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泰州市2008~2009学年度第二学期期末联考高二数学试卷及答案(理科)

时间:2010-06-29


泰州市 2008~2009 学年度第二学期期末联考 ~

高二数学试题(理科)
(考试时间:120 分钟
命题人: 审题人: 张乃贵(兴化周庄高中) 吴卫东(省泰兴中学) 吴明德(泰兴一高)

总分 160 分)
钱德平(姜堰二中)
n

石志群(泰州市教育局教研室)

参考公式: y 参考公式:线性回归方程系数公式: = bx + a ,其中 b =

∑ ( x x)( y y)
i =1 i i

∑ ( x x)
i =1 k n i
k

n

, a = y bx .

2

概率公式: P ( AB ) = P ( A) P ( B ) , P ( X = k ) = C p (1 p )

nk

.

注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 填空题: (本大题共 小题, 一,填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 ( 答题线上. 答题线上. ) 1.极坐标系中,点 (2,

π

) 到点 (2, ) 的距离是 6 6

π



.

2.椭圆的参数方程是

x = 5cos θ ( θ 为参数) ,则它的离心率为 y = 3sin θ



.

3.某科研机构为了研究中年人高血压与心脏病是否有关,随机调查了一些中年人的情况,具 体数据如下表: 患高血压 根据表中数据可以求得 不患高血压 心脏病 184 91 无心脏病 61 9

χ2 =

345 × (184 × 9 61× 91)2 ≈ 11.098 ,因为 P ( χ 2 ≥ 10.828) 275 × 70 × 245 × 100
▲ 的把握认为:中年人高血压与心脏病有关.
2

≈ 0.001 ,所以有

4. (2 x + 1) 6 的展开式中含 x 的项为 5.用 0,1, 2,3 这四个数字能组成 6.某单位为了了解 温 x C 之间的关系, 天的用电量与当天
0



.



个没有重复数字的四位数. 1 4 2 2 1 2 2 6 用电量 y 度与气 8 3 4 6 3 8 随机统计了某 4 气温.

气温(0C) 用电量(度)

由表中数据得线性回归方程 = bx + a 中 b = 2 ,据此预测当气温为 5 C 时,用电量的度数 y
0

约为



. ▲ .

7.已知复数 z 满足 z 1 i = 1 ,则 z 的最小值是

8.一种报警器的可靠性为 90 %,那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到 ▲ .
2 2 3

9.已知 Cn +1 Cn = Cn ,则 n 的值为



.

10.定义在实数集 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) f ( x + 2 ) = 6 ,若 f (1) = 2 ,则 f (2009) 的 值为 ▲ .

11.在平面直角坐标系中,ABC 的顶点 A , B 分别是离心率为 e 的圆锥曲线

x2 y 2 + = 1的 m n

焦 点 , 顶 点 C 在 该 曲 线 上 . 一 同 学 已 正 确 地 推 得 : 当 m>n>0 时 , 有

e (sin A + sin B) = sin C .类似地,当 m > 0 , n < 0 时,有 e (



) = sin C .

12.连续 3 次抛掷一枚质地均匀的硬币,在至少有一次出现正面向上的条件下,恰有一次出 现反面向上的概率为 ▲ .

13.已知 n 是给定的正整数,整数 x , y 满足不等式 x + y ≤ n ,则整数对 ( x, y ) 的个数为 ▲ .

14.一袋中装有 4n 只红球和 n 只黑球(所有球的形状,大小都相同) ,每一次从袋中摸出两 只球,且每次摸球后均放回袋中. 现规定:摸出的两只球颜色不同则为中奖.设三次摸球恰 有一次中奖的概率为 P ,则当 n = ▲ 时,使得 P 最大.

(本大题共 小题,共 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 二,解答题: 本大题共 6 小题 共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: ( 解答应写出文字说 证明过程或演算步骤 ) 15. (本题满分 14 分)已知复数 z 满足 ( z 2)i = a + i ( a ∈ R ) . (1)求复数 z ; (2) a 为何值时,复数 z 2 对应点在第一象限错误!未找 错误! 错误 到引用源. . 到引用源. 16. (本题满分 14 分)在直角坐标系中以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 且在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆 C 的圆心的极坐标 C (1,

π
2

) , r = 1, l 的 半径 直线

x = 1+ 参数方程为 y = 2+

2 t 2 ( t 为参数) . 2 t 2

(1)求圆的极坐标方程,并将极坐标方程化成直角坐标方程; (2)将直线 l 的参数方程化为普通方程,并判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 17. (本小题满分 14 分)某游乐场举办"迎国庆"有奖射击活动,规定参与者每人射击三次, 三次全中,奖励价值 8 元的小礼品;中两次且连中,奖励价值 6 元的小礼品;中两次但不连 中,奖励价值 4 元的小礼品;只中一次,奖励价值 2 元的小礼品;不中的则没有奖品.设某人 射击一次中靶的概率为

1 ,用 X 表示获得奖品的金额数. 2

(1)求 X 的概率分布表; (2)求 E ( X ) . 18. (本小题满分16分)已知 f ( x ) = log 2

1 x (1 < x < 1) . 1+ x

(1)若 f ( a ) + f (b) = 0 ,求证: a + b = 0 ; (2)设 f ( ) + f ( ) = f ( x0 ) ,求 x0 的值; (3)设 x1 , x2 ∈ ( 1,1) ,是否存在 x3 ∈ ( 1,1) ,使得 f ( x1 ) + f ( x2 ) = f ( x3 ) ,若存在, 求出 x3 ,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 19. (本小题满分 16 分)已知数列 {an } 的首项为 1 ,
1 k n f (n) = a1Cn + a2Cn2 + + ak Cn + + anCn (n ∈ N + ) .

1 2

1 3

(1)若 {an } 为常数列,求 f (4) 的值; (2)若 {an } 为公比为 2 的等比数列,求 f ( n) 的解析式; (3)数列 {an } 能否成等差数列,使得 f ( n) 1 = ( n 1)2n 对一切 n ∈ N + 都成立.若能,求 出数列 {an } 的通项公式;若不能,试说明理由.

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) = 2 x 2 x + x +
3 2

1 . 2

(1)求证: f ( x ) 在 R 上是增函数; (2)设 a1 = 0 , an +1 =

1 1 1 f (an ) (n ∈ N + ) , b1 = , bn +1 = f (bn ) (n ∈ N + ) . 2 2 2 1 (n > 1, n ∈ N ) ; 2

①用数学归纳法证明: 0 < an < bn < ②证明: bn +1 an +1 <

bn an (n ∈ N ) . 2

泰州市 2008~2009 学年度第二学期期末联考 ~

高二数学试题(理科)参考答案
1. 2 ; 2.

4 2 ;3. 99.9% ;4. 60 x ;5. 18 ;6. 40 ; 7. 5

2 1 ;8. 99% (填 0.99 也

可 ) ;9. 4 ;10. 2 ; 11. sin A sin B ;12. 15.解: (1)由已知得 z 2 =
2 2

3 2 ; 13. 2n + 2n + 1 ; 14. 5 . 7

a+i = 1 ai ,∴ z = 3 ai .………………7 分 i

(2)由(1)得 z = 9 a 6ai ,………………9 分

9 a 2 > 0 又复数 z 对应点在第一象限,∴ ,………………12 分 6 a > 0
2

解得 3 < a < 0 错误!未找到引用源. 错误!未找到引用源. .………………14 分 16.解: (1)设圆上任意一点为 M ( ρ , θ ) , A(2,

π

2

) .在 Rt OMA 中, OA = 2 ,由

MO = MA sin θ 得 ρ = 2 sin θ .………………4 分
化为直角坐标方程 x 2 + ( y 1) 2 = 1 .(或 x 2 + y 2 2 y = 0 .)………………7 分 (2)直线 l 的普通方程 x y + 1 = 0 .………………11 分 直线与圆相交.………………14 分 (用 法,比较点到直线的距离与半径的大小,或发现直线过圆心,同样给分) 17.解: (1)由题意知,随机变量 X 的取值为 8, 6, 4, 2, 0 .………………1 分

1 1 P ( X = 8) = ( )3 = ; 2 8 1 2 1 1 P ( X = 6) = 2 × ( ) × (1 ) ; = 2 2 4 1 1 1 P ( X = 4) = ( ) 2 × 1 ) ; ( = 2 2 8 1 1 2 3 1 P ( X = 2) = C3 × × 1 ) = ; ( 2 2 8 1 1 P ( X = 0) = (1 )3 = .………………11 分 2 8
故 X 的概率分布表为

P X

8

6

4 1 8

2 3 8

0 1 8

1 8

1 4

………………12 分 (2) E ( X ) = 8 ×

1 1 1 3 1 15 + 6 × + 4 × + 2 × + 0 × = .………………14 分 8 4 8 8 8 4 1 a 1 b 1 a 1 b 18. (1)证明:由 f ( a ) + f (b) = 0 得 lg + lg = 0 ,∴ lg( )=0 1+ a 1+ b 1+ a 1+ b 1 a 1 b ∴ = 1 ,∴ (1 a )(1 b) = (1 + a )(1 + b) ,化简得 a + b = 0 .…………4 分 1+ a 1+ b 1 1 1 1 1 x0 1 1 1 1 2 = lg , ( 2 ) 解 : f ( ) = lg f ( ) = lg 3 = lg , f ( x0 ) = lg , 1 1 2 3 3 2 1 + x0 1+ 1+ 2 3 1 1 1 f ( ) + f ( ) = lg 2 3 6

由 f ( ) + f ( ) = f ( x0 ) 得 lg

1 2

1 3

1 x0 1 5 = lg ,解得 x0 = .………………8 分 1 + x0 6 7

(3)解:假设存在 x3 ∈ ( 1,1) 使得 f ( x1 ) + f ( x2 ) = f ( x3 ) ,………………9 分 ∵ f ( x1 ) = lg

1 x1 1 x2 , f ( x2 ) = lg , 1 + x1 1 + x2

∴ lg(

1 x3 1 x1 1 x2 x + x2 ) = lg ,解得 x3 = 1 ,………………12 分 1 + x1 1 + x2 1 + x3 1 + x1 x2

下证 1 <

x1 + x2 < 1, 1 + x1 x2 x1 + x2 < 1 ,∵ x1 , x2 ∈ (1,1) ,∴ 1 + x1 x2 > 0 . 1 + x1 x2

先用分析法证明

要证明

x1 + x2 < 1 ,即要证 x1 + x2 < 1 + x1 x2 ,即要证 (1 x1 )(1 x2 ) > 0 , 1 + x1 x2

∵ 1 < x1 < 1, 1 < x2 < 1 ,∴1 + x1 > 0,1 + x2 > 0 ,∴ (1 x1 )(1 x2 ) > 0 ,
同理可证 1 < 所以存在 x3 =

x1 + x2 ,………………15 分 1 + x1 x2 x1 + x2 ∈ (1,1) ,使得 f ( x1 ) + f ( x2 ) = f ( x3 ) .………………16 分 1 + x1 x2
1 2 3 4

19.解:(1)∵ {an } 为常数列,∴ an = 1 ( n ∈ N + ) .∴ f (4) = C4 + C4 + C4 + C4 = 15 . ………………4 分 (2)∵ {an } 为公比为 2 的等比数列,∴ an = 2 ∴ f ( n) = Cn + 2Cn + 4Cn + + 2
1 2 3 n n n 1 n 1

(n ∈ N + ) .………………6 分

1 2 3 n Cnn ,∴ 1 + 2 f (n) = 1 + 2Cn + 22 Cn + 23 Cn + + 2 n Cn

3n 1 (1 + 2) = 3 ,故 f (n) = .………………10 分 2
(3)假设数列 {an } 能为等差数列,使得 f ( n) 1 = ( n 1)2n 对一切 n ∈ N + 都成立, 设公差为 d ,则 f ( n) = a1Cn + a2Cn + + ak Cn + + an 1Cn
1 2 k n 1

+ an Cnn ,

且 f ( n) = an Cn + an 1Cn
n

n 1

2 1 + + ak Cnk + + a2Cn + a1Cn ,………………12 分 1 2 k n 1

相加得 2 f ( n) = 2an + ( a1 + an 1 )(Cn + Cn + + Cn + + Cn ) , ∴ f ( n ) = an +

a1 + an 1 1 (Cn + Cn2 + + Cnk + + Cnn 1 ) 2

= an +

a1 + an 1 n (2 2) = 1 + (n 1)d + [ 2 + (n 2)d ] (2n 1 1) . 2
n 1

∴ f ( n) 1 = (d 2) + [ 2 + ( n 2) d ] 2

= (n 1)2n 恒成立,

即 ( d 2) + ( d 2)( n + 2)2

n 1

= 0 n ∈ N + 恒成立,∴ d = 2 .………………15 分
n

故 {an } 能为等差数列,使得 f ( n) 1 = ( n 1)2 对一切 n ∈ N + 都成立,它的通项公式为

an = 2n 1 .………………16 分
(其它方法相应给分) 20.证明: (1) f ′( x ) = 6 x 4 x + 1 = 6( x ) +
2 2

1 3

1 > 0 ,∴ f ( x) 在 R 上是增函数. 3

………………4 分 (2)①用数学归纳法证明.

10 当 n = 2 时,a2 =

1 1 1 1 1 1 3 1 f (a1 ) = f (0) = ,b2 = f (b1 ) = f ( ) = , 0 < a2 < b2 < , ∴ 2 2 4 2 2 2 8 2 1 . 2

不等式成立. ……………6 分

20 假设 n = k (k > 1, k ∈ N ) 时不等式成立,即 0 < ak < bk < 1 2

∵ f ( x ) 在 R 上是增函数,∴ f (0) < f ( ak ) < f (bk ) < f ( ) ,故

1 1 1 1 3 1 = f (0) < ak +1 < bk +1 < f ( ) = , 0 < ak +1 < bk +1 < , n = k + 1 时不等式也成立. 即 ∴ 4 2 2 2 8 2
由 1 , 2 得不等式 0 < an < bn <
0 0

1 对一切 n > 1, n ∈ N 都成立. ……………10 分 2

②由①知 0 < an < bn <
3 bn bn2 +

1 ,∴ 0 < an + bn < 1 . 2

b an +1 ∴ n +1 = bn an

bn a b a 3 2 3 3 2 2 (an an + n ) bn an (bn an ) + ( n n ) 2 2 = 2 2 bn an bn an

2 2 = (bn + an bn + an ) (bn + an ) +

1 2

……………13 分

< (an + bn ) 2 (an + bn ) +

1 1 1 = (an + bn )(an + bn 1) + < .……………16 分 2 2 2


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