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2019年高中数学人教版选修1-1习题:第三章3.4生活中的优化问题举例 Word版含答案

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高中数学选修精品教学资料
第三章 导数及其应用
3.4 生活中的优化问题举例

A 级 基础巩固 一、选择题 1.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积 之和的最小值是( A. 3 2 3 cm 2
2

) B.4 cm
2

C.3 2 cm

D.2 3 cm

2

解析:设一个正三角形的边长为 x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm,则这两个正 三角形的面积之和为 S= 答案:D 2.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 元, 若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390)的关系是 R(x)=- 时,每年生产的产品单位数是( A.150 B.200 C.250 ) D.300 3 2 3 3 x + (4-x)2= [(x-2)2+4]≥2 3(cm2). 4 4 2

x3
900

+400x,0≤x≤390,则当总利润最大

解析:由题意可得总利润 P(x)=-

x3
900

+300x-20 000,0≤x≤390,由 P′(x)=0,得 x=

300.当 0≤x<300 时,P′(x)>0; 当 300<x≤390 时,P′(x)<0,所以当 x=300 时,P(x)最大. 答案:D 3.将 8 分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为( A.2 和 6 C.3 和 5 B.4 和 4 D.以上都不对
3 3 3 2

)

解析:设一个数为 x,则另一个数为 8-x,其立方和 y=x +(8-x) =8 -192x+24x 且 0≤x≤8,y′=48x-192.令 y′=0,即 48x-192=0,解得 x=4.当 0≤x<4 时,y′<0;当 4 <x≤8 时,y′>0,所以当 x=4 时,y 取得极小值,也是最小值. 答案:B 4.做一个容积为 256 m 的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为(
3

)

A.6 m

B.8 m

C.4 m

D.2 m
2

解析:设底面边长为 x m,高为 h m.则有 x h=256, 所以 h= 256 2 2 .所用材料的面积设为 S m ,

x

则有 S=4x·h+x =4x· 2x- 256×4

2

256

x

2

+x =

2

256×4

x

+x .S′=

2

x2

,令 S′=0 得 x=8,因此 h=

256 =4(m). 64

答案:C 5.设底面为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面正三角形的边长为 ( ) 3 A. V 3 C. 4V 3 B. 2V 3 D.2 V

1 2 解析:设底面正三角形的边长为 x,侧棱长为 l,则 V= x ·sin 60°·l, 2 所以 l= 4V 3x
2

,所以 S 表=x ·sin 60°+3·x·l=

2

3 2 4 3V 4 3V x+ .令 S′表= 3x- 2 = 2 x x

3 3 3 3 0,得 x= 4V,又当 x∈(0, 4V)时,S′表<0; x∈( 4V,+∞)时,S′表>0,所以 x= 4V时,表面 积最小. 答案:C 二、填空题 6.某商品每件的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件,当 每件商品的定价为________元时,利润最大. 解析:由题意知,利润 S(x)=(x-30)(200-x)=-x +230x-6 000(30≤x≤200),所以
2

S′(x)=-2x+230,令 S′(x)=0,解得 x=115.当 30≤x<115 时,S′(x)>0; 当 115<x≤200
时,S′(x)<0,所以当 x=115 时,利润 S(x)取得极大值,也是最大值. 答案:115 7.已知某矩形广场面积为 4 万平方米,则其周长至少为________米. 解析:设广场的长为 x 米,则宽为 40 000

x

米,于是其周长为 y=2?x+

? ?

40 000? ?(x>0),所以

x

?

y′=2?1-

? ?

40 000?

x2

?, ?

令 y′=0,解得 x=200(x=-200 舍去),这时 y=800. 当 0<x<200 时,y′<0;当 x>200 时,y′>0.所以当 x=200 时,y 取得最小值,故其周

长至少为 800 米. 答案:800 8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底面半径为 ________. 解析:设圆柱的底面半径 R,母线长为 L,则 V=π R L=27π ,所以 L=
2

27

R2

.要使用料最省,

27 54π 2 2 只需使圆柱表面积最小.S 表=π R +2π RL=π R +2π · ,令 S′表=2π R- 2 =0,得 R=

R

R

3,即当 R=3 时,S 表最小. 答案:3 三、解答题 9.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x,y(单位:m)的矩形,上 部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为 8 m ,问 x,y 分别为多少(精确到 0.001)时用料 最少?
2

1 x 解:依题意,有 xy+ · =8, 2 2 8- 所以 y=

2

x2
4

8 x = - (0<x<4 2), x x 4

于是框架用料长度为

l=2x+2y+2·
3 16

2x ?3 ? 16 =? + 2?x+ . 2 x ?2 ?

l′= + 2- 2 . 2 x
3 16 令 l′=0,即 + 2- 2 =0, 2 x 解得 x1=8-4 2,x2=4 2-8(舍去). 当 0<x<8-4 2时,l′<0; 当 8-4 2<x<4 2时,l′>0, 所以,当 x=8-4 2时,l 取得最小值. 此时,x=8-4 2≈2.343,y≈2.828. 即当 x 约为 2.343,y 约为 2.828 时,用料最省.

10. 现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地,已知轮船的最大航行速度为 35 海里/时,A 地到

B 地之间的航行距离约为 500 海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时
的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6),其余费用为每小时 960 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度航行? 解: (1) 依题意得 y = 500

x

(960 + 0.6x ) =

2

480 000

x

+ 300x, 且由题意知函数的定义域为

480 000 (0,35],即 y= +300x(0<x≤35).

x

(2)由(1)得 y′=-

480 000

x2

+300,令 y′=0,解得 x=40 或 x=-40(舍去). 因为函数的

定义域为(0,35],所以函数在定义域内没有极值点.又当 0<x≤35 时,y′<0,所以函数 y= 480 000

x

480 000 +300x 在(0,35]上单调递减,故当 x=35 时,函数 y= +300x 取得最小值.故

x

为了使全程运输成本最小,轮船应以 35 海里/时的速度航行. B 级 能力提升 1. 某公司的盈利 y(元)和时间 x(天)的函数关系是 y=f(x),且 f′(100)=-1,这个数据 说明在第 100 天时( A.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加 C.公司的盈利在逐渐减少 D.公司有时盈利有时亏损 解析:因为 f′(100)=-1,所以函数图象在 x=100 处的切线的斜率为负值,说明公司的 盈利在逐渐减少. 答案:C 2.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存 货物的运费 y2(万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站 10 千米处建仓库,y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处. 解析:依题意可设每月土地占用费 y1= ,每月库存货物的运费 y2=k2x,其中 x 是仓库到 车站的距离,k1,k2 是比例系数. )

k1 x

k1 4 于是由 2= ,得 k1=20;由 8=10k2,得 k2= . 10 5
20 4x 因此,两项费用之和为 y= + (x>0), x 5

y′=- 2 + ,令 y′=0,得 x=5 或 x=-5(舍去). x 5
当 0<x<5 时,y′<0;当 x>5 时,y′>0. 因此,当 x=5 时,y 取得极小值,也是最小值.故当仓库建在离车站 5 千米处时,两项费用 之和最小. 答案:5 3.某公司生产某种产品的固定成本为 20 000 元,每生产 1 吨该产品需增加投入 100 元, 已知总收益满足函数 R(x)= 1 ? ?400 x- x2(0≤x≤400), 2 其中 x 是该产品的月产量(单位:吨). ? ? ?80 000(x>400), (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,该公司所获利润最大?最大利润为多少元? 1 ? ?- x2+300x-20 000(0≤x≤400), 解:(1)f(x)=? 2 ? ?60 000-100x(x>400). (2)当 0≤x≤400 时,f′(x)=-x+300, 当 0≤x<300 时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当 x>300 时,f′(x)<0,f(x)是减函数; 所以 当 x=300 时,f(x)取得极大值,也是最大值,且最大值为 25 000. 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x,易知 f(x)是减函数, 所以 f(x)<60 000-100×400=20 000<25 000, 综上,当 x=300 时,f(x)有最大值 25 000. 即当月产量为 300 吨时,利润最大,最大利润为 25 000 元.

20 4


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