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【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:8-3空间点、直线、平面之间的位置关系

时间:2015-04-08


时间:45 分钟 班级:________ 姓名:________

满分:100 分 学号:________ 得分:________

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,在下列四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

1.(2014· 衡水调研)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BD1, BC1 的中点,则以下结论中不成立的是( A.EF 与 AB 平行 B.EF 与 AD 垂直 C.EF 与 DD1 异面 D.EF 与 AC 平行 解析:由题可知 EF 为△BC1D1 的中位线,则 EF∥C1D1,由正方体的有关性 质可知 A,B,C 正确,D 错误. 答案:D 2.(2014· 安徽皖南八校第二次联考)若异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内, 且 α∩β=l,则直线 l( ) )

A.与直线 a,b 都相交 B.至少与 a,b 中的一条相交 C.至多与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 中的一条相交,另一条平行 解析:若 a∥l,b∥l,则 a∥b,故 a,b 中至少有一条与 l 相交,选 B. 答案:B

3.(2014· 北京西城抽样测试)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过顶点 A1 与正 方体其他顶点的连线与直线 BC1 成 60° 角的条数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:有 2 条 A1B 和 A1C1,故选 B. 答案:B 4.(2014· 广东六校联考)如图是正方体或四面体,P、Q、R、S 分别是所在 棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )

解析:A 中 PS∥QR.故共面;C 中四边形 PQRS 是平行四边形,故共面;B 中 PS 与 QR 相交,故共面,选 D. 答案:D 5.(2014· 山东青岛质检)在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB1, BC1 的中点,则以下结论中不成立的是( A.EF 与 BB1 垂直 C.EF 与 CD 异面 )

B.EF 与 BD 垂直 D.EF 与 A1C1 异面

解析:如图,连接 B1C,得 EF∥AC,AC⊥BB1,故 A 正确;同理 B 正确; EF∥A1C1,故 D 不正确,选 D.

答案:D 6.(2014· 十堰二模)一个正方体的展开图如图所示,B、C、D 为原正方体的 顶点,A 为原正方体一条棱的中点.在原来的正方体中,CD 与 AB 所成角的余

弦值为(

)

5 A. 10 5 C. 5

10 B. 5 10 D. 10

解析:还原为正方体如图所示,BE∥CD,则∠EBA 就是异面直线 CD 与 AB 所成的角或所成角的补角.设正方体棱长为 2,则 BE=2 2,BA= 5,AE=3. 所以在△ABE 中,由余弦定理得 cos∠EBA= 8+5-9 10 = 10 ,选 D. 4 10

答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后 的横线上) 7.(2014· 天津十二区县重点中学第一次联考)在空间四边形 ABCD 中,各边 边长均为 1,若 BD=1,则 AC 的取值范围是________.

3 解析:取 BD 的中点,连接 AO,CO,则 AO=CO= 2 ,由三角形的三边关 系定理知 0<AC< 3. 答案:0<AC< 3

8. (2014· 乌鲁木齐地区高三第一次测验)如图所示, 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 AC 的中点,AA1∶AB= 2∶1,则异面直线 AB1 与 BD 所成的角为 ________.

解析:取 A1C1 的中点 D1,连接 B1D1,AD1,易证 B1D1∥BD.故∠AB1D1 就 是异面直线 AB1 与 BD 所成的角或所成角的补角,设 AB=2 2,则 AA1=4,AB1 =2 6,B1D1= 6,AD1=3 2,在△AB1D1 中,由余弦定理得 24+6-18 1 cos∠AB1D1= =2, 24 ∴∠AB1D1=60° . 答案:60°

9.(2014· 湛江二模)如图所示,在三棱锥 C-ABD 中,E、F 分别是 AC 和 BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角是________. 解析:取 CB 的中点 G,连结 EG、FG,

∴EG∥AB,FG∥CD, ∴EF 与 CD 所成的角即为∠EFG. 又∵EF⊥AB, ∴EF⊥EG. 在 Rt△EFG 中, 1 EG=2AB=1,

1 FG=2CD=2, 1 ∴sin∠EFG=2, ∴∠EFG=30° ,∴EF 与 CD 所成的角为 30° . 答案:30° 10.(2014· 黑龙江部分重点中学联考)已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是 一个平面,则 a、b 在 α 上的射影可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的 直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.则在上面的结论中,正确结论的 编号是________(写出所有正确结论的编号). 解析:①、②、④对应的情况如下:

用反证法证明③不可能. 答案:①②④ 三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,11、12 题各 13 分,13 题 14 分, 写出证明过程或推演步骤)

11.(2014· 安徽江南十校素质测试)如图所示,O1 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的上底面 A1B1C1D1 的中心,M 是对角线 A1C 和截面 B1D1A 的交点. 求证:O1、M、A 三点共线. 证明:∵A1C1∩B1D1=O1, B1D1?平面 B1D1A, A1C1?平面 AA1C1C,

∴O1∈平面 B1D1A,O1∈平面 AA1C1C. ∵A1C∩平面 B1D1A=M, A1C?平面 AA1C1C, ∴M∈平面 B1D1A,M∈平面 AA1C1C. 又 A∈平面 B1D1A,A∈平面 AA1C1C, ∴O1、M、A 在平面 B1D1A 和平面 AA1C1C 的交线上, 由公理 3 可知 O1、M、A 三点共线.

12.(2014· 长沙模考(一))在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 CD 的中点, 连接 AE 并延长与 BC 的延长线交于点 F, 连接 BE 并延长交 AD 的延长线于点 G, 连接 FG. 求证:直线 FG?平面 ABCD 且直线 FG∥直线 A1B1. 证明:∵E 是 CD 的中点,A∈平面 ABCD,E∈平面 ABCD, ∴AE?平面 ABCD. 又 AE∩BC=F,所以 F∈AE, 从而 F∈平面 ABCD. 同理 G∈平面 ABCD, 所以 FG?平面 ABCD. 1 由已知得 EC 綊2AB, 故在 Rt△FBA 中 ,CF=BC, 同理 DG=AD. 又在正方形 ABCD 中,BC 綊 AD, 所以 CF 綊 DG, 所以四边形 CFGD 是平行四边形, 所以 FG∥CD. 又 CD∥AB,AB∥A1B1,

所以直线 FG∥直线 A1B1.

13.(基础题)空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° , E、F 分别是 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小. 解:取 AC 的中点 G,连结 EG、FG, 则 EG∥AB,GF∥CD,

且由 AB=CD 知 EG=FG, ∴∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角,∠EGF 或它的补角为 AB 与 CD 所成的角. ∵AB 与 CD 所成的角为 30° , ∴∠EGF=30° 或 150° . 由 EG=FG 知△EFG 为等腰三角形, 当∠EGF=30° 时,∠GEF=75° ; 当∠EGF=150° 时,∠GEF=15° . 故 EF 与 AB 所成的角为 15° 或 75° .


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