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高中数学知识点考点梳理汇总(必修1-5,选修系列)

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高中数学知识点考点汇编 必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念
〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示
(1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法

N 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集.
(3)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集( ? ).

【1.1.2】集合间的基本关系
(6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A ? A A 中的任一元素都属 于B (2) ? ? 性质 示意图

A? B
子集 (或

B ? A)
A? B
?

A (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B
(1) ? ?
?

A(B)

B

A



真子集 (或 B ? A)
?

A ? B ,且

B 中至

A (A 为非空子集)
?

少有一元素不属于 A

(2)若 A ? B 且 B ? C ,则
?

A?C
?

B

A

集合 相等

A 中的任一元素都属

A? B

于 B, 中的任一元素 B 都属于 A

(1)A ? B (2)B ? A

A(B)

(7)已知集合 空真子集.

A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2n 个子集,它有 2n ? 1 个真子集,它有 2n ? 1 个非空子集,它有 2n ? 2 非
【1.1.3】集合的基本运算

(8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图

交集

A? B

{x | x ? A, 且
x ? B}

A? A ? A (2) A ? ? ? ? (3) A ? B ? A A? B ? B
(1) 1

A

B

并集

A? B

{x | x ? A, 或
x ? B}

A? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? A A? B ? B
(1) 1 A ? (? A) ? ? U 2 A ? (? A) ? U U

A

B

补集

?U A

{x | x ?U , 且x ? A}

痧( A ? B) ? ( U A) ? ( U B) U 痧( A ? B) ? ( U A) ? ( U B) U

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集

| x |? a(a ? 0)

{x | ?a ? x ? a}

| x |? a(a ? 0)


x | x ? ?a 或 x ? a}

ax ? b

看成一个整体,化成

| x |? a



| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0)
| x |? a(a ? 0) 型不等式来求解
(2)一元二次不等式的解法 判别式

? ? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象
O

一元二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

x1,2 ?

?b ? b 2 ? 4ac 2a
? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

(其中 x1

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

b } 2a

R

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x1 ? x ? x2 }
〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念

?

?

(1)函数的概念 ①设

A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f

,对于集合

A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确
)叫做集合

定的数

f ( x) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f
2

A 到 B 的一个函

数,记作

f : A? B.

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a, b 是两个实数,且 a ? b ,满足 a ?

x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [a, b] ;满足 a ? x ? b 的实 x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记
x , a ?x , ? b的 x ? 实
数 b

数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b ) ;满足 a ? 做

[ a, b)



( a, b]

; 满 足

x ? ,a

x

的 集 合 分 别 记 做

[a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) .
注意:对于集合 {x | a ?

x ? b} 与区间 (a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须

a?b.
(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① ② ③

f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤

y ? tan x 中, x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若

f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集. f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不

⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 等式 a ?

g ( x) ? b 解出.

⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数, 这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与 最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数

y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a( y) x 2 ? b( y) x ? c( y ) ? 0 ,则在

a( y) ? 0 时,由于 x, y 为实数,故必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y ) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. 3

⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值 问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.

【1.2.2】函数的表示法
(5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图 象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念 ①设

A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f

,对于集合

A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它
)叫做集合

对应,那么这样的对应(包括集合

A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f

A 到 B 的映射,记作 f : A ? B .

②给定一个集合

A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫做元素 a 的

象,元素 a 叫做元素 b 的原象.

〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x1< x2 时,都 . . . .. 有 f(x1)<f(x2) , 那 么 就 说 .. ... .. .. . . f(x)在这个区间上是增函数. ... 图象 判定方法 (1)利用定义

y y=f(X)
f(x2) f(x1 )

(2)利用已知函数的 单调性 (3) 利用函数图象 (在 某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 (1)利用定义

o
函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x1< x2 时,都 . . . .. 有 f(x1)>f(x2) , 那 么 就 说 .. ... .. .. . . f(x)在这个区间上是减函数. ...

x1

x2

x

y
f(x )
1

y=f(X)

(2)利用已知函数的 单调性 (3) 利用函数图象 y (在 某个区间图
x2

f(x )
2

o

x1

x

象下降为减) (4)利用复合函数

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减 函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数

y ? f [ g ( x)] , 令 u ? g ( x) , 若 y ? f (u)

为增,

o

x

4

u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u) 为减,u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u)
为增, u

? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为减;若 y ? f (u) 为减, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减.

(2)打“√”函数

a f ( x) ? x ? (a ? 0) 的图象与性质 x

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别在 [? a , 0) 、 (0, a ] 上为减函数.
(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数

y ? f ( x) 的定义域为 I

,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 是函数

f ( x) ? M

; .

(2)存在 x0 ? I ,使得 ②一般地,设函数

f ( x0 ) ? M .那么,我们称 M

f ( x)

的最大值,记作

f max ( x) ? M

y ? f ( x) 的定义域为 I

,如果存在实数 m 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有

(2) f ( x) ? m ;

存在 x0 ? I ,使得

f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值,记作 f max ( x) ? m .
【1.3.2】奇偶性

(4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x,都有 .. .- f(-x)= . . .. f(x),那么函数 f(x)叫做奇函 .. .. .. 数. . 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x, 都有 .. .f(x), f(-x)= .. . .. .. 那么函数 f(x)叫做偶函数. ... (1)利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2)利用图象(图象 关于 y 轴对称) 图象 判定方法 (1)利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2)利用图象(图象 关于原点对称)

②若函数

f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 .

③奇函数在

y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反.

④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数(或奇函数)的积(或 商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.

〖补充知识〗函数的图象
(1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. 5 ②化解函数解析式; ④画出函数的图象.

①平移变换
h?0,左移h个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? y ? f ( x ? h) y ? f ( x) ??????? y ? f ( x) ? k ? ? h?0,右移|h|个单位 k ?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x ) ???? y ? f (? x ) ? ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? y ? Af ( x) ? A?1,伸

③对称变换
x轴 y ? f ( x) ??? y ? ? f ( x) ? 原点 y ? f ( x) ??? y ? ? f (? x) ?
y轴 y ? f ( x) ??? y ? f (? x) ?

直线y ? x y ? f ( x) ???? y ? f ?1 ( x) ?

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? y ? f (| x |) ? 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? y ?| f ( x) | ? 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调 性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的 重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果 x
n

n

? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用
的n次

符号

a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0

方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子
n

a 叫做根式, n 叫做根指数, 叫做被开方数. n 为奇数时,a 为任意实数; n 为偶数时,a ? 0 . 这里 当 当 a
n

③根式的性质: ( (2)分数指数幂的概念

a ) n ? a ;当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时,

n

(a ? 0) ?a a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)



m

①正数的正分数指数幂的意义是: a n
?

? n a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0.
m n

②正数的负分数指数幂的意义是: a

1 m 1 ? ( ) n ? n ( ) m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .0 a a

的负分数指数幂

没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①a
r

? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? R)

② (a

r s

) ? a rs (a ? 0, r , s ? R)

6

③ (ab)

r

? a r br (a ? 0, b ? 0, r ? R)
【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数 函数名称 定义 函数 指数函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax y ? ax

y
图象

y

y ?1
(0,1)

y ?1

(0,1)

O
定义域 值域

1
x 0
R
(0, ??)
图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, 非奇非偶

O

1
x 0

过定点 奇偶性 单调性

y ? 1.

在 R 上是增函数

在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N

的对数,记作 x

? log a N ,其中 a 叫做底数, N

叫做真数.

②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x (2)几个重要的对数恒等式

? log a N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

log a 1 ? 0 , log a a ? 1 , log a a b ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10

N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e ? 2.71828 ?) .
7

(4)对数的运算性质 ①加法: log a

如果 a ? 0, a ? 1, M

? 0, N ? 0 ,那么
②减法: log a ④a
log a N

M ? log a N ? log a ( MN )
M ? log a M n (n ? R)

M ? log a N ? log a

M N

③数乘: n log a

?N

⑤ log

ab

Mn ?

n log a M (b ? 0, n ? R) b

⑥换底公式: log a

N?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数 名称 定义 函数 对数函数

y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? loga x

y

x ?1

y

x ?1

y ? loga x

图象

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 1 0) 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

? 1 时, y ? 0 .

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

(6)反函数的概念 设函数

y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y) .如果对于 y 在 C ? ? ( y) , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 x ? ? ( y) 表示 x 是 y 的函

中的任何一个值,通过式子 x

8

数,函数 x

? ? ( y) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y ) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x) .

(7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 ③将 x

y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y ) ;

? f ?1 ( y ) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数 ②函数

y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.

y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域.
y ? f ( x) 的图象上,则 P ' (b, a ) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上.

③若 P ( a, b) 在原函数 ④一般地,函数

y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幂函数

(1)幂函数的定义 一般地,函数

y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

(2)幂函数的图象

9

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象 关于

y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.

②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ?

? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象在 (0, ??)
y 轴.

上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与

④奇偶性: ? 为奇数时, 当 幂函数为奇函数, ? 为偶数时, 当 幂函数为偶函数. ? 当

?
q

q (其中 p, q 互质, p 和 q ? Z ) , p

q

若 则

p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x p 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,

y?x

q p

是非奇非偶函数.

⑤图象特征:幂函数 在直线

y ? x? , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 ,其图象

y ? x 上方,当 ? ? 1时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方.
〖补充知识〗二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ③两根式:

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 (3)二次函数图象的性质 ①二次函数

f ( x) 更方便.

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?

b , 顶点坐标是 2a

(?

b 4ac ? b 2 , ). 2a 4a

10

②当 a

? 0 时,抛物线开口向上,函数在 (??, ?
4ac ? b 2 4a

b b b ] 上递减,在 [? , ??) 上递增,当 x ? ? 2a 2a 2a

时,

f min ( x) ?

; a ? 0 时, 当 抛物线开口向下, 函数在 ( ??, ?

b b b 在 当 ] 上递增, [? , ??) 上递减, x ? ? 2a 2a 2a

时,

4ac ? b 2 f max ( x) ? 4a



③二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点
? . |a|

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M 1M 2 |?| x1 ? x2 |?
(4)一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整, 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质, 系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,从以下四个
?? b 2a
③判别式: ? ④端点函数值符号.

方面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ①k<x1≤x2

?
y y
a?0 O

f (k ) ? 0
?

x??
O
x1

b 2a

k x1
x??
②x1≤x2<k

x2

k

x

x2
a?0

b 2a

f (k ) ? 0

?

x

?
y y
f (k ) ? 0
?

a?0 O
x1

x??
O

b 2a

x2

k x
x?? b 2a

x1

x2
?

k

x

a?0

f (k ) ? 0

③x1<k<x2

?

af(k)<0

11

y
a?0

y
?

f (k ) ? 0 x2
a?0

O
x1

k

x2

? f (k ) ? 0

x

x1

O

k

x

④k1<x1≤x2<k2

?
a?0
? f (k1 ) ? 0

y
?

y

x??

f (k 2 ) ? 0 k1 k2

b 2a
k2

x1 O k1

x2

x

O
?

x1

x2
?

x

b x?? 2a

f (k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0
f(k1)f(k2) ? 0,并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 两种情况是否也符合

?

y
? f (k1 ) ? 0

a?0

y
f (k1 ) ? 0
?

x1 O k1

k2
?

x2

x

O

x1
a?0

k1

x2
?

k2

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 设

?

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q] 上的最值
,最小值为 m ,令 x0

f ( x) 在区间 [ p, q] 上的最大值为 M
(Ⅰ)当 a

?

? 0 时(开口向上)
②若

1 ( p ? q) . 2
③若 ?

①若 ?

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a
a?0

p??

b b ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a

b ? q ,则 m ? f (q) 2a
a?0

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

y

x??

f (q)
O
f (? b ) 2a

f (p) q
x

b 2a

q p
O

p

f
b f ((p) ) ? 2a

x
b ) 2a

f f (? (q)

12

①若 ?

b ? x0 ,则 M ? f (q) 2a

②?

a?0

yx ? ? b f
O

b ? x0 ,则 M ? f ( p) 2a y b a?0 ??
x

2a

f (p) x0 ? p
x

2a

x(q) 0 p ?

q
O

q

x
b ) 2a

f
(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下) ①若 ?

f f (? (q)

b f ((p) ) ? 2a

b ? p ,则 M ? f ( p) 2a
a?0

②若

p??

b b ? q ,则 M ? f (? ) 2a 2a
a?0

③若 ?

b ? q ,则 M ? f (q) 2a
a?0
f f(?

f (?

yb
2a

)

f (?

yb
2a

yb
2a

)

)

f (p)
O

f q (p)
x
O

(q) q p
x
O

p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

q
x?? b 2a

x

f

f (p)

f

①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0
f (?

②?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0
f f(?

yb
2a

)

yb
2a

)

f (p)
O

(q)
x0 ? p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p ?

O

q
x?? b 2a

x

f (p)

f 第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点 1、 函数零点的概念: 对于函数 的零点。 2、函数零点的意义:函数 点的横坐标。即: 方程

y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)( x ? D)

y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交

f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点.

3、函数零点的求法: 求函数 1 ○

y ? f (x) 的零点: (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根;
y ? f (x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出

2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 零点. 4、二次函数的零点: 二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) .
2

1)△>0,方程 ax

? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
13

2)△=0,方程 ax ? bx ? c 一个二重零点或二阶零点.
2

,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有 ? 0 有两相等实根(二重根)

3)△<0,方程 ax

2

? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.

高中数学 必修 2 知识点
第一章
1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.2 空间几何体的三视图和直观图
1 三视图: 正视图:从前往后 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下

空间几何体

1.3 空间几何体的表面积与体积
(一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 4 圆台的表面积 S

S ? 2?rl ? 2?r 2 ? ?rl ? ?r 2 ? ?Rl ? ?R 2

3 圆锥的表面积 S

? ?rl ? ?r 2
? 4?R 2

5 球的表面积 S

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 3 台体的体积

V ? S底 ? h

2 锥体的体积

1 V ? S底 ? h 3
D α A B C

1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3

4 球体的体积

4 V ? ?R 3 3

第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对 的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L B∈L A∈α B∈α 14 => L α
0

α ·

A

L

公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据

α ·

A

·

C

·

B

β
P

α

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 不同在任何一个平面内,没有公共点。

·

L

共面直线
异面直线:

2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直线中的一条上;

=>a∥c

? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b;
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a b α β => a∥α 15

a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a b a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 β β β ∥α

a∩b = P

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 a∥b

2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L

p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定
16

1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α β

2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

第三章
3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率

直线与方程

1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ?当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ?当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°.

3.1.2 两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即

17

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果 k1=k2, 那 么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互 相垂直,即

3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式

PP2 ? 1

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

方程:直线

l

经过点

P0 ( x0 , y0 )

,且斜率为

k

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

2、 、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与

y 轴的交点为 (0, b)

y ? kx ? b

3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点 P ( x1 , x2 ), P ( x 2 , y 2 ) 其中 ( x1 1 2 2、直线的截距式方程:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与

? x2 , y1 ? y2 )

y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

y 轴的交点为 B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0

3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于 x, 2、各种直线方程之间的互化。

y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 解:解方程组 L1:2x+y +2=0

?3 x ? 4y ? 2? 0 ? ? 2 x ? 2y ? 2? 0

得 x=-2,y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2)

3.3.2 3.3.3

两点间距离 点到直线的距离公式

两点间的距离公式

1.点到直线距离公式: 点

P( x0 , y 0 )





线

l : Ax ? By ? C ? 0

的 距 离 为 :

d?

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 :

Ax ? By ? C1 ? 0 ,
18

l 2 Ax ? By ? C 2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

第四章
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程: ( x ? a)
2

圆与方程

? ( y ? b)2 ? r 2

圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) (1) ( x0 (3) ( x0
2

? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法:
(2) ( x0

? a)2 ? ( y0 ? b) 2 > r 2 ,点在圆外 ? a)2 ? ( y0 ? b) 2 < r 2 ,点在圆内

? a)2 ? ( y0 ? b) 2 = r 2 ,点在圆上

4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程: x
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

2、圆的一般方程的特点: (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与 半径大小,几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,圆心 (?
2 2

D E , ? ) 到直线的距 2 2

离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;

4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含;

4.2.3 直线与圆的方程的应用
19

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
R M O P Q M' y

4.3.1 空间直角坐标系
1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴 上的坐标 2、有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点
x

3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, 坐标。

y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖
z

4.3.2 空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点 P ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式 1

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

20

高中数学
1.1.1 算法的概念

必修 3 知识点

第一章 算法初步

1、算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确 和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一 步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以 解决.

1.1.2

程序框图

1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。 (二)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不可少的。 起止框

表示一个算法输入和输出的信息, 可用在算法中任何需 输入、输出框 要输入、输出的位置。 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等分别 处理框 写在不同的用以处理数据的处理框内。 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或 判断框 “Y” ;不成立时标明“否”或“N” 。 学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进 入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判 21

断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 (三) 、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依 次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B 框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执 行 B 框所指定的操作。 2、条件结构: 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框之一,不可能同时执行 A 框和 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构, 反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类: (1) 、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条 件 P 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次条件 P 不成立为止,此时不再执行 A 框, 离开循环结构。 (2) 、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件 P 是否成立,如果 P 仍然不成 立,则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。

A

B

A P
不成立

A P
成立 不成立

成立

当型循环结构

直到型循环结构

注意:1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结构中一定包含条件结构,但不 允许“死循环” 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。计 。2 数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。 22

1.2.1

输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句 (1)输入语句的一般格式

INPUT“提示内容” ;变量

图形计算器 格式

(2) 输

INPUT “提示内容” ,变量

入语句 的作用

是实现算法的输入信息功能; (3) “提示内容”提示用户输入什么样的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量; (4)输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数、变量或表达式; (5)提示内容与变量之间用分号“; ”隔开, 若输入多个变量,变量与变量之间用逗号“, ”隔开。 2、输出语句 (1)输出语句的一般格式

PRINT“提示内容” ;表达式

图形计算器 格式

Disp “提示内容” ,变量

(2)输出语句的作用是实现算法的输出结果功能; (3) “提示内容”提示用户输入什么样的信息,表达式是指程序要输出 的数据; (4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。 3、赋值语句 (1)赋值语句的一般格式

变量=表达式

图形计算器 格式

表达式 ? 变量

(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量; (3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不 同的。赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量; (4)赋值语句左边只能是变量 名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式; (5)对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A” 的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数 学中的等号意义不同。 1.2.2 条件语句 1、条件语句的一般格式有两种: (1)IF—THEN—ELSE 语句; (2)IF—THEN 语句。2、IF—THEN—ELSE 语句 IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为图 1,对应的程序框图为图 2。

IF 条件 语句 1 ELSE 语句 2 END IF
图1

THEN 满足条件? 是 语句 1
图2



语句 2

分析:在 IF—THEN—ELSE 语句中, “条件”表示判断的条件, “语句 1”表示满足条件时执行的操作内容; “语句 2”表示 不满足条件时执行的操作内容;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件

符合,则执行 THEN 后面的语句 1;若条件不符合,则执行 ELSE 后面的语句 2。 23

3、IF—THEN 语句 IF—THEN 语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4。

IF 条件 THEN 语句 END IF (图 3) (图 4) 满足条件? 否



语句

注意: “条件”表示判断的条件; “语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足时,结束程序;END 结束该条件语句,转而执行其它语句。

IF 表示条件

语句的结束。计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合就执行 THEN 后边的语句,若条件不符合则直接

1.2.3 循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型(WHILE 型)和 直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 1、WHILE 语句 (1)WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是

循环体 WHILE 循环体 WEND 满足条件? 否
(2)当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后 再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将 不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。 2、UNTIL 语句 (1)UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是

条件 是

DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

循环体 满足条件? 是 否

(2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一次循环体,然后进 行条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满 足时,不再执行循环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析:当型循环与直到型循环的区别: (先由学生讨论再归纳) (1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断;

在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,在 UNTIL 语句中,是当条件不满足时执行循环 24

1.3.1 辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1) :用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 0,则用除数 n 除以余数 除数

S0

和一个余数

R0

; :若 (2)

R0

=0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 为 m,n 的最大公约数;若 =0,此时所得到的

R0



R0

得到一个商

S1

和一个余数

R1

; :若 (3)

R1

=0,则

R1

R1

≠0,则用

R0

除以余数

R1

得到一个商

S2

和一个余数

R2

;??

依次计算直至

Rn

Rn ?1

即为所求的最

大公约数。 2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:可半者 半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译为: :任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。 :以较大的数减 (1) (2) 去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等 数)就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析: (略) 3、辗转相除法与更相减损术的区别: (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数 相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到

1.3.2 秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0

这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序 基本思想:插入排序的思想就是读一个,排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中,以后读入的数与已存入数组的数 进行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的新数填入空出 25

的位置中. (由于算法简单,可以举例说明) 2、冒泡排序 基本思想:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1 个数和第 2 个数,大数放前,小数放后.然后 比较第 2 个数和第 3 个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第 1 个数开始, 到最后第 2 个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3 进位制
1、概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制。现在最常用的是十进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数, 我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数 57,可以用二进制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进 制表示为 39,它们所代表的数值都是一样的。 一般地,若 k 是一个大于一的整数,那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为:

an an?1...a1a0( k )

(0 ? an ? k , 0 ? an?1 ,..., a1 , a0 ? k ) ,

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数

第二章
2.1.1 简单随机抽样
1.总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体. 把总体中个体的总数叫做总体容量.

统计

为了研究总体

的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分:







研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量. 2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的每个单位完全独立,彼此间无一 定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时, 才采用这种方法。 3.简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;?随机数表法;?计算机模拟法;?使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。 4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具,实施抽签

26

(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5.随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。

2.1.2 系统抽样
1.系统抽样(等距抽样或机械抽样) : 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样 的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在 调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循 环性规律,且这种循环和抽样距离重合。 2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施也比较简单。更为重要的 是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大 提高估计精度。

2.1.3 分层抽样
1.分层抽样(类型抽样) : 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采 用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法: 1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样的方法抽取样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体,所 有的样本进而代表总体。 分层标准: (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题: (1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 (2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方法,主要是便于对不同层 次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则需要先对各层的数据资料进行加权处理,调 27

整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、本均值: x

?

x1 ? x2 ? ? ? xn n
? s2 ? ( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 n

2、 .样本标准差: s

3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差。在随机 抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差,而只是一个估计,但这种估计 是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。 4. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s ) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理

2.3.2 两个变量的线性相关
1、概念: (1)回归直线方程 (2)回归系数 2.最小二乘法 3.直线回归方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y)进行估计,即可得 到个体 Y 值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2 的浓度。 4.应用直线回归的注意事项 (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图; (3)回归直线不要外延。

第三章
3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念: 28

概 率

(1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为
nA 事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)= n 为事件 A 出现的概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的

增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。
nA (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 n ,它具有一定的稳定

性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所 以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同 的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立 事件是指事件 A与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发 生,对立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生
1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;

②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= 29

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模 型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) ;
(2) 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等.

高中数学

必修 4 知识点

第一章 三角函数
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为

?? k ? 360

?

? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
?

? ?

?? k ? 360 ? 90
? ? ?

? k ? 360? ? 180? , k ? ?
?

?? k ? 360 ? 180

? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?

? ?

?? k ? 360 ? 270
?

?

? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ?
?

终边在 x 轴上的角的集合为 终边在

?? ? ? k ?180 , k ? ?? ? ?? ? ? k ? 90 , k ? ??
?

y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ?

终边在坐标轴上的角的集合为

3、与角 ? 终边相同的角的集合为

?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
?

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是

? ?

l r



? 180 ? ? 57.3? . 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 180 ? ?
?

?

?

?

7、若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? , C ? 2r ? l ,
30

1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2
8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是

? x, y ? ,它与原点的距离是 r

?r ?

x2 ? y 2 ? 0
y

?

,则

sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin ? 11 、 角

P T v O
本 关 系 : ;

? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .
三 角 函 数
2

M A

x





?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

? sin

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ?

? 2?

sin ? ? sin ? ? ? tan ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? cos ? ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、①的图象上所有点向左(右)平移

?

个单位长度,得到函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数

图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?
的图象. ②数

y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1 ?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左 (右) 平移 y ? sin ? x 的图象;

? ?

个单位长度, 得到函数

y ? sin ?? x ? ? ?

的图象;再将函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数

y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象.
14、函数

y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质:
31

①振幅: ? ;②周期: ? 函数

?

2?

?

;③频率: ,当

f ?

1 ? ? ? 2?

;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ;当

y ? ? s i n?? x ? ? ? ? ?

x ? x1 时 , 取 得 最 小 值 为 ymin

x ? x2 时 , 取 得 最 大 值 为 ymax

,则

??

1 ? ym a x ? y 2

min,

?

??

1 ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:



函 质



y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域

? ?1,1?


? ?1,1?
当x

R

x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ? ? 时,
?
2

? 2k? ? k ? ? ? 时,
既无最大值也无最小值

最值

ymax ? 1;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周期性 奇偶性 在

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2?
偶函数

2?
奇函数

?
奇函数

? ?? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?


? k ? ? ? 上是增函数;在
单调性

? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上 是 ? 2 k ? , 2 k? ? ? ?

在 ? k?

增函数;在

? ?

?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 对称性 对称轴 x

? k? , 0 ?? k ? ? ?
? k? ?

?
2

对称中心 ? k?

? k ? ??
对称轴 x

? ?

?

?

? , 0 ? ?k ? ?? 2 ?

对称中心 ? 无对称轴

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

? k? ? k ? ? ?

第二章
16、向量:既有大小,又有方向的量.

平面向量
32

数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量.

零向量:长度为 0 的向量.

平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ?三角形法则的特点:首尾相连. ?平行四边形法则的特点:共起点. ?三角形不等式:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b
? ? ? ? ?b ?a ;
?



?运算性质:①交换律: a ? b

②结合律:

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? c ? a ? ? b ? c ? ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a .

?

?

?

C

?坐标运算:设 a

?

? ? ? ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

? a
? b

18、向量减法运算: ?三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ?坐标运算:设 a

?

?

? ? ? ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

?
? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

??? ? 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
19、向量数乘运算: ?实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?

?

?a ? ? a

?

?



②当 ?

? ? ? ? ? ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .

?运算律:① ?

? ? a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ?b .
? ? ? ? ?
? ?

?

?

?坐标运算:设 a

?

? ? ? x, y ? ,则 ? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
? ? ? a?0

20、向量共线定理:向量 a 设a

?

? ? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ?a .

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0

?

? 共线.
?

21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一 对实数 ?1 、 ?2 ,使 a

??

?? ?

?

?? ?? ? ?? ?? ? ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底)

22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1? 2 上的一点, ?1 、 ? 2 的坐标分别是

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ? ?? 2 时,点

??? ?

????

? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , (当 ? 的坐标是 ? 1 ? . ? ? 1时,就为中点公式。) 1? ? ? ? 1? ?
23、平面向量的数量积: ? a ?b

? ?

? ? ? ? ? ? ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .
33

?性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b
.③

;当 a 与 b 反向时,

?

?

? ? ? ? a ?b ? ? a b

;a ?a

? ?

? ?2 ? ? ? ? a2 ? a 或 a ? a ? a

? ? ? ? a ?b ? a b



?运算律:① a ? b

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b

?

?

? ? ? ? ? ? ? ;③ ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c .

?

?

?坐标运算:设两个非零向量 a 若

?

? ? ? ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
, 或

? a ? ? x, y ?

, 则

?2 a ? x2 ? y 2
1

? a ? x2 ? y2





? a ? ? x1 , y1 ?



? b ? ? x2 , y2 ?

, 则

? ? a ? b ? 1 x 2 x?

y0. ? 2 y


? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b ? ? ? ? ? 设 a 、b 都是非零向量,a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? , 是 a 与 b 的夹角, cos ? ? ? ? ? 则 ? 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2

第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ? cos ? sin

?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

? tan

?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ?

? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

? tan

( tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ? sin 2? ? cos 2?

? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin ? ? cos? ) 2
? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

? 升幂公式 1 ? cos? ? 2 cos2

?

2 2 cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ? 降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
26、

,1 ? cos? ? 2 sin 2

?


万能公式 : α α 2 tan 1 ? tan 2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? tan 2 1 ? tan 2 2 2 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?

27、

半角公式 : α 1 ? cos α α 1 ? cos α 34 cos ? ? ; s in ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α s inα 1 ? cos α tan ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α s inα

? (后两个不用判断符号,更加好用)
28、合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的

y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。

? sin ? ? ? cos ? ? ? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:

? . ?

29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算, (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补, 互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是

? 2

的二倍;

? 2



? 4

的二倍;

30 o ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ? 2
o o o o o

;问: sin

?
12

?

; cos

?
12

?



③?

? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?(

?
4

??) ;

⑤ 2?

? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异 名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90 o ? tan 45 o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式 有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式 ; ;

1 ? cos?

常用升幂化为

有理式,常用升幂公式有:

(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan? 1 ? tan? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan? 1 ? tan?

tan? ? tan ? ? __________ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ ; __ _ tan? ? tan ? ? __________ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ ; __ _

2 tan? ?

; 1 ? tan

2

??




tan 20 o ? tan 40 o ? 3 tan 20 o tan 40 o ?

sin ? ? cos? ?

= = ; 1 ? cos?

; ; (其中 tan ? ;

a sin? ? b cos? ?
1 ? cos? ?

?

; )

?
35

(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三 角函数互化。 如: sin 50
o

(1 ? 3 tan10 o ) ?

; 。

tan? ? cot? ?

高中数学

必修 5 知识点

第一章 解三角形
(一)解三角形:
1、正弦定理:在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, ,则有 ( R 为 ???C 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; ② sin ?

a b c ? ? ? 2R sin ? sin ? sin C

?

a b c ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; , sin ? ? , sin C ? 2R 2R 2R
???C

3、三角形面积公式: S

?

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
2
2 2 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,推论: cos ? ? b ? c ? a

4、余弦定理:在 ???C 中,有 a

2bc

第二章
1.数列的有关概念: (1)

数列

数列:按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数 N*或它的有限子集{1,2,3,?,n}上 的函数。 通项公式:数列的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系用一个公式来表示,这个公式即是该数列的通项公式。如:

(2)

an ? 2n 2 ? 1 。
(3) 递推公式:已知数列{an}的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与他的前一项 an-1(或前几项)可以用一个公式 来表示,这个公式即是该数列的递推公式。 如:

a1 ? 1, a2 ? 2, an ? an ?1 ? an ?2 (n ? 2) 。
列举法:如 1,3,5,7,9,… (2)图象法:用(n, an)孤立点表示。 解析法:用通项公式表示。 (4)递推法:用递推公式表示。

2.数列的表示方法: (1) (3) 3.数列的分类:

?有穷数列 按项数? ?无穷数列
4.数列{an}及前 n 项和之间的关系:

?常数列:an ? 2 ? n ?递增数列:an ? 2n ? 1, an ? 2 按单调性 ? 2 ?递减数列:an ? ? n ? 1 ?摆动数列:a ? ( ?1) n ? 2n ? n
? S1 , ( n ? 1) an ? ? ? S n ? S n ?1 , ( n ? 2)
等比数列

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
5.等差数列与等比数列对比小结: 等差数列 一、定义

an ? an?1 ? d (n ? 2)
36

an ? q ( n ? 2) an ?1

1. an ? a1 ? ? n ? 1? d

1. an

? a1q n ?1

二、公式

an ? am ? ? n ? m ? d , ? n ? m ?
2. Sn ?

an ? am q n ? m , (n ? m)
2 d
2.

n ? a1 ? an ? 2

? na1 ?

n ? n ? 1?

?na1 ? q ? 1? ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q n ? 1 ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
2

1. a, b, c成等差 ? 2b ? a ? c , 称 b 为 a 与 c 的等差中项 三、性质 2. m ? n ? 若
*

1. a, b, c成等比 ? b

? ac ,

称 b 为 a 与 c 的等比中项

, , p ? q( m 、n 、 p 、q ? ? ) 2.若 m ? n ? p ? q( m 、n 、 p 、q ? ?* ) 则 am ? an ? a p ? aq 则 am ? an ? a p ? aq 3. S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2 n 成等差数列 3. S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2 n 成等比数列 第三章 不等式 1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; ② a ? b, b ? c ? a ? c ; ③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; n n ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; ⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ? ? , n ? 1? ; n n ⑧ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ? ?, n ? 1? . 小结:代数式的大小比较或证明通常用作差比较法:作差、化积(商) 、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中,常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法: (1)化成标准式: ax 线性规划问题: 1.了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 3.解线性规划实际问题的步骤: (1)将数据列成表格; (2)列出约束条件与目标函数; (3)根据求最值方法:①画:画可行域;②移:移与目标函数一致 的平行直线;③求:求最值点坐标;④答;求最值; 两类主要的目标函数的几何意义: ①z (4)验证。
2

(2)求出对应的一元二次方程的根; ? bx ? c ? 0, (a ? 0) ; (4)根据不等号方向取出相应的解集。

(3)画出对应的二次函数的图象;

? ax ? by -----直线的截距;② z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 -----两点的距离或圆的半径;
a?b ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 ? ab . 2
? a?b? ; ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0 ? ? 2 ?
2

4、均值定理: 若 a

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 5、均值定理的应用:设 x 、 y 都为正数,则有
?若 x ? ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 y ? s (和为定值)

s2 . 4

?若 xy ?

,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . p (积为定值)

注意:在应用的时候,必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

《2012 年高考数学总复习系列》高中数学选修修 1-1 知识点
第一章:命题与逻辑结构
37

知识点:
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆 命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,它的逆命题为“若 q ,则 p ”. 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个 命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的否命题为“若 ?p ,则 ?q ”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个 命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的逆否命题为“若 ?q ,则 ?p ”. 6、四种命题的真假性: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系:

?1? 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ? 2 ? 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

7、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 都是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时, p ? q 是假命题. 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题都是假命题时, p ? q 是假命题. 对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ?p . 若 p 是真命题,则 ?p 必是假命题;若 p 是假命题,则 ?p 必是真命题. 9、短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“ ? ”表示. 、 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ?? , p ? x ? ” . 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“ ? ”表示. 、 含有存在量词的命题称为特称命题. 特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ?? , p ? x ? ” . 是特称命题. 考点:1、充要条件的判定 2、命题之间的关系 ★1.命题“对任意的 x ? R,x ? x ? 1≤ 0 ”的否定是(
3 2

10、全称命题 p : ?x ?? , p ? x ? ,它的否定 ?p : ?x ?? , ?p ? x ? .全称命题的否定


2

A.不存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0
3 2

B.存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0
3

C.存在 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

D.对任意的 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

38

★2、给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆 否命题三个命题中,真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 )

★3. 已知α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

第二章:圆锥曲线
知识点:
1、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹称为椭圆.这两个定点 称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

范围

?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ? ?1 ? ?b, 0 ? 、 ? 2 ? b, 0 ?
长轴的长 ? 2a

顶点

?1 ? 0, ?b ? 、 ? 2 ? 0,b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

3、设 ? 是椭圆上任一点,点 ? 到 F1 对应准线的距离为 d1 ,点 ? 到 F2 对应准线的距离为 d 2 ,则

? F1 d1

?

? F2 d2

? e.
39

4、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹称为双曲线.这 两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 5、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x ? ?a 或 x ? a , y ? R
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?
虚轴的长 ? 2b

y ? ?a 或 y ? a , x ? R
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2a

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

渐近线方程

y??

b x a

y??

a x b

6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 7、设 ? 是双曲线上任一点,点 ? 到 F1 对应准线的距离为 d1 ,点 ? 到 F2 对应准线的距离为 d 2 ,则

? F1 d1

?

? F2 d2

? e.

8、 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点 F 称为抛物线的焦点, 定直线 l 称为抛物线的准线. 9、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

40

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ? ? p ? F ? ? ,0? ? 2 ? p? ? F ? 0, ? 2? ?

对称轴

y轴
p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

焦点

准线方程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的“通径” ,即

?? ? 2 p .

考点:1、圆锥曲线方程的求解
2、直线与圆锥曲线综合性问题 3、圆锥曲线的离心率问题

??? ? 典型例题: ★★1.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, A 是抛物线上的一点,FA
? 与 x 轴正向的夹角为 60 ,则 OA 为(

??? ?



A.

21 p 4

B.

21 p 2

C.

13 p 6

D.

13 p 36

★★ 2.与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x 2 ? y 2 ? 12 x ? 12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准方程
是 .

★★★3. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3, 最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 为直径的图

第三章:导数及其应用
知识点:
41

1、若某个问题中的函数关系用 f ? x ? 表示,问题中的变化率用式子

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1

?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ?f 表示,则式子 称为函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率. x2 ? x1 ?x f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1 ? lim ?f ,则称它为函数 y ? f ? x ? 在 ?x ? 0 ?x

2、函数 f ? x ? 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim

?x ? 0

x ? x0 处的导数,记作 f ? ? x0 ? 或 y ? x ? x ,即
0

f ? ? x0 ? ? lim

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?x

?x ?0



3、函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ? x ? 在点 ? x0 , f ? x0 ? 处的切线的斜率.曲 线 y ? f ? x ? 在 点 ? x0 , f ? x0 ?

?

?

?

?

处 的 切 线 的 斜 率 是

f ? ? x0 ? , 切 线 的 方 程 为

y? f ?

0

?x

? ? ? f ?? x ?? .若函数在 x0 处的导数不存在,则说明斜率不存在,切线的方程为 x ? x0 . x x 0 0
f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ?x

4、若当 x 变化时, f ? ? x ? 是 x 的函数,则称它为 f ? x ? 的导函数(导数) ,记作 f ? ? x ? 或 y ? ,即

f ? ? x ? ? y? ? lim

?x ?0



5、基本初等函数的导数公式:

?1? 若 f ? x ? ? c ,则 f ? ? x ? ? 0 ; ? 2 ? 若 f ? x ? ? x n ? x ? Q* ? ,则 f ? ? x ? ? nx n?1 ;

? 3? 若 f ? x ? ? sin x ,则 f ? ? x ? ? cos x ; ? 4 ? 若 f ? x ? ? cos x ,则 f ? ? x ? ? ? sin x ; ? 5 ? 若 f ? x ? ? a x ,则 f ? ? x ? ? a x ln a ; ? 6 ? 若 f ? x ? ? e x ,则 f ? ? x ? ? e x ;
? 7 ? 若 f ? x ? ? log a x ,则 f ? ? x ? ?
6、导数运算法则:

1 1 ; ? 8 ? 若 f ? x ? ? ln x ,则 f ? ? x ? ? . x ln a x

?1? ? 2?

? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? ? g ? ? x ? ; ? ? ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ; ? ?

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? 3? ? ? g ? x ? ? 0? . ? ? 2 g ? x? ? ? g ? x ?? ? ? ?
7、对于两个函数 y ? f ? u ? 和 u ? g ? x ? ,若通过变量 u , y 可以表示成 x 的函数,则称这个函数为函数

y ? f ? u ? 和 u ? f ? x ? 的复合函数,记作 y ? f ? g ? x ? ? .

42

复合函数 y ? f g ? x ? 的导数与函数 y ? f ? u ? , u ? g ? x ? 的导数间的关系是

?

?

? x y? ? yu ? u? . x
8、在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增;若 f ? ? x ? ? 0 ,则函 数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 9、点 a 称为函数 y ? f ? x ? 的极小值点, f ? a ? 称为函数 y ? f ? x ? 的极小值;点 b 称为函数 y ? f ? x ? 的 极大值点, f ? b ? 称为函数 y ? f ? x ? 的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统 称为极值. 10、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
11、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a , b ? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x ? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大值,最小的
一个是最小值.

考点:1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用

典型例题
★1.(05 全国卷Ⅰ)函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f (x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =(
3 2



A.2
3

B. 3
2

C. 4

D.5 )

★2.函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16

★★★3.(根据 04 年天津卷文 21 改编)已知函数

f ( x) ? ax 3 ? cx ? d (a ? 0)

是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时

f (x) 取得极值-2.
(1)试求 a、c、d 的值; (2)求 f (x) 的单调区间和极大值;

43

★★★4.(根据山东 2008 年文 21 改编)设函数 f ( x) ? x e
2

x ?1

? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2和x ? 1为 f (x)

的极值点。 (1)求 a, b 的值; (2)讨论 f (x) 的单调性;

高中数学选修 1-2 知识点总结
第一章统计案例
第一课时 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一) 教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点: 了解线性回归模型与函数模型的差异, 了解判断刻画模型拟合效果的方法-相关指数和残差分 析. 教学难点:解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问: “名师出高徒”这句彦语的意思是什么?有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗?这两者之间 是否有关? 2. 复习:函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的 两个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤:收集数据 ? 作散点图 ? 求回归直线方程 ? 利用方程进 行预报. 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 例 1 从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如下表所示: 编 号 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59

身高/cm 体重/kg

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重. (分 析思路 ? 教师演示 ? 学生整理)

80

体重/kg

60 40 20 0 150 155 160 165 身高/cm 170 175 180

44

第一步:作散点图

第二步:求回归方程

第三步:代值计算

② 提问:身高为 172cm 的女大学生的体重一定是 60.316kg 吗? 不一定,但一般可以认为她的体重在 60.316kg 左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上,观察上述散点图,我们可以发现女大学生的体重 y 和身高 x 之间的关系并不能用一次函数 (因为所有的样本点不共线, 所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系) 在 . y ? bx ? a 来严格刻画 数据表中身高为 165cm 的 3 名女大学生的体重分别为 48kg、57kg 和 61kg,如果能用一次函数来描述体重 与身高的关系, 那么身高为 165cm 的 3 名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其 他因素的影响,把这种影响的结果 e (即残差变量或随机变量)引入到线性函数模型中,得到线性回归模 型 y ? bx ? a ? e ,其中残差变量 e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于 0 时,线性回归模型就变成一次函数模型. 因此,一次函数模型是线性回归模型的特殊形式,线性回归模 型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数:相关系数的绝对值越接近于 1,两个变量的线性相关关系越强,它们的散点图越接近一条 直线,这时用线性回归模型拟合这组数据就越好,此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结:求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同. 第二课时 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二)

教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点:了解评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点:了解评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程: 一、复习准备: 1.由例 1 知,预报变量(体重)的值受解释变量(身高)或随机误差的影响. 2.为了刻画预报变量(体重)的变化在多大程度上与解释变量(身高)有关?在多大程度上与随机误差 有关?我们引入了评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课: 1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和: (1)总偏差平方和:所有单个样本值与样本均值差的平方和,即 SST ? ? ( yi ? y ) 2 .
i ?1 n

y 残差平方和:回归值与样本值差的平方和,即 SSE ? ? ( yi ? ?i )2 .
i ?1

n

y 回归平方和:相应回归值与样本均值差的平方和,即 SSR ? ? ( ?i ? y ) 2 .
i ?1

n

y (2)学习要领:①注意 yi 、 ?i 、 y 的区别;②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程
度与残差变量的变化程度之和,即 ? ( yi ? y )2 ? ? ( yi ? ?i )2 ? ? ( ?i ? y )2 ;③当总偏差平方和相对固定 y y
i ?1 i ?1 i ?1 n n n

时,残差平方和越小,则回归平方和越大,此时模型的拟合效果越好;④对于多个不同的模型,我们还可
45

以引入相关指数 R ? 1 ?
2

?( y
i ?1 n i ?1

n

i

? ?i )2 y
来刻画回归的效果,它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. R 2

?( y

i

? y)2

的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题: 例 2 关于 x 与 Y 有如下数据:

x
y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

y y 为了对 x 、 Y 两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型: ? ? 6.5 x ? 17.5 , ? ? 7 x ? 17 ,试比
较哪一个模型拟合的效果更好. 分析:既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和,也可分别求出两种模型下的 相关指数,然后再进行比较,从而得出结论. (答案: R12 ? 1 ? 合效果较好.) 3. 小结:分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和,初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好 坏. 第三课时 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(三)

?(y
i ?1 5 i ?1

5

i

? ?i )2 y ? y)
2

?(y

? 1?

155 2 ? 0.845 , R2 ? 1 ? 1000

?(y
i ?1 5 i ?1

5

i

? ?i ) 2 y ? y)
2

i

?(y

? 1?

180 ? 0.82 ,84.5%>82%,所以甲选用的模型拟 1000

i

教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点: 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际问题 的过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点: 了解常用函数的图象特点, 选择不同的模型建模, 并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程: 一、复习准备: 1. 给出例 3:一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关,现收集了 7 组观测数据列于下表中,试建立 y 与 x 之 间的回归方程. 温度 x / ? C 产卵数 y / 个 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325

(学生描述步骤,教师演示) 2. 讨论: 观察右图中的散点图, 发现样本点并没有分布 在某个带状区域内,即两个变量不呈线性相关关系,所 以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关 系. 二、讲授新课:
46
产卵数

350 300 250 200 150 100 50 0 0 10 20 温度 30 40

1. 探究非线性回归方程的确定: ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域,可以选线性回归模型来建模;如果散点图中的点分布 在一个曲线状带形区域,就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线 y= C1eC2 x 的周围(其中 c1 , c2 是待定 的参数) ,故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数,得 ln y ? c2 x ? ln c1 ,再令 z ? ln y ,则 z ? c2 x ? ln c1 ,而 z 与 x 间的关系如下: 观察 z 与 x 的散点图,可以发现变换后样本点分布在一条直
7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 x 30 40

X z

21

23

25 3.045

27 3.178

29 4.190

32 4.745

35 5.784

1.946 2.398

线的附近,因此可以用线性回归方程来拟合.

? ④ 利用计算器算得 a ? ?3.843, b ? 0.272 , z 与 x 间的线性回归方程为 z ? 0.272 x ? 3.843 ,因此红铃虫的
y 产卵数对温度的非线性回归方程为 ? ? e0.272 x ?3.843 .
⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题,可按“作散点图 ? 建模 ? 确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换,将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结:用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 三、巩固练习: 为了研究某种细菌随时间 x 变化,繁殖的个数,收集数据如下: 天数 x/天 繁殖个数 y/个 1 6 2 12 3 25 4 49 5 95 6 190

(1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图;

? (2)试求出预报变量对解释变量的回归方程.(答案:所求非线性回归方程为 y=e0.69 x?1.112 .)
第四课时 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(四)

教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点: 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际问题 的过程中寻找更好的模型的方法,了解可用残差分析的方法,比较两种模型的拟合效果. 教学难点: 了解常用函数的图象特点, 选择不同的模型建模, 并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:在例 3 中,观察散点图,我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数 y 和温度 x 间的关系, 还可用其它函数模型来拟合吗?
47

z

400 300 200 100 0 0 500 t 1000 1500

t
y

441 7

529 11

625 21

729 24

841 66

1024 115

1225 325

2. 讨论:能用二次函数模型 y ? c3 x 2 ? c4 来拟合上述两个变量间的关系吗?(令 t ? x 2 ,则 y ? c3t ? c4 , 此时 y 与 t 间的关系如下: 观察 y 与 t 的散点图,可以发现样本点并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线性回归方程来拟合它, 即不宜用二次曲线 y ? c3 x 2 ? c4 来拟合 y 与 x 之间的关系. )小结:也就是说,我们可以通过观察变换后 的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上,除了观察散点图以外,我们也可先求出函数模型,然后 利用残差分析的方法来比较模型的好坏. 二、讲授新课: 1. 教学残差分析:

? y ① 残差:样本值与回归值的差叫残差,即 ei ? yi ? ?i .
② 残差分析:通过残差来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作 称为残差分析. ③ 残差图:以残差为横坐标,以样本编号,或身高数据,或体重估计值等为横坐标,作出的图形称为残 差图. 观察残差图,如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带 状区域的宽度越窄,模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高. 2. 例 3 中的残差分析: 计算两种模型下的残差

y

一般情况下,比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的 小,而另一些样本点的情况则相反) 故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果. , 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好. 由于两种模型下的残差平方和分别为 1450.673 和 15448.432,故选用指数函数模型的拟合效果远远 优于选用二次函数模型. (当然,还可用相关指数刻画回归效果) 3. 小结:残差分析的步骤、作用 三、巩固练习:练习:教材 P13 第 1 题

第一课时

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(一)
48

教学要求:通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题,并借助样本数据的列联表、柱 形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高, 让学生亲身体验独立性检验的 实施步骤与必要性. 教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点:了解独立性检验的基本思想、了解随机变量 K 2 的含义. 教学过程: 一、复习准备: 回归分析的方法、步骤,刻画模型拟合效果的方法(相关指数、残差分析) 、步骤. 二、讲授新课: 1. 教学与列联表相关的概念: ① 分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是 离散的,而且不同的取值仅表示个体所属的类别,如性别变量,只取男、女两个值,商品的等级变量只取 一级、二级、三级,等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示,但这时的数字除了分类以外没有其他的 含义. 如用“0”表示“男” ,用“1”表示“女”. ② 列联表:分类变量的汇总统计表(频数表). 一般我们只研 究每个分类变量只取两个值,这样的列联表称为 2 ? 2 . 如吸烟 与患肺癌的列联表: 2. 教学三维柱形图和二维条形图的概念: 由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存 在差异.(教师在课堂上用 EXCEL 软件演示三维柱形图和二维条形图,引导学生观察这两类图形的特征, 并分析由图形得出的结论) 3. 独立性检验的基本思想: ① 独立性检验的必要性(为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论?) :列联表中的数据是样本数据, 它只是总体的代表,具有随机性,故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. ② 独立性检验的步骤(略)及原理(与反证法类似) : 反证法 要证明结论 A 在 A 不成立的前提下进行推理 推出矛盾,意味着结论 A 成立 备择假设 H 1 在 H 1 不成立的条件下,即 H 0 成立的条件下进行推理 推出有利于 H 1 成立的小概率事件(概率不超过 ? 的事件)发 生,意味着 H 1 成立的可能性(可能性为(1- ? ) )很大 没有找到矛盾,不能对 A 下任 何结论,即反证法不成功 ③ 上例的解决步骤 第一步:提出假设检验问题 H 0 :吸烟与患肺癌没有关系 ? H 1 :吸烟与患肺癌有关系 推出有利于 H 1 成立的小概率事件不发生,接受原假设 假设检验 不吸烟 吸 总 烟 计 不患肺癌 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965

49

第二步:选择检验的指标

K2 ?

n(ad ? bc)2 (它越小,原假设“H 0 :吸烟与患肺癌没 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

有关系”成立的可能性越大;它越大,备择假设“H 1 :吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步:查表得出结论

P(k2>k) 0.50 k
0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

第二课时

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(二)

教学要求:通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题,并借助样本数据的列联表、柱 形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高, 让学生亲身体验独立性检验的 实施步骤与必要性. 教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点:了解独立性检验的基本思想、了解随机变量 K 2 的含义. 教学过程: 一、复习准备: 独立性检验的基本步骤、思想 二、讲授新课: 1. 教学例 1: 例 1 在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶;而另外 772 名不是因为患心 脏病而住院的男性病人中有 175 名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关 系?你所得的结论在什么范围内有效? ① 第一步:教师引导学生作出列联表,并分析列联表,引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论; 第二步:教师演示三维柱形图和二维条形图,进一步向学生解释所得到的统计结果; 第三步:由学生计算出 K 2 的值; 第四步:解释结果的含义. ② 通过第 2 个问题,向学生强调“样本只能代表相应总体” ,这里的数据来自于医院的住院病人,因此题 目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体,而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误,除非有 其它的证据表明可以进行这种推广. 2. 教学例 2: 例 2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取 300 名学 生,得到如下列联表: 喜欢数学课程 男 女 总 计 37 35 72
50

不喜欢数学课程 85 143 228

总 计 122 178 300

由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k ? 4.513 . 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间 有关系?为什么? (学生自练,教师总结) 强调:①使得 P( K 2 ? 3.841) ? 0.05 成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这 个前提不成立,上面的概率估计式就不一定正确; ②结论有 95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义; ③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后,可直接计算 K 2 的值解决实际问题,而没有必要画 相应的图形,但是图形的直观性也不可忽视. 3. 小结:独立性检验的方法、原理、步骤 三、巩固练习:
某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响,随机进行 调查并得到如下的列联表:请问有多大把握认为“高中生学习状况 与生理健康有关”?

不健康 不优秀 优 秀 总 计 41 37 78

健 626 296 922



总计 667 333 1000

第二章 推理与证明
第一课时 2.1.1 合情推理(一) 教学要求:结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳 推理在数学发现中的作用. 教学重点:能利用归纳进行简单的推理. 教学难点:用归纳进行推理,作出猜想. 教学过程: 一、新课引入: 1. 哥 德 巴 赫 猜 想 : 观 察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ??, 50=13+37, ??, 100=3+97,猜测:任一偶数(除去 2,它本身是一素数)可以表示成 两个素数之和. 1742 年写信提出,欧拉及以后的数学家无人能解,成为数学史上举世闻名的猜想. 1973 年,我国数学家陈景润,证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和,数学上把它称 为“1+2”. 2. 费马猜想:法国业余数学家之王—费马 (1601-1665)在 1640 年通过对 F0 ? 22 ? 1 ? 3 ,F1 ? 22 ? 1 ? 5 ,
0 1

F2 ? 22 ? 1 ? 17 , F3 ? 22 ? 1 ? 257 , F4 ? 22 ? 1 ? 65 537 的观察,发现其结果都是素数,于是提出猜想:
2 3 4

对 所 有 的 自 然 数 n , 任 何 形 如 Fn ? 22 ? 1 的 数 都 是 素 数 . 后 来 瑞 士 数 学 家 欧 拉 , 发 现
n

F5 ? 22 ? 1 ? 4 2 9 4 9 6 7 2 9 7 ?6 4 1 6不是素数,推翻费马猜想. ? 700 417
5

3. 四色猜想:1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时, 发现了一种有趣的现象: “每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.” , 四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同
51

的电子计算机上,用 1200 个小时,作了 100 亿逻辑判断,完成证明. 二、讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者 由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理. 简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的 推理. ② 归纳练习:(i)由铜、铁、铝、金、银能导电,能归纳出什么结论? (ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 180 度,能归纳出什么结论? (iii)观察等式: 1 ? 3 ? 4 ? 22 , 1 ? 3 ? 5 ? 9 ? 32 , 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 16 ? 42 ,能得出怎样的结论? ③ 讨论:(i)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理? (ii)归纳推理有何作用? (发现新事实,获得新结论,是做出科学发现的重要手段) (iii)归纳推理的结果是否正确?(不一定) 2. 教学例题: ① 出示例题:已知数列 ?an ? 的第 1 项 a1 ? 2 ,且 an ?1 ?
an (n ? 1, 2,?) ,试归纳出通项公式. 1 ? an

(分析思路:试值 n=1,2,3,4 → 猜想 an →如何证明:将递推公式变形,再构造新数列) ② 思考:证得某命题在 n=n 0 时成立;又假设在 n=k 时命题成立,再证明 n=k+1 时命题也成立. 由

这两步,可以归纳出什么结论? (目的:渗透数学归纳法原理,即基础、递推关系) ③ 练习:已知 f (1) ? 0, af (n) ? bf (n ? 1) ? 1, n ? 2, a ? 0, b ? 0 ,推测 f (n) 的表达式. 3. 小结:①归纳推理的药店:由部分到整体、由个别到一般;②典型例子:哥德巴赫猜想的提出;数列 通项公式的归纳. 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P38 1、2 题. 2. 作业:教材 P44 习题 A 组 1、2、3 题. 第二课时 2.1.1 合情推理(二)

教学要求:结合已学过的数学实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并 认识合情推理在数学发现中的作用. 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点:用归纳和类比进行推理,作出猜想. 教学过程: 一、复习准备: 1. 练 习 : 已 知
(iii) (a1 ? a2 ? a3 )(

ai ? 0 (i ? 1, 2,?, n) , 考 察 下 列 式 子 : (i ) a1 ?

1 1 1 ? 1 ; (ii) (a1 ? a2 )( ? ) ? 4 ; a1 a1 a2

1 1 1 ? ? ) ? 9 . 我们可以归纳出,对 a1 , a2 ,?, an 也成立的类似不等式为 a1 a2 a3

.

2. 猜想数列

1 1 1 1 ,? , ,? ,?? 的通项公式是 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9
52

.

3. 导入:鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理,发明潜水艇;地球上有生命,火星与 地球有许多相似点,如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星,有大气层,也有季节变更,温度也适合生物生 存,科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比推理. 二、讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特 征的推理. 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. ② 类比练习: (i)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体? (ii)平面内不共线的三点确定一个圆,由此结论如何类比得到空间的结论? (iii)由圆的一些特征,类比得到球体的相应特征. (教材 P81 探究 填表) 小结:平面→空间,圆→球,线→面. ③ 讨论:以平面向量为基础学习空间向量,试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题: ① 出示例 1:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. (得到如下表格) 类比角度 运算结果 运算律 实数的加法 若 a, b ? R, 则 a ? b ? R
a?b?b?a (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

实数的乘法 若 a, b ? R, 则 ab ? R
ab ? ba (ab)c ? a(bc)

逆运算

加法的逆运算是减法, 使得方 程 a ? x ? 0 有唯一解 x ? ?a

乘法的逆运算是除法,使得 方程 ax ? 1 有唯一解 x ?
1 a

单位元

a?0?a

a ?1 ? 1

② 出示例 2:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 思维:直角三角形中, ?C ? 900 ,3 条边的长度 a, b, c ,2 条直角边 a, b 和 1 条斜边 c ; →3 个面两两垂直的四面体中, ?PDF ? ?PDE ? ?EDF ? 900 ,4 个面的面积 S1 , S2 , S3 和 S 3 个“直角面” S1 , S2 , S3 和 1 个“斜面” S . → 拓展:三角形到四面体的类比. 3. 小结:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比, 然后提出猜想的推理,统称为合情推理. 三、巩固练习:1. 练习:教材 P38 3 题. 2. 探究:教材 P35 例 5 演绎推理 3.作业:P44 5、6 题.

第三课时 2.1.2

教学要求:结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法, 并能运用它们进行一些简单的推理。. 教学重点:了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点:分析证明过程中包含的“三段论”形式.
53

教学过程: 一、复习准备: 1. 练习: ① 对于任意正整数 n,猜想(2n-1)与(n+1) 的大小关系? ②在平面内, a ? c, b ? c , a // b . 类比到空间, 若 则 你会得到什么结论? (结论: 在空间中, a ? c, b ? c , 若 则 a // b ;或在空间中,若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? . 2. 讨论:以上推理属于什么推理,结论正确吗? 合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明,有什么能使结论正确的推理形式呢? 3. 导入:① 所有的金属都能够导电,铜是金属,所以 ; ;
2

② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的大行星,因此 ③ 奇数都不能被 2 整除,2007 是奇数,所以 .

(填空→讨论:上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗?→课题:演绎推理) 二、讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。 要点:由一般到特殊的推理。 ② 讨论:演绎推理与合情推理有什么区别?
?归纳推理:由特殊到一般 合情推理 ? ;演绎推理:由一般到特殊. ?类比推理:由特殊到特殊

③ 提问:观察教材 P39 引例,它们都由几部分组成,各部分有什么特点? 所有的金属都导电 已知的一般原理 大前提 铜是金属 特殊情况 小前提 铜能导电 根据原理,对特殊情况做出的判断 结论

“三段论”是演绎推理的一般模式:第一段:大前提——已知的一般原理;第二段:小前提——所研究的 特殊情况;第三段:结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. ④ 举例:举出一些用“三段论”推理的例子. 2. 教学例题: ① 出示例 1:证明函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x 在 ? ??, ?1? 上是增函数. 板演:证明方法(定义法、导数法) → 指出:大前题、小前题、结论. ② 出示例 2:在锐角三角形 ABC 中, AD ? BC, BE ? AC ,D,E 是垂足. 求证:AB 的中点 M 到 D,E 的距 离相等. 分析:证明思路 →板演:证明过程 → 指出:大前题、小前题、结论.
1 ③ 讨论:因为指数函数 y ? a x 是增函数, y ? ( ) x 是指数函数,则结论是什么? 2

(结论→指出:大前提、小前提 → 讨论:结论是否正确,为什么?) ④ 讨论:演绎推理怎样才结论正确?(只要前提和推理形式正确,结论必定正确)
54

3. 比较:合情推理与演绎推理的区别与联系?(从推理形式、结论正确性等角度比较;演绎推理可以验 证合情推理的结论,合情推理为演绎推理提供方向和思路.) 三、巩固练习:1. 练习:P42 2、3 题 2. 探究:P42 阅读与思考 3.作业:P44 6 题,B 组 1 题.

第一课时

2.2.1

综合法和分析法(一)

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综 合法的思考过程、特点. 教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法. 教学过程: 一、复习准备: 1. 已知 “若 a1 , a2 ? R ? ,且 a1 ? a2 ? 1 ,则

1 1 ,试请此结论推广猜想. ? ? 4” a1 a2 1 1 1 ? ? .... ? ? n 2 ) a1 a2 an

(答案:若 a1 , a2 .......an ? R ? ,且 a1 ? a2 ? .... ? an ? 1 ,则 2. 已知 a, b, c ? R ? , a ? b ? c ? 1 ,求证:

1 1 1 ? ? ? 9. a b c

先完成证明 → 讨论:证明过程有什么特点? 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例 1:已知 a, b, c 是不全相等的正数,求证:a(b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) > 6abc. 分析:运用什么知识来解决?(基本不等式) → 板演证明过程(注意等号的处理) → 讨论:证明形式的特点 ② 提出综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立. 框图表示: ③ 练习:已知 a,b,c 是全不相等的正实数,求证 要点:顺推证法;由因导果.
2 2 2 2 2 2

b ?c ?a a ?c ?b a ?b ?c ? ? ?3. a b c

④ 出示例 2:在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列,a、b、c 成等比数列. 求证:为△ABC 等边三角形. 分析:从哪些已知,可以得到什么结论? 如何转化三角形中边角关系? → 板演证明过程 → 讨论:证明过程的特点.

→ 小结:文字语言转化为符号语言;边角关系的转化;挖掘题中的隐含条件(内角和) 2. 练习: ② A, B 为锐角,且 tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3 ,求证: A ? B ? 60? . (提示:算 tan( A ? B) )

55

② 已知 a ? b ? c, 求证:

1 1 4 ? ? . a ?b b ?c a ?c
运用综合法可

3. 小结:综合法是从已知的 P 出发,得到一系列的结论 Q1 , Q2, ??? ,直到最后的结论是 Q. 以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习: 1. 求证:对于任意角θ , cos4 ? ? sin 4 ? ? cos 2? . (教材 P52 练习 1 题)

(两人板演 → 订正 → 小结:运用三角公式进行三角变换、思维过程) 2. ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证: 3. 作业:教材 P54 A 组 1 题.

1 1 3 . ? ? a?b b?c a?b?c

第二课时

2.2.1

综合法和分析法(二)

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综 合法的思考过程、特点. 教学重点:会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:基本不等式的形式? 2. 讨论:如何证明基本不等式

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) . 2

(讨论 → 板演 → 分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件) 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例 1:求证 3 ? 5 ? 2 ? 6 . 讨论:能用综合法证明吗? → 如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件? → 板演证明过程 (注意格式) → 再讨论:能用综合法证明吗? → 比较:两种证法 ② 提出分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.

框图表示: ③ 练习:设 x > 0,y > 0,证明不等式: ( x2 ? y 2 ) 2 ? ( x3 ? y3 ) 3 . 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例 4:见教材 P48.
1 1

要点:逆推证法;执果索因.

讨论:如何寻找证明思路?(从结论出发,逐步反推)
56

⑤ 出示例 5:见教材 P49.

讨论:如何寻找证明思路?(从结论与已知出发,逐步探求)

2. 练习:证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么截面的圆 的水管比截面是正方形的水管流量大.

提示:设截面周长为 l,则周长为 l 的圆的半径为

l 2?

,截面积为 ? (
l 2 l ) > ( )2 . 2? 4

l 2 ) , 2?

周长为 l 的正方形边长为 l ,截面积为 ( l )2 ,问题只需证: ? (
4

4

3. 小结:分析法由要证明的结论 Q 思考,一步步探求得到 Q 所需要的已知 P , P2, ??? ,直到所有的已知 P 1 都成立; 比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析法与综合 法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知” (综合) ,双管齐下,两面夹击,逐步缩小条 件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径. (框图示意) 三、巩固练习: 1. 设 a, b, c 是的△ABC 三边,S 是三角形的面积,求证: c 2 ? a 2 ? b2 ? 4ab ? 4 3S . 略证:正弦、余弦定理代入得: ?2ab cos C ? 4ab ? 2 3ab sin C , 即证: 2 ? cos C ? 2 3 sin C ,即: 3 sin C ? cos C ? 2 ,即证: sin(C ? 2. 作业:教材 P52 练习 2、3 题. 第三课时 2.2.2 反证法

?
6

) ? 1 (成立).

教学要求: 结合已经学过的数学实例, 了解间接证明的一种基本方法——反证法; 了解反证法的思考过程、 特点. 教学重点:会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法. 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:三枚正面朝上的硬币,每次翻转 2 枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原因:偶次) 2. 提出问题: 平面几何中,我们知道这样一个命题: “过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆”. 讨 论如何证明这个命题? 3. 给出证法:先假设可以作一个⊙O 过 A、B、C 三点, 则 O 在 AB 的中垂线 l 上,O 又在 BC 的中垂线 m 上, 即 O 是 l 与 m 的交点。
P A O D

但 ∵A、B、C 共线,∴l∥m(矛盾) ∴ 过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆. 二、讲授新课: 1. 教学反证法概念及步骤:

C

B

57

① 练习:仿照以上方法,证明:如果 a>b>0,那么 a ? b ② 提出反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明了原命题成立. 证明基本步骤: 假设原命题的结论不成立 → 从假设出发,经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设 不成立,从而原命题的结论成立 应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实 矛盾等). 方法实质: 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的, 即由一个命题与其逆否命题同真假, 通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实. 注:结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题: ① 出示例 1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析:如何否定结论? → 如何从假设出发进行推理? → 得到怎样的矛盾? 与教材不同的证法:反设 AB、CD 被 P 平分,∵P 不是圆心,连结 OP, 则由垂径定理:OP?AB,OP?CD,则过 P 有两条直线与 OP 垂直(矛盾) ,∴不被 P 平分. ② 出示例 2:求证 3 是无理数. ( 同上分析 → 板演证明,提示:有理数可表示为 m / n ) 证:假设 3 是有理数,则不妨设 3 ? m / n (m,n 为互质正整数) , 从而: (m / n)2 ? 3 , m2 ? 3n2 ,可见 m 是 3 的倍数. 设 m=3p(p 是正整数) ,则 3n2 ? m2 ? 9 p 2 ,可见 n 也是 3 的倍数. 这样,m, n 就不是互质的正整数(矛盾). ∴ 3 ? m / n 不可能,∴ 3 是无理数. ③ 练习:如果 a ? 1为无理数,求证 a 是无理数. 提示:假设 a 为有理数,则 a 可表示为 p / q ( p, q 为整数) ,即 a ? p / q . 由 a ? 1 ? ( p ? q) / q ,则 a ? 1也是有理数,这与已知矛盾. ∴ a 是无理数. 3. 小结:反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确. 注意证 明步骤和适应范围( “至多”“至少”“均是”“不都”“任何”“唯一”等特征的问题) 、 、 、 、 、 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P54 1、2 题 2. 作业:教材 P54 A 组 3 题.

第三章数系的扩充与复数的引入
第一课时 3.1.1 数系的扩充与复数的概念 教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的,明白复数及其相关概念。 教学重点:复数及其相关概念,能区分虚数与纯虚数,明白各数系的关系。 教学难点:复数及其相关概念的理解 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:N、Z、Q、R 分别代表什么?它们的如何发展得来的?
58

(让学生感受数系的发展与生活是密切相关的) 2.判断下列方程在实数集中的解的个数(引导学生回顾根的个数与 ? 的关系) : (1) x2 ? 3x ? 4 ? 0 (2) x2 ? 4x ? 5 ? 0 (3) x2 ? 2x ? 1 ? 0 (4) x 2 ? 1 ? 0

3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释,不想得到“无解”的答案。 讨论:若给方程 x 2 ? 1 ? 0 一个解 i ,则这个解 i 要满足什么条件? i 是否在实数集中? 实数 a 与 i 相乘、相加的结果应如何? 二、讲授新课: 1. 教学复数的概念: ①定义复数:形如 a ? bi 的数叫做复数,通常记为 z ? a ? bi (复数的代数形式) ,其中 i 叫虚数单位, a 叫 实部, b 叫虚部,数集 C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复数集。 出示例 1:下列数是否是复数,试找出它们各自的实部和虚部。

2 ? 3i,8 ? 4i,8 ? 3i,6, i, ?2 ? 9i,7i,0
规定: a ? bi ? c ? di ? a ? c且b=d ,强调:两复数不能比较大小,只有等与不等。 ②讨论:复数的代数形式中规定 a, b ? R , a, b 取何值时,它为实数?数集与实数集有何关系? ③定义虚数: a ? bi,(b ? 0) 叫做虚数, bi,(b ? 0) 叫做纯虚数。

?实数 (b=0) ? ④ 数集的关系: 复数Z ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ?
上述例 1 中,根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数? 2.出示例题 2: P62 (引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论) 练习:已知复数 a ? bi 与 3 ? (4 ? k )i 相等,且 a ? bi 的实部、虚部分别是方程 x2 ? 4 x ? 3 ? 0 的两根,试求: (讨论 3 ? (4 ? k )i 中,k 取何值时是实数?) a, b, k 的值。 小结:复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。 三、巩固练习: 1.指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数,是虚数的找出其实部与虚部。

2 ? 3i 3

,8 ? 4i,8 ? 0i,6, i, ? ?2 ? 9i ? ?

?

2 ? 1 ,7i,0

?

2.判断① 两复数,若虚部都是 3,则实部大的那个复数较大。 ② 复平面内,所有纯虚数都落在虚轴上,所有虚轴上的点都是纯虚数。 3 若 (3x ? 2 y) ? (5x ? y)i ? 17 ? 2i ,则 x, y 的值是? 4. .已知 i 是虚数单位,复数 Z ? m2 (1 ? i) ? m(2 ? 3i) ? 4(2 ? i) ,当 m 取何实数时, z 是: (1)实数 (2) 虚数 (3)纯虚数 (4)零

作业: P62 2、3 题。 第二课时 3.1.2
59

复数的几何意义

教学要求:理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的,能根据复数的代数形式描出其对应的点及 向量。 教学重点:理解复数的几何意义,根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 教学过程: 一、复习准备: 1. 说出下列复数的实部和虚部,哪些是实数,哪些是虚数。

1 ? 4i,7 ? 2i,8 ? 3i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0,0 ? 3i,3
2.复数 z ? ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ,当 x, y 取何值时为实数、虚数、纯虚数? 3. 若 ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ? 2 ? i ,试求 x, y 的值, ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ? 2 呢?) ( 二、讲授新课: 1. 复数的几何意义: ① 讨论:实数可以与数轴上的点一一对应,类比实数,复数能与什么一一对应呢? (分析复数的代数形式,因为它是由实部 a 和虚部同时确定,即有顺序的两实数,不难想到有序实数对 或点的坐标) 结论:复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面:以 x 轴为实轴, y 轴为虚轴建立直角坐标系,得到的平面叫复平面。 复数与复平面内的点一一对应。 ③例 1:在复平面内描出复数 1 ? 4i,7 ? 2i,8 ? 3i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0,0 ? 3i,3 分别对应的点。 (先建立直角坐标系,标注点时注意纵坐标是 b 而不是 bi ) 观察例 1 中我们所描出的点,从中我们可以得出什么结论? ④实数都落在实轴上,纯虚数落在虚轴上,除原点外,虚轴表示纯虚数。 思考:我们所学过的知识当中,与平面内的点一一对应的东西还有哪些? ⑤

复数Z ? a ? bi

一一对应

? 复平面内的点(a,b)



复数Z ? a ? bi

一一对应

? 平面向量OZ

?? ?



一一对应 ?? ? 复平面内的点(a,b) ? 平面向量OZ

?? ? 注意:人们常将复数 z ? a ? bi 说成点 Z 或向量 OZ ,规定相等的向量表示同一复数。
2.应用 例 2,在我们刚才例 1 中,分别画出各复数所对应的向量。 练习:在复平面内画出 2 ? 3i,4 ? 2i, ?1 ? 3i,4i, ?3 ? 0i 所对应的向量。 小结:复数与复平面内的点及平面向量一一对应,复数的几何意义。 三、巩固与提高: 1. 分别写出下列各复数所对应的点的坐标。

60

2.

2 ? 3i 3

,8 ? 4i,8 ? 0i,6, i, ? ?2 ? 9i ? ?

?

2 ? 1 ,7i,0

?

3. 若复数 Z ? (m2 ? 3m ? 4) ? (m2 ? 5m ? 6)i 表示的点在虚轴上,求实数 a 的取值。 变式:若 z 表示的点在复平面的左(右)半平面,试求实数 a 的取值。 3、作业:课本 64 题 2、3 题. 第一课时 3.2.1 复数的代数形式的加减运算

教学要求:掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。 教学重点:复数的代数形式的加、减运算及其几何意义 教学难点:加、减运算的几何意义 教学过程: 一、复习准备: 1. 与复数一一对应的有? 2. 试判断下列复数 1 ? 4i,7 ? 2i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0,0 ? 3i 在复平面中落在哪象限?并画出其对应的向量。 ???? ???? ? ? 3. 同时用坐标和几何形式表示复数 z1 ? 1 ? 4i与Z 2 ? 7 ? 2i 所对应的向量,并计算 OZ1 ? OZ 2 。向量的加减 运算满足何种法则? 4. 类比向量坐标形式的加减运算,复数的加减运算如何? 二、讲授新课: 1.复数的加法运算及几何意义 ①.复数的加法法则: z1 ? a ? bi与Z 2 ? c ? di ,则 Z1 ? Z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 。 例 1.计算(1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) (2) (7 ? 2i)+(1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i)+(?4 ? 3i)] ? (5 ? i)

(4) (3 ? 2i)+[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] ②.观察上述计算,复数的加法运算是否满足交换、结合律,试给予验证。 例 2.例 1 中的(1)(3)两小题,分别标出 (1 ? 4i),(7 ? 2i) , (3 ? 2i),(?4 ? 3i),(5 ? i) 所对应的向量,再 、 画出求和后所对应的向量,看有所发现。 ③复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法则) 2.复数的减法及几何意义:类比实数,规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若 Z1 ? Z ? Z 2 ,则

Z叫做 Z 2减去Z1的差,记作Z ? Z 2 ? Z1 。
④讨论:若 Z1 ? a ? b, Z2 ? c ? di ,试确定 Z ? Z1 ? Z 2 是否是一个确定的值? (引导学生用待定系数法,结合复数的加法运算进行推导,师生一起板演) ⑤复数的加法法则及几何意义: (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ,复数的减法运算也可以按向量的减 法来进行。 例 3.计算(1) (1 ? 4i)-(7 ? 2i) (2) (5 ? 2i)+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i) (3) (3 ? 2i)-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)]

练习:已知复数,试画出 Z ? 2i , Z ? 3 , Z ? (5 ? 4i) ? 2i
61

2.小结:两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减,复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。 三、巩固练习: 1.计算 (1) ?8 ? 4i ? ? 5 (2) ? 5 ? 4i ? ? 3i (3)

2 ? 3i 3

? ? ?2 ? 9i ? ?

?

2 ?i

?

2.若 (3 ? 10i) y ? (2 ? i) x ? 1 ? 9i ,求实数 x, y 的取值。 变式:若 (3 ? 10i) y ? (2 ? i) x 表示的点在复平面的左(右)半平面,试求实数 a 的取值。 3.三个复数 Z1 , Z 2 , Z3 ,其中 Z1 ? 3 ? i , Z 2 是纯虚数,若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形, 试确定 Z 2 , Z3 的值。 作业:课本 71 页 1、2 题。 第二课时 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算

教学要求:掌握复数的代数形式的乘、除运算。 教学重点:复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点:乘除运算 教学过程: 一、复习准备: 1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算(1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) (2) (5 ? 2i)+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i) (3) (3 ? 2i)-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] (2) (a ? b) ? (c ? d ) (类比多项式的乘法引入复数的乘法)

3. 计算: (1) (1 ? 3) ? (2 ? 3) 二、讲授新课: 1.复数代数形式的乘法运算

①.复数的乘法法则: (a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi 2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i 。 例 1.计算(1) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) (2) (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i) ? (?4 ? 3i)] ? (5 ? i)

(4) (3 ? 2i) ?[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 探究:观察上述计算,试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律? 例 2.1、计算(1) (1 ? 4i) ? (1 ? 4i) (2) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) (3 ? 2i ) 2

2、已知复数 Z ,若,试求 Z 的值。变:若 (2 ? 3i) Z ? 8 ,试求 Z 的值。 ②共轭复数:两复数 a ? bi与a ? bi 叫做互为共轭复数,当 b ? 0 时,它们叫做共轭虚数。 注:两复数互为共轭复数,则它们的乘积为实数。 练习:说出下列复数的共轭复数 3 ? 2i, ?4 ? 3i,5 ? i, ?5 ? 2i,7,2i 。 ③类比

1? 2 2? 3

?

(1 ? 2)(2 ? 3) (2 ? 3)(2 ? 3)

,试写出复数的除法法则。

62

2.复数的除法法则: (a ? bi) ? (c ? di) ? 其中 c ? di 叫做实数化因子

a ? bi (a ? bi)(c ? di) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i c ? di (c ? di)(c ? di) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

例 3.计算 (3 ? 2i) ? (2 ? 3i) , (1 ? 2i) ? (?3 ? 2i) (师生共同板演一道,再学生练习) 练习:计算

3 ? 2i 3?i , 2 (1 ? 2i ) (1 ? i)2 ? 1

2.小结:两复数的乘除法,共轭复数,共轭虚数。 三、巩固练习: 1.计算(1)

? ?1 ? i ?? 2 ? i ?
i3

(2) i ? i 2 ? i3 ? i 4 ? i5

(3)

2 ? i3 1 ? 2i

2.若 z1 ? a ? 2i, z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 z 为纯虚数,求实数 a 的取值。变: 1 在复平面的下方,求 a 。 z2 z2

第四章框图
4.1 流程图 教学目的: 1.能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用,并能通过框图理解某件事情 的处理过程. 2.在使用流程图过程中,发展学生条理性思考与表达能力和逻辑思维能力. 教学重点: 识流程图. 教学难点: 教学过程: 例 1 按照下面的流程图操作,将得到怎样的数集? 数学建模.

63

开始 写下1 加3 写下结果

对这个刚写下的数加 上一个比前面加过的 那个数大2的数 N

你已写下10 个数了吗? Y 结束

解:按照上述流程图操作,可以得到下面的10个数: 1, 1+3=4, 4+(3+2)=4+5=9,

9+(5+2)=9+7=16, 16+7+2)=16+9=25, 25+(9+2)=25+11=36 , 36+(11+2)=36+13=49, 49+(13+2)=49+15=64, 64+(15+2)=64+17=81, 81+(17+2)=81+19=100. 这样,可以得到数集{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}. 我们知道用数学知识和方法解决实际问题的过程就是数学建模的过程,数学建模的过程可以用下图所示的 流程图来表示:

64

实际情景 提出问题

修改

数学建模

数学结果

不合乎实际 检验 合乎实际 可用结果

以”哥尼斯堡七桥问题”为例来体会数学建模的过程. (1)实际情景: 在 18 世纪的东普鲁士,有一个叫哥尼斯堡的城市.城中有一条河,河中有两个小岛,河上架有七座桥, 把小岛和两岸都连结起来. (2) 提出问题: 人们常常从桥上走过,于是产生了一个有趣的想法:能不能一次走遍七座桥,而在每座桥上只经过一次 呢? 尽管人人绞尽脑汁,谁也找不出一条这样的路线来. (3) 建立数学模型: 1736 年,这事传到了瑞士大数学家欧拉的耳里,他立刻对这个问题产生了兴趣,动手研究起来.作为一 个数学家,他的研究方法和一般人不同,他没有到桥上去走走,而是将具体问题转化为一个数学模型. 欧拉用点代表两岸和小岛,用线代表桥,于是上面的问题就转化为能否一笔画出图中的网络图形, 即”一笔画”问题,所谓” 一笔画”,通俗的说,就是笔不离开纸面,能不重复的画出网络图形中的每一条 线. (4)得到数学结果: 在”一笔画”问题中,如果一个点不是起点和终点,那么有一条走向它的线,就必须有另一条离开它的 线.就是说,连结着点的线条数目是偶数,这种点成为偶点.如果连结一个点的数目是奇数,那么这种点成为 奇点,显然奇点只能作为起点或终点. 因此,能够一笔画出一个网络图形的条件,就是它要么没有奇点,要么最多只有两个奇点,(分别作为
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起点和终点).而图中所有的点均为奇点,且共有 4 个奇点,所有这些图形不能” 一笔画”. (5) 回到实际问题: 欧拉最后得出结论:找不出一条路线能不重复地走遍七座桥. 练习:书 82 页练习. 小结: 4.2 结构图 教学目的: 1.通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识,整理收集到的资料信息. 2.能根据所给的结构图,用语言描述框图所包含的内容. 3.结合给出的结构图,与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用. 教学重点、难点: 运用结构图梳理已学过的知识,整理收集到的资料信息,根据所给的结构图,用语言描述框图所包含的 内容. 教学过程: 问题情境:
我们知道,四种命题以及他们之间的关系可以用下面的框图来表示.

互否 原命题 等价 互 互 逆 否 为 为 逆 逆 否 互 等价 互 逆 否命题

逆命题 互否

逆否命题

上面的框图与流程图有什么不同?

建构数学:

例如, 《数学 4(必修) 》第 3 章三角恒等变换,可以用下面的结构图来表示: (见下页图(1) ) 数学应用: 例 1 某公司的组织结构是:总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理。执行经理领导生产经理、 工程经理、品质管理经理和物料经理。生产经理领导线长,工程经理领导工程师,工程师管理技术员,物
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料经理领导计划员和仓库管理员。 分析:必须理清层次,要分清几部分是并列关系还是上下层关系。 解:根据上述的描述,可以用如图(2)所示的框图表示这家公司的组织结构:

C? ? ?

S? ? ?

T? ? ?

C? ? ?

S? ? ?

T? ? ?

C2?

S 2?
图(1)

T2?

总经理

执行经理

人事经理

财务经理

生产经理

工程经理

品管经理

物料经理

线长

工程师

计划员

仓库管理员

技术员

图(2)

例 2 写出《数学 3(必修) 》第二章统计的知识结构图。 分析: 《数学 3(必修) 》第二章统计的主要内容是通过对样本的分析对总体作出估计,具体内容又分三部 分:
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“抽样”-------简单随机抽样、系统抽样和分层抽样; “分析”-------可以从样本分布、样本特征数和相关关系这三个角度来分析; “估计”-------根据对样本的分析,推测或预估总体的特征。 解: 《数学 3(必修) 》第二章统计的知识结构图可以用下面图来表示:

总体 抽样 分析 估计

简 单 随 机 抽 样

系 统 抽 样

分 层 抽 样

抽 样 分 布

样 本 特 征 数

相 关 系 数

总 体 分 布

总 体 特 征 数

相 关 系 数

例3 小流域综合治理可以有三个措施:工程措施、生物措施、和 农业技术措施。其中,工程措施包括打坝建库、平整土地、修基 本农田和引水灌溉,其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利 用水土;生物措施包括栽种乔木、灌木和草木,其功能是蓄水保 土和发展多种经营;农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选 育良种、地膜覆盖和轮作套种,其功能是蓄水保土、提高肥力和 充分利用光和热。
试画出小流域综合治理开发模式的结构图。 解:根据题意,三类措施为结构图的第一层,每类措施中具体的实现方式为结构为第二层,每类措施实施 所要达到的治理功能为结构图的第四层。小流域综合治理开发模式的结构如下图所示:

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小流域综合治理

工 程设施

生物措 施

农业技术措施

大 坝 建 库

平 整 土 地

修 基 本 农 田

引 水 灌 溉

栽 种 禾 木

栽 种 灌 木

栽 种 草 木

深 耕 改 土

科 学 施 肥

选 育 良 种

地 膜 覆 盖

轮 作 套 种

功能 贮 水 拦 坝 改 善 生 产 条 件 合 理 利 用 水 土

功能 蓄 水 保 土 发 展 多 种 经 营

功能 充 分 利 用 光 热

蓄 水 保 土

提 高 肥 效

练习:画出某学科某章的知识结构图,并在小组内汇报交流。 小结:

《2012 年高考数学总复习系列》高中数学选修 4-1 知识点总结
平行线等分线段定理 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线上截得的线段也相 等。 推理 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定: 定义: 对应角相等, 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形对应边的比值叫做相似比 (或 相似系数) 。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑 6 个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是 否分别成比例,显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法: (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似。 预备定理: 平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线) 相交, 所构成的三角形与三角形相似。 判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这 两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。 判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角 相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么
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这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三 角形的第三边。 定理: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。 定理: 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例,那么这两个 直角三角形相似。 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。 直角三角形的射影定理 射影定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射 影与斜边的比例中项。 圆周定理 圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1:圆的内接四边形的对角互补。 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

《2012 年高考数学总复习系列》选修 4-4 数学知识点
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求: 1.坐标系: ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别, 能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图
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形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结:

1.伸缩变换:设点 P( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

? :?

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), ? y? ? ? ? y, ( ? ? 0). 的作用下,

? ? ? 点 P( x, y ) 对应到点 P ( x , y ) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定一个 长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极 轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐 标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (? ? , ? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (? ? , ? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时,极坐标

( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。
5.极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?s in? ,

x ? ?cos? , tan? ? y ( x ? 0) x

6。圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是

? ?r;

在极坐标系中,以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ;

C ( a, ) 2 (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ; 在极坐标系中,以
7.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线; ? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条直线. 在极坐标系中,过点 A(a,0)( a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a .

?

8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数
71

? x ? f (t ), ? ? y ? g (t ), 并且对于 t 的每一个允许值, 由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上, 那么这个方程
就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

? x ? a ? rcos? , (?为参数) ? ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的参数方程可表示为 ? y ? b ? rsin? . 9.圆 .
2 2 2

? x ? acos? , x2 y2 (?为参数) ? ? 2 ?1 2 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? y ? bsin? . b 椭圆 a .
抛物线 y ? 2 px 的参数方程可表示为
2

? x ? 2 px 2 , (t为参数) ? ? y ? 2 pt.

.

? x ? xo ? tcos? , ? M O ( xo , y o ) ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ? y ? y o ? tsin? . ( t 为参数). 经过点 ,倾斜角为
10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使

x, y 的取值范围保持一致.

《2012 年高考数学总复习系列》高中数学选修 4--5 知识点
1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc

a ? b,c ? 0 ? ac ? bc
⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (异向正数可除性)
a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b ? c d

n n ⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1)

n n ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1)

a?b?0?
⑧(倒数法则)

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b
72

2、几个重要不等式



a ? b ? 2ab ? a,b ? R ?
2 2

,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
?

ab ?
变形公式:

a 2 ? b2 . 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
2

变形公式:

a ? b? 2

ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R ? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到 3 ③(三个正数的算术—几何平均不等式)
等号). ④

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ?

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)
3 3 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

b a 若ab ? 0, 则 ? ? 2 a b ⑥ (当仅当 a=b 时取等号) b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 a b (当仅当 a=b 时取等号) b b?m a?n a ? ?1? ? b?n b, ⑦a a?m (其中 a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0)
规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧
当a ? 0时, ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? ?a或x ? a; x

x ? a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a.
⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式

a ? b ? a?b ? a ? b .

2 a?b ? ab ? ? ?1 ?1 2 ①平均不等式: a ? b

a 2 ? b2 ? ( 2 , a, b ? R ,当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).

(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
73

变形公式:
2 a 2 ? b2 ? a?b? ab ? ? ? ; a 2 ? b 2 ? ( a ? b) . ? 2 ? 2 ? 2
2

②幂平均不等式:

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:

(a12 ? a2 2 ? a32 )(b12 ? b2 2 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:

(a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 )(b12 ? b2 2 ? ... ? bn 2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn ) 2 .
⑦向量形式的柯西不等式:

? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? , ? , ? 是两个向量,则 ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立. 设 当且仅当
⑧排序不等式(排序原理) : 设

a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn

为两组实数.

c1 , c2 ,..., cn



b1 , b2 ,..., bn

的任一排列, 则

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn .
且仅当

(反序和 ? 乱序和 ? 顺序和) ,当

a1 ? a2 ? ... ? an



b1 ? b2 ? ... ? bn

时,反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x) ,对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2 则称 f(x)为凸(或凹)函数.

4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法:

1 3 1 (a ? ) 2 ? ? (a ? ) 2 ; 2 4 2 ①舍去或加上一些项,如
②将分子或分母放大(缩小) ,

1 1 ? , 2 k k (k ? 1) 如

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

2 2 k

?

2 1 2 ? ? , k? k k k ? k ?1

74

1 2 ? (k ? N * , k ? 1) k k ? k ?1 等.
5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0)
2

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等式的 解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“ ( ? 或 ?” 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解

?

? f ( x) ? 0 f ( x) ? a (a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 f ( x) ? a (a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a

?

?

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

?

?

规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法:
75

?当 a ? 1 时, a

f ( x)

? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x)
f ( x)

?当 0 ? a ? 1时, a

? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x)

规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ?当 a ? 1 时, ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

?当 0 ? a ? 1时,

规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法:

?a (a ? 0) a ?? . ?? a (a ? 0) ?定义法:
?平方法:

f ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ? g 2 ( x).

?同解变形法,其同解定理有: ① ② ③

x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ( g ( x) ? 0)

④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
2

?讨论 a 与 0 的大小; ?讨论 ? 与 0 的大小; ?讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ?不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

76

?a ? 0 ?? ?? ? 0. ②当 a ? 0 时
?不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

?a ? 0 ?? ?? ? 0. ②当 a ? 0 时

? f ( x)max ? a; ? f ( x) ? a 恒成立

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;
? f ( x)min ? a; ? f ( x) ? a 恒成立

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.
15、线性规划问题 ?二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相同.所以,在 实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点

( x0 , y0 )

(如原点) ,由

Ax0 ? By0 ? C

的正负即可判断

出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的平面区域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点. 法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的符号与不等式开口的符号,若同号, Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上方的区域.即:同号上方,异号下方. ?二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ?利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常数)的最值: 法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都在 该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数为目 标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二:画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线

l0 : Ax ? By ? 0

,平移直线 0 (据可行域,

l

将直线 0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 ( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数
77

l

z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法:

利用 z 的几何意义:

y??

A z z x? B B , B 为直线的纵截距.

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的纵截 距最小的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的纵截 距最小的角点处, z 取得最大值. ?常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;

z?
②“斜率”型:

y y ?b z? ; x或 x?a
2 2

z? ③“距离”型: z ? x ? y 或

x2 ? y 2 ;

2 2 z ? ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 或 z ? ( x ? a ) ? ( y ? b ) .

在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.

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