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一道高考题引发的思考

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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 一道高考题引发的思考 作者:梁昌金 来源:《中学生数理化· 高二高三版》2015 年第 01 期 数列求和问题历来是高考的热点、重点、难点。对于求形如{anbn}的数列的前 n 项和 Sn 这类问题,其中{an}是公差为 d(d≠O)的等差数列,{bn}是公比为 q(q≠1)的等比数列,常 规方法自然是错位相减法。是否有其他的方法可以解决这类问题呢?现通过研究 2014 年高考 安徽文科数学第 18 题,探究解决这类问题的思路。 一、解法探讨 例 1 (2014 年高考安徽文科)数列{an}满足“a1=1,nan-1=(n+l)an+(n+1),n∈N*。 下面探讨第二问的求解方法。 (一)常规方法(错位相减法) 没 cn=anbn,其中{an}是公差为 d(d≠0)的等差数列,{bn}是公比为 q(q≠1)的等比数 列,Sn 是数列{cn}的前 n 项和。Ssn=a1bl+a2b2+…+an6bn,qSn=a1b1+a2b3…+an-1bn+anbn1,则(l-q)sn=a1b1 (二)新思路 1(方程法) 设 cn=anbn,其中{an}是公差为 d(d≠0)的等差数列,{6n}是公比为 q(q≠1)的等比数 列,Sn 是数列{cn}的前 n 项和,则 Cn+l=an+1bn-1=(an+d)(qbn)=qcn+dqbn,,故 C2+C3++Cn 十 cn+1=q(c1+c2+…+cn)+dq(b1+b2+…+6n),从而 Sn+cn+1-c1=qSn 解法 2:同解法 1,可得 bn=n· 3n。 点评:从求解过程看,计算量确实减少了许多,出错的可能性大大降低,而且这种方法易 于掌握,具有普适性、创新性。 (三)新思路 2(分组求和法) 设 cn=aanbn,其中{an}是公差为 d(d≠O)的等差数列,{bn}是公比为 q(q≠1)的等比数 列,sn 是数列{cn}的前 n 项和。由 an+1bn1=(a+d)(bnq)=qanb+dqbn,得 anbn-an+lbn+1= (l-q)anbn-dqbn,则 c=anbn,这样,数列{cn}就拆成了两部分,前一部分可以用“裂项相消 法”求和,后一部分是一个等比数列。 解法 3:同解法 1,可得 bn=n· 3n。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 点评:求解过程显得很简洁。 (四)新思路 3(裂项相消法)点评:应用此法求解的关键在于裂项。 (五)新思路 4(待定系数法) 二、拓展应用 如果{an}不是等差数列,而是关于你的多项式形式,{bn}是公比为 q(q≠1)的等比数 列,那么数列{anbn}的前 n 项和 Sn 又该如何求解呢? 例 2 (安徽省合肥市 2013 届高三第三次教学质量检测文科第 21 题)已知正项等差数列 {an},其前咒项和为 S。,满足 2Sn=-an· an+1。 (1)求数列{an}的通项公式。这样的变形显得太突然,而且对考生的变形能力要求较 高。本文中给出的解法就显得较自然,有规律可循。 三、考题链接 “等差乘等比型”数列的求和问题在近几年高考中频繁出现,现再给出三例,供有兴趣的读 者研究。 1.(2014 年高考新课标版 1 文科数学第 17 题)已知{an}是递增的等差数列,a2、a4 是方 程 x? -5x+6=0 的根。 (1)求{an}的通项公式。 2.(2014 年高考江西理科数学第 17 题)已知首项都是 1 的两个数列{an}、{bn}{bn≠0,

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