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14.3(1)空间直线和平面的位置关系

时间:2012-04-10


资源信息表
1 4 . 3 ( 1 ) 空 间 直线 和 平 面 的 位 置关 系 关键词: 空间直线和平面、垂直 教学目标 在通过观察和实验,探索直线和平面垂直的位置 关系的过程中,理解空间直线和平面垂直的含义,会 用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系, 掌握空间直线和平面垂直的定义及定理,体会几何推 理证明的思考方法,基本规则和严谨性,发展空间想 象力和逻辑思维能力,理解异面直线间的距离、点和 描 述: 平面的距离的概念,知道直线和平面的距离、平面和 平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关 系,体会化归和转化的数学思想方法. 教学重点及难点 空间直线和平面垂直的定义、定理及其表示法, 几何推理证明的思考方法,基本规则和严谨性,空间 距离的确定与计算. 高中三年级>数学第 学 科: 语 种: 汉语 一册>14.3(1) 媒体格式: 教学设计.doc 学习者: 教师 学生 高中教育>高中三年 资源类型: 文本类素材 教育类型: 级 作 者: 刘小萍 单 位: 上海市南洋中学 地 址: 中山南二路 225 号(200032)
Email: Yunhe912@sina.com 标 题:

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1 4 . 3 (1 )空 间直线 和平 面的 位置 关系
上海市南洋中学 刘小萍

一、教学内容分析 空间直线和平面的位置关系及其表示法是空间几何的语言基础, 也是进行空间几何研究的起点. 14.3 空间直线和平面的位置关系(1)是在学习了空间直线和直 线的位置关系之后,进一步探索空间直线和平面的特殊位置关系之一 —— 直线和平面垂直. 课本通过观察旗杆是否直立在地面上的问题,要求学生能理解空 间直线和平面垂直的含义及其表示法, 归纳出空间直线和平面垂直的 定理. 通过图 14-18,要求学生会用文字语言、图形语言、符号语言表 述这种位置关系. 通过图 14-1 的长方体,要求能运用空间直线和平面垂直的定义 及定理进行简单的推理,体会出几何推理证明的思考方法,基本规则 和严谨性, 通过例 1,要求学生能理解异面直线间的距离、点和平面的距离 的概念,知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点 和平面的距离的转化关系, 会在简单图形中进行有关距离的确定与计 算. 空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况, 它是 空间中直线与直线垂直位置关系的拓展,又是平面与平面垂直的基 础,是空间中垂直位置关系间转化的重心,同时它又是点、直线、平 面和平面之间的距离以及直线和平面所成的角等内容的基础, 因而它 是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一. 二、教学目标设计 在通过观察和实验,探索直线和平面垂直的位置关系的过程中, 理解空间直线和平面垂直的含义,会用文字语言、图形语言、符号语 言表述这种位置关系,理解空间直线和平面垂直的定义及定理,体会 几何推理证明的思考方法,基本规则和严谨性,发展空间想象力和逻 辑思维能力,理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念,知道 直线和平面的距离、 平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离 的转化关系,体会化归和转化的数学思想方法. 三、教学重点及难点 空间直线和平面垂直的定义、定理及其表示法,几何推理证明的 思考方法,基本规则和严谨性,空间距离的确定与计算.

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四、教学用具准备 投影仪,多媒体课件 五、教学流程设计

引入

探究

巩固

应用

总结

作业

六、教学过程设计

一、情景引入
引例:简述下列问题的结论,并画图说明: (1)直线 a ? 平面α ,直线 b I a = A ,则 b 和 α 的位置关系如何? ≠ (2)直线 a ? 平面α ,直线 b // a ,则 b 和 α 的位置关系如何? ≠ 解: (1) b ? 平面α , 或b I α = A ; (2) b ? 平面α , 或b // α . ≠ ≠ [说明] (1)引导学生掌握空间直线与平面的各种位置关系,学会各 说明] 种位置关系的画法与表示方法.注意立体几何中,文字、符号 语言与图形直观的互相转化. (2)小结空间直线和平面的位置关系 小结
直线在平面上---有无数个公共点 ? ? 平行---没有公共点 ? ? 直线和平面 ?直线不在平面上--- ? ?相交---有且只有一个公共点 ? ?(直线在平面外) ?

符号语言、 几何语言表述这些位置关系. [说明]同时用图形语言、 说明]
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今天我们来探索空间直线和平面相交中的一种特殊位置关系 ——直线和平面垂直

二、学习新课
问题 1:在日常生活中你见到最多的直线与平面垂直的情形是什么? : 请举例说明. [说明 说明]引导学生举出生活中常见的直线与平面垂直的例子,如旗 说明 杆与地面的位置关系,大桥的桥柱与水面的位置关系,教室内直立的 墙角线和地面的位置关系等.

问题 2: 结合对下列问题的思考,讨论能否用一条直线垂直于一个 平面内的直线,来定义这条直线和这个平面垂直呢? (1)如图 1,阳光下直立于地面的旗杆 AB 与它
A

在地面上的影子 BC 的位置关系是什么?随着太阳的 移动,旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度会发生改变吗?
B B’ C’ C 图1

(2)旗杆 AB 与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 B′C′的位置关系又是什么?依据是什么?由 此得到什么结论? (3)如图 2,当旗杆 AB 倾斜时,还能保证 AB 与地面上的任一直线都垂直吗?
B 图2

A

[说明 (1)引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题, 说明]( 说明
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通过观察思考,感知直线与平面垂直的内涵. (2)教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变 化而移动的过程, 再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所 在直线与地面内的任意一条直线都垂直. (3)通过观察、思考与讨论,让学生感悟“一条直线与一个平 面内的任意一条直线都垂直”是这条直线与平面垂直的本质内涵. 还可引导学生观察实例 (如表示直线的笔与表示平面的桌面的位 置关系)和几何模型(如棱锥、棱台的侧棱与底面的位置关系等) , 从中感知:只要平面外的直线不垂直于这个平面,平面内就有直线与 平面外的这条直线不垂直,反之亦然. (4) 让学生归纳、 概括出直线与平面垂直的定义.教师补充完善, 同时给出直线与平面垂直的记法与画法. 定义:一般地,如果一条直线 的任何直线都垂直, 定义:一般地,如果一条直线 l 与平面 α 上的任何直线都垂直, 一条 那么我们就说直线 垂直( 那么我们就说直线 l 与平面 α 垂直(line l perpendicular to plane α) 记作: l⊥α.直线 l 叫做平面 α 的垂线(perpendicular line) ) 记作: ⊥ 直线 , 的垂线( ) , 的垂面. 点叫做垂足. 平面 α 叫做直线 l 的垂面.l 与面 α 的交点叫做垂足 画法:画直线与平面垂直时,通常把直线画成与 画法: 表示平面的平行四边形的一边垂直,如图 3. 辨析 1:下列命题是否正确?为什么? :
α 图3 P l

(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直 线与这个平面垂直. (2)如果一条直线垂直一个平面,那么这条直线就垂直于这个平

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面内的任一直线. [说明]通过问题辨析,加深概念的理解.由(1)使学生明确定义 说明] 说明 中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思.而(2)给出了直线与 直线垂直的一种判定方法. 引导学生给出命题(2)的符号表示:
a ⊥α? ? ?a⊥b b ?α ? ? ≠ ?

问题 3:通常定义可以作为判定的依据,那么用上述定义判定直线与 : 平面垂直是否方便?为什么?如何改进? [说明] 感受用定义作判断不方便,引发学生探索判定定理的需 说明] 说明 要,体会有限与无限的辨证关系. 引导学生思考用定义作判断不方便的原因, 再讨论平面内的直线 减少到多少条才合适,先排除一条和两条平行的情形,对两条相交情 形,可引导学生观察直立地面的棋杆与其在地 面的影子,还可进行如下实验. 实验: 实验:如图 4,请同学们拿出准备好的一块(任 意)三角形的纸片,我们一起来做一个试验: 过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放 置在桌面上, (BD、DC 与桌面接触). 问题 4:如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直?由此你能 : 得到什么结论? [说明]通过折纸让学生发现当且仅当折痕娥 AD 是 BC 边上的高, 说明] 说明 即 AD⊥BC 时翻折后的折痕 AD 与桌面垂直. 引导学生发现折痕 AD 与桌面垂直的本质特征: AD 是 BC 边上的
6

A

B D 图4

C

高时,无论怎样翻折,翻折之后垂直关系不变,即 AD⊥CD,AD⊥BD, 同时 CD、BD 是两相交直线不变,这就是说,当 AD 垂直于桌面内的两 条相交直线 CD、BD 时,它就垂直于桌面所在的平面. 都垂直,那么直 定理 2:如果直线 l 与平面 α 上的两条相交直线 a 、b 都垂直,那么直 :如果直线 线 l 与平面 α 垂直. 用符号语言表示为:
a ?α , b ? α , a ∩ b = O? ? ≠ ≠ ? ?l ⊥α l ⊥ a, l ⊥ b ? ?

辨析 2: 1)下列命题是否正确?为什么? : ) ( 如果一条直线与一个平行四边形的两条边垂直,那么这条直线 垂直于平行四边形所在的平面. (2)如图 5,若 α 内两条相交直线 m、n 与 l 无公共点且 l⊥m、l
l

⊥n,直线 l 还垂直平面 α 吗?
m

α

o

n
图5

[说明] 通过辨析,让学生明白要判断一条直线与一个平面是否 说明] 垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直, 至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.所谓: “线不在多,相交则灵”.

三、巩固练习
例 1:如图,观察跨栏、跳高架,你认为跨栏的支架、跳高架的立竿能 : 竖直立于地面的原因是什么?

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[说明]用学习到的知识解释实际生活中的问题,增强学生运用数 说明] 说明 学的意识,深化对直线与平面垂直定理的理解. 例 2:如图 6,已知 a∥b,a⊥α,求证:b⊥α. : [说明]初步感受如何运用直线与平面垂直的定理与定 说明] 说明 义解决问题,明确运用线面垂直定理时的具体步骤,防止 缺少条件,特别是“相交”的条件.让学生用文字语言叙 述:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那
α
图6

a

b
\

么另一条直线也垂直于这个平面.命题体现了平行关系与垂直关系的 联系,其结果给出了直线和平面垂直的又一个判定方法. (1)如图 7,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 例 3: 分别是 AA1、CC1 的中点,判断下列结论是否正确: ①AC⊥面 CDD1C1 ③AC⊥面 BDD1B1 ⑤ AC⊥BD1 (2)将(1)中正方体改成长方体呢,以上结论是否正确? ) [说明]利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题,体会转化思 说明] 说明 想在解决问题中的作用.其中①是定义的应用,②是定理的应用,④ 是思考题 2 结论的应用,③⑤是定理与定义的综合应用. 四、应用 应用之一是利用直线与平面垂直的定义、定理进行一些简单的推理, 应用之一 体会几何推理证明的思考方法,基本规则和严谨性. ②A A 1⊥面 A1B1C1D1 ④ EF⊥面 BDD1B1
A A1 E D 图7 B C D1 B1 C1 F

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我们继续研究图 7 例 4:如图 7, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、CC1 的中点, AC I BD = O ,连接 A1D, A1B, DF , BF ,求证: BD ⊥ A1 F [说明]要证线线垂直,可找线面垂直,反之亦然.即: 说明] 说明
直线与直线垂直 直线与平面垂直

这是立体几何证明垂直时常用的转化方法.除此之外,也要注意有时 是从数量关系通过计算找线线垂直,如勾股定理等,有时会利用平面 几何的性质,如等腰三角形底边上的三线合一等等. 应用之二是利用直线与平面垂直的定义、定理解决一些度量问题,如 应用之二 角、距离等,我们现在来探究距离的度量问题. 问题 5:你能举例说明距离在日常生活中的重要性吗? [说明] 引导学生举出生活中常见的需要测量距离的例子,如为了有 说明] 说明 合适的照明,需要确定吊灯与桌面的距离;为了保证安全,高压线离 地面需要相当的距离;为了购买家具,需要知道天花板与地面的距离 等等,体验探究距离的必要性, 距离定义: 距离定义: (1)点 M 和平面 α 的距离:过点 M 作平面 α 的垂线,垂足为 N , 的距离: 的垂线, 我们把点 间的距离叫做点 的距离. 我们把点 M 到垂足 N 之间的距离叫做点 M 和平面 α 的距离. 的距离: 平行于 (2)直线 l 和平面 α 的距离:设直线 l 平行于平面 α .在直线 l 上 我们把点 的距离叫做 叫做直线 任 取 一点 M , 我们把 点 M 到平面 α 的距离 叫做 直线 l 和 平面 α 的距 离. 平行平面 我们把点 设 在 我们把点 M (3) 平面 α 平行平面 β , 平面 α 上任取一点 M ,
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的距离叫做 叫做平面 的距离. 到平面 β 的距离叫做平面 α 和平面 β 的距离. (4 ) 异面直线 a 和 b 的距离: 直线 a 和 b 是异面直线, 的距离: 设 异面直线, 当点 M 、
N 分别在 a 和 b 上,且直线 MN 既垂直于直线 a ,又垂直于直线 b 时,

叫做异面直线 公垂线, ,垂足 我们把直线 我们把直线 MN 叫做异面直线 a 和 b 公垂线, 垂足 M 、N 之间的距离 , 叫做异面直线 的距离. 叫做异面直线 a 和 b 的距离. [说明]立体几何中,求距离的关键是化归,即空间距离向平面距离的 说明] 说明 化归,体现了“降维”的思想. 我们继续研究图 7 例 5:如图 7, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1 , AB 和 AD 的长分别 为 3cm, 4cm 和 5cm .
D1 C1 B1 D A 图7 B F C

(1)求点 A 和点 C1 的距离; (2)求点 A 到棱 B1C1 的距离; (3)求棱 AB 和平面 A1 B1C1D1 的距离; (4)求异面直线 AD 和 A1B1 的距离.

A1 E

[说明]求距离的基本步骤是作、证、算,此外还要特别注意融合在运 说明] 说明 算中的推理过程,推理是运算的基础,运算只是推理过程的延续.因 此求距离的关键是直线与平面位置关系的论证.

四、课堂小结
(1) 通过本节课的学习, 你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法? (2)上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想? (3)你会利用直线与平面垂直的定义和定理找到点、线、面的距离 并计算吗?
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五、作业布置
1、点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,O 是对角线 AC 与 BD 的交点,且 PA=PC,PB=PD. 求证:PO⊥平面 ABCD. 2、探究题:如图,直四棱柱 A′B′C′D′-ABCD(侧棱
B’ A’ D’ C’ A B 题3 C D

与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形满足 什么条件时, A′C⊥B′D′?
3、课本

P14 练习

4.AB 是⊙O 的直径,C 为圆上一点,AB=2,AC=1, P 为⊙O 所在平面外一点,且 PA⊥⊙O, PB 与平面所成角为 45 (1)证明:BC⊥平面 PAC ; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. [说明]通过训练,巩固本课所学知识,检测运用所学知识解决问 说明] 说明 题的能力.其中第 1 题主要运用直线与平面垂直的判定定理,第 2、 是活用直线与平面垂直的定义与判定定理.第 3、 题是利用直线与平 4 面垂直的定义与判定定理找到点、线、面的距离并计算. 六、教学设计说明 空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况, 它是 空间中直线与直线垂直位置关系的拓展,又是平面与平面垂直的基 础,是空间中垂直位置关系间转化的重心,同时它又是点、直线、平 面和平面之间的距离以及直线和平面所成的角等内容的基础, 因而它 是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一. 在探索空间直线与平面垂直的定义及判定定理时, 注意从具体实 例出发,通过观察、思考与讨论,让学生感悟“一条直线与一个平面 内的任意一条直线都垂直”是这条直线与平面垂直的本质内涵.引导
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学生思考用定义作判断不方便的原因, 再讨论平面内的直线减少到多 少条才合适,先排除一条和两条平行的情形,对两条相交情形,通过 折纸活动进行讨论,再通过辨析,让学生明白要判断一条直线与一个 平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直 线垂直, 至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的. 所谓: “线不在多, 相交则灵” .在这个过程中, 用问题驱动课堂教学, 引导学生自主探索、 归纳、 总结出相关概念, 充分发挥学生主体作用, 在应用定义和定理证明空间直线与平面垂直的过程中, 注意引导 学生把在直线和平面关系转化为直线和直线的关系, 渗透转化思想的 应用.这种转化思想同样要渗透在求直线和平面、平面和平面之间的 距离中,它们都可转化成求点和平面的距离. 空间直线与平面垂直的问题是立体几何中一个基本的问题,在 后面的多面体学习中会继续涉及, 因此, 教学中要注意把握好“度”. 所选例题和习题都不宜太难.同时,应注重思维过程的严谨性,无论 是判断、证明,都要紧扣定义和定理.

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