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十八中2016-2017高二(上)期中

时间:2017-11-02

2016-2017 学年重庆十八中高二(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.直线 3x+y﹣a=0 与 6x+2y+1=0 的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.重合 D.平行或重合 2.设 m,n 是两条直线,α,β 是两个平面,给出四个命题 ①m? α,n? β,m∥β,n∥α? α∥β ②m⊥α,n⊥α? m∥n ③m∥α,m∥n? n∥α ④α⊥β,m? α? m⊥β 其中真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 ) D.3

3.圆 O1:x2+y2﹣2x=0 和圆 O2:x2+y2﹣4y=0 的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 4.空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点,EF= AD,BC 所成的角的补角为( )

,则异面直线

A.120° B.60° C.90° D.30° 5. 一个锥体的主视图和左视图如图所示, 下面选项中, 不可能是该锥体的俯视图的是 (



A.

B.

C.

D.

6.已知圆 C:x2+y2+mx﹣4=0 上存在两点关于直线 x﹣y+3=0 对称,则实数 m 的值( ) A.8 B.﹣4 C.6 D.无法确定 7.过点 A(1,4) ,且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.将你手中的笔想放哪就放哪,愿咋放就咋放,总能在教室地面上画一条直线,使之与笔 所在的直线( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 9.一束光线从点 A(﹣1,1)出发,经 x 轴反射到圆 C: (x﹣2)2+(y﹣3)2=1 上的最短 路程是( )
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A.3

﹣1 B.2

C.4

D.5 的最小值为

10.已知点 P(m,n)是直线 2x+y+5=0 上的任意一点,则 ( A.5 ) B. C. D.

11.已知圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=1 和两点 A(﹣m,0) ,B(m,0) (m>0) ,若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 12.点 A,B,C,D 在同一个球的球面上,AB=BC=2,AC=2 ,若四面体 ABCD 体积的 最大值为 ,则该球的表面积为( A. B.8π C.9π )

D.12π

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若直线 ax+2y+1=0 与直线 x+y﹣2=0 互相垂直,则 a= . 14.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

15.过点

的直线 l 与圆 C: (x﹣1)2+y2=4 交于 A、B 两点,C 为圆心,当∠ACB

最小时,直线 l 的方程为 . 16.过直线 x=4 上动点 P 作圆 O:x2+y2=4 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 是切点,则下 列结论中正确的是 . (填正确结论的序号) ①|OP|的最小值是 4; ② ? =0; ③ ? =4; ④存在点 P,使△OAP 的面积等于 ; ⑤任意点 P,直线 AB 恒过定点. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17.直线过点 P(﹣3,1) ,且与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点. (Ⅰ)若点 P 恰为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若 = ,求直线 l 的方程. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2﹣6x+5 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程;
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(Ⅱ)若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交于 A,B 两点,且 CA⊥CB 求 a 的值. 19.已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,AD=1,点 M 为 PC 中点,过 A、M 的平面 α 与此四棱锥的面相交,交线围成一个四边形,且平面 α⊥平面 PBC. (1)在图中画出这个四边形(不必说出画法和理由) ; (2)求平面 α 与平面 ABM 所成锐二面角的余弦值.

20.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C. (Ⅰ)证明:A1C1=AB1; (Ⅱ)若 AC⊥AB1,∠BCC1=120°,AB=BC,求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值.

21.△ABC 为等腰直角三角形,AC=BC=4,∠ACB=90°,D、E 分别是边 AC 和 AB 的中点, H、 F 分别是边 AD 和 BE 的中点, 现将△ADE 沿 DE 折起, 使面 ADE⊥面 DEBC, 平面 BCH 与 AE、AF 分别交于 I、G 两点 (Ⅰ)求证:IH∥BC; (Ⅱ)求直线 AE 与平面角 GIC 所成角的正弦值.

22.已知一个动点 P 在圆 x2+y2=36 上移动,它与定点 Q(4,0)所连线段的中点为 M. (1)求点 M 的轨迹方程. (2)过定点(0,﹣3)的直线 l 与点 M 的轨迹交于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 且满足 + = ,求直线 l 的方程.

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2016-2017 学年重庆十八中高二(上)期中数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.直线 3x+y﹣a=0 与 6x+2y+1=0 的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.重合 D.平行或重合 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【分析】由直线方程易判:当 a=﹣ 时,两直线重合,当 a≠﹣ 时,两直线平行,进而可 得答案. 【解答】解:∵3×2=1×6, ∴当 a=﹣ 时,两直线重合, 当 a≠﹣ 时,两直线平行, ∴直线 3x+y﹣a=0 与 6x+2y+1=0 的位置关系为平行或重合, 故选:D 2.设 m,n 是两条直线,α,β 是两个平面,给出四个命题 ①m? α,n? β,m∥β,n∥α? α∥β ②m⊥α,n⊥α? m∥n ③m∥α,m∥n? n∥α ④α⊥β,m? α? m⊥β 其中真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①利用面面平行的判定定理判断.②利用线面垂直的性质判断.③利用线面平行 的定义和性质判断.④利用面面垂直的性质和线面垂直的性质判断. 【解答】解:①根据面面平行的判定定理可知 m,n 必须是相交直线,∴①错误. ②根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知,m⊥α,n⊥α? m∥n 正确. ③若 m∥α,m∥n,则 n∥α 或 n? α,∴③错误. ④根据面面垂直的性质定理可知,若 α⊥β,m? α,则 m⊥β 不一定成立.∴④错误. 故选:B. 3.圆 O1:x2+y2﹣2x=0 和圆 O2:x2+y2﹣4y=0 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 )

【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【分析】求出半径,求出圆心,看两个圆的圆心距与半径的关系即可. 【解答】解:圆 O1:x2+y2﹣2x=0,即(x﹣1)2+y2=1,圆心是 O1(1,0) ,半径是 r1=1
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圆 O2:x2+y2﹣4y=0,即 x2+(y﹣2)2=4,圆心是 O2(0,2) ,半径是 r2=2 ∵|O1O2|= ,故|r1﹣r2|<|O1O2|<|r1+r2| ∴两圆的位置关系是相交. 故选 B 4.空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点,EF= AD,BC 所成的角的补角为( ) ,则异面直线

A.120° B.60° C.90° D.30° 【考点】异面直线及其所成的角. FG, EG= BC, 【分析】 如图所示, 取 AC 的中点 G, 连接 EG, 利用三角形中位线定理可得: FG= AD.在△EFG 中,由余弦定理可得:cos∠EGF,即可得出. 【解答】解:如图所示,取 AC 的中点 G,连接 EG,FG, 利用三角形中位线定理可得:EG= BC=1,FG= AD=1.

在△EFG 中,由余弦定理可得:cos∠EGF= ∴∠EGF=120°. ∴异面直线 AD,BC 所成的角为 60°,其补角为 120°. 故选:A.

=﹣ ,

5. 一个锥体的主视图和左视图如图所示, 下面选项中, 不可能是该锥体的俯视图的是 (



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A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图. 【分析】由三视图的作法规则,长对正,宽相等,对四个选项进行比对,找出错误选项. 【解答】解:本题中给出了正视图与左视图,故可以根据正视图与俯视图长对正,左视图与 俯视图宽相等来找出正确选项 A 中的视图满足三视图的作法规则; B 中的视图满足三视图的作法规则; C 中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等,故其为错误选项; D 中的视图满足三视图的作法规则; 故选 C 6.已知圆 C:x2+y2+mx﹣4=0 上存在两点关于直线 x﹣y+3=0 对称,则实数 m 的值( A.8 B.﹣4 C.6 D.无法确定 【考点】直线和圆的方程的应用;恒过定点的直线. 【分析】因为圆上两点 A、B 关于直线 x﹣y+3=0 对称,所以直线 x﹣y+3=0 过圆心(﹣ , 0) ,由此可求出 m 的值. 【解答】解:因为圆上两点 A、B 关于直线 x﹣y+3=0 对称, 所以直线 x﹣y+3=0 过圆心(﹣ ,0) , 从而﹣ +3=0,即 m=6. 故选 C. 7.过点 A(1,4) ,且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为( A.1 B.2 C.3 D.4 ) )

【考点】直线的截距式方程. 【分析】当截距为 0 时,设 y=kx,待定系数法求 k 值,即得所求的直线方程; 当截距不为 0 时,设 ,或 ,

待定系数法求 a 值,即得所求的直线方程. 【解答】解:当截距为 0 时,设 y=kx,把点 A(1,4)代入,则得 k=4,即 y=4x; 当截距不为 0 时,设 ,或 ,过点 A(1,4) ,

则得 a=5,或 a=﹣3,即 x+y﹣5=0,或 x﹣y+3=0 这样的直线有 3 条:y=4x,x+y﹣5=0,或 x﹣y+3=0. 故选 C. 8.将你手中的笔想放哪就放哪,愿咋放就咋放,总能在教室地面上画一条直线,使之与笔 所在的直线( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
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【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】由题设条件可知,可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项. 【解答】解:由题意,笔所在直线若与地面垂直,则在地面总有这样的直线,使得它与笔所 在直线垂直 若笔所在直线若与地面不垂直, 则其必在地面上有一条投影线, 在平面中一定存在与此投影 线垂直的直线,由三垂线定理知,与投影垂直的直线一定与此斜线垂直 综上,手中的笔想放哪就放哪,愿咋放就咋放,总能在教室地面上画一条直线,使之与笔所 在的直线垂直. 故选 D. 9.一束光线从点 A(﹣1,1)出发,经 x 轴反射到圆 C: (x﹣2)2+(y﹣3)2=1 上的最短 路程是( ) A.3 ﹣1 B.2 C.4 D.5 【考点】直线与圆的位置关系;图形的对称性. 【分析】 先作出圆 C 关于 x 轴的对称的圆 C′, 问题转化为求点 A 到圆 C′上的点的最短路径, 方法是连接 AC′与圆交于 B 点,则 AB 为最短的路线,利用两点间的距离公式求出 AC′,然 后减去半径即可求出.

【解答】

解:先作出已知圆 C 关于 x 轴对称的圆 C′,则圆 C′的方程为: (x﹣2)2+(y+3)2=1,所以 圆 C′的圆心坐标为(2,﹣3) ,半径为 1, 则最短距离 d=|AC′|﹣r= 故选 C. ﹣1=5﹣1=4.

10.已知点 P(m,n)是直线 2x+y+5=0 上的任意一点,则 ( A.5 ) B. C. D.

的最小值为

【考点】点到直线的距离公式.

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【分析】由已知得

的最小值是点(1,﹣2)到直线 2x+y+5=0 的距离,

由此能求出结果. 【解答】解:∵点 P(m,n)是直线 2x+y+5=0 上的任意一点, ∴ ∴ 故选:C. 11.已知圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=1 和两点 A(﹣m,0) ,B(m,0) (m>0) ,若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【考点】直线与圆的位置关系. 0) 【分析】 根据圆心 C 到 O (0, 的距离为 5, 可得圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6. 再 由∠APB=90°,可得 PO= AB=m,可得 m≤6,从而得到答案. 【解答】解:圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=1 的圆心 C(3,4) ,半径为 1, ∵圆心 C 到 O(0,0)的距离为 5, ∴圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6. 再由∠APB=90°可得,以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点, 可得 PO= AB=m,故有 m≤6, 故选:B. 的最小值是点(1,﹣2)到直线 2x+y+5=0 的距离, 的最小值 d= = .

12.点 A,B,C,D 在同一个球的球面上,AB=BC=2,AC=2 最大值为 ,则该球的表面积为( A. B.8π C.9π )

,若四面体 ABCD 体积的

D.12π

【考点】球的体积和表面积. 【分析】根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积.

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【解答】解:根据题意知,△ABC 是一个直角三角形,其面积为 2.其所在球的小圆的圆 心在斜边 AC 的中点上,设小圆的圆心为 Q, 四面体 ABCD 的体积的最大值,由于底面积 S△ABC 不变,高最大时体积最大, 所以,DQ 与面 ABC 垂直时体积最大,最大值为 ×S△ABC×DQ= , S△ABC= AC?BQ= 即 × =2. ×DQ= ,∴DQ=2,如图.

设球心为 O,半径为 R,则在直角△AQO 中, OA2=AQ2+OQ2,即 R2=( )2+(2﹣R)2,∴R=

则这个球的表面积为:S=4π( )2=9π; 故选:C.

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若直线 ax+2y+1=0 与直线 x+y﹣2=0 互相垂直,则 a= ﹣2 . 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【分析】由题意可知两条直线垂直,斜率乘积为﹣1,即可求出 a 的值. 【解答】解:直线 ax+2y+1=0 与直线 x+y﹣2=0 互相垂直,由于直线的斜率存在,所以斜率 乘积为﹣1,即﹣1?( 故答案为:﹣2. 14.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 54 )=﹣1,所以 a=﹣2.

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【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是竖放的直四棱柱,由此求出它的体积. 【解答】解:根据几何体的三视图,得;几何体是竖放的直四棱柱, 该四棱柱的底面为梯形,梯形的上底为 4、下底为 5,高为 3,四棱柱的高为 4, ∴该几何体的体积为 故答案为 54. 的直线 l 与圆 C: (x﹣1)2+y2=4 交于 A、B 两点,C 为圆心,当∠ACB =54.

15.过点

最小时,直线 l 的方程为 2x﹣4y+3=0 . 【考点】直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程. 【分析】研究知点 在圆内,过它的直线与圆交于两点 A,B,当∠ACB 最小时,

直线 l 与 CM 垂直,故先求直线 CM 的斜率,再根据充要条件求出直线 l 的斜率,由点斜式 写出其方程. 【解答】解:验证知点 在圆内,

当∠ACB 最小时,直线 l 与 CM 垂直, 由圆的方程,圆心 C(1,0) ∵kCM= ∴kl= ∴l:y﹣1= (x﹣ ) ,整理得 2x﹣4y+3=0 故应填 2x﹣4y+3=0 16.过直线 x=4 上动点 P 作圆 O:x2+y2=4 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 是切点,则下 列结论中正确的是 ①②③⑤ . (填正确结论的序号) ①|OP|的最小值是 4; ② ? =0; ③ ? =4; ④存在点 P,使△OAP 的面积等于 ; ⑤任意点 P,直线 AB 恒过定点. 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】①由点 O 到直线 x=4 的距离,即可判断; ②由圆的对称性,即可得到 OP⊥AB; =| |2=4,即可判断; ③由数量积的定义和余弦函数的定义,即可得到 ④求出△OAP 的面积的最小值为 2 ,即可判断; ⑤设 P(4,y0) ,求出直线 AB 的方程,即可判断直线 AB 恒过定点. 【解答】解:①由点 O 到直线 x=4 的距离为 4,故①正确; ②由平面几何知识得,OP⊥AB,故②正确;
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=﹣2,



=|

|2=4,故③正确; ,故④不正确;

④由于△OAP 的面积为 ×|AP|×2=|AP|=

⑤设 P(4,y0) ,直线 AB 的方程为:4x+y0y=4,则直线 AB 恒过定点(1,0) ,故⑤正确. 故答案为:①②③⑤ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17.直线过点 P(﹣3,1) ,且与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点. (Ⅰ)若点 P 恰为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若 = ,求直线 l 的方程. 【考点】待定系数法求直线方程;平行向量与共线向量. 【分析】 (Ⅰ)设出 A、B 两点的坐标,由线段的中点公式求出 A、B 两点的坐标,用两点 式求直线的方程,并化为一般式. (Ⅱ)设 A(x,0) 、B(0,y) ,若 = ,则(﹣3﹣x,1)=2(3,y﹣1) ,可得 A 的 坐标,即可求直线 l 的方程. 【解答】解: (Ⅰ)设 A(x,0) 、B(0,y) ,由中点坐标公式得:x=﹣6,y=2, ∴直线 l 的方程为 =1,

即 x﹣3y+6=0. (Ⅱ)设 A(x,0) 、B(0,y) ,若 ∴﹣3﹣x=6,1=2y﹣2, ∴x=﹣9,y= , ∴直线 l 的方程

=

,则(﹣3﹣x,1)=2(3,y﹣1) ,

,即 x﹣6y+9=0.

18.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2﹣6x+5 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交于 A,B 两点,且 CA⊥CB 求 a 的值. 【考点】二次函数的性质. 【分析】 (Ⅰ)曲线 y=x2﹣6x+5 与坐标轴的交点为 A(0,5) ,B(1,0) ,C(5,0) ,设圆 2 2 C 的方程 x +y +Dx+Ey+F=0,代入构造方程组,解得圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交于 A,B 两点,且 CA⊥CB,则 d= a 值. 【解答】 (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)曲线 y=x2﹣6x+5 与坐标轴的交点为 A(0,5) ,B(1,0) ,C(5,0) , 2 2 设圆 C 的方程 x +y +Dx+Ey+F=0, 则 , = ,解得

解得:


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故圆 C 的方程为:x2+y2﹣6x﹣6y+5=0,即(x﹣3)2+(y﹣3=13 … (Ⅱ)由 CA⊥CB 得△ABC 为等腰直角三角形,|AB|= r d= = … ,

解得:a=±

19.已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,AD=1,点 M 为 PC 中点,过 A、M 的平面 α 与此四棱锥的面相交,交线围成一个四边形,且平面 α⊥平面 PBC. (1)在图中画出这个四边形(不必说出画法和理由) ; (2)求平面 α 与平面 ABM 所成锐二面角的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法. 【分析】 (1)取 PB 中点 N,连接 AN,DM,MN,则 MN∥AD,由公理 2 的推论可得平面 α; (2)分别以 AD、AB、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立如图直角坐标系,由已知求得所用 点的坐标,进一步求得平面 α 与平面 ABM 的法向量,由法向量所成角的余弦值可得平面 α 与平面 ABM 所成锐二面角的余弦值. 【解答】解: (1)取 PB 中点 N,连接 AN,DM,MN, 则 MN∥AD,MN 与 AD 确定平面 α; (2)分别以 AD、AB、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立如图直角坐标系, ∵PA=AB=2,AD=1,点 M 为 PC 中点,N 为 PB 中点, ∴ , 设平面 AMB 的法向量 , , ,

则由

,取 x=2,得



平面 α 的法向量



∴平面 α 与平面 AMB 所成二面角的余弦值
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20.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C. (Ⅰ)证明:A1C1=AB1; (Ⅱ)若 AC⊥AB1,∠BCC1=120°,AB=BC,求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法. 【分析】 (Ⅰ)连结 BC1,交 B1C 于点 O,连结 AO,可证 B1C⊥平面 ABO,可得 B1C⊥AO, B1O=CO,进而可得 A1C1=AB1; (Ⅱ)以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长度, 的方向为 y 轴

的正方向, 的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可 得所求余弦值. 【解答】 (Ⅰ)证明:连接 BC1,交 B1C 于点 O,连接 AO, ∵侧面 BB1C1C 为菱形,∴B1C⊥BC1,且 O 为 B1C 及 BC1 的中点. 又 AB⊥B1C,∴B1C⊥平面 ABO.故 B1C⊥AO.又 B1O=CO, 故 AC=AB1. 又 AC=A1C1,∴A1C1=AB1; (Ⅱ)解:∵AC⊥AB1,且 O 为 B1C 的中点,∴AO=CO. 又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC.故 OA⊥OB,从而 OA,OB,OB1 两两垂直.以 O 为坐 标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,设|OB|=1,建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz. ∵∠BCC1=120°,∴∠CBB1=60°,∴△CBB1 为等边三角形,又 AB=BC, 则 ,B(1,0,0) , , .



是平面 AA1B1 的法向量,则



∴可取


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设 是平面 A1B1C1 的法向量,则同理可取 则 .



∴结合图形知二面角 A﹣A1B1﹣C 的余弦值为 .

21.△ABC 为等腰直角三角形,AC=BC=4,∠ACB=90°,D、E 分别是边 AC 和 AB 的中点, H、 F 分别是边 AD 和 BE 的中点, 现将△ADE 沿 DE 折起, 使面 ADE⊥面 DEBC, 平面 BCH 与 AE、AF 分别交于 I、G 两点 (Ⅰ)求证:IH∥BC; (Ⅱ)求直线 AE 与平面角 GIC 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的性质. 【分析】 (I)DE∥BC,可得 DE∥平面 BCH,可得 DE∥IH,即可证明 IH∥BC. y, z) (II) 建立如图所示的空间直角坐标系. 设平面 BCH 的法向量为 = (x, , 则 ,

设直线 AE 与平面角 GIC 所成角为 θ,则 sinθ=|cos

|=



【解答】 (I)证明:DE∥BC,DE?平面 BCH,BC? 平面 BCH, ∴DE∥平面 BCH, ∵平面 ADE∩平面 BCH=IH, ∴DE∥IH, ∴IH∥BC. (II)解:建立如图所示的空间直角坐标系. D(0,0,0) ,A(0,0,2) ,E(0,﹣2,0) ,C(2,0,0) , H(0,0,1) ,B(2,﹣4,0) ,
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=(﹣2,0,1) ,

=(0,﹣4,0) ,

=(0,﹣2,﹣2) . ,即 ,取 =(1,0,2) .

设平面 BCH 的法向量为 =(x,y,z) ,则

设直线 AE 与平面角 GIC 所成角为 θ,则 sinθ=|cos

|=

=

=



22.已知一个动点 P 在圆 x2+y2=36 上移动,它与定点 Q(4,0)所连线段的中点为 M. (1)求点 M 的轨迹方程. (2)过定点(0,﹣3)的直线 l 与点 M 的轨迹交于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 且满足 + = ,求直线 l 的方程.

【考点】直线与圆的位置关系;轨迹方程. 【分析】 (1)利用代入法求点 M 的轨迹方程. (2)当直线 L 的斜率不存在时,直线 L:x=0,满足条件,当直线 L 的斜率存在时,设直 线 L:y=kx﹣3,联立直线与圆的方程,利用韦达定理,可求出满足条件的 k 值,进而得到 直线 L 的方程,最后综合讨论结果,可得答案. 【解答】解: (1)设 M(x,y) ,动点 P(x1,y1) , 由中点的坐标公式解得 x1=2x﹣4,y1=2y, 由 x12+y12=36,得(2x﹣4)2+(2y)2=36, ∴点 M 的轨迹方程是(x﹣2)2+y2=9… (2)当直线 L 的斜率不存在时,直线 L:x=0,与圆 M 交于 , 此时 x1=x2=0,不合题意.… 当直线 L 的斜率存在时,设直线 L:y=kx﹣3,则 消去 y,得(1+k2)x2﹣(4+6k)x+4=0, 由已知 综上:直线 L 为:x﹣y﹣3=0,17x﹣7y﹣21=0.…
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, ,经检验△>0.

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2016 年 12 月 19 日

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