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8启东中学2011届高三数学寒假作业(八)2月6日

时间:2013-09-12


启东中学 2011 届高三数学寒假作业(八)2 月 6 日
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.命题“ ?x ?R , x ? 0 ”的否定是
2

. .

2.以双曲线

x ? y 2 ? 1 的一条准线为准线,顶点在原点的抛物线方程是 3

2

3. 下面四个命题: ①若 x ②?

? 1? y2

,则 x+y 的最小值为 0.

x 1 1 ≤ 2 ≤ (x∈R) . 2 x ?1 2
+

③若 x,y∈R ,则

x? y x y ≥ ? 1? x ? y 1? x 1? y





1 1 1 3 ? ? ??? ? ? . 1? 3 2 ? 4 n(n ? 2) 4
B ②③ C ②④ D ③④ ________.

其中正确的命题是



A

①②

4.函数

y?

sin x 的导数为_________ x
.

5.下列说法不正确的是 .... ②.同一平面的两条垂线一定共面;

①.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; ③.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; ④.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 6.设
2 2 是 椭 圆 x ? y ?1 上 任 意 一 点 ,

P

A



F

分别是椭圆的左顶点和右焦点,则

25

16

PA ? PF ?

1 PA ? AF 的最小值为 4
2 2

. 条件(填“充分不必要,.必要不充

x y 7.“a>2”是“方程 + =1 表示的曲线是双曲线”的 a+1 2-a 分,充要,既不充分也不必要) 8.函数

f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? a 2 , 在 x ? 1时有极值 10 ,那么 a, b 的值分别为___
m ,那么积 m·n 是 n

_____.

9.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这样的两个 多面体的内切球的半径之比是一个最简分数 10.已知函数 . .
2 2

1 ? ? f ( x) ? x ? sin 2 x 则曲线 y ? f ( x) 在点 ( , f ( )) 处的切线方程为 2 4 4
2

11.已知 PA,PB,PC 两两互相垂直,且△PAB、△PAC、△PBC 的面积分别为 1.5cm ,2cm ,6cm ,则过 P,

A,B,C 四点的外接球的表面积为
12.函数

cm . (注

2

S球 ? 4πr 2 ,其中 r 为球半径)
.

y ? x ? 2cos x 在区间 [0, ] 上的最大值是 2

?

1

13. 已知双曲线

x2 y 2 右焦点分别为 F1 , 2 , 是准线上一点, PF1 ? PF2 , 且 F P ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、 a 2 b2


PF1 ? PF2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是
14.对正整数 n ,设曲线 y ? x (1 ? x) 在 x
n

? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则
.

数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?

二、解答题(本大题 6 小题,共 90 分) 15. (14 分)命题 命题 q : 方程 4 x
2

p : 方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,

? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根。若“ p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范围。

16、 (14 分)在几何体 ABCDE 中, ?BAC (I)求证: DC ;

?

?
2

, DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC,AB=AC=BE=2,CD=1,

? 平面 ABE;

(II)设平面 ABE 与平面 ACD 的交线为直线 l,求证: l // 平面 BCDE; (III)设 F 是 BC 的中点,求证:平面 AFD⊥平面 AFE。
E

D

C

B

A

2

17. (14 分)证明以下命题: (1) (2) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a
2

,b2,c 2 成等差数列。
2

存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 an,bn,cn 为正整数且 an 列。

,bn 2,cn 2 成等差数

18. (16 分)若椭圆

3 x2 y2 ,离心率为 ,⊙O 的圆心为原点,直径 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点(-3,2) 2 3 a b
2

为椭圆的短轴,⊙M 的方程为 ( x ? 8)

? ( y ? 6) 2 ? 4 ,过⊙M 上任一点 P 作⊙O 的切线 PA、PB,切点为 A、

B.
(I)求椭圆的方程; (II)若直线 PA 与⊙M 的另一交点为 Q,当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的直线方程; (III)求 OA ? OB 的最大值与最小值.

3

19.(16 分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆,年 销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增 加的比例为 x(0<x<1 ) ,则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车 的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量. (Ⅰ)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? (Ⅱ)年销售量关于 x 的函数为 最大利润为多少?

5 y ? 3240 (? x 2 ? 2 x ? ) ,则当 x 为何值时,本年度的年利润最大? 3

20、 (16 分)已知函数 (Ⅰ)若

f ( x) 的导数 f ?( x) ? 3x 2 ? 3ax, f (0) ? b. a, b 为实数, 1 ? a ? 2 .

f ( x) 在区间 [?1, 1] 上的最小值、最大值分别为 ?2 、1,求 a 、 b 的值; 1) 且与曲线 f ( x) 相切的直线 l 的方程;
2x

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点 P (2,

(Ⅲ)设函数 F ( x) ? ( f ?( x) ? 6 x ? 1) ? e

,试判断函数 F ( x) 的极值点个数.

4

三.加试题 21.坐标系与参数方程 ( ? 为参数, 0 ? ? , ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0)

已知 P 为半圆 C:

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

的长度均为

? 。 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。

22. 矩阵与变换 已知矩阵 M= ?

?c 2? ? 2 0? ?1 a? ? ,且 MN ? ? ?, ?, N ? ? ?0 d ? ? ?2 0 ? ?b 1?

(Ⅰ)求实数 a, b, c, d 的值; (Ⅱ)求直线

y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程。

23. 某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随机(即等可能) 为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走完迷宫为止。令 ? 表 ... 示走出迷宫所需的时间。 (1) (2) 求 ? 的分布列; 求 ? 的数学期望。

24.

概率为

p。

p 的最大值; ? ? (ii)记平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 ? (0 <? ? 90 ) ,当 p 取最大值时,求 cos ? 的值。
(i)当点 C 在圆周上运动时,求

5

6


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