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2015届广东高考(理科)数学大题考前限时训练(31-40套)精编版

时间:2015-02-22


2015 届广东高考(理科)数学大题考前限时训练 31
16. (12 分)已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? (1)求 f (

?
3

) ? 3 cos(? x ? ) 的最小正周期为 ? . 3

?

7? ) 的值; 12

(2)若 ?ABC 满足 f (C ) ? f ( B ? A) ? 2 f ( A) .证明: ?ABC 是直角三角形.

1

17. (14 分)甲、乙两名同学在 5 次英语口语测试中的成绩统计如图 5 的茎叶图所示. (1)现要从中选派一人参加英语口语竞赛,从两同学的平均成绩和方差分析,派谁参加更合适; (2)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高 于 80 分的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? . (样本数据 x1 , x2 , x3 ,

, xn 的方差

s2 ?

2 2 2 1 . x1 ? x ? x 2 ? x ? ? ? x n ? x ,其中 x 表示样本均值) n

??

? ?

?

?

??

甲 5 7 3 5 0 7 8 9 图5 7 3 7



6

7

2

AB ? 1 , 18. (14 分) 如图 6, 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形, 且 ?ABC ? 600 ,
BC ? 2 , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD .
(1)证明:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ; (2)若 DE ? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值.
B1 A1 D1

C1

A

D

B

E 图6

C

3

19. (12 分)已知直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 经过椭圆 C : 一个焦点 F . (1)求椭圆的离心率;

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的一个顶点 B 和 a2 b2

(2)设 P 是椭圆 C 上动点,求 || PF | ? | PB || 的取值范围,并求 || PF | ? | PB || 取最小值时点 P 的 坐标.

4

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 32 16. (12 分)已知 f ( x) ? sin x ? cos( ? ? x), x ? R . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值和最小值;
1 ? (3)若 f (? ) ? ,? ? (0, ) ,求 sin ? ? cos ? 的值. 4 2

5

17. (12 分)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ? 依次为 1,2,…,8,其中 ? ? 5 为 标准 A , ? ? 3 为标准 B ,产品的等级系数越大表明产品的质量越好,已知某厂执行标准 B 生产该 产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准. (1)从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的 等级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4
6

5 3 4

5 4 7

6 8 5

3 5 6

4 3 7

该行业规定产品的等级系数 ? ? 7 的为一等品, 等级系数 5 ? ? ? 7 的为二等品, 等级系数 3 ? ? ? 5 的 为三等品,试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)已知该厂生产一件该产品的利润 y (单位:元)与产品的等级系数 ? 的关系式为:

?1, 3 ? ? ? 5 ? y ? ?2, 5 ? ? ? 7 ,从该厂生产的产品中任取一件,其利润记为 X ,用这个样本的频率分布估计总体 ?4, ? ? 7 ?
分布,将频率视为概率,求 X 的分布列和数学期望.

18. (14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? 2 x ? a , 3

x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点.
(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? [1, ??) 时, f ( x) ?

2 ? a 2 恒成立,求 a 的取值范围. 3

7

19. (14 分)如图①边长为 1 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为 AB、BC 的中点,将△BEF 剪去,将△AED、△DCF 分别沿 DE、DF 折起,使 A、C 两点
8

重合于点 P 得一三棱锥如图②所示. (1)求证: PD ? EF ; (2)求三棱锥 P ? DEF 的体积; (3)求 DE 与平面 PDF 所成角的正弦值.
A D

E

B

F 图①

C

D

P 图②

F

E

9

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 33 16. (12 分)已知数列 {an } 是一个等差数列, 且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (1)求 {an } 的通项 an ; (2)设 cn ?

5 ? an , bn ? 2cn , 2

求 T ? log2 b1 ? log2 b2 ? log2 b3 ?

? log2 bn 的值.

10

17. (13 分)2012 年春节前,有超过 20 万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321 国道长途跋涉返乡过年,为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶,手脚僵硬影响驾驶操作而引发 交事故,肇庆市公安交警部门在 321 国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站,让过往 返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所.交警小李在某休息站连续 5 天对进站休息的驾驶 人员每隔 50 辆摩托车就进行省籍询问一次,询问结果如图 3 所示:

11

(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采 用的是什么抽样方法? (2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进 行抽样,若广西籍的有 5 名,则四川籍的应抽取几名? (3)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名,求抽取的 2 名驾驶人员中四川籍人数 ? 的分布列及其均值.

18. (13 分) 已知 ?ABC 的面积为 2 2 , 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 a ? 3, b ? 4 , 0 ? C ? 90o . (1)求 sin( A ? B) 的值; (2)求 cos(2C ?

?
4

) 的值;

(3)求向量 CB, AC 的数量积 CB ? AC .

12

19. (14 分)如图, 已知斜三棱柱 (侧棱不垂直于底面) ABC ? A1B1C1 的侧面 A1 ACC1 与底面 ABC 垂
13

直,

? 6. BC ? 2, AC ? 2 3 , AB ? 2 2 , AA1 ? AC 1
(1)求侧棱 B1B 在平面 A1 ACC1 上的正投影的长度. (2)设 AC 的中点为 D ,证明 A1D ? 底面 ABC ; (3)求侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的余弦值.
A1 B1 C1

D A B C

14

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 34 16. (12 分)已知向量 a ? (cos

3 3 x ,sin x) , 2 2

x x ? ? b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [ ? , ] . 2 2 6 3
(1)求 a ? b 及|a ? b |; (2)若 f ( x) ? a ? b? | a ? b | ,求 f ( x) 的值域.

15

17. (12 分)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而 乙机床加工的零件不是一等品的概率为 等品的概率为

1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一 4

1 2 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . 12 9

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是 一等品的概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验, 求至少有一个一等品的概率.

16

18. (14 分)如图 1,在正三角形 ABC 中,已知 AB=5,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点, 设 AE ? 2 x ,CF ? CP ? x ,0 ? x ? 的大小为

5 ,将 ?ABC 沿 EF 折起到 ?A1EF 的位置,使二面角 A1—EF—B 2

? ,连结 A1B、A1P(如图 2) . 2

(1)求证:PF//平面 A1EB; (2)若 EF ? 平面 A1EB,求 x 的值;
17

(3)当 EF ? 平面 A1EB 时,求平面 A1BP 与平面 A1EF 所成锐二面角的余弦值.
A

E F B P C

图1

A1

E B 图2 P

F C

19. (14 分)在直角坐标平面 xoy 中,已知点 F1 (?5,0) 与点 F2 (5,0) ,点 P 为坐标平面 xoy 上的一个
18

动点, 直线 PF1 与 PF2 的斜率 k PF 与 KPF 都存在,
1 2

且 kPF ? kPF ? ? , ? 为一个常数. 1 2 (1)求动点 P 的轨迹 T 的方程,并说明轨迹 T 是什么样的曲线; (2)设 A、B 是曲线 T 上关于原点对称的任意两点,点 C 为曲线 T 上异于点 A、B 的另一任意点, 且直线 AC 与 BC 的斜率 k AC 与 k BC 都存在,若 k AC ? k BC ? ?

9 ,求常数 ? 的值. 25

19

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 35 16. (12 分)设三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分 别为 a, b, c , a ? 4, c ? 13 , sin A ? 4sin B . (1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小; (3)求三角形 ABC 的面积 S .

20

17. (12 分)一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的分布列与期望.

21

E 为 BC 上的动点, PA ? 平面 ABCD . 18. (14 分) 如图, 四边形 ABCD 为矩形, 且 AD ? 2, AB ? 1 ,
(1)当 E 为 BC 的中点时,求证: PE ? DE ; (2)设 PA ? 1 ,在线段 BC 上存在这样的点 E ,使得二面角 P ? ED ? A 的平面角大小为 定点 E 的位置.
P

? ,试确 4

A

D

B 第 18 题图

E

C 22

23

19. (14 分)已知点 C (1, 0) ,点 A , B 是圆 x 2 ? y 2 ? 9 上任意两个不同的点,且满足 AC ? BC ? 0 ,设

P 为弦 AB 的中点.
(1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x ? ?1 的距离恰好等于到点 C 的距离?若 存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.
y A ·P B x O C

24

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 36 16. (12 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,满足 A ? C ? 2B ,且 cos( B ? C ) ? ? (1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 5 ,求 ?ABC 的面积.

11 . 14

25

17. (14 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BAC ? 900 , PB ? BC ? CA ? 2 , E 为

PC 的中点,点 F 在 PA 上,且 2 PF ? FA .
(1)求证:平面 PAC ? 平面 BEF ; (2)求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.
P

E

F 26

C A

B

27

18. (13 分)佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管,已知这种灯管使用寿命 ? (单 位:月)服从正态分布 N (? , ? 2 ) ,且使用寿命不少于 12 个月的概率为 0.8,使用寿命不少于 24 个 月的概率为 0.2. (1)求这种灯管的平均使用寿命 ? ; (2)假设一间功能室一次性换上 4 支这种新灯管,使用 12 个月时进行一次检查,将已经损坏的 灯管换下(中途不更换),求至少两支灯管需要更换的概率.

28

19. (12 分)已知圆 C1 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1, 圆 C2 : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,动点 P 到圆 C1 , C2 上点的 距离的最小值相等. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)点 P 的轨迹上是否存在点 Q ,使得点 Q 到 点 A(?2 2 ,0) 的距离减去点 Q 到点 B(2 2 ,0) 的 距离的差为 4,如果存在求出 Q 点坐标,如果不存在 说明理由.

29

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 37
30

16. (12 分)某工厂生产某种产品,已知该产品的月 生产量 x (吨)与每吨产品的价格 p (元/吨)之间的 关系式为: p ? 24200 ? 0.2x2 ,且生产 x 吨的成本 为 R ? 50000 ? 200 x (元) .问该厂每月生产多少吨 产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?

31

17. (12 分)已知 ? ? 0 ,函数

f ( x) ? 2 sin ?x ? cos?x ? 2 3 cos2 ?x ? 3 ,
直线 x ? x1 , x ? x2 是 y ? f ( x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为 (1)求 ? 的值; (2)若 f (? ) ?

? . 2

2 5? ,求 sin( ? 4? ) 的值. 3 6

32

18. (14 分)甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人

1 比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ( p ? ) ,且各局胜负相互独立.已 2
33

5 知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 . 9
(1)求 p 的值; (2)设 ? 表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? .

34

19. (14 分)已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是 直角三角形, ?ACB ? 900 ,侧棱与底面所成角为 ? ,点 B1 在底面上的射影 D 落在 BC 上. (1)求证: AC ? 平面 BB1C1C ; (2)若 cos ? ?

1 ,且当 AC ? BC ? AA1 ? 3 时, 3

求二面角 C ? AB ? C1 的大小.
B1 C1 A1

B D C

A

35

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 38 16. (12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b , c , S 是该三角形的面积.

B cos B ,sin B ? cos B ) , 2 B b ? (sin B ? cos B , 2sin ) ,且 a / / b , 2
(1)若 a ? (2sin 求角 B 的度数; (2)若 a ? 8 , B ?

2? , S ? 8 3 ,求 b 的值. 3

36

17(12 分)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率 分别是

2 3 和 假设两人射击是否击中目标,相互之间 3 4

没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也 没有影响. (1)求甲射击 3 次,至少 1 次未击中 目标的概率; ... (2)假设某人连续 2 次未击中 目标,则停止射击,问:乙恰好射击 4 次后,被中止射击的概率是 ... 多少? (3)设甲连续射击 3 次,用 ? 表示甲击中目标时射击的次数,求 ? 的数学期望 E? . (结果可以用
37

分数表示)

18. (14 分)如图,四边形 ABCD 中(图 1) ,E 是 BC 的中点, AB ? AD ? 2 ,DB ? 2 ,DC ? 1 ,
38

BC ? 5 .将(图 1)沿直线 BD 折起,使二面角
. A ? BD ? C 为 60 0 (如图 2) (1)求证: AE ? 平面 BDC ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD 的距离.
A D C D . E 图1 B C E 图2

A

B

39

19(14 分)已知函数

f ? x? ?

x2 4a ? 1 ? (1 ? 2a) x ? ln(2 x ? 1) . 2 2

(1)设 a ? 1 时,求函数 f ( x) 极大值和极小值; (2) a ? R 时讨论函数 f ( x) 的单调区间.

40

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 39 16. (12 分)已知函数

f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2 3sin ? x cos ? x ?1(? ? 0) 的最小正周期为 ? .
(1)求 f ( ) 的值; 3 (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间及其图象的对称轴 方程.

?

41

17. (12 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有 关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 喜爱打篮 球
42

不喜爱打篮 合计 球

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的

男生 女生 10

5

3 学生的概率为 . 5

(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); 合计 (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认 为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由;

50

(3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为 ? ,求 ? 的分布列与期望. 下面的临界值表供参考: (参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

0.02
P( K ? k )
2

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9

0.00 1 10.8 28

其中 n ? a ? b ? c ? d )

5 5.02

k
4

18.(14 分)三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的直观图及三视图(正视图和俯视图是正方形,侧视图是等腰直角 三角形)如图, D 为 AC 的中点. (1)求证: AB1 // 平面 BDC1 ; (2)求证: A1C ? 平面 BDC1 ;
43

(3)求二面角 A ? BC1 ? D 的正切值.
2 正视图 2 A1 2 俯视图 B1 D B A 侧视图

C1

C

44

19. (14 分)已知函数 f ( x) ? logm x ( m 为常数, 0 ? m ? 1 ) ,且数列 ? f (an )? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列. (1)若 bn ? an ? f (an ) ,当 m ?

2 时,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ; 2

(2)设 cn ? an ? lg an ,如果 ?cn ? 中的每一项恒小于它后面的项,求 m 的取值范围.

45

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 40

? 16. (12分)已知函数 f ( x) ? tan(3 x ? ) . 4 ? (1)求 f ( ) 的值; 9
(2)设 ? ? (? , 求 cos(? ?

3? ? ? ) ,若 f ( ? ) ? 2 , 2 3 4

?
4

) 的值.

46

17. (12分)如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组4人)在期末考试中的数学成绩.乙 组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 a 表示.已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分 相同. (1)求 a 的值; (2)求乙组四名同学数学成绩的方差; (3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学, 记这两名同学数学成绩之差的绝对值为 X ,求随机 变量 X 的分布列和均值(数学期望) .

甲组 9 6 7 6 8 9 7 a

乙组

3

5

图4

47

18. (14分)如图5所示,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,

PD ? AC 于点 D , AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 3 .
(1)证明 ?PBC 为直角三角形; (2)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值.
P

D A B 图5 C

48

49

19. (14 分)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,已知

2a4 , a3 , 4a5 成等差数列,且 a3 ? 2a2 2 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2n ? 5 a ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n

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