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湖南省大学生物理竞赛试卷及答案

时间:2014-07-08


湖南省第 4 届大学生物理竞赛试卷 2011 年 5 月 14 日 时间:150 分钟 满分 120 分

一、 选择题 (每题 3 分,共 18 分) 1.设某种气体的分子速率分布函数为 f (v) , 则速率在 v1 ~ v 2 内的分子的平均速率为 ( ) 。 (A) (C)

?

v2

v1 v2

vf (v)dv ; vf (v)dv

(B) v ?v f (v)dv ;
1

v2

?

v1

?

v2

v1

f (v)dv ;

(D)

?

v2

v1

f (v)dv

?

?

0

f (v)dv 。

2. 如图所示带负电的粒子束垂直地射入两磁铁之间的水平磁场,则( (A) 粒子向 N 极移动; (B) 粒子向 S 极移动; (C) 粒子向下偏转; (D) 粒子向上偏转。 3.如图所示, 一个带电量为 q 的点电荷位于立方体的 A 角 上,则通过侧面 abcd 的电场强度通量等于( A、 C、
q ; 6? 0
q ; 24? 0
q B、 ; 12? 0
a

)。

) 。
d b

A

q

D、

q 48? 0



c

4. 如图 a 所示, 一光学平板玻璃 A 与待测元件 B 之间 形成空气劈尖,用波长 ? ? 500 nm 的单色光垂直照射,看 到的反射光的干涉条纹如图 b 所示,有些条纹弯曲部分的 顶点恰好于其右边条纹的直线部分的切线相切,则工件的 上表面缺陷是 ( ) 。

(A) 不平处为凸起纹,最大高度为 500 nm ; (B) 不平处为凸起纹,最大高度为 250 nm ;
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(C) 不平处为凹槽,最大高度为 500 nm ; (D) 不平处为凹槽,最大高度为 250 nm 。 5. 在图示三种透明材料构成的牛顿环装置中, 用单色光垂 直照射,在反射光中看到干涉条纹,则在接触点 P 处形成 的圆斑为( (A) 全明; ) 。 (B) 全暗;

(C) 右半部明,左半部暗; (D) 右半部暗,左半部明。 6. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动,其波函数为:
( ?a ? x ? a )

? ( x) ?

1 a

? cos

3? x 2a

那么粒子在 x ? 5a / 6 处出现的几率密度为( (A) 1 /(2a) ; (B) 1 / a ;

) 。 (C) 1 / 2a ; (D) 1 / a 。

二、填空题(每题 3 分,共 21 分) 1. 一匀质细杆长为 l ,质量为 m ,杆两端用线吊起,保持水平,现 有一条线突然断开,则断开瞬间另一条线的张力 为 。
f(v) 1 2

2. 图示两条曲线分别表示氦、氧两种气体在相同温度 T 时 分子按速率的分布, 其中曲线 1 表示 速率分布曲线,曲线 2 表示 __ 分布曲线。 _ _气分子的

_ 气分子的速率
v

3. 一氧气瓶的容积为 V ,充入氧气的压强为 P1 ,用了一段时间 后压强降为 P2 ,则瓶中剩下的氧气的内能与未用前氧气的内能 之比为 。
I A a l V
B

4. 长直导线中通有电流 I ,长 L 的金属棒 AB 以速度 V 平行于
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长直导线作匀速运动。棒近导线一端与导线的距离为 a ,则金属棒中的感应电动 势 ? i 的大小为 , ? i 的方向为 。

5. 电荷线密度为 ?1 的无限长均匀带电直线, 其旁垂直放置电荷线密度为 ?2 的有限长均匀 带电直线 AB ,两者位于同一平面内,则 AB 所 受 = 静 电 作 用 力 的 大 。 小
F

6. 三个偏振片 P1 、 P2 与 P3 堆叠在一起, P1 与 P3 的偏振化方向相互垂直, P2 与 P1 的 偏振化方向间的夹角为 30 ? ,强度为 I 0 的自然光垂直入射于偏振片 P1 ,并依次透过 偏振片 P1 、 P2 与 P3 ,若不考虑偏振片的吸收和反射,则通过三个偏振片后的光强 为 。

7. 如果一个光子的能量和一个德布罗意波长为 ? 的电子的总能量相等, 设电子静 止质量为 me ,则光子的波长为 三、简答题(共 14 分) 1. 红外线是否适宜于用来观察康普顿效应,为什么? (红外线波长的数量级为
10 5 A , 电子静止质量 me ? 9.11 ? 10 ?31 kg, 普朗克常量 h ? 6.63 ? 10 ?34 J ? s ) (本题 5 分)
?



2. 假 定 在 实 验 室 中 测 得 静 止 在 实 验 室 中 的 ? ? 子 ( 不 稳 定 的 粒 子 ) 的 寿 命 为 而当它相对于实验室运动时实验室中测得它的寿命为 1.63 ? 10 ?5 s. 试问: 2.2 ? 10 ?6 s, 这两个测量结果符合相对论的什么结论? ? ? 子相对于实验室的速度是真空中光 速 c 的多少倍?(本题 5 分) 3. 为什么窗玻璃在日光照射下我们观察不到干涉条纹?(本题 4 分) 四、计算题 (1 至 5 小题每题 10 分,第 6 小题 7 分,共 57 分)
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1. 在高处自由下落一个物体,质量为 m ,空气阻力为 ? kv2 ,落地时速度为 vm ,问 物体从多高处落下? 2. 一半径为 R ,质量为 m 的匀质圆盘,平放在粗糙 的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为 ? ,令圆 盘最初以角速度 ? 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转, 问它将经过多少时间才停止转动? 3. 在半径为 R 的圆柱形区域中有沿轴向的均匀磁 场,磁感应强度满足 B ? B0 e ? kt ,有一根长度也是 R 的金属杆放 在圆柱内,其两端与柱面的壁相接,并处在与磁感线垂直的方向 上,试求出: (1)在柱形区域内,涡旋电场强度 E ; (2)在金属杆上,感应电动势 ? 。 4. 轴在同一水平面上的两个相同的圆柱体, 两轴相距 2L , 它们以相同的角速度 ? 相向转动。一质量为 m 的木板搁 在两圆柱体上 , 木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数为
? 。问木板偏离对称位置后将如何运动?周期为多少?
? ?

?

?
2L

5. 实验表明,在靠近地面处有相当强的电场,电场强度 E 垂直于地面向下,大 小约为 100 N / C ;在离地面 1.5km高的地方, E 也是垂直于地面向下的,大小约为
25 N / C 。
?

?

(1) 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度; (2) 假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生, 求地 面上的电荷面密度。(已知: ? 0 ? 8.85 ? 10 ?12 C 2 ? N ?1 ? m ?2 ) 6. 设粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱运动时,其德布罗意波在阱内形成驻波, 试利用这一关系导出粒子在阱中的能量计算式。 (本题 7 分)
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五、证明题(10 分) 定体摩尔热容量 CV 为常量的某理想气体,经历如图所 示的 pV 平面上的两个循环过程 A1 B1C1 A1 和 A2 B2C2 A2 ,相 应的效率分别为?1 和? 2 ,试证?1 与? 2 相等。
O

p

B1

A1

C1

B2 A2
C2

V1

V2

V

湖南省第 3 届大学生物理竞赛试卷

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2.(本题 15 分)是给出 5 种测量温度的方法,并简述每种方法的实验原理。
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2010 年湖南大学物理竞赛卷答案 一、填空题(每题 4 分共 40 分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

h1v /(h1 ?

h2)
参考解: M= d M =

1 ?mgl 2

?

? ??gm / l ?r d r ? 2 ?mgl
l

1

0

(1) AM, (2) AM、BM 半径为 R 的无限长均匀带电圆柱面

?R 3 ?B?

在图面中向上

? ? NbB d x /d t ? NbB?A cos( t ? ? / 2) ? ? ? 或? ? NBbA? sin ? t ?

? 0 ?R 2 d E / d t
291 Hz 或 309 Hz

y ? A cos{ [t ? (1 ? x) / u] ? ?} (SI) ?

10. 平行或接近平行 二、计算题(每题 10 分共 80 分) 1. 解:分别取 m1 和链条 m 为研究对象,坐标如图. 设链条在桌边悬挂部分为 x, m1 g ? T ? m1a , T ? xgm / l ? ma , 解出 a ? 1 g (1 ? x / l )

2

2分
2

当链条刚刚全部滑到桌面时 x = 0,a = 1 g ? 4.9 m/s

2

1分 1分 2分 2分

a?

两边积分

dv dv d x dv ? ? ? ?v dt d x dt dx v dv ? ?a d x ? ? 1 g (1 ? x / l ) d x 2 v 0 x ? 2v d v ? ?l? g (1 ? l ) d x 0 2
2 v 2 ? gl2 ? 1 gl2 / l ? (3 / 4) gl2 2 v ? 1 3gl2 ? 1.21 m/s 2

2分

(也可用机械能守恒解 v) 2. 解:(1) 选细棒、泥团为系统.泥团击中后其转动惯量为

J?

1 2 2 Ml ? m??3 / 4?l ? 3

2分

在泥团与细棒碰撞过程中对轴 O 的角动量守恒

mv 0 ? ?3 / 4?l cos? ? J?

2分

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共 8 页)



??

mv 0 cos? ? ?3 / 4?l 36 mv 0 cos? ? 1 Ml 2 ? ? 9 ?ml 2 ?16 M ? 27 m ?l ? ? 3 ? 16 ?

2分

(2) 选泥团、细棒和地球为系统,在摆起过程中,机械能守恒.

1 1 J? 2 ? Mgl?1 ? cos? ? ? ?3 / 4?mgl?1 ? cos? ? 2 2 1 1 2 9 ( Ml ? ml 2 )? 2 16 ?1 ? cos? ? ? 2 3 1 3 Mgl ? mgl 2 4 2 2 ? 54 m 2v 0 cos2 ? ?16 M ? 27 m ?l? ? ? cos?1 ?1 ? ?1 ? ∴ ? ? cos ?1 ? ? ?2 M ? 3m ??16 M ? 27 m ?gl ? ? ?48 M ? 72 m ?g ? ? ? ?

2分

2分

3. 解:(1) 系统开始处于标准状态 a,活塞从Ⅰ→Ⅲ为绝热压缩过程,终态为 b; 活塞从Ⅲ→Ⅱ为等压膨胀 过程,终态为 c;活塞从Ⅱ→Ⅰ为绝热膨胀过程,终态为 d;除去绝热材料 系统恢复至原态 a,该过程为等体过程。该循环过程在 p-V 图上对应的曲 p 线如图所示。 图3分 5 b c (2) 由题意可知 pa=1.013?10 Pa , -3 3 Va=3?10 m , Ta = 273K, Vb=1?10-3m3, Vc=2?10-3m3 . d

ab 为绝热过程,据绝热过程方程

TaVa? ?1 ? TbVb? ?1 , (? ? 7 / 5) ,得
1分

a O Vb Vc Va V

V Tb ? ( a ) ? ?1 Ta ? 424 K Vb
bc 为等压过程,据等压过程方程 Tb / Vb = Tc / Vc ?得

Tc ?

Vc Tb ? 848 K Vb
Vc ? ?1 ) Tc ? 721 K Vd

1分

cd 为绝热过程,据绝热过程方程 TcVc? ?1 ? Td Vd? ?1 , (Vd ? Va ) ,得

Td ? (
Qbc=?Cp(Tc-Tb)
式 中

1分

(3) 在本题循环过程中 ab 和 cd 为绝热过程,不与外界交换热量; bc 为等压膨胀过程,吸收热量为

Cp ?

7 R 2

. 又 据 理 想 气 体 状 态 方 程 有

paVa=
2分

?RTa , 可 得

Qbc ?

7 p aVa ? (Tc ? Tb ) ? 1.65 ? 10 3 J 2 Ta 5 p aV a ? (Td ? Ta ) ? 1.24 ? 10 2 J 2 Ta

da 为等体降温过程,放出热量为

Qda ? ? CV (Td ? Ta ) ?

2分
2

4. 解:(1) 设两球壳上分别带电荷+Q 和-Q,则其间电位移的大小为 D=Q / (4 ? r ) 两层介质中的场强 大小分别为 E1 = Q / (4 ?? 0 ? r1r2) 1分 E2 = Q / (4 ?? 0 ? r2r2) 1分 在两层介质中场强最大处在各自内表面处,即

E1M = Q / (4 ?? 0 ? r1 R12 ), E2M = Q / (4 ?? 0 ? r2R2)
两者比较可得

E1M / E2 M ? ? r 2 R 2 / ? r1 R12 ? R 2 / 2 R12

?

?

?

?

已知 R2< 2 R1,可得 E1M<E2M,可见外层介质先击穿. 湖南省第 4 届大学生物理竞赛试卷 (第 15 页

3分 共 8 页)

(2) 当外层介质中最大场强达击穿电场强度 EM 时,球壳上有最大电荷. QM = 4 ?? 0 ? r2R2EM 此时,两球壳间电压(即最高电压)为
R ? ? R2 ? ? U12 ? ? E1 ? d r ? ? E2 ? d r R1 R

2分

?

QM 4?? 0 ? r1

?

QM dr ? 2 R1 r 4?? 0 ? r 2
R

?

R2

R

dr r2
3分

? R ? R1 R2 ? R ? ? ? r 2 RE M ? ? ? R ? ? R ? ? r2 2 ? ? r1 1

5. 解:当线框的一部分进入磁场后,线框内产生动生电动势和感应电流 I.因为有自感且线框电阻忽略,所 以线框内感应电流 I 的微分方程是:

dI ? B0 av dt dv 线框的运动方程为: m ? ? B0 aI dt d2 v ? ? 2v ? 0 联立方程得: 2 dt Ba ?? 0 其中 mL ∴ v ? c1 sin ?t ? c2 cos?t L
当 t = 0 时,v = v0 ∴ c2 = v0 ? 且因 t = 0 时,I =0 ∴ c1 =0 v ? v 0 cos?t ∴ 线框沿 x 方向移动的距离为:

① ②

2分 2分 1分 1分 1分

1分

x?

v0

?

sin ?t

2分

如用能量方法解,则对应于① ②两式评分如下:

1 1 1 2 mv 0 ? mv 2 ? LI 2 2 2 2 dv dI 把上式两边对时间求导,得 m ? LI ?0 dt dt dI ∵ L ? B0 av dt dv 代入上式得 m ? IB0 a ? 0 dt
6. 解:设入射波的表达式为 则反射波的表达式为

2分

2分 1分

y1 ? A cos(2??t ? 2?

x

驻波的表达式为

7 ( 2 ? ? ? x) ? ? ] ? 8 x 3 ? A cos(2??t ? 2? ? ? ? ? ) ? 2 x 3 3 y ? y1 ? y 2 ? 2 A cos(2? ? ?) cos(2??t ? ? ? ? ) ? 4 4 y 2 ? A cos[2??t ?
2 A cos(?3? / 4) cos( ? 3? / 4) ? 0 ?

2?

?

? ?)

1分

3分 1分

在 t = 0 时,x = 0 处,有 y = 0 和 ( dy / dt ) < 0,故得:

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? 2?? ? 2 A cos(?3? / 4) sin(? ? 3? / 4) ? 0
由上两式求得

? = ? /4

2分

B 点( x ?

1 ? )的振动方程为 2

1 ? 3 3 1 y B ? 2 A cos(2π2 ? π cos(2π t ? π? π ) ? ) ? 4 4 4 1 ? 2 A cos(2??t ? ?) ? 2 A sin 2??t 2

3分

7. 解:(1) 斜入射时的光栅方程 3分 d sin? ? d sin i ? k? , k = 0,±1,±2,… 规定 i 从光栅 G 的法线 n-n 起,逆时针方向为正;?? 从光栅 G 的法 线 n-n 起,逆时针方向为正. (2) 对应于 i = 30°,设? = 90°, k = kmax1,则有

光栅

透镜



G dsini n i

L2

C
第 k 级谱线

??

n

d sin 90? ? d sin 30? ? k max 1? k max 1 ? (d / ? )(sin 90? ? d sin 30?) = 2.10
取 整 2. (3) 对应于 i = 30°,设? = -90°, k = kmax2, d sin(?90?) ? d sin 30? ? k max 2 ? 则有

kmax1
2分

=

dsin?

k max 2 ? (d / ? )[sin(?90?) ? d sin 30?] = - 6.30
取整 kmax1 = -6. (4) 但因 d / a = 3,所以,第-6,-3,… 级谱线缺级. (5) 综上所述,能看到以下各级光谱线: -5,-4,-2,-1,0,1,2,共 7 条光谱线. 2分 2分 1分

8. 解:设粒子A的速度为 v A ,粒子B的速度为 v B ,合成粒子的运动速度为 V .由动量守恒得

?

? m0v A

2 1?v A / c2

1?V 2 / c2 ? ? 因 v A ? v B ? v 1 ,且 v A ? ?v B ,所以

?

? m0v B

2 1?v B / c2

?

? ? M 0V

?

2分

? V ? 0.

2分

即合成粒子是静止的.由能量守恒得

m0 c 2 1?v / c
2 2

?

m0 c 2 1?v / c
2 2

? M 0c 2

3分

解出

M0 ?

2m 0 1?v 2 / c2

3分

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湖南省第一届大学生物理竞赛试题
2008 年 4 月 26 日
一、填空题(每空 3 分,共 36 分)
2 1. 一质点作直线运动, 加速度为 a ? ? A sin ?t , 已知 t ? 0 时, 质点的初始状态为 x0 ? 0 ,v0 ? ??A ,

时间:150 分钟

满分 120 分

则该质点的运动方程为 。 2.用波长为 400-760nm 的白光垂直照射衍射光栅,其衍射光谱的第 2 级和第 3 级重叠,则第 2 级光谱 被重叠部分的波长范围为 。 3.一远洋货轮在北冰洋中夜航,发出波长为 589.3nm 的脉冲激光束,并用激光探测仪接收前方障碍物 的反射光束。若货轮航线的正前方有一漂浮的冰山,该冰山在洋面上的最大高度为 10m,最大宽度为 50m。 设探测仪镜头的直径为 1.0cm,当探测仪恰能显示冰山浮出洋面上的大致轮廓时,货轮距冰山的距离为 m。 4.如图, A 、 B 为两相干波源,相距 4m,波长为 1m,一探测仪由 A 点出发沿 x 轴移动,第一次探测 到强度极大值时移动的距离为 m。 5.将温度为 T1 的 1mol H 2 和温度为 T2 的 1mol He 相混合,在 B

4m 混合过程中与外界不发生任何能量交换, 若这两种气体均可视为理想 m 气体,则达到平衡后混合气体的温度为 。 x A 6.设高温热源的绝对温度是低温热源的 n 倍,则在一个卡诺循 环中,气体将把从高温热源吸收热量的 倍放给低温热源。 7.中空球形静电高压金属电极球面半径为 R ,电势为 U ,其表面有一面积为 ?S 的极小锈孔,则球心 处电场强度的大小为 。 8.为测定音叉 C 的频率,另选取两个频率已知而且和音叉 C 频率相近的音叉 A 和 B ,音叉 A 的频率为 400Hz, B 的频率为 397 Hz。若使 A 和 C 同时振动,则每秒听到声音加强 2 次;再使 B 和 C 同时振动,每 秒可听到声音加强 1 次,由此可知音叉 C 的振动频率为 Hz。 9. 在实验室中观察一高速运动粒子, 测得其速度为 0.8c, 飞行 3m 后衰变, 则该粒子的固有寿命为 s。 10.在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动的粒子,当量子数 n ? ? 时,距势阱左壁 的概率为 。

a 宽度内发现粒子 4

11.厚度为 2 d 的无限大导体平板,沿与板平行的方向均匀通以电流,电流密度为 j ,则板内距对称面 为 x 处磁感应强度的大小为 。
3

12.实验测得太阳垂直射到地球表面的平均能流密度为 1.4 ? 10 J?m-2?s-1,已知太阳到地球的平均距 离为 1.5 ? 10 m,则每秒钟太阳因辐射而损失的质量为
11

kg。

二、证明题(每空 5 分,共 10 分) 1.证明:对于一个作圆周运动的微观粒子, ?L?? ?

2.证明:在同一 P ? V 图上,一定量理想气体的一条绝热线与一条等温线不能相交于两点。 湖南省第 4 届大学生物理竞赛试卷 (第 18 页 共 8 页)

h (其中 L 为角动量, ? 为角位置) 。 4?

三、实验题(每空 5 分,共 10 分) 注:要求简略地说明实验原理,列出实验仪器并阐明实验方法和步骤 1.试设计一个实验,测量太阳的表面温度 2.试设计一个实验,确定半导体的类型及载流子浓度 四、论述题(每空 5 分,共 10 分)

1.现代宇宙学的研究表明:任何行星形成之初,原始大气中都应有相当数量的 H 2 和 He ,但是现在地 球大气中的主要成分却是 N 2 和 O2 ,几乎没有 H 2 和 He ,试解释其原因(大气平均温度 290° 。 K)

2.在严寒的冬日,行驶的列车车窗玻璃上凝结一层薄冰膜。 (1)乘客发现原本白色的车窗呈现绿色,这是什么原因? (画出简图说明) ,并估算此膜的最小厚度; (2)行驶一段距离后,玻璃又呈现黄色,则冰膜的厚度如何变化,并估算其厚度的最小变化值。 (绿光波长 500nm,黄光波长 590nm,冰的折射率 1.33,玻璃的折射率 1.5。 ) 五、计算题(共 54 分。其中 1、2、3 题每题 8 分;4、5、6 题每题 10 分) 1.两根平行放置的直导线长为 L ,相距为 d ,设两导线均通以强度为 I 的电流,求相互作用力的大小。 2.一圆柱形电容器,外导体的内半径为 0.04m,内导体的半径可自由选择,中间充满击穿场强为

2 ? 10 7 V/m 的介质,问该电容器能承受的最大电压为多少?
3.均匀细棒 OA ,长为 L ,质量为 m ,其一端固定,可绕 O 点在竖直面 内无摩擦地转动。开始时使棒处于水平位置,先释放 A 端,当棒转到竖直位 置时,松开 O 点,任棒自由下落,选取如图所示的坐标系。 (1)写出 O 点松开后棒的质心 C 的运动轨迹; (2)当棒从竖直位置下落高度 h 时,它绕质心转了多少圈。 4.一长方形木块底面积为 S ,高为 h ,密度为 ? ,将其放于密度为 ? ? 的 水中。 (1)求平衡时木块露出水面的高度; (2)求振动周期; (3)将木块压入水中刚好没顶后放手,写出振动方程。 5.一半径为 R 的长直圆筒,表面均匀带电,电荷面密度为 ? ,在外力矩作用下,从静止开始以匀角加 速度 ? 绕轴转动。 (1)求圆筒内部任一时刻磁感应强度 B 的大小;

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(2)求位于距轴线

R 处电子的加速度的大小。 2

6.如图,一内壁光滑的绝热圆筒, A 端用导热壁封闭,B 端 用绝热壁封闭,筒内由一不漏气的绝热活塞隔开。开始时,活塞 位于圆筒中央,由活塞分隔开的两部分气体 1 和 2 完全相同,每 部分气体的摩尔数为 n ,温度为 T0 ,体积为 V 0 ,气体的定体摩 尔热容 c v 、比热容比 ? 均可视为常量。现在从 A 端的导热壁徐徐 加热,活塞缓慢右移,直至气体 2 的体积减半。求此过程中: (1)气体 1 吸收的热量; (2)气体 1 的体积 V1 和压强 P1 的关系; (3)整个系统熵的改变量。

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