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2015-2016学年高中数学 1.4.2第2课时 正、余弦函数的性质课件 新人教A版必修4

时间:2015-12-13


第一章
三角函数

第一章 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正、余弦函数的性质

1

优 效 预 习

3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课 时 作 业

优效预习

●知识衔接
1.下列函数中,最小正周期为 π 的函数是( x A.y=sin2 C.y=cosx x B.y=cos2 D.y=cos2x )

[答案] D

2.已知函数f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=2,且 当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,求函数f(x)的解析式. [解析] 当x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时,x-2k∈[-1,1], 又∵函数y=f(x)的周期T=2,

∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2,
故 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 f(x) = (x - 2k)2(x∈[2k - 1,2k + 1](k∈Z)).

●自主预习 1.正弦函数的图象与性质
正弦函数的图象与性质如下表所示:
解析式 图象 定义域 值域 y=sinx

R ____ π 2kπ+2(k∈Z) 当 x=_______________ 时,y 取最大值 1 [-1,1] π 2kπ-2(k∈Z) 当 x=_______________ 时,y 取最小值 1

最小正 周期 奇偶性

2π _______

奇 函数 ___
? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ? 2 2? 上是增函数; 在________________ ? ? π 3π? ?2kπ+ ,2kπ+ ? 2 2 ? 上是减函数(k∈Z) 在? ________________

单调性

[拓展]正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标 为(kπ,0)(k∈Z),即正弦曲线与 x 轴的所有交点;正弦曲线也 π 是轴对称图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ+2(k∈Z),所有 对称轴垂直于 x 轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的 最大(小)值.

2.余弦函数的图象与性质

余弦函数的图象与性质如下表所示:
解析式 图象 定义域
R ____

y=cosx

2kπ(k∈Z) 时,y取最大值1 当x=__________ 值域

[-1,1]
当x= _____________ 2 kπ+π(k∈Z) 时,y取最小值1

最小正周期 奇偶性

____ 2π _____函数 偶 在____________________上是增函数; [(2kπ-1)π,2kπ] 在____________________上是减函数(k∈Z) [2kπ,(2k+1)π]

单调性

[拓展]余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标 π 是(kπ+2,0)(k∈Z),即余弦曲线与 x 轴的所有交点;余弦曲线 也是轴对称图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ(k∈Z),所有对 称轴垂直于 x 轴,且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最 大(小)值.

●预习自测
1.已知函数 y=sinx,x∈R,则下列说法不正确的是( A.定义域是 R B.最大值与最小值的和等于 0
? π π? C.在?-2,2?上是减函数 ? ?

)

D.最小正周期是 2π

[答案] C

2.已知函数y=cosx,x∈R,则下列说法错误的是( A.值域为[-1,1]

)

B.是奇函数
C.在定义域上不是单调函数 D.在[0,π]上是减函数

[答案] B
3.下列函数在区间[0,π]上是单调函数的是( A.y=sinx C.y=sin2x [答案] D B.y=cos2x D.y=cosx )

[解析] 由y=cosx的图象知,在[0,π]上递减,选D.

1 4.函数 y=2sinx+1 的值域是________. [答案] 1 3 [2,2]

1 1 3 [解析] ∵|sinx|≤1,∴y=2sinx+1 的值域为[2,2].

5.函数 y=2-sinx 取得最大值时 x 的值为________. π [答案] 2kπ-2(k∈Z)
[解析] ∵y=2-sinx,∴当 sinx=-1 时,ymax=3,此时 π x=2kπ-2(k∈Z).

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●互动探究 三角函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 2sin2x; (2)f(x)=sin4x-cos4x; (3)f(x)= sinx-1; 1+sinx-cosx (4)f(x)= . 1+sinx+cosx [探究] 利用函数奇偶性的定义,分三步走:先求定义域,

再用-x 代入,最后得出结论.

[解析] (1)显然 x∈R. ∵f(-x)= 2sin2(-x)=- 2sin2x=-f(x), ∴函数为奇函数. (2) 显然定义域为 R. 因为 f( - x) = sin4( - x) - cos4( - x) = sin4x-cos4x=f(x),所以 f(x)是偶函数. π (3)∵sinx-1≥0,∴sinx=1,x=2kπ+2(k∈Z). 函数定义域不是关于原点对称的区间, 故为非奇非偶函数. π π π π (4)当 x=2时,f(2)=1 有意义;而当 x=-2时,f(-2)无意 义,故 f(x)为非奇非偶函数.

[点评]

第(4)小题的定义域不便求解,于是考虑举例,从

而判断出该函数的定义域不关于原点对称.

判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(π+x); (2)f(x)= 1-cosx+ cosx-1; 1+sinx-cos2x (3)f(x)= . 1+sinx [探究] 根据函数奇偶性定义进行判断,先检查定义域是
否关于原点为对称区间,如果是,再验证 f(-x)是否等于-f(x) 或 f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非 奇非偶函数.

[解析] (1)函数的定义域为R,关于原点对称. ∵f(x)=xsin(π+x)=-xsinx, ∴f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x). ∴f(x)是偶函数.

(2)∵1-cosx≥0且cosx-1≥0,
∴cosx=1,k=2kπ(k=Z). 此时,y=0,故该函数为既奇又偶函数.

(3)要使函数有意义,应满足 1+sinx≠0,
? ? ? 3π ? ? ∴函数的定义域为 x x∈R,且x≠2kπ+ 2 ,k∈Z ? ? ? ? ? ?. ? ?

∴函数的定义域不关于原点对称. ∴函数既不是奇函数也不是偶函数.

三角函数的单调区间

求下列函数的单调区间. (1)y=cos2x;
?π ? (2)y=2sin?4-x?. ? ?

[探究]

将(2)先用诱导公式化为

? π? y=-2sin?x-4?,然后依 ? ?

据 y=sint 与 y=cost 的单调区间和复合函数单调性的判断方法 求解.

[解析] (1)函数 y=cos2x 的单调增区间、单调减区间分别 由下面的不等式确定 2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z)① 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z)② π 解①得,kπ-2≤x≤kπ(k∈Z), π 解②得,kπ≤x≤kπ+2(k∈Z). 故 函 数 y = cos2x 的 单 调 增 区 间 、 单 调 减 区 间 分 别 为
? ? ? π π? ?kπ- ,kπ?(k∈Z)、?kπ,kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ? ? ?

?π ? (2)y=2sin?4-x?化为 ? ? ? π? y=-2sin?x-4?. ? ?

∵y=sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为
? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z), 2 2? ? ? π 3π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ?

∴函数

? π? y=-2sin?x-4?的单调增、单调减区间分别由下面 ? ?

的不等式确定 π π 3π 2kπ+2≤x-4≤2kπ+ 2 (k∈Z) ① π π π 2kπ-2≤x-4≤2kπ+2(k∈Z) ② 3π 7π 解①得,2kπ+ 4 ≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z), π 3π 解②得,2kπ-4≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z). ?π ? 故函数 y = 2sin ?4-x? 的单调增区间、单调减区间分别为 ? ? ? 3π 7π? π 3π ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z)、2kπ- ,2kπ+ (k∈Z). 4 4? 4 4 ?

求下列函数的单调区间: π (1)函数 y=sin(x+4)在什么区间上是增函数? π (2)函数 y=3sin(3-2x)在什么区间是减函数?
[探究] 将各函数看成复合函数,利用复合函数的“同增 异减”的原则来处理.

π π [解析] (1)∵函数 y=sinx 在[-2+2kπ,2+2kπ](k∈Z)上 是增函数, π π π ∴函数 y=sin(x+4)为增函数,当且仅当- 2+2kπ≤x+4 π ≤2+2kπ 时, 3π π 即- 4 +2kπ≤x≤4+2kπ(k∈Z). π 3π π ∴函数 y=sin(x+4)在[- 4 +2kπ, 4+2kπ](k∈Z)上是增函 数.

π (2)令 u=3-2x,则 u 是 x 的减函数. π π ∵y=sinu 在[-2+2kπ,2+2kπ](k∈Z)上为增函数, π π π ∴原函数 y=3sin(3-2x)在区间[-2+2kπ,2+2kπ](k∈Z) 上递减, π π π ∴-2+2kπ≤3-2x≤2+2kπ, π 5π 即-12+kπ≤x≤12+kπ(k∈Z). π π 5π ∴原函数 y=3sin(3-2x)在[-12+kπ,12+kπ](k∈Z)上单 调递减.

三角函数单调性的应用 1.比较三角函数值大小的方法

(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值;
(2)不同名的函数化为同名函数; (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.

比较下列各组值的大小. 21π 42π 1 (1)sin 5 与 sin 5 ;(2)sin5与 cos5.

[探究]

比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函

数值的正负,若同号,再利用诱导公式转化到同一单调区间内 的同名函数值进行比较.

21 π π [解析] (1)sin 5 π=sin(4π+5)=sin5, 42 2π 2π sin 5 π=sin(8π+ 5 )=sin 5 . π π 2π π ∵y=sinx 在[0,2]上单增,又 0<5< 5 <2, π 2π 21π 42π ∴sin5<sin 5 ,∴sin 5 <sin 5 .

1 π 1 (2)∵cos5=cos(2π-5),sin5=cos(2-5), π ∵y=cosx 在[0,2]上递减, π 1 π 又∵0<2π-5<2-5<2, π 1 ∴cos(2π-5)>cos(2-5), 1 ∴cos5>sin5.

比较下列各组数的大小: (1)sin194° 与 cos160° ;
? 3π? (2)sin?sin 8 ?与 ? ? ? 3π? sin?cos 8 ?. ? ?

[探究]

(1)先将异名三角函数化为同名三角函数,并且利

3π 3π 用诱导公式化到同一单调区间上.(2)先比较 sin 8 与 cos 8 的大 小,然后利用正弦函数单调性求解.

[解析] (1)sin194° =sin(180° +14° )=-sin14° , cos160° =cos(180° -20° )=-cos20° =-sin70° . ∵0° <14° <70° <90° ,∴sin14° <sin70° , 从而-sin14° >-sin70° ,即 sin194° >cos160° . 3π π 3π 3π (2)∵cos 8 =sin8,∴0<cos 8 <sin 8 <1. 而 y=sinx 在(0,1)内递增,
? ? 3π? 3π? ∴sin?cos 8 ?<sin?sin 8 ?. ? ? ? ?

[规律总结]

比较三角函数值大小的步骤:①异名函数化

为同名函数;②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利

用函数的单调性比较大小.

2.三角函数图象的对称性 π 函数 y=sin(2x+3)的对称轴是________, 对 称中心是________.
[探究] 根据正弦函数的周期性可知,过函数图象的最高

点或最低点的与 x 轴垂直的直线均是对称轴,而图象与 x 轴交 点均为对称中心.

π [解析] 要使 sin(2x+3)=± 1, π π 必有 2x+3=kπ+2(k∈Z), π k ∴x=2π+12(k∈Z), π k 即对称轴的直线方程为 x=2π+12(k∈Z).

π 而函数 y=sin(2x+3)的图象与 x 轴交点即为对称中心, π π 令 y=0,即 sin(2x+3)=0,∴2x+3=kπ(k∈Z), π k 即 x=2π-6(k∈Z), π kπ π 故函数 y=sin(2x+3)的对称中心为( 2 -6,0)k∈Z.
kπ π [答案] x= 2 +12(k∈Z) π k (2π-6,0)(k∈Z)

π 函 数 y = cos(2x + 3 ) 的 对 称 轴 与 对 称 中 心 分 别 为 ________.
kπ π kπ π [答案] x= 2 -6,k∈Z,( 2 +12,0)k∈Z

●探索延拓
求三角函数的值域(最值)

求下列函数的值域: (1)y=3-2cos2x,x∈R; (2)y=cos2x+2sinx-2,x∈R.
[探究] (1)将 2x 看成一个整体, 利用余弦函数的值域求得; (2)把 sinx 看成一个整体, 利用换元法转化为求二次函数的值域.

[解析] (1)∵-1≤cos2x≤1,∴-2≤-2cos2x≤2. ∴1≤3-2cos2x≤5,即 1≤y≤5. ∴函数 y=3-2cos2x,x∈R 的值域为[1,5]. (2)y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2. ∵-1≤sinx≤1,∴函数 y=cos2x+2sinx-2,x∈R 的值域 为[-4,0].

[规律总结]

求三角函数的值域的方法:①化为y=

Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b(A>0),则其值域为[-A+ b , A + b].如本例(1) 小题;②把 sinx 或 cosx 看成一个整体,利

用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域,如本例 (2) 小
题.

求下列函数的值域. (1)y=3-2sin2x;(2)y=|sinx|+sinx.
[解析] (1)∵-1≤sin2x≤1,∴1≤y≤5. ∴y∈[1,5]. (2)当 sinx≥0 时,y=2sinx≤2,这时 0≤y≤2; 当 sinx<0 时,y=0. ∴函数的值域为 y∈[0,2].

●误区警示 易错点 忽略定义域导致求错单调区间

π 求函数 y=log2sin(x+3)的单调递增区间. π [错解] 因为 2>1,所以只需求 u=sin(x+3)的单调递增区 间即可. π π π 于是-2+2kπ≤x+3≤2+2kπ,k∈Z, 5π π 即- 6 +2kπ≤x≤6+2kπ. π 所 以 函 数 y = log2sin(x + 3 ) 的 单 调 递 增 区 间 为 ? 5π ? π ?- +2kπ, +2kπ?(k∈Z). 6 6 ? ?

[错因分析] 该解法错误的原因在于忘记考虑定义域. [思路分析] 子集. 先求出函数的定义域,单调区间是定义域的

π [正解] 由题意,得 sin(x+3)>0, π 所以 2kπ<x+3<π+2kπ, π 2π 解得-3+2kπ<x< 3 +2kπ.

π 又因为 2>1 ,所以求得 u = sin(x + 3 ) 的单调递增区间为
? 5 ? π ?- π+2kπ, +2kπ?(k∈Z). 6 ? 6 ?

π 所 以 函 数 y = log2sin(x + 3 ) 的 单 调 递 增 区 间 为
? π ? π ?- +2kπ, +2kπ?(k∈Z). 6 ? 3 ?

函数 y= 1-2cosx的减区间为________.

[ 解析 ]

1 由已知得 1 - 2cosx≥0 ,∴ cosx≤ 2 ,因此 y =

1 1-2cosx的减区间即为 y=cosx 的增区间且 cosx≤2,所以所 π 求区间为:[2kπ-π,2kπ-3] k∈Z.

当堂检测

1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是( A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

)

D.非奇非偶函数
[答案] A

2.函数 y=sin2x 的单调减区间是(
?π ? 3 A.?2+2kπ,2π+2kπ?(k∈Z) ? ? ? π 3 ? B.?kπ+4,kπ+4π?(k∈Z) ? ?

)

C.??π+2kπ,3π+2kπ??(k∈Z)
? π π? D.?kπ-4,kπ+4?(k∈Z) ? ?

?

?

[答案] B

π 3π [解析] 由 2kπ+2≤2x≤2kπ+ 2 ,k∈Z 得 π 3 kπ+4≤x≤kπ+4π, π 3π ∴y=sin2x 的单调减区间是[kπ+4,kπ+ 4 ](k∈Z).

3.函数y=2cosx-1的最大值、最小值分别是( A.2、-2 B.1、-3

)

C.1、-1
[答案] B

D.2、-1

4.(2015· 银川模拟)下列函数中,最小正周期为 π,且图象 π 关于直线 x=3对称的函数是( π A.y=2sin(2x+3) x π C.y=2sin(2+3)
[答案] B

) π B.y=2sin(2x-6) π D.y=2sin(2x-3)

[解析] 根据函数的最小正周期为 π,排除 C,又图象关于 π π π x=3对称,则 f(3)=2 或 f(3)=-2,代入检验得选 B.

5.函数y=cos2x-4cosx+5的值域为________.
[答案] [2,10] [解析] 令t=cosx, 由于x∈R,故-1≤t≤1. y=t2-4t+5=(t-2)2+1,

当t=-1时,即cosx=-1时函数有最大值10;
当t=1,即cosx=1时函数有最小值2. 所以该函数的值域是[2,10].


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