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《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学设计说明

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《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学设计说明

湖北省黄冈市浠水实验高级中学 周少雄 1.内容和内容解析 《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教 A 版选修 2-3 第 1 章第 3 节第 2 课时.教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来,是因为“杨 辉三角”蕴含了丰富的内容,由它可以直观看出二项式系数的性质,“杨辉三角”是我国古代 数学重要成就之一,显示了我国古代人民的卓越智慧和才能,应抓住这一题材,对学生进行 爱国主义教育,激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础, 由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数, 引导学生从函数的角度研究二项式系数 的性质,便于建立知识的前后联系,使学生体会用函数知识研究问题的方法,可以画出它的 图象,利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考,这对发现规律,形 成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力; 也有利于学生理解数学知识,培养其数学应用意识. 研究二项式系数这组特定的组合数的性质, 对巩固二项式定理, 建立相关知识之间的联 系,进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用,对后续学习微分方程等 也具有重要地位. 根据以上对教材及学情的分析,特制定教学重点如下: 体会用函数知识研究问题的方法,理解二项式系数的性质. 2.教学目标分析 “杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一,蕴含了丰富的内容,显示了我国古代人民 的卓越智慧和才能, 了解我国古代数学成就之一的“杨辉三角”包含的规律, 结合“杨辉三角”, 运用函数的知识深化对二项式系数性质的理解,联系函数图象和性质、赋值法、两个计数原 理等知识探究证明二项式系数的性质,体会用函数知识研究问题的方法,体验数形结合、特 殊到一般进行归纳等数学思想的渗透和运用,体现教师引导、学生探究的教学方式,培养学 生问题意识,提高数学思维能力,培育学生理性精神. 根据以上分析特制定教学目标如下: 1.通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活 动,让学生感受我国古代数学成就及其数学美,激发学生的民族自豪感. 2.通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质,建立知识的前后联系,体会用函数 知识研究问题的方法,培养学生的观察能力和归纳推理能力.

3.通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程,使学生掌握二 项式系数的一些性质,体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方 法解决问题的“再创造”过程. 4.通过恰时恰点的问题引入、引申,采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延 伸探究的学习方式,培养学生问题意识,提高学生思维能力,孕育学生创新精神,激发学生 探索、研究我国古代数学的热情. 3.教学问题诊断分析 教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来, 不仅是因为“杨辉三角”是我国 古代数学重要成就之一,蕴含了丰富的内容,显示了我国古代人民的卓越智慧和才能,对学 生进行爱国主义教育,激励学生的民族自豪感,而且“杨辉三角”与二项式系数的性质紧密相 联, 由它可以直观的看出二项式系数的性质, 同时课程体系在本节课后编排了关于探究与发 现“杨辉三角”中的奥妙的阅读材料,为了凸现数学史教学,更好的掌握本节知识,促进学生 发展,在高中学生学习的各个领域渗透研究性学习,因此对教材内容进行了精心加工,合理 调整,课前开展了探究与发现“杨辉三角”的一些规律的学习活动,课上进行展示. 学生不难发现和概括二项式系数的对称性和增减性与最大值, 如何证明呢?这就需要适 当引导学生联系函数知识,画出 和 7 的函数图象,讨论函数的性质,让学生经历再发

现、再提炼、深入探究的学习过程,培育理性思维.在证明各二项式系数的和的过程中,教 材中运用赋值法,求证很简略,但是让学生记住这个结论并不难,难的是在这个学习过程中 如何遵循学生的认知规律,提高学生的思维能力?基于此,让学生自己归纳、猜想各二项式 系数的和,运用多种方法予以求证,如: (1)利用赋值法:在 中,令 可得;

(2)利用模型化思想:引入 元集合子集的个数的问题,利用分类计数原理和分步计 数原理进行说明,很好的解决了上面的问题. 根据以上分析,制定教学难点如下: (1)结合函数图象,理解二项式系数的增减性与最大值时,根据 n 的奇偶性确定相应 的分界点; (2)利用赋值法证明二项式系数的性质. 4、教法特点及预期效果分析 数学是思维的科学,数学学习不是简单的“告诉”,而应是学生个性化的“体验”.

在本节课的学习中,采用问题引导、合作探究的教学方法,设计六大教学环节:展示 成果话杨辉、感知规律悟性质、联系旧知探新知、合作交流议方法、反馈升华拨思路、悬念 小结再求索.倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流,为学生开展数学体验,丰富 学习方式,形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利的条件和广阔的空间. 在探究二项式系数的性质中,设计为探究“三部曲”: 第一步是数形结合、概括性质. 通过学生画出 =6 和 =7 时函数图象,并观察分析其 对称性和增减性与最大值,引导学生概括性质,学生有目的地动手实践,亲身参与探究活动 远比目睹幻灯播放更能体验数学蕴含的规律,使抽象的数学知识直观生成. 第二步是分组讨论、证明性质. 在学生初步认识“杨辉三角”包含的规律及“杨辉三角”与 二项式系数的关系的基础上,在画出 =6 和 =7 时函数图象并观察分析其对称性和增减性 与最大值的情境下,采取分组讨论、交流展示的学习方式,诱发学生内在的认知冲突,激发 学生沉淀的知识,培养学生解决问题的能力,让知识经历一个再发现、再创造的过程,体验 到探究过程中涉及的思维策略,促进学生对内容的深刻理解,把课堂教学的“话语权”、“生 成权”、“展示权”、“交流权”交给学生,用学生的“亮点”,点亮学生的智慧. 第三步是师生合作、再探性质. 在探究各二项式系数的和的教学中,设计探究性的问题 串,运用特殊到一般的归纳思想,猜想结论,再运用赋值法证明这一性质,培养学生思维的 严谨性和深刻性,引导学生挖掘问题的本质特征,同时呈现用分类和分步计数原理说明 的展开式的各二项式系数的和,引发学生的认知冲突,培养学生思维的灵活性和独 创性,激发学生的探索兴趣. 学生经历课前初探、课中深探、变式细探的探究过程,对“杨辉三角”及二项式系数的性 质有比较深刻的认识,不断提高学生探究和解决问题的能力,促进学生数学思维发展. 5.教后反思 通过本节课的教学实践,认识到多一点精心设计,就能融一份直观生成,体会到什么是 由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中, 注意到了由“给出知识”转向“引起活动”, 由“完 成教学任务”转向“促进学生发展”,学生成为课堂上的真正主人.开展数学体验,丰富学习方 式,师生会有共同的、积极的情感体验. 成功之处:一是教学设计独到而又新颖,打破常规,不走寻常路,通过三步探究实现本 节课的教学目标,突出以学生为主体,教师以引导者的身份参与其中;二是教态自然得体, 亲和力强,能很好的驾驭课堂,积极调动学生思考问题,课堂气氛活跃.

改进之处: 一是可考虑通过网上链接搜集一些杨辉三角包含的规律, 比较学生展示的结 论,让学生享受成功的喜悦,同时激发学生“再求索”的热情;二是学生展示小组讨论增减性 与最大值时出现口误,以及教师板书将“各二项式系数的和”写成“各二项式的系数和”,虽然 课后通过师生沟通,学生说不影响掌握本节知识,但是在以后的教学中一定要做得更好.


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