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圆锥曲线的最值与定值问题PPT课件_图文

时间:2018-11-15

望城一中数学教研组 严文鸳 2005年12月

圆锥曲线背景下的最值与定值问题

1. 教材、考纲分析
2. 历年试题分析 3. 高考命题趋势分析 4. 典型例题分析

圆锥曲线背景下的最值与定值问题

教材、考纲分析
利用 “坐标法” 来研究几何问题是解析几何的基本思想。

对圆锥曲线背景下的最值与定值问题的考察,既可很好的考察 “坐标法”思想,又便于与其他知识(如:函数、方程、三角、 向量、不等式、导数、平面几何等)综合,符合在知识交汇点命 题考察学生能力的原则。
考纲也明确要求:掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方 程及简单的几何性质,理解椭圆的参数方程、理解圆锥曲线的初 步应用 。 在圆锥曲线背景下的最值与定值问题,就是圆锥曲线性质的进 一步应用,它综合了多种数学思想,如数形结合思想、函数与方 程思想、化归与转化思想等等,符合考试大纲中“对数学能力的 考察要以数学基础知识、数学思想和方法为基础” 的要求。 利于综合考察学生的能力。

历年试题分析
圆锥曲线下的最值与定值问题在各地高考试题中出现的频率 逐年增加,逐渐形成一个新的命题热点。 2004年全国各地高考试题分析
试卷 题 号 分 值 考查内容 全国Ⅲ 理17 4 最值问题 北京 理17 14 定值问题 上海 文20理22 8 8 最值问 题 重庆 文10 21理16 21 4 12 4 12 最值问题 辽宁 19 14 安徽春 19 12 福建 21 12 最值问题

最值问题 定值问题

2005年全国各地高考试题分析
试卷名称 题 号 分 值 考查内容 全国Ⅰ 文22 理21 14′ 14′ 定值问题 全国Ⅱ 文22 理21 14′ 14′ 最 上海 理19 14′ 值 重庆 文9 理9 4′ 4′ 问 题 山东 文22 理 22 14′14 ′ 广东 17 14′ 福建 文9 理11 4′ 4′ 湖南 理19文 21 14′14′ 江西 文21 12′

定 值问 题

高考命题趋势分析

“以能力立意命题”是考试大纲总的要求,也是高考命题总的方向 04、05年在出现频率和分值都较之以前有大幅度提高 。06年估 计在这里还将是个命题热点 。 考察的数学思想大都还是函数与方程思想和数形结合的思想。 注意向量、不等式的解题工具作用 注意利用平面向量的有关知识,将最值或取值范围的问题与 求曲线方程相结合的问题。 注意直线与圆锥曲线结合下的三角形边、角的最值问题。 定值的问题一般来说从两个方面来解决问题:
(1)从特殊入手,求出定点(定值),再证明这个点(值)与变量无关

(2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值)。

典型例题分析 例1: (椭圆参数方程,三角函数,最值问题的结合) 例2: (借助平面向量,将三角形、圆锥曲线最值、求 曲线方程、基本不等式等多个知识点有机的结 合,综合考察学生应用相关知识点解题的能力) 例3:(数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合) 例4:(三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调 性的综合应用) 例5:(从特殊入手,求出定点(定值),再证明这个 点(值)与变量无关。)

典型例题分析
x2 例?1:已知P是椭圆 ? y 2 ? 1?在第一象限内的点, 4 点A(2,0),B(0,1),O?为原点,求四边形OAPB面积的 最大值是??????????????????
分析: ?P(2 cos ? ,sin ? ),???(0 ? ? ?

?
2

),

?d ?

则点P到直线AB :?x ? 2 y ? 2?的距离? ? | 2 2 sin(? ? ) ? 2 | | 2 cos ? ? 2 sin ? ? 2 | 4
5 ? 5

?

2 2 ?2 5

?所求面积的最大值为 2

典型例题分析

??? ? ??? ? 例?2: ?已知?OFQ?的面积为2 6, ???OF ? FQ ? m (1)设 6 ? m ? 4 6, ?求?OFQ?正切值的取值范围。
(2) ?设以O点为中心,为焦点的双曲线经过点 ?F Q,(如图) ??? ? ???? 6 2 | OF |? c, m ? ( ? 1)c , ?当| OQ|取得最小值时, 4 求双曲线的方程。

典型例题分析

??? ? ??? ? 例?2: ?已知?OFQ?的面积为2 6, ???OF ? FQ ? m (1)设 6 ? m ? 4 6, ?求?OFQ?正切值的取值范围。
解析:设?OFQ ? ? ??? ? ??? ? ?| OF | ? | FQ | cos(? ? ? ) ? m ? ? ??? ? ? 1 ??? ? ? | OF | ? | FQ | sin ? ? 2 6 ?2 4 6 ? tan ? ? ? ? 6 ? m ? 4 6??? m
?4 ? tan ? ? ?1

典型例题分析

??? ? ??? ? 例?2: ?已知?OFQ?的面积为2 6, ???OF ? FQ ? m (2) ?设以O点为中心,为焦点的双曲线经过点 ?F Q,(如图) ??? ? ???? 6 2 | OF |? c, m ? ( ? 1)c , ?当| OQ|取得最小值时, 4 求双曲线的方程。
解析:设所求的双曲线方程为
x2 y 2 ? 2 ? 1( ? a ? 0, b ? 0), Q( x1 , y1 ), 2 a b ??? ? 则?FQ ? ( x1 ? c, y1 ) ? 4 6 1 ??? S?OFQ ? | OF | ? | y1 |? 2 6 ? y1 ? ? 2 c ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6 又?OF ? FQ ? m OF ? FQ ? (c, 0) ? ( x1 ? c, y1 ) ? ( ? 1??c 2 4

典型例题分析

??? ? ??? ? 例?2: ?已知?OFQ?的面积为2 6, ???OF ? FQ ? m (2) ?设以O点为中心,为焦点的双曲线经过点 ?F Q,(如图) ??? ? ???? 6 2 | OF |? c, m ? ( ? 1)c , ?当| OQ|取得最小值时, 4 求双曲线的方程。
???? 6 96 3c2 2 2 ? x1 ? c, ? ??| OQ |? x1 ? y1 ? 2 ? ? 12?? 4 c 8 (当且仅当C ? 4?时取 ? “=”)

此时Q的坐标为( 6,6 )或( 6,- 6 )
?6 6 2 ? ? ? 1 a ? 2 ? ?4 2 ?? a b ?????? ? 2 ? ?b ? 12 ?a 2 ? b2 ? 16 ?
x2 y 2 所求方程为??? ? ? 1. 4 12

典型例题分析
x2 y 2 例?3: ?已知椭圆? ? ? 1,A(4, 0),?B(2, 2)是椭圆内两点 25 9 5 P?是椭圆上任一点,(?1?)求 | PA | ? | PB | 的最小值 4 (2)求 | PA | ? | PB | 的最小值与最大值

5 () 1 ? | PA | ? | PB |?| PQ | ? | PB | 解析: 4 17 最小值为 4 (2)当P在?P??位置时, | PB | ? | PC |?| BC |
| PA | ? | PB | 有最大值,为 10? | BC |? 10 ? 2 10
当P在?P??位置时, | PB | ? | PC |? -| BC |

| PA | ? | PB | 有最小值,为 10-| BC |? 10-2 10

典型例题分析
x2 y 2 例?4: ?如图所示,设点F1, ?F2 ?是 ? ? 1的两个焦点,过F2 3 2 的直线与椭圆相交于A, B两点,求? F1 AB面积的最大值,
并求出此时直线的方程

分析: ?S? F1AB ? S? F1F2 A ? S? F1F2B,

设直线方程x ? ky ? 1 ,A( x1, y1 ),B( x2 , y2 ), 1 则S? F1 AB ? | F1 F2 | ? | y1 ? y2 |?| y1 ? y2 |???(? c ? 1) 2
4 3(k 2 ? 1) 4 3 ? x ? ky ? 1 易得 | y1 ? y2 |?? ? ? 2 2 1 2k ? 3 2 ?x y2 2 k ?1 ? ?1 ? ? k 2 ?1 2 ?3

4 3 利用函数的单调性可知S? F AB在k ? 0取最大值 1 3

典型例题分析
x y 例5: ?A、B是经过椭圆 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0)右焦点 a b 的任一弦,若过椭圆中心O的弦MN // AB,求证:
2 2

| MN |2 : | AB | 是定值 解析:当他们的倾斜角为0°时, | MN |2:| AB |? 4a2 : 2a ? 2a??定值)

下面再证明一般性. 设平行弦的倾斜角为? ,则斜率 k ? tan ? 则lMN : y ? (tan ? )?x?, ??????lAB ?? y ? tan ? ( x ? c)
? x2 设直线AB与椭圆的两个交点的横坐标为 x1?、

典型例题分析
x y 例5: ?A、B是经过椭圆 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0)右焦点 a b 的任一弦,若过椭圆中心O的弦MN // AB,求证:
2 2

| MN |2 : | AB | 是定值
??| MN |? (1 ? k ) | x1 ? x2 |
2

2 2 4 a b 2 可得 | MN | ? 2 2 2 b ? c sin ? 2 2 ab 同理可得 | AB |2 ? 2 2 2 b ? c sin ? ? ?| MN |2 :| AB |? 2a


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