 三点的平面交 PC 于点 M,求证:AD ∥MN. 导学号 09024406

[解析] ∵ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,又BC?平面PBC,AD?平面PBC, ∴AD∥平面PBC, 又AD?平面ADMN,平面PBC∩平面ADMN=MN,

∴AD∥MN.

命题方向2 ?直线与平面平行的性质定理的应用
如右图所示的三棱柱 ABC-A1B1C1 中,如何作出过点 A1、B、C1 的平面与平面 ABC 的交线?并说明理由. 导学号 09024407

[思路分析]

要作两平面的交线,只需两平面的两个公共点,而题目中只有

一个公共点B,所以要利用线面平行的性质定理作出来,然后证明.

[ 解析]

在平面 ABC 中,过点 B作直线 l ,使 l∥AC,则 l 即为平面 BA1C1 与平

面ABC的交线.
证明如下: 在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC,AC?平面ABC,A1C1?平面ABC, ∴A1C1∥平面ABC. 又A1C1?平面A1BC1,平面A1BC1∩平面ABC=l,

∴A1C1∥l.
又∵直线l过点B,且l?平面ABC. 根据线面平行的性质定理,l即为所求.

〔跟踪练习 2〕如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,P 为平面 ABC 外一点,E、F 分别是 PA、PC 的中点.记平面 BEF 与平面 ABC 的 交线为 l, 试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系, 并加以证明.导学号 09024408

[解析] 直线l∥平面PAC,证明如下: 因为E、F分别是PA、PC的中点, 所以EF∥AC. 又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,

所以EF∥平面ABC.
而EF?平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l, 所以EF∥l. 因为l?平面PAC,EF?平面PAC, 所以l∥平面PAC.

考虑问题不全面导致漏解
已知 BC∥平面 α,D 在线段 BC 上,A?α,直线 AB,AC,AD 分别 交 α 于点 E,G,F,且 BC=a,AD=b,DF=c,求 EG 的长. 导学号 09024409
[ 错解] 如图,AB∩AC=A,由 AB,AC 确定平面 β,所以 BC?β,α∩β=

EG.因为 BC∥平面 α,所以 BC∥GE. AD AC BC 在△AEG 中, AF =AG=EG, AD BC b a 所以 AF =EG,即 =EG. b+c a?b+c? 所以 EG= b .

[错因分析]
[ 正解]

点A的位置有三种情况:BC在A与α之间;A在BC与α之间;α在

A与BC之间,错解中只考虑了第一种情况.
(1)当 BC 位于点 A 与平面 α 之间时,同错解.

(2)当点 A 在 BC 与平面 α 之间时,如图①,因为 BC∥平面 α, AD BC 同理有 BC∥EG, AF =EG, a?c-b? b a 即 =EG,所以 EG= b . c-b

(3)当点 A 和 BC 位于平面 α 两侧时,如图②. AD BC b a 同理有 BC∥EG, AF =EG,即 =EG, b-c a?b-c? ∴EG= b . a?b+c? a?c-b? a?b-c? 综上所述,EG 的长为 b 或 b 或 b .

[ 警示] 以免漏解.

对空间中点、线、面的位置关系可能出现的各种情况要考虑全面,

〔跟踪练习 3〕 如右图所示, 已知异面直线 AB、 CD 都平行于平面 α, 且 AB、 AM BN CD 在 α 的两侧,若 AC、BD 分别与 α 相交于 M,N 两点,求证:MC=ND. 导学号 09024410

[ 错解]

AM BN 连接 MN.因为 AB∥α,CD∥α,所以 AB∥CD∥MN,所以MC=ND.

[错因分析]

盲目将a∥b,b∥c?a∥c,迁移到线面平行关系中来,错误的

由AB∥α,CD∥α,得出AB∥MN∥CD.

而事实上条件中,AB与CD是“异面直线”.
[ 正解] 如图所示,连接 AD,交平面 α 于点 P,连接 PM、PN. 因为 CD∥α,平面 ACD∩α=PM, AM AP 所以 CD∥PM,所以在△ACD 中,有MC=PD. AP BN AM BN 同理,在△DAB 中,有PD=ND,所以MC=ND.

[警示] (1)平面几何中的有关结论,在空间中未经证明不能随便应用. (2)线面、面面位置关系的一些类比结论,需考虑其正确性,未经证明不可 随便应用.

转化思想在立体几何线线与线面平行中的应用
线线平行与线面平行可以相互转化:线线平行
线面平行的判定 线面平行的性质

线面平行

要证线面平行,可在平面内找(或作)出一条与已知直线平行的直线,作图的 依据是线面平行的性质定理; 已知线面平行,可直接找(或作)出经过已知直线且与已知平面平行的平面, 则两平面的交线与已知直线平行,因此,线面平行的性质定理是解题思考的突破 口.

如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 E,F 分别是棱 CC1,BB1 上 的点,点 M 是线段 AC 上的动点,EC=2FB=2,若 MB∥平面 AEF,试判断点 M 在何位置. 导学号 09024411

[ 思路 分 析 ]

由三棱 柱的性质 知 , BF∥ 平面 ACC1A1 ,平面 BMF 与平面

ACC1A1有一个公共点M,故必有一条与BF平行的交线,则过M在平面ACC1A1内

作.MN∥CE,交AE于点N,则FN为平面BMF与平面AEF的交线,若BM∥平面
AEF,则BM∥FN,从而四边形BMNF应为平行四边形,由EC=2FB=2MN,可 知M必为AC的中点.

[ 解析]

M 为 AC 的中点:

1 证明如下:取 AE 中点 N,则 MN 2CE BF, ∴四边形 BMNF 为平行四边形, ∴BM∥NF. ∵BM?平面 AEF, NF?平面 AEF, ∴BM∥平面 AEF.

〔跟踪练习 4〕如右图所示,P 为□ABCD 所在平面外一点,点 M、N 分别 为 AB、PC 的中点,平面 PAD∩平面 PBC=l. 导学号 09024412

(1)求证:BC∥l; (2)MN 与平面 PAD 是否平行?证明你的结论.

[ 解析]

(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 BC∥AD.又因为 AD?平

面 PAD,BC?平面 PAD,所以 BC∥平面 PAD.又因为平面 PBC∩平面 PAD=l, BC?平面 PBC,所以 BC∥l. (2)MN∥平面 PAD. 证明如下:如右图所示,取 PD 的中点 E,连接 NE、AE,所以 NE∥CD, 1 NE=2CD. 而 CD AB,M 为 AB 的中点,所以 NE∥AM,NE=AM, 所以四边形 MNEA 是平行四边形, 所以 MN∥AE.又 AE?平面 PAD,MN?平面 PAD,所以 MN∥平面 PAD.

1.如图,已知 S 为四边形 ABCD 外一点,G、H 分别为 SB、BD 上的点,若 GH∥平面 SCD,则 导学号 09024413 ( B ) A.GH∥SA C.GH∥SC B.GH∥SD D.以上均有可能

[解析] ∵GH∥平面SCD,GH?平面SBD,

平面SBD∩平面SAD=SD,∴GH∥SD.

2.对于直线 m、n 和平面 α,下面叙述正确的是 导学号 09024414 ( C ) A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α,n 与 α 相交,那么 m、n 是异面直线 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m∥α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n 3.已知异面直线 l、m,且 l∥平面 α,m?平面 α,l?平面 β,α∩β=n,则 相交 直线 m、n 的位置关系是_______. 导学号 09024415

[解析]

由于l∥平面α,l?平面β,α∩β=n,则l∥n.又直线l、m异面,则直

线m、n相交.

4.如右图所示,四边形 ABCD 是矩形,P?平面 ABCD,过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于 E,交 DP 于 F. 导学号 09024416

求证:四边形 BCFE 是梯形.

[解析] ∵四边形ABCD为矩形,
∴BC∥AD, ∵AD?平面PAD,BC?平面PAD, ∴BC∥平面PAD. ∵平面BCFE∩平面PAD=EF,

∴BC∥EF.
∵AD=BC,AD≠EF, ∴BC≠EF,

∴四边形BCFE是梯形.

课时作业学案


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