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12.2圆的方程(3)

时间:2010-08-03


12.2圆的方程 12.2圆的方程
(三)点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系

1.圆的标准方程定义: 1.圆的标准方程定义 圆的标准方程定义: (x-a)2+(y-b)2=r2
其中圆心( , )半径为r。 其中圆心(a,b)半径为 。

2.圆的一般方程定义: 2.圆的一般方程定义 圆的一般方程定义:
2 2

x + y + Dx + Ey + F = 0 D + E 4 F > 0
2 2

(

)

3.圆的一般方程的特点 3.圆的一般方程的特点 : 圆的一般方程的 2 2 项的系数相同,且不为0; (1) x 和 y 项的系数相同,且不为 ; 的二次项. (2)没有形如 xy的二次项.

思考

已知圆的方程为 2+(y-b)2=r2 , (x-a) +(y如何判断它和直线 Ax+By+C=0的位置关 Ax+By+C=0的位置关 系?

直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系:
[法1]几何方法 1]几何方法 设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2, (x- +(y直线l的方程为:Ax+By+C=0, 直线l的方程为:Ax+By+C=0, 圆心( 圆心(a,b)到直线l的距离为d, 则有: b)到直线 的距离为d, 则有: 到直线l (1)当d<r 时,直线与圆相交; (1)当 直线与圆相交; (2)当d=r 时,直线与圆相切; (2)当 直线与圆相切; (3)当d>r 时,直线与圆相离. (3)当 直线与圆相离. 弦长公式: 弦长公式: = 2 r d l
2 2

(垂径定理和勾股定理 垂径定理和勾股定理) 垂径定理和勾股定理

[法2]代数方法 2]代数方法 2 2 x a) + y b) = r 2 ( ( 联立方程组 Ax + By + C = 0
消去 y,得关于 x的一元二次方程 (*)

设方程( 的判别式为△ 设方程(*)的判别式为△,则有 (1)当△>0 时,直线与圆相交; (1)当 直线与圆相交; (2)当△=0 时,直线与圆相切; (2)当 直线与圆相切; (3)当△<0时, 直线与圆相离. (3)当 直线与圆相离. 为方程( 设x1,x 2为方程()的两根

为直线的斜率) 弦长公式: 弦长公式: l = x1 x 2 1 + k 2 ( k为直线的斜率 )

已知直线l 例 已知直线l:x+2y=0,圆C: , : x2+y2-6x-2y-15=0,求直线l被 ,求直线l 所截得的线段的长。 圆C所截得的线段的长。 所截得的线段的长 弦长公式: 弦长公式: l = x1 x 2 1 + k
2

( k为直线的斜率 ) 为直线的斜率)
圆的弦长公式: 圆的弦长公式: = 2 r d l D为弦心距 垂径定理和勾股定理) 为弦心距(垂径定理和勾股定理 为弦心距 垂径定理和勾股定理
2 2

【练习】 练习】

讨论y = 16 x 与y = x + b的交点个数 .
2
8 6

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

圆的方程为x 例 已知 圆的方程为 2+y2=25, ,
25 求过点P( ,0)的圆的切线方程 求过点 ( )的圆的切线方程. 3

3 25 3 25 y = ( x )或y = ( x ) 4 3 4 3
改成( 7 若 P 改成(5, 呢? )

12 y7= ( x 5) 或x = 5 35

练习:设圆与 轴相切于点 轴相切于点(0,3),且在 轴截 且在x轴截 练习:设圆与y轴相切于点 且在 得的弦长为4,求此圆的方程 求此圆的方程。 得的弦长为 求此圆的方程。 并判断M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3) , 、 并判断 , 、 , 是在圆上,圆内,圆外? 是在圆上,圆内,圆外? 点与圆的位置关系判定一: 注:点与圆的位置关系判定一:若点到圆心 的距离为d, 的距离为 ,则 d>r时,点在圆外; 时 点在圆外; d=r时,点在圆上; 时 点在圆上; d<r时,点在圆内; 时 点在圆内

点与圆的位置关系判定二: 点与圆的位置关系判定二

设点P(x0,y0)和 圆C:f(x,y) x + y + Dx + Ey + F = 0 =
2 2

(1)若f(x0,y0) 0, 则点P在圆C外; > ( 2) 若f(x0,y0) 0, 则点P在圆C上; = ( 3) 若f(x0,y0) 0, 则点P在圆C内; <

已知隧道的截面是半径为4米的半圆 米的半圆, 例 已知隧道的截面是半径为 米的半圆, 车辆只能在道路中心线一侧行驶, 车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆 宽为2.7米 高为3米的货运车能不能驶 宽为 米、高为 米的货运车能不能驶 入这个隧道? 入这个隧道?

求以C(1,3)为圆心,并且和直线 为圆心, 例 求以 为圆心 3x-4y-7=0相切的圆的方程。 - 相切的圆的方程。 相切的圆的方程 分析:我们知道了圆心为 分析:我们知道了圆心为C(1,3),那么 那么 只要再知道圆的半径, 只要再知道圆的半径,即可写出圆的 标准方程。而我们知道圆C是与直线 标准方程。而我们知道圆 是与直线 3x-4y-7=0相切,所以半径 就等于点 相切, 相切 所以半径r就等于点 C到这条直线的距离。利用点到直线 到这条直线的距离。 到这条直线的距离 利用点到直线 的距离公式即可 即可。 的距离公式即可。
256 (x-1) +(y-3) = 25
2 2

求圆心在直线y=- 上 并且与直线l: 例 求圆心在直线 -4x上,并且与直线 : x+y-1=0相切于点 (3,-2)的圆的方程。 相切于点P( , )的圆的方程。 相切于点 半径为r, 解:设所求圆的圆心为(a,b),半径为 设所求圆的圆心为 半径为 则 b = 4a 4a 2 o = 1 3a r = | a + b 1 | 2

y

x


p(3,-2)

a = 1 b = 4 ∴所求圆的方程为 r = 2 2



C(a,b)

(x-1)2 + (y+4)2 = 8 -

y2 例 若实数 x, y满足 x + y = 1,求 的最小值 . x1
2 2

y

. (1,2)
1

x

例 已知l : ( 2 a + 1 ) x + ( a + 1 ) y 7 a 4 = 0( a ∈ R ) 圆C : ( x 1 ) + ( y 2 ) = 25 ( 1 )证明 : 不论a取何值 , l与C总相交 ; ( 2 )a为何值时 , l被C截得的弦长最短 .
2 2

(三)圆与圆的位置关系 设圆C (x- +(y设圆C1:(x-a)2+(y-b)2=R2(R>0)和 圆C2:(x-m)2+(y-n)2=r2(r>0)且设两圆 (x+(y(r>0)且设两圆 圆心距为d 则有: 圆心距为d,则有: (1)d>R+r 两圆外离; 两圆外离; (2) d=R+r 两圆外切; 两圆外切; (3) │R-r│<d<│R+r│两圆相交; │R r│< │R+r│两圆相交 两圆相交; (4) d= │R-r│ 两圆内切; │R- 两圆内切; (5) d<│R-r│ 两圆内含. │R- 两圆内含.

相切(外切和内切 两圆的性质定理 相切 外切和内切)两圆的性质定理: 外切和内切 两圆的性质定理:


O1

A

O

2

O1 O2 A



切点一定在连心线上

相交两圆的性质定理: 相交两圆的性质定理:
A . O1 B . O2 A O1 O. . 2 B

连心线垂直平分公共弦


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