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2018届高三数学一轮复习第十章计数原理与概率随机变量及其分布第三节二项式定理夯基提能作业本理

时间:2017-10-29


第三节

二项式定理

A 组 基础题组 1.(2014 四川,2,5 分)在 x(1+x) 的展开式中,含 x 项的系数为( A.30 B.20 C.15 D.10
6 3

)

2.二项式 A.180 B.90

的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大 ,则展开式中常数项是( C.45 D.360

)

3.在 A.20 A.1 或 3 和为( A.2
12

的展开式中,如果 x 的系数为 20,那么 ab =( B.15
6

3

3

)

C.10
2 6

D.5 ) D.1 或-3
n

4.若(1+mx) =a0+a1x+ a2x +…+a6x ,且 a1+a2+…+a6=63,则实数 m 的值为( B.-3 ) B.2
11

C.1

5.(2015 湖北,3,5 分)已知(1+x) 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数 C.2
10

D.2

9

6.(2016 北京昌平期末)在

的展开式中,常数项是

.(用数字作答)

7.已知

的展开式的各项系数和为 32,则展开式中 x 的 系数为

4

.

8.(1+

)

6

的展开式中的常数项为

.

9.已知(a +1) 的展开式中的各项系数之和等于 数最大的项等于 54,求 a 的值.

2

n

的展开式的常数项,而(a +1) 的展开式中系

2

n

1 0.已知函数 f(x)=(1+x)+(1+x) +(1+x) +…+(1+x) (n≥3). (1)求展开式中 x 的系数; (2)求展开式中各项的系数之和.
2

2

3

n

1

B 组 提升题组 11.若(2x-3) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x ,则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5=( A.32 B.-1 C.10 D.1
5 2 3 4 5

)

12.(2016 福建厦门海沧实验中学等联考)在 A.10 a3= B.30
5

的展开式中,含 x 的项的系数为(

2

)

C.45

D.120
2 5

13.若将函数 f(x)=x 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x) +…+a5(1+x) ,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实数,则 .

14.(2016 河北保定期末)若 a= 15.在(2x-3y) 的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和;
10

cos xdx,则

的展开式中常数项为

.

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和.

16.(2016 吉林长春检测)已知二项式

.

(1)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系 数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.

2

3

答案全解全析 A 组 基础题组 1.C 在(1+x) 的展开式中,含 x 的项为 T3= ·x =15x ,故在 x(1+x) 的展开式中,含 x 的项的系数为 15.
6 2 2 2 6 3

2.A 由二项展开式中系数的性质,得 n=10,∴Tr+1= 展开式的常数项是 T3=4 =180.
4-r r 24-7r

·(

)

10-r

=2

r

·

,令 5- r=0,则 r=2,从而

3.D 展开式的通项为 Tr+1= a b x
6

,令 24-7r=3,得 r=3,则 ab =20,∴ab =5.
6

3

3

4.D 令 x=0,得 a0=(1+0) =1.令 x=1,得(1+m) =a0+a1+a2+…+a6.又 a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m) =64=2 ,∴1+m=±2,∴m=1 或 m=-3. 5.D ∵(1+x) 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数分别为 , ,∴ ∵ 又 + + + + +…+ = + =2 , +…+ ,
10 n 6 6

= ,得 n=10.

+…+

∴奇数项的二项式系数和为 6. 答案 60

+

+…+

=2 .

9

解析 展开式的通项为 Tr+1= (2x ) · T5=2 × =60. 7. 答案 10
2

2 6-r

=(-1) ·2 · ·x

r

6-r

12-3r

,令 12-3r=0,得 r=4,∴常数项是

解析 令 x=1,得 2 =32,所以 n=5,则展开式的通项为 Tr+1= (x ) 展开式中 x 的系数为 =10. 8. 答案 4 246
4

n

2 5-r

= x

10-3r

,令 10-3r=4,得 r=2,所以

解析 分别求两个因式的通项:Tr+1=

,Tr'+1=

,由

·

=

,令 - =0,又

0≤r≤6,0≤r'≤10,且 r、r'为整数,解得 r=r'=0,或 r=3 且 r'=4,或 r=6 且 r'=8. ∴常数项为 1+ + =4 246.
4

9. 解析

的展开式的通项为

Tr+1=

=

· ·

,



=0,得 r=4,

所以常数项为 T5= × =16. 又(a +1) 的展开式中的各项系数之和等于 2 , 所以 2 =16,n=4, 所以(a +1) 的展开式中系数最大的项是 T3= a =54, 所以 a=± .
2 2 4 4 n 2 n n

10. 解析 (1)展开式中 x 的系数为 + + +…+ = + + +…+ = + +…+ = + +…+

=…=

=

=

.

(2)展开式中各项的系数之和为 f(1)=2+2 +2 +…+2 =

2

3

n

=2 -2.

n+1

B 组 提升题组 11.C 原等式两边求导得 10(2x-3) =a1+2a2x+3a3x +4a 4x +5a5x ,令 x=1,得 a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10.故选 C.
4 2 3 4

12.C 因为
10

=
2 2

=(1+x) + x ,系数为

10

(1+x)

9

+…+

,所以 x 项只能在

2

(1+x) 的展开式中出现,所以含 x 的项为 13. 答案 10

=45.故选 C.

解析 由于 f(x)=x =[(1+x)-1] ,所以 a3= (-1) =10.

5

5

2

5

14. 答案

解析 ∵a=

cos xdx=2

cos xdx

=2sin x

=2sin =2,



=

=

,

通项公式为 Tr+1=

·(

).

r

当 r=0,2,4 时才会有常数项,

故展开式的常数项为

+ · · · ·(

)+ (

2

) = +12+4= .

4

15. 解析 (1)二项式系数的和为
10

+

+…+
10

=2 .

10

(2)令 x=y=1,则各项系数和为(2-3) =(-1) =1. (3)奇数项的二项式系数和为 偶数项的二项式系数和为
10 10 9

+

+…+
9

=2 ,

9

+
8 2

+…+

=2 .
10

(4)设(2x-3y) =a0x +a1x y+a2x y +…+a10y , 令 x=y=1,得 a0+a1+a2+…+a10=1,① 令 x=1,y=-1(或 x=-1, y=1), 得 a0-a1+a2-a3+…+a10=5 ,② ①+②得 2(a0+a2+…+a10)=1+5 ,
10 10

∴奇数项系数和为

;
10

①-②得 2(a1+a3+…+a9)=1-5 ,

∴偶数项系数和为

.

6

16. 解析 (1)由题意知 + ∴n=7 或 n=14.

=2 ,∴n -21n+98=0,

2

当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5,

T4 的系数为

2= ,

3

T5 的系数为

2 =70.

4

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8,

T8 的系数为

2 =3 432. =79,∴n +n-156=0.
2

7

(2)由题意知 + +

∴n=12 或 n=-13(舍去). 设 Tk+1 项的系数最大,



=

(1+4x) ,

12

∴ ∴9.4 ≤k≤10.4,又 k 为整数,∴k=10. ∴展开式中系数最大的项为 T11,

T11=

·

·2 ·x =16 896x .

10

10

10

7


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