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2011北约自主招生数学题及解答

时间:2012-12-10


2011 北约自主招生数学题及解答 ?1、已知平行四边形的其中两条边长分别是 3 和 5,一条对角线长是 6,求另一条对角线的 长。 解:由对角线的平方和等于四边的平方和:所以 36+x 2 =2(9+25),x 2 =32,∴x=4 2。 ?2 求过抛物线y =2x 2 ? 2x ? 1,y = ?5x2 + 2x + 3交点的直线方程。 解: y = 2x2 ? 2x ? 1 5y = 10x 2 ? 10x ? 5 , ,7y=?6x+1,∴6x+7y?1=0 为所求。 y = ?5x2 + 2x + 3 2y = ?10x2 + 4x + 6

?3、等差数列a1 , a2 , ?满足a3 =?13,a7 = 3,这个数列的前 n 项和为Sn ,数列S1 , S2 , ?中哪 一项最小,并求出这个最小值。 解: d=
a 7 ?a 3 7?3

=

16 4

= 4, 1 = ?21,Sn = 2n2 ? 23n, n= 4 , n=6 时Sn 最小, ∴a 当 即 最小为?66。
(a+b)2 ?2ab ?c 2 2ab (a+b)2 ?c 2
(a +b )2 2

23

?4、?ABC 的三边 a,b,c 满足 a+b≥2c,A,B,C 为?ABC 的内角,求证:C≤60°。 解:ab≤(
a+b 2 a 2 +b 2 ?c 2 ) ,cosC= 2ab 2

=



? 1 = 1 ? (a+b)2 ≥ 1 ? 4c 2 = 2,

2c 2

2c 2

1

所以 C≤60°。 ? 5、是否存在四个正实数,它们的两两乘积分别是 2,3,5,6,10,16? 解:设存在四个正实数分别为 a<b<c<d,依题意:ab=2,ac=3,ad=5,bc=6,bd=10,cd=16, ∴a2 bc = 6,∴ a=1,b=2,c=3,d=5,而 cd=15≠16,故不存在。 或解:∵abcd=32,而(abcd)3 = 1800 × 16,不满足,故不存在。 ?6、C1 和C2 是平面上两个不重合的固定圆,C 是该平面上的一个动圆,C 和C1 ,C2 都相切, 则 C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由。 解:设两定圆⊙C1 , ⊙ C2 的半径分别为r1 , r2 ,动圆 C 的半径为 R。 ⑴当r1 = r2 ①⊙ C1 与 ⊙ C2 相交时 a).⊙C 与它两都外切,轨迹是线段C1 C2 的垂直平分线去掉两圆的公共弦; b).⊙C 与它两都内切,轨迹是线段C1 C2 的垂直平分线; c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,|CC1 |=r1 ?R,|CC2 |=r2 +R,|CC1 |+|CC2 |=r1 + r2 , 轨迹是以C1 、C2 为焦点的椭圆。 ②⊙ O1 与 ⊙ O2 外切时 a).⊙C 与它两都外切,轨迹是线段C1 C2 的垂直平分线去掉两圆的切点; b).⊙C 与它两都内切,轨迹是线段C1 C2 的垂直平分线; c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是直线C1 C2 ,去掉C1 、C2 和两圆的切点。 ③⊙ O1 与 ⊙ O2 相离时 a).⊙C 与它两都外切,轨迹是线段C1 C2 的垂直平分线; b).⊙C 与它两都内切,轨迹是线段C1 C2 的垂直平分线; c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,|CC1 |?r1 =|CC2 |+r2 ,||CC1 |?|CC2 ||=r1 + r2 , 轨迹是以C1 、C2 为焦点的双曲线。 ⑵当r1 ≠ r2 ,不妨设r1 < r2 ①⊙ C1 与 ⊙ C2 相交时 a).⊙C 与它两都外切, 1 |?r1 =|CC2 |?r2 , |CC 轨迹是以C1 、C2 为焦点的双曲线中(对应焦点C1 ) 的一支,去掉两圆公共区域的部分; b).⊙C 与它两都内切,|CC1 |+r1 =|CC2 |+r2 ,或r1 ?|CC1 |=r2 ?|CC2 |轨迹是以C1 、C2 为焦点 的双曲线中(对应焦点C2 )的一支; c).⊙C 与两圆一个内切, 一个外切时, 1 |?r1 =r2 ?|CC2 |, |CC 轨迹是以C1 、C2 为焦点的椭圆。

②⊙ O1 与 ⊙ O2 外切时 a).⊙C 与它两都外切, 1 |?r1 =|CC2 |?r2 , |CC 轨迹是以C1 、C2 为焦点的双曲线中(对应焦点C1 ) 的一支,去掉两圆的切点; b).⊙C 与它两都内切|CC1 |+r1 =|CC2 |+r2 ,轨迹是以C1 、C2 为焦点的双曲线中(对应焦点C2 ) 的一支; c).⊙C 与两圆一个内切, 一个外切时, 1 |?r1 =r2 ?|CC2 |, |CC 轨迹是直线C1 C2 , 去掉C1 、C2 和 两圆切点。 ③⊙ O1 与 ⊙ O2 相离时 a).⊙C 与它两都外切, 1 |?r1 =|CC2 |?r2 , |CC 轨迹是以C1 、C2 为焦点的双曲线中(对应焦点C1 ) 的一支; b).⊙C 与它两都内切, 1 |+r1 =|CC2 |+r2 , |CC 轨迹是以C1 、C2 为焦点的双曲线中(对应焦点C2 ) 的一支; c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,|CC1 |?r1 =r2 ?|CC2 |,轨迹是以C1 、C2 为焦点的双曲 线。 ④⊙ O1 与 ⊙ O2 内切时 a).⊙C 与它两都外切,轨迹是射线C2 C1 在两圆切点以外部分; b).⊙C 与它两都内切,轨迹是以两圆切点为端点,方向是C1 C2 ,去掉C1 、C2 和两圆切点的射 线。 c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是以C1 、C2 为焦点的椭圆,去掉两圆的切点。 ⑤⊙ O1 与 ⊙ O2 内含时 a).⊙C 与它两都内切,轨迹是以C1 、C2 为焦点的椭圆; b).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是以C1 、C2 为焦点的椭圆。 ?7、求 f(x)= x ? 1 + 2x ? 1 + ? + |2011x ? 1|的最小值。 解:f(x)=|x ? 1|+|x ? 2|+|x ? 2|+|x ? 3|+|x ? 3|+|x ? 3|+ ? +|x ? 2011 |+|x ? 2011 |+ ? +|x ?
1 2011 1 1 1 1 1 1 1

|,一共有 1+2+3+ ? +2011=1006×2011 个绝对值,则是偶数个,故中间第
1

503×2011 个和第 503×2011+1 个之间取得最小值;设第 503×2011 个绝对值是|x ? |,
n

∴1+2+3+ ? + n =

n(n+1) 2

≤ 503 × 2011, ∴n(n+1)≤1006×2011=2023066, 2023066 ≈ 1422, ∵

∵1422×1423=2023506,∴取 n=1421。∴第 503×2011 个和第 503×2011+1 个绝对值是 |x ? 1422 |,∴fmin x = f =
1 1422 1 1 1422

=|1422 ? 1|+|1422 ? 1|+|1422 ? 1|+?+|1422 ? 1|
1 1422

1

2

3

2011

(|1 ? 1422|+|2?1422|+|3?1422|+?+|2011?1422|)=
1 1422×1421 2

(1421+1420+1419+?
592043 711

+1+0+1+2+3+?+589)= 1422 (

+

590×589 2

)= 1422 (1010331+173755)=

1




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