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宁夏银川市唐徕回民中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文

时间:2016-10-01


银川唐徕回民中学 2014~2015 学年度第二学期期中考试 高二年级文科数学
第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)已知命题 (A) (C)

p : ?x ? R, cos x ? 1

,则

?p 是

?x ? R, cosx ? 1 ?x ? R, cos x ? 1

(B) (D)

?x ? R, cos x ? 1 ?x ? R, cos x ? 1

(2)若复数 z 满足 i ? z ? 2 ,其中 i 是虚数单位,则 z ? (A) ? 2i (B) 2i (C) ? 2 (D) 2

开 始 输入 m A=1, B=1, i=0

x2 ? y2 ?1 (3)椭圆 2 的离心率是
1 (A) 4

2 (B) 2

1 (C) 2

3 (D) 2

i=i+1
A ? A? m
B ? B?i

2 (4)已知 x ? 1 是 x ? 1 的

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



A>B?
否 输出 i 结 束

(5)执行右图的程序框图,若输入 m 的值为 2,则输出的结果 i = (A)2 (C)4 (6)已知 a ? 0 ,如果 P ? (A) P ? Q (B)3 (D)5

a ? a ? 3 , Q ? a ? 1 ? a ? 2 ,则
(C) P ? Q (D) P 与 Q 无法比较大小

(B) P ? Q

2 (7)由某个 2 ? 2 列联表数据计算得随机变量 K 的观测值 k ? 6.879 ,则下列说法正确的是

(A)两个分类变量之间有很强的相关关系 (B)有 99 % 的把握认为两个分类变量没有关系 (C)在犯错误的概率不超过 1.0% 的前提下认为这两个变量间有关系 (D)在犯错误的概率不超过 0.5% 的前提下认为这两个变量间有关系

-1-

P( K 2 ? k0 )
k0
(8)下列命题中:

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

? ? bx ? a ? 必过点 ( x , y ) ; ①线性回归方程 y
? ②在回归方程 y ? 3 ? 5 x 中,当变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 5 个单位;
③在回归分析中,相关指数 R 为 0.80 的模型比相关指数 R 为 0.98 的模型拟合的效果要好;
2 2

?

? y ④在回归直线 y ? 0.5 x ? 8 中,变量 x ? 2 时,变量 的值一定是 ? 7 .
其中假命题的个数是 (A)1 (B)2 (9)设函数 f ( x ) ? xe ,则
x

(C)3

(D)4

(A) x ? ?1 为 f ( x ) 的极大值点 (C) x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点

(B) x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点 (D) x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点

(10)已知 f (1) ? 1 , f ( 2 ) ? 3 , f ( 3) ? 4 , f ( 4 ) ? 7 , f (5) ? 11,…,则 f (10) ? (A)28
2

(B)76

(C)123

(D)199

(11)抛物线 x ? 8 y 上的一点 M 到 x 轴的距离为 4,则点 M 到抛物线焦点的距离是 (A)4 (B)6 (C)8 (D) 12

1 f ( x ) ? ax ? ln x p : “函数 q: 2 (12) 已知命题 在区间 [1, ?? ) 上单调递减”; 命题 “存在正数 x ,
x p ? q 为真命题,则 a 的取值范围是 使得 2 ( x ? a ) ? 1 成立”,若

1 ( ?1, ? ] 2 (A)

1 ( ?1, ? ) 2 (B)

1 [ ?1, ? ] 2 (C)

1 [ ?1, ? ) 2 (D)

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

1 (13)已知 i 是虚数单位,则复数 1 ? i 所对应的点位于复平面内的第
(14)函数 f ( x ) ? x ? 3 x 在点 (1, ?2 ) 处的切线斜率是
3

象限.



-2-

x2 y2 2 ? 2 ?1 y? x 2 3 ,则该双曲线 b (15)已知双曲线 a ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐近线方程为
的离心率是 .
? (16)在直角△ ABC 中,若 ?C ? 90 , AC ? b , BC ? a ,则△ ABC 的外接圆半径可表

r?
示为

a2 ?b2 2 .运用类比推理的方法,若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为


a , b, c ,则该三棱锥外接球的半径 R ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 10 分)

已知数列

{a n } 的前 n 项和为 S n , S3 ;

a1 ? ?

1 2 an ? S n ? ?2 Sn 3 ,满足 (n ? 2) .

(Ⅰ)计算 S 1 , S 2 , (Ⅱ)猜想

S n 的表达式(不用证明) .

(18) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,已知直线 l 过点 P ( ?1, 2 ) ,倾斜角

??

?
6 ,再以原点为极点, x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 3 . (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 分别交于 M 、 N 两点,求 (19) (本小题满分 12 分) 设函数

PM ? PN

的值.

f ( x) ? 2x ? 2 ? x ? 2



(Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若 ?x ? R , f ( x ) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围. (20) (本小题满分 12 分) 宁夏某市 2008 年至 2012 年新建商品住宅每平方米的均价 年份 年份序号 x 2008 1 2009 2 2010 3

y (单位:千元)的数据如下表:
2011 4 2012 5
-3-

每平米均价 y

2.0

3.1

4.5

6.5

7.9

(Ⅰ)求 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b ? x ? a ;

?

?

?

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析从 2008 年到 2012 年该市新建商品住宅每平方米均价 的变化情况,并预测该市 2015 年新建商品住宅每平方米的均价. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

?? b

?x
i ?1 n i ?1

n

i

y i ? nx ? y
2 i

?x

? nx 2


?? x ? ? y ?b a

(21) (本小题满分 12 分)

x2 y2 6 ? 2 ?1 2 b 已知椭圆 C : a ( a ? b ? 0 )的离心率为 3 ,上顶点为 ( 0,1) .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若过原点 O 作两条互相垂直的射线, 与椭圆 C 交于 A ,B 两点, 求证: 点 O 到直线 AB 的距离为定值. (22) (本小题满分 12 分)

f ( x) ?
已知函数

ln x x (x ? 0) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若 m ? n ? 0 ,讨论 m 与 n 的大小关系并给出证明.
n m

-4-

银川唐徕回民中学 2014~2015 学年(下)高二年级期中考试 文科数学参考答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A A B B C B C C B AABBC BCCBC BA 填空题

10 C

11 B

12 A

13、四

14、 0

13 15、 3

1 a2 ?b2 ? c2 16、 2

解答题 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由已知得

S 1 ? a1 ? ?

2 1 3 a2 ? ? S2 ? ? 3, 12 , 4,

a3 ? ?

1 4 S3 ? ? 20 , 5 S1 ? ? 2 3 4 n ?1 S2 ? ? S3 ? ? Sn ? ? 3, 4, 5 ,猜想 n?2

…………….6 分

(Ⅱ)由

…………….10 分

18. (本小题满分 12 分)

? 3 x ? ? 1 ? t ? ? 2 ? ? y ? 2? 1t ? 2 解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程: ? ( t 为参数)
曲线 C 的直角坐标方程 x ? y ? 9
2 2 2 2

…………….6 分
2

(Ⅱ)将直线的参数方程代入 x ? y ? 9 ,得 t ? ( 2 ? 3 )t ? 4 ? 0 设上述方程的两根为 t 1 , t 2 ,则 t 1 t 2 ? ?4 由直线参数方程中参数 t 的几何意义可得

PM ? PN ? t1t 2 ? 4

…………………….12 分

19. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)∵

? ? x ? 4 , x ? ?1 ? f ( x) ? ? 3x , ?1 ? x ? 2 ? x?4 , x?2 ?



………………….2 分

当 x ? ?1 时, ? x ? 4 ? 2 ,解得 x ? ?6 ,∴ x ? ?6
-5-

当 ? 1 ? x ? 2 时, 3 x ? 2 ,解得

x?

2 2 ?x?2 3 ,∴ 3

当 x ? 2 时, x ? 4 ? 2 ,解得 x ? ?2 ,∴ x ? 2

? 2? ? x x ? 6或x ? ? 3?. 综上,原不等式解集为 ?
y

…………………….5 分

y ? f ( x)

?1

0

2

x

?3

f ( x)min ? f (?1) ? ?3 , (Ⅱ)由 f ( x ) 的图象和单调性易得
若 ?x ? R , f ( x ) ? m 恒成立, 则只需 f ( x ) min ? m ? m ? ?3 , 故实数 m 的取值范围是 ( ??, ?3] . 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)求 y 关于 x 的线性回归方程; …………………….12 分

?x
i ?1

5

i

y i ? 87.2
n

?x
i ?1

5

2 i

? 55

x ?3

y ? 4.8

?? b

?x
i ?1 n i ?1

i

y i ? nx y ?
2 i

?x

? nx 2

87.2 ? 5 ? 3 ? 4.8 ? 1.52 55 ? 5 ? 9

-6-

? ? x ? 4.8 ?1.52? 3 ? 0.24 ? ? y ?b a
∴ y ? bx ? a ? 1.52x ? 0.24

?

?

?

…………….6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)中的回归方程 y ? bx ? a ? 1.52x ? 0.24 ,可知

?

?

?

? ? 1.52 ? 0 b ,从 2008 年到 2012 年该市新建商品住宅每平方米均价逐年增加,平均每年增加
1.52 千元; ……………. 10 分 将 2015 年的年份代号 x = 8 代入(Ⅰ)中的回归方程得

?x ? a ? ?b ? ? 1.52? 8 ? 0.24 ? 12.4 (千元)=12400 元 y
故预测该市到 2015 年新建商品住宅每平方米的价格为 12400 元. 21. (本小题满分 12 分) …….12 分

x2 ? y2 ?1 解: (Ⅰ) 3 .
(Ⅱ)设

…………4 分

A( x1,y1 ) , B( x2,y2 )
…………5 分

①若 k 存在,则设直线 AB : y ? kx ? m .

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 x ? 3y2 ? 3 由? ,得 (1 ? 3k ) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0
6km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 3k 2 ? 2 ? x x ? 3m ? 3 1 2 ? ? 0, ? 1 ? 3k 2 ?
由 OA ? OB 可知

…………6 分

x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( kx1 ? m)(kx2 ? m)
= (1 ? k ) x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? 0
2

…………8 分

代入,得 4 m ? 3k ? 3
2 2

d?
原点到直线 AB 的距离

m k 2 ?1

?

3 2

.

…………10 分

② 当 AB 的斜率不存在时,

x1 ? y1

,可得

x1 ?

3 ?d 2 ,依然成立. …………11 分

-7-

3 综上,点 O 到直线 AB 的距离为定值 2 .
22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0, ?? ) .

…………12 分

f ?( x ) ?

1 ? ln x x2

…………1 分 …………2 分

? 令 f ( x ) ? 0 ,得 x ? e
列表如下:

x
f ?( x ) f ( x)

( 0, e )
+ ↗

e
0 极大

( e, ?? )
↘ …………4 分

∴ f ( x ) 的单调增区间是 ( 0 , e ) ,单调减区间 ( e, ?? ) .

f ( x ) 极大 ? f ( e ) ?

1 e,

…………5 分 …………6 分

f ( x ) 无极小值.
(Ⅱ)由于 m ? 0 , n ? 0 ,有

m n ? n m ? ln m n ? ln n m ?

ln m ln n ? m n .

…………10 分

f ( x) ?
由(Ⅰ)知

ln x x 在 ( 0 , e ) 单调递增,在 ( e, ?? ) 单调递减.
n m n m

∴当 m ? n ? e 时, m ? n ;当 e ? m ? n ? 0 时, m ? n .…………12 分

-8-


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