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2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编

时间:2010-04-13


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2009 届全国名校高三数学模拟试题分类汇 编 ( 上) 03 数列
试题收集:成都市新都一中 三、解答题 肖宏 1、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)已知数列的首项为 a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn , 5 * 且对任意的 n ? N ,当 n≥2 时,an 总是 3Sn-4 与 2- Sn 的等差中项 2 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (n ? 1)an , Tn 是数列 {bn } 的前项和, n ? N 求 Tn ;
*

(Ⅲ)设 cn ?

3 3an * ,P ,n ? N ,试证明:Pn ? . n 是数列 {cn } 的前项和, n ?1 2 4 ? 2 ? 3 ? an
n

5 解: (Ⅰ)当 n≥2 时,2an=3Sn-4+2- Sn, 2 5 即 2(Sn-Sn-1)=3Sn-4+2- Sn, 2 1 所以 Sn= Sn-1+2 2 1 1 ( Sn+2)-( Sn-1+2) 2 an+1 Sn+1-Sn 2 1 ∴ = = = (n≥2) an Sn-Sn-1 Sn-Sn-1 2 1 a2 1 又 2+a2= × 2+2=3 ? a2=1 ? = 2 a1 2 1 ∴数列{an}是首项为 2,公比为 的等比数列 2 ∴an=2 (n∈N ) 2-n * (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an=2 (n∈N ) 则 Tn=b1+b2+……+bn 1 2-n =2× 2+3× 1+4× +??+(n+1)× 2 2 ∴ 1 Tn= 2 1 3-n 2-n 2× 1+3× +??+n× 2 +(n+1)× 2 , 2
2-n *

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1

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1 1 1 3-n 2-n 作差得: Tn=2× 2+1+ + +??+2 -(n+1)2 2 2 4 n+3 =6- n-1 2 n+3 * ∴Tn=12- n-2 (n∈N ) 2 (Ⅲ) 证明: ? cn ?

3an 3 9 9 9 ? n n ?1 ? ? ? n ?1 n n n n n 4 ? 2 ? 3 ? an 4 ? 3 3? 4 ? 3 2?4 ? 4 ?3 2 ? 4n
n

1 1 (1 ? n ) 9 1 1 1 1 9 4 ? 3 (1 ? 1 ) ? 3 . ? Pn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 4 1 2 4 4 4 4 2 1? 2 4n 2 4
2、(河南省实验中学 2008-2009 学年高三第二次月考)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, S n 表示该数 列的前 n 项和.若已知 an ? 2S n?1 n ? N ? , n ? 2 (1)求证:数列 ?S n ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 解(1)? an ? 2S n?1 , (n ? N ? , 且n ? 2)

?

?

? S n ? S n ?1 ? 2Sn ?1 ,?

Sn ?3 S n ?1

? 数列{Sn }是以S1 ? a 1 ? 1为首项, 以 3 为公比的等比数列????????6 分
(2)由(1)知, Sn ? 3
n ?1

当n ? 2时, an ? 2S n?1 ? 2 ? 3n?2

?当n ? 1时,a1 ? 1不适合上式,
? 1 ? 数列?an ? 的通项公式为 an ? ? n?2 ?2 ? 3
f ( x) ? a ? 2x ? a ? 2 , ( x ? R). 2x ?1

(n ? 1) (n ? 2)

3 、 ( 河 南 省 实 验 中 学 2008-2009 学 年 高 三 第 二 次 月 考 ) 已 知 奇 函 数

(Ⅰ)试确定实数 a 的值,并证明 f(x)为 R 上的增函数;

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2

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(Ⅱ)记 an ? f [log2 (2 n ? 1)] ? 1, S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 求 Sn ; (Ⅲ)若方程 f ( x) ? ? 在(-∞,0)上有解,试证 ? 1 ? 3 f (? ) ? 0 解: (I) f (? x) ?

a ? 2?x ? a ? 2 a ? 2x ? a ? 2 得 (a ? 1) ? 2 x ? (a ? 1) ? 0 ? ? f ( x ) ? ? ?x x 2 ?1 2 ?1 2 (2 分) ? a ? 1,? f ( x) ? 1 ? x 2 ?1
设 ? ? ? x1 ? x2 ? ??
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? 2 x1 ? 2 x2 ,2 x1 ? 1 ? 0,2 x2 ? 1 ? 0
? f ( x) 在 R 上单调递增
(Ⅱ) a n ? ?
2 1 ? ? n ?1 2 ?1?1 2
n

? f ( x1 ) ? f ( x2 )
(4 分) (5 分) (7 分)

S n ? ?(1 ?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? ?(2 ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 2 ?1 2 ?1
x

(III) f ( x) ? 1 ?

又 f(x)为奇函数,且在 R 上为单调增函数

? f ( x) ? (?1,1)
当 x ? (??,0)时f ( x) ? (?1,0) 欲使 f ( x) ? ?在(??,0) 上有解

(9 分)

? ?1 ? ? ? 0

(10 分)∴f(-1)<f(α)<f(0) 即 ? 1 ? f (? ) ? 0
3

4 、 ( 河 南 省 实 验 中 学 2008-2009 学 年 高 三 第 二 次 月 考 ) 数 列 ?an ? : 满 足
2 a1 ? 2, an?1 ? an ? 6an ? 6(n ? N ? ).

(Ⅰ) 设 Cn ? log5 (an ? 3) ,求证 ?Cn ? 是等比数列; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ?

5 1 1 1 ? Tn ? ? . ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? ? 2 16 4 an ? 6 an ? 6an
3

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解:(Ⅰ)由

2 2 an?1 ? an ? 6an ? 6, 得 an?1 ? 3 ? (an ? 3) .

?log5 (an?1 ? 3) ? 2log5 (an ? 3) ,即 Cn?1 ? 2Cn ,

??Cn ? 是以2为公比的等比数列
(Ⅱ) 又 C1 ? log5 5 ? 1

????4分

?Cn ? 2n?1 即 log5 (an ? 3) ? 2n?1 ,

? an ? 3 ? 52 .
故 an ? 52
n?1

n?1

? 3.

????8 分

(Ⅲ)? bn ?

1 1 1 1 ? 2 ? ? ,= an ? 6 an ? 6an an ? 6 an ?1 ? 6

?Tn ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 2n . a1 ? 6 an?1 ? 6 4 5 ?9

又0 ?

1 5 ?9
2n

?

1 1 5 1 ? , ?? ? Tn ? ? . 16 4 5 ? 9 16
2

5 、 ( 湖 北 省 武 汉 市 教 科 院 2009 届 高 三 第 一 次 调 考 ) 已 知 二 次 函 数

f ( x) ? x 2 ? ax ? a(a ? 0, x ? R),不等式f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素,设数列 {an }
的前 n 项和

S n ? f (n)(n ? N*)

(1)求数列

{an } 的通项公式;
an 3 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn;

(2)设

bn ?

(3) (理科)设各项均不为 0 的数列

{cn } 中,所有满足 cm ? cm?1 ? 0 的正整数 m 的个数,
a (n ? N *) {c } an ,求数列 n 的变号数。

称为这个数列

{cn } 的变号数,若

cn ? 1 ?

解: (1)? f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素

? ? a ?2 4 ? a

0?

a ?或 0 ?a

4 ?
4

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又由 a ? 0得a ? 4, f ( x) ? x ? 4 x ? 4
2

? Sn ? n2 ? 4n ? 4
当 当

n ? 1时,a1 ? S1 ? 1 ? 4 ? 4 ? 1; n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 5
(n ? 1 ) (n ? 2 且 n ? N ) ?????????????(文 6 分,理 5

?1 ? an ? ? ? 2n ? 5
分)

(2)

? Tn ?

1 ?1 1 3 2n ? 5 ? 2 ? 3 ? 4 ??? 3 3 3 3 3n



1 1 ?1 1 3 2 n ? 7 2n ? 5 ? Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? ? n ?1 3 3 3 3 3 3n 3



2 1 2 1 1 1 2n ? 5 T ? ? 2 ? 2( 3 ? 4 ? ? ? n ) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 由①-②得 3 ? Tn ? 1 n ?1 ? 3 3 n ????????????????(文 13 分,理 10 分)

(n ? 1) ?? 3 ? cn ? ? 4 1? (n ? 2, n ? N ) ? ? 2n ? 5 (3) (理科)由题设

? n ? 3时, c n ?1 ? c n ?

4 4 8 ? ? ?0 2n ? 5 2n ? 3 (2n ? 5)(2n ? 3)

? n ? 3时, 数列{c n }递增 1 4 ? c 4 ? ? ? 0,由1 ? ? 0 ? n ? 5可知a n ? 0(n ? 5)且c 4 ? c5 ?? 0 3 2n ? 5 即n ? 3时,有且只有一个变号 数 又 ? c1 ? ?3, c 2 ? 5, c3 ? ?3,即c1 ? c 2 ? 0, c 2 ? c3 ? 0. ? 此处变号数有2个.
综上,得数列

{cn } 共有 3 个变号数,即变号数为 3.????????(理 13 分)

6、(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)已知数列{an}满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n ≥2,n∈N*) ,若数列 {an?1 ? ?an } 是等比数列.
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(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:当 k 为奇数时, 1 ? 1 ? 4 ; a k a k ?1 3k ?1 (Ⅲ)求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (n ? N *). a1 a 2 an 2

得 ? =2 或 ? =-3

??????????2 分

当 ? =2 时,可得 {an?1 ? 2an } 为首项是 a2 ? 2a1 ? 15 ,公比为 3 的等比数列, 则 an?1 ? 2an ? 15? 3n?1 ①

当 ? =-3 时, {an?1 ? 3an } 为首项是 a2 ? 3a1 ? ?10 ,公比为-2 的等比数列, ∴ an?1 ? 3an ? ?10(?2) n?1 ② ??????4 分
n+1

①-②得, an ? 3n ? (?2) n .

(注:也可由①利用待定系数或同除 2 得通项公式) (Ⅱ)当 k 为奇数时,

1 1 4 1 1 4 ? ? k ?1 ? k ? k ?1 ? k ?1 k k ?1 ak ak ?1 3 3 ?2 3 ?2 3

3 4 k ? [8 ? 7 ? ( ) k ] ? 7 ? 6k ? 8 ? 4k 2 ? k ?1 ? ?0 3 ? (3 k ? 2 k )(3 k ?1 ? 2 k ?1 ) 3 k ?1 (3 k ? 2 k )(3 k ?1 ? 2 k ?1 )


1 1 4 ? ? k ?1 a k a k ?1 3

????????8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 k 为奇数时,

1 1 4 1 1 ? ? k ?1 ? k ? k ?1 ????10 分 ak ak ?1 3 3 3

①当 n 为偶数时,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? ? ? n ? (1 ? n ) ? a1 a2 an 3 3 2 2 3 3
6

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②当 n 为奇数时,

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? ? a1 a2 an a1 a2 an an?1
??????13 分

=

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? (1 ? n ?1 ) ? 3 3 2 2 3 3

7 、 (2008 年 重 庆 一 中 高 2009 级 第 一 次 月 考 ) 设 数 列 ?an ? 前 n 项 和 为 Sn , 且

( 3? m ) Sn ? ma 2 n ? m? 3 n( ? N * 。其中 ) m 为实常数, m ? ?3 且 m ? 0 。
(1)求证: ?an ? 是等比数列; (2)若数列 ?an ? 的公比满足 q ? f (m) 且 b1 ? a1 , bn ? 通项公式; (3)若 m ? 1 时,设 Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan (n ? N * ) ,是否存在最大的正整数 k ,
* 使得对任意 n ? N 均有 Tn ?

3 f (bn ?1 )(n ? N * , n ? 2) ,求 ?bn ? 的 2

k 成立,若存在求出 k 的值,若不存在请说明理由。 8

解: (1)由 (3 ? m)Sn ? 2man ? m ? 3 ,得 (3 ? m)Sn?1 ? 2man?1 ? m ? 3 ,两式相减,得

(3 ? m)an?1 ? 2man (m ? ?3) ,∴

an ?1 2m ,∵ m 是常数,且 m ? ?3 , m ? 0 ,故 ? an m?3

2m 为不为 0 的常数,∴ ?an ? 是等比数列。 m?3
(2)由 b1 ? a1 ? 1, q ? f (m) ?

2m 3 3 2bn?1 , n ? N * ,且 n ? 2 时, bn ? f (bn ?1 ) ? ? , m?3 2 2 bn?1 ? 3

得 bnbn ?1 ? 3bn ? 3bn ?1 ?

?1? 1 1 1 1 ? ? ,∴ ? ? 是以 1 为首项, 为公差的等差数列, 3 bn bn?1 3 ? bn ?



3 1 n ?1 n ? 2 ,故 bn ? 。 ? 1? ? n?2 bn 3 3

1 1 1 1 ? 2( ) 2 ? 3( )3 ??? n( ) n 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 1 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n 2 ? n( 1 ) n ,∴ 相减得: Tn ? 1 ? ? ( ) ? ( ) ??? ( ) ? n( ) ? 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?2 Tn ? 4 ? n ?1 , 2
(3) 由已知 Tn ? 1 ? 2( ) ? 3( ) ??? n( )
1 2 n ?1

1 2

1 2

1 2

, ∴ Tn ?

1 2

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n?3 n?2 n ?1 3 ) ? (4 ? n ?1 ) ? n ? 0 , Tn 递 增 , ∴ (Tn ) min ? T1 ? 4 ? 0 ? 1 , n 2 2 2 2 k k ? Tn ? 对 n ? N ? 均成立,∴ ? (Tn ) min ? 1, ∴,又 k ? N ? ,∴ k 最大值为 7。 8 8 Tn ?1 ? Tn ? (4 ?
8、(黑龙江哈尔滨三中 2008 年 12 月高三月考)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且

2S n ? nan ? n(n ? 1,2,3,?) ,等比数列 ?bn ? 中 b1 ? a1 ,且 b2 , b3 的等差中项为 b1 .
(1)求证:数列 ?an ? 为等差数列; (2)请选择一个符合已知条件的且满足 a1 ? a 2 的数列 ?an ? ,并求数列 ?an ? bn ?的前 n 项和 Tn. 解: (1) 2S n ? nan ? n

n ? 2时 2S n?1 ? (n ? 1)an?1 ? n ? 1 2an ? nan ? (n ? 1)an?1 ? 1 (n ? 2)an ? (n ? 1)an?1 ? 1 ? 0 (n ? 1)an?1 ? nan ? 1 ? 0
②-①得 ①…………………………………………2 分 ②

(n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ? 2(n ? 1)an

∵ n ? 2 ,∴ an?1 ? an?1 ? 2an ,即 an?1 ? an ? an ? an?1 ∴ ?an ? 为等差数列…………………………………………………………6 分 (2)答案不唯一 令 b1 ? a1 ? 1 ,若令 a2 ? 2则an ? n 由 b2 ? b3 ? 2b1 得 q ? q ? 2 ,∴ q ? 1或 ? 2
2

若q ?1 若 q ? ?2



Tn ?

n(n ? 1) ……………………………………10 分 2



Tn ?

1 (?2) n n ? ? (?2) n ………………………12 分 9 9 3

9、(黑龙江哈尔滨三中 2008 年 12 月高三月考)如图,把正 ?ABC 分成有限个全等的小

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正三角形, 且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数, 使得任意两个相邻的小三角形 组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等.设点 A 为第一行, . . . ,BC 为第 n 行,记点 A 上的数为 a11, ? ,第 i 行中第 j 个数为 aij (1 ? j ? i) .若 a11 ? 1, a 21 ? (1)求 a31、a32、a33 ; (2)试求第 n 行中第 m 个数 a nm 的表达式(用 n、m 表示) ; ( 3 ) 记

1 1 , a 22 ? . 2 4

S n ? an1 ?a n2 ?? ? anm (n ? N * ) , 求 证 :

n?

1 1 1 4n ? 1 ? ??? ? (n ? N * ) S1 S 2 Sn 3







1



a31 ?

1 1 1 , a32 ? , a33 ? ……………………………………………………3 分 4 8 16

(2)anm ? ? ? (3) S n ?

?1? ?2?
1 2
n?2

n ? m? 2

……………………………………………………7 分

?

1 2
2n?2

当 n ? 2 时, S n ? 当 n ? 2 时,

1 2
n?2

?

1 2
2n?2

?

1 2
n?2

? 1 ,所以

1 1 1 1 ? 1 ,则 ? ??? ?n S1 S 2 Sn Sn
1 ? 4 n ?1 ? 4 n ?1 n 2 ?1



1 ? Sn 2

1
n?2

?

1 2
2n?2

1 1 1 4n ? 1 所以 ………………………………………………12 分 ? ??? ? S1 S 2 Sn 3
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10、(湖北黄陂一中 2009 届高三数学综合检测试题)已知定义在 [0, ?? ] 上的函数 f ( x ) 满足: f (0) ? 0, 且x ? ( n ? 1, n] 时, f ( x ) ? n[ x ? ( n ? 1)] ? f ( x ? 1) ,其中 n ? N * 。 (1)求 lim[
n??

1 1 1 ? ? ?? ] 的值; f (1) f (2) f (n)

(2)由函数 y ? f ( x ) 的图象, x 轴及直线 x ? a (a ? 0) 所围成的平面图形的面积记为 S (a ) ,
1 试比较 S ( n) ? S ( n ? 2) 与 f (n ? )(n ? 2) 的大小。 4

解:(1)由已知, f (n) ? n ? f (n ? 1), 即f (n) ? f (n ? 1) ? n.又f (0) ? 0 ………(2 分)
? f ( n) ? f (0) ? [ f (1) ? f (0)] ? [ f (2) ? f (1)] ? ? ? [ f ( n) ? f ( n ? 1)] ? 1? 2 ? 3 ??? n ? n( n ? 1) 2

?

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) ……………………………………(4 分) f (n) n(n ? 1) n n ?1
x ??

? lim[

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ] ? lim 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] f (1) f (2) f ( n) x ?? 2 2 3 n n?1 1 ? lim 2[1 ? ] ? 2.????? (6分) x ?? n?1

(2) ? y ? f ( x ) 的图象由原点出发,在第一象限内首尾相接的折线,
? S ( n) ? S ( n ? 2) 是两个直角梯形的面积之和.

1 1 ? S ( n) ? S ( n ? 2) ? [ f ( n ? 2) ? f ( n ? 1)] ? 1 ? [ f ( n ? 1) ? f ( n)] ? 1 2 2 1 ( n ? 2)( n ? 1) ( n ? 1)n 1 ( n ? 1)n n( n ? 1) 4n 2 ? 4n ? 2 ? [ ? ]? [ ? ]? .?? (8分) 2 2 2 2 2 2 4 1 又n ? ? ( n ? 1, n], 4 1 1 3n ( n ? 1)n 2n 2 ? n ? f ( n ? ) ? n[( n ? ) ? ( n ? 1)] ? f ( n ? 1) ? ? ? .?? (10分) 4 4 4 2 4

于是,当 n ? 2 时, S (n) ? S (n ? 2) ? f (n ? ) ? (2n2 ? 5n ? 2) ? (2n ? 1)(n ? 2) ? 0 故 S (n) ? S (n ? 2) ? f (n ? ) ,当且仅当 n=2 时取等号.……………………(12 分) 11、 (
1 4

1 4

1 4

1 4

江苏运河中学 2009 年高三第一次质量检测)设数列 ?a ?
n

? S 的 前 n 项 和 为 n , d 为 常 数 , 已 知 对 ?n, m ? N , 当 n ? m 时 , 总 有

S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d
⑴ 求证:数列{

an }是等差数列;
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⑵ 若正整数 n, m, k 成等差数列,比较 ⑶ 探究 :

S n ? S k 与 2S m 的大小,并说明理由!

p : “对 ?n, m ? N ? ,当 n ? m 时,总有 S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d ”

是 q : “数列{

an }是等差数列”的充要条件吗?并给出证明!由此类比, bn }是等比数列(公比为 q ,且 q ? 0 )的充要条件吗?
S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d
?2 分

你能给出数列{

⑴证明:∵ 当 n>m 时,总有 ∴ 当 n≥2 时,

S n ? S n?1 ? S1 ? (n ? 1)d 即 an ? a1 ? (n ? 1)d , an ? an?1 ? a1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 2)d ? d

且 n=1 也成立 ∴ 当 n≥2 时, ∴数列{

??????3 分

an }是等差数列

??????5 分

⑵解: ∵正整数 n, m, k 成等差数列,∴ n ? k ? 2m,



S n ? S k ? 2S m ? na1 ?
?

n(n ? 1) k (k ? 1) m(m ? 1) d ? ka 1 ? d ? 2(ma 1 ? d) 2 2 2

d 2 d n?k 2 (n ? k 2 ? 2m 2 ) ? (n 2 ? k 2 ? 2( ) ) 2 2 2
??????9 分

?

d (n ? k ) 2 4

∴ ① 当 d>0 时, ② 当 d<0 时, ③ 当 d=0 时, ⑶

S n ? S k ? 2S m S n ? S k ? 2S m S n ? S k ? 2S m
??????10 分

由⑴充分性已经得证,下面证必要性 ∵ 数列{an}是等差数列 ∴当 n>m 时,

S n ? S m ? S n?m ? am?1 ? am?2 ? ? ? an ? S n?m
(n ? m)( n ? m ? 1) (n ? m)( n ? m ? 1) d ? [( n ? m)a1 ? d] 2 2

? (n ? m)a m ?1 ?

? (n ? m)(am?1 ? a1 ) ? m(n ? m)d

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∴ ∴

S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d

p : “对 ?n, m ? N ? ,当 n ? m 时,总有 S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d ”
是 q : “数列{ “数列{

an }是等差数列”的充要条件

??????15 分

bn }是等比数列(公比为 q ,且 q ? 0 ) ”的充要条件是
?

“对 ?n, m ? N ,当 n ? m 时,总有 12 、 ( 北 京 五 中

S n ? S m ? q m ? S n ?m ”
月 考 ) 已

????18 分 知 函 数

12

f ( x) ?

2x ? 3 1 , 数列{an }满足a1 ? 1, an?1 ? f ( ), n ? N * . 3x an

(1)求为数列 {an } 的通项公式; (2)令 Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? a4 a5 ? ? ? (?1) 2n?1 a2n a2n?1 , 求Tn . ( 3 ) 令 bn ?

1 m?2008 对一切 (n ? 2), b1 ? 3, S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 若S n ? a n?1a n 2

n ? N * 成立,求最小正整数 m.

解: (1)? a n ?1

2 ?3 an 2 ? 3a n 1 2 ? f( )? ? ? an ? 3 an 3 3 an

2 ?{a n }是以 为公差的等差数列 3 2 1 又 a1 ? 1,? a n ? n ? 3 3
(2) Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? a4 a5 ? ? ? (?1) 2n?1 a2n a2n?1

(4 分)

4 ? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ? ? a2n (a2n?1 ? a2n?1 ) ? ? (a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ) 3 5 4n 1 n( ? ? ) 4 3 3 3 ? ? 4 (2n 2 ? 3n) (12 分) ?? ? 3 2 9

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(3)当 n ? 2 时, bn ?

1 a n ?1 a n

?

2 2 1 2 1 ( n ? )( n ? ) 3 3 3 3

?

9 1 1 ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 1

9 1 (1 ? ) ,? S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn 2 3 9 1 1 1 1 1 9 1 9n ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )= (9 分) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2 n ? 1 m ? 2008 * ? Sn ? 对 n ? N 成立。 2 9n m ? 2008 9n 9 1 ? . ? (1 ? ) 递增, 即 2n ? 1 2 2n ? 1 2 2n ? 1 9n 9 9n 9 ? 且 ? . 当 b ? ? 时, 2n ? 1 2 2n ? 1 2 m ? 2008 9 ? ? , m ? 2017. ? 最小正整数 m ? 2017 (12 分) 2 2
又 b1 ? 3 ? 13 、 ( 北 京 市 东 城 区 2009 届 高 三 部 分 学 校 月 考 ) 已 知 数 列

{an }的前n项和S n 满足S n?1 ? kSn ? 2, 又a1 ? 2, a2 ? 1.
(1)求 k 的值及通项公式 an. (2)求 S n . 解(1)? S 2 ? kS1 ? 2 ? a1 ? a2 ? ka1 ? 2 又 a1 ? 2, a 2 ? 1,2 ? 1 ? 2k ? 2 ? k ? (2)由(1) S n ?1 ?

1 2

(4 分)

1 Sn ? 2 ① 2 1 当 n ? 2时, S n ? S n ?1 ? 2 ② 2 1 ①—② a n ?1 ? a n (n ? 2) 2

a 1 1 又a2 ? a1 (? an ? 0, n ? N * ),? n?1 ? (n ? N * ) 2 an 2
1 1 1 ?{an }是等比数列, 公比为 . an ? 2 ? ( ) n ?1 ? n ? 2 2 2 2

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1 2[1 ? ( ) n ] 2 ? 4(1 ? 1 ) ?S n? 1 2n 1? 2

(12 分)

14 、 ( 北 京 市 东 城 区 2009 届 高 三 部 分 学 校 月 考 ) 已 知 等 差 数 列

{an }的首项a1 ? 1, 公差d ? 0 ,且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的第二
项、第三项、第四项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn ?

1 n(an ? 3)

(n ? N * ), S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 是否存在最大的整数 t , 使得

对任意的 n均有 S n ?

t 总成立 ? 若存在 , 求出 t ;若不存在,请说明理由. 36

解: (1)由题意得 (a1 ? d )(a1 ? 13d ) ? (a1 ? 4d ) 2 ,………………2 分 整理得 2a1d ? d 2 .

? a1 ? 1, 解得(d ? 0舍), d ? 2. ………………4 分

? an ? 2n ? 1(n ? N* ). ………………6 分
(2) bn ?

1 n(a n ? 3)

?

1 1 1 1 ? ( ? ), 2n(n ? 1) 2 n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 2 3 n n ?1

?

1 1 n (1 ? )? . …………10 分 2 n ? 1 2(n ? 1)
t 总成立。 36

假设存在整数 t满足 S n ? 又 S n ?1 ? S n ?

n ?1 n 1 ? ? ?0, 2(n ? 2) 2(n ? 1) 2(n ? 2)(n ? 1)

? 数列 {S n } 是单调递增的。 ………………12 分
1 t 1 ? S1 ? 为S n的最小值 , 故 ? , 即t ? 9. 4 36 4
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t 的最大值为 8。………………14 分 又? t ? N* , ? 适合条件的
15、 (甘肃省兰州一中 2008— 2009 高三上学期第三次月考)已知定义域为 R 的二次函数

f ( x)的最小值为 0, 且有f (1 ? x) ? f (1 ? x), 直线

g ( x) ? 4x ? 4被f ( x)的图像截得的弦长为 4 17 ,数列 {an }满足a1 ? 2, (an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0(n ? N * ).
(I)求函数 f ( x) ; (II)求数列 {an } 的通项公式;
1

(III)设 bn ? g (an ) ? 4nf 2 (an ), 求数列 {bn }的前n项和Tn . 解: (I)设 f ( x) ? a( x ? 1) 2 (a ? 0),则直线g ( x) ? 4( x ? 1)与y ? f ( x) 图象的两个交点

4 16 (1,0), ( ? 1, ) a a

????2 分

4 16 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 4 17(a ? 0) ? a ? 1, f ( x) ? ( x ? 1) 2 a a
(II) f (an ) ? (an ? 1) 2 , g (an ) ? 4(an ? 1)

????4 分

? (an?1 ? an ) ? 4(an ? 1) ? (an ? 1) 2 ? 0
? (an ? 1)(4an?1 ? 3an ? 1) ? 0
? a1 ? 2,? a n ? 1,4a n ?1 ? 3a n ? 1 ? 0 ? a n ?1 ? 1 ? 3 (a n ? 1), a1 ? 1 ? 1 4
????6 分

3 数列{a n ? 1}是首项为 1, 公比为 的等比数列 4
3 3 ? a n ? 1 ? ( ) n ?1 , a n ? ( ) n ?1 ? 1 (n ? N ? ) 4 4
1

????8 分

(III) bn ? g (an ) ? 4nf 2 (an )

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3 3 ? 4(a n ? 1) ? 4n[(a n ? 1) 2 ] 2 ? 4( ) n ?1 ? 4n( ) n ?1 4 4 3 n ?1 3 n ?1 ? (4 ? 4n)( ) ? ?4(n ? 1)( ) 4 4 3 1?1 3 3 3 Tn ? ?4[(1 ? 1)( ) ? (2 ? 1)( ) 2?1 ? ? (n ? 2)( ) n ? 2 ? (n ? 1)( ) n ?1 ] 4 4 4 4 3 3 3 2 3 n ?1 3 Tn ? ?4[(1 ? 1)( ) ? (2 ? 1)( ) ? ? ? ? (n ? 2)( ) ? (n ? 1)( ) n ] 4 4 4 4 4 1 3 3 3 3 Tn ? ?4[( ) ? ( ) 2 ? ? ? ? ( ) n ?1 ] ? (n ? 1)( ) n 4 4 4 4 4 3 ?3 ? [1 ? ( ) n ?1 ] ? ? 3 n ? ? 4 Tn ? ?16? 4 ? ? (n ? 1)( ) 3 4 ? ? 1 ? ? ? 4 ? ? 3 ? ?48 ? (65 ? n)( ) n (n ? N ) 4
????12 分 16、(广东省广州市 2008-2009 学年高三第一学期中段学业质量监测)数列 ?bn ? n ? N ? 是 递增的等比数列,且 b1 ? b3 ? 5, b1b3 ? 4 . (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an ? log2 bn ? 3 ,求证数列 ?an ? 是等差数列; (Ⅲ)若 a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? am ? a46 ,求 m 的最大值. 解 :( Ⅰ ) 由
2

1

?

?

?b1b3 ? 4 2 知 b1 , b3 是 方 程 x ? 5x ? 4 ? 0 的 两 根 , 注 意 到 bn?1 ? bn 得 ? ?b1 ? b3 ? 5

b1 ? 1, b3 ? 4 .??2 分

? b2 ? b1b3 ? 4 得 b2 ? 2 . ? b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 4 b ? 等比数列. ?bn ? 的公比为 2 ? 2 ,?bn ? b1q n?1 ? 2 n?1 ??4 分 b1
? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 2. ??5 分 ? an?1 ? an ? ??n ? 1? ? 2? ? ?n ? 2? ? 1 ??7 分 ? 数列 ?an ? 是首项为 3,公差为 1 的等差数列. ??8 分 (Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列 ?an ? 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,有
(Ⅱ) an ? log2 bn ? 3 ? log2 2
n?1

2

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a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? am = a1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? am ? a1
=3 ? m?3?
2

2

2

m?m ? 1? m2 ? m ? 1 ? 3 ? 6 ? 3m ? ??10 分 2 2

∵ a46 ? 46 ? 2 ? 48

? 6 ? 3m ?

?m 的最大值是 7. ??12 分

m2 ? m ? 48 ,整理得 m 2 ? 5m ? 84 ? 0 ,解得 ? 12 ? m ? 7 . ??11 分 2

17 、 ( 河 北 省 衡 水 中 学 2008 — 2009 学 年 度 第 一 学 期 期 中 考 试 ) 已 知 数 列 {an } 中 ,

a1 ? 1, 且an?1 ? pan ? 2n .设数列 {an } 的前 n 和为 S n
(1) 若 p ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式 an ; (2) (理)当 p ? 3 时,求 lim

Sn 的值. n ?? a n

(文)当 p ? 3 时,求 S n . 解: (1) P ? 2 时, an?1 ? 2an ? 2 n

?

a n ?1 a n 1 ? ? 2 n ?1 2 n 2

? t ? 1,? a2 ? a1 ? 0

所以 {

an 1 1 } 是首项为 , 公差为 的等差数列 n 2 2 2

------------------4 分

(2) P ? 3 时, an?1 ? 3an ? 2 n

an?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n )
所以 {an ? 2 n } 是首项为 3 ,公比为 3 的等比数列 所以 an ? 2 n ? 3n 即 a n ? 3n ? 2 n ------------------8 分

S n ? (3 ? 3 2 ? 33 ? ? ? 3 n ) ? (2 ? 2 n ? ? ? 2 n ) ?
所以 lim
n??

1 n ?1 1 ? 3 ? 2 n ?1 ? 2 2

Sn 3 ? an 2

-----------------------------12 分

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18 、 ( 大庆铁人中学 2009 届高三上学期期中考试 ) 已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且

a1 ? 1, S n?1 ? 4an ? 2(n ? N*) 。
(1)设

bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列 ?bn ?是等比数列;
cn ? an 2 n ,求证: ?cn ?是等差数列;

(2)设 (3)求

Sn 。
n?2

解: (1) 由S n ?1 ? 4a n ? 2得S n ? 4a n ?1 ? 2
? a n ?1 ? 4a n ? 4a n ?1 b a n ?1 ? 2a n ? ?2 a n ? 2a n ?1 bn ?1
(2)

n?2 n?2 n ? 2 , 即?bn ?是等比数列

a n ?1 ? 2a n ? 2(a n ? 2a n ?1 )

?b1 ? a2 ? 2a1 , 且 a1 ? a2 ? S2 ? 4a1 ? 2,? a2 ? 5,

?b1 ? 3,
于是 bn ? 3 ? 2n?1 ? an?1 ? 2an , 即有 cn ?1 ? cn ?

an ?1 an 3 ? n ? 3 ? 2?2 ? , (n ? N * ) n ?1 2 2 4

?{cn } 为等差数列,公差
c1 ?

d?

3 , 4



a1 1 1 3 3n ? 1 ? ? cn ? ? (n ? 1) ? , 2 2, 2 4 4 3n ? 1 n 2. 4

从而

an ?

(3)

Sn?1 ? 4an ? 2 ? (3n ?1)2n ? 2,(n ? N * ) ,

? Sn ? (3n ? 4)2n?1 ? 2,(n ? 2) ,


S1 ? a1 ? 1 ,符合 Sn ? (3n ? 4)2n?1 ? 2,

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于是

Sn ? (3n ? 4)2n?1 ? 2,(n ? N * )
2009 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ) 已 知

19 、 ( 大 庆 铁 人 中 学

f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? an x n , 且 a1 , a2 , a3 ,?, an 组成等差数列( n 为偶数) ,又
f (1) ? n 2 , f (?1) ? n .
(1)求数列的通项

an ;

1 f( ) (2)试比较 2 与 3 的大小,并说明理由.
(1) 由条件易得

an ? 2n ? 1

1 1 1 1 1 f ( ) ?a1 ( ) ? a 2 ( ) 2 ? a 3 ( ) 3 ? ? ? a n ( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 4 1 f ( ) ?a 1 ( ) ? a 2 ( ) ? a 3 ( ) ? ? ? a n ( ) n ?1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 f ( ) ? ? [ ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ?1 ] ? (2n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 ? ? (2n ? 3)( ) n ?1 2 2
1 1 f ( ) ? 3 ? (2n ? 3)( ) n ? 3 2 2
20、 (哈尔滨市第九中学 2008—2009 学年度高三第三次月考)设 ?an ? 是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,它的前 10 项和 S10 ? 110,且 a1 , a2 , a4 成等比数列。 (1) 证明: a1 ? d ; (2) 求公差 d 的值和数列 ?an ? 的通项公式。 答案: d ? 2.an ? 2n 21 、 ( 哈 尔 滨 市 第 九 中 学 2008 — 2009 学 年 度 高 三 第 三 次 月 考 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足

a4 ? 81, an ? 2an?1 ? 2n ? 1(n ? 2, n ? N*)
(1) 求数列的前三项 a1 , a2 , a3 的值;

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(2) 是否存在一个实数 ? ,使得数列 ? 若不存在,说明理由; (3) 求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 。

? an ? ? ? ? 为等差数列?若存在,求出 ? 的值; n ? 2 ?

答案: (1) a1 ? 5, a2 ? 13, a3 ? 33 ; (2) ? ? ?1 ; (3) S n n ? n ? 2 n?1 22 、 ( 哈 尔 滨 市 第 九 中 学 2008 — 2009 学 年 度 高 三 第 三 次 月 考 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足

a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N*)
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 4 1 4 (3)证明:
b ?1 b2 ?1

?4bn ?1 ? (an ? 1)bn (n ? N*) ,证明: ?bn ? 是等差数列;

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ? ? n ? (n ? N *) 2 3 a 2 a3 an?1 2
(2) (3)略

答案: (1) an ? 2 n ? 1

23、 (四川省成都市高 2009 届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{an}满足 a1=1, a2=3,

nπ nπ * 且 an+2=(1+2|cos |)an+|sin |,n∈N . 2 2
(1)证明:数列{a2n}(k∈N }为等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 bk=a2k+(-1) >bk 成立. 解:(1)设 n=2k(k∈N ) ∵a2n+2=(1+2|coskπ|)a2k+|sinkπ|=3a2k, 又 a2=3, ∴当 k∈N 时,数列{a2k}为首项为 3,公比为 3 的等比数列; (2)设 n=2k-1(k∈N ) 1 1 由 a2k+1=(1+2|cos(k- )π|)a2k-1+|sin(k- )π|=a2k-1+1 2 2 ∴当 k∈N 时,{a2k-1}是等差数列
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* * * * *

k-1

λ· 2

a2 k ?1

(λ 为非零整数),试确定 λ 的值,使得对任意 k∈N 都有 bk+1

*

??3'

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∴a2k-1=a1+(k-1)· 1=k
*

??5'

又由(1)当 k∈N 时,数列{a2k}为首项为 3,公比为 3 的等比数列 ∴a2k=a2· 3
k-1

=3 ??6'

k

? ?n+1(n为奇数) 综上,数列{an}的通项公式为 an=? 2 ??7' ? ?3http://www.7caiedu.cn/(n为偶数)
(3)bk=a2k+(-1) ∴bk+1-bk=3
k+1 k-1

λ· 2

a2 k ?1

=3 +(-1)
k+1 k

k

k-1

λ· 2, λ· 2
k

k

+(-1) λ· 2
k

k

-3 -(-1)
k

k-1

=2· 3 +(-1) λ· 3· 2
*

k

由题意,对任意 k∈N 都有 bk+1>bk 成立 ∴bk+1-bk=2· 3 +(-1) λ· 3· 2 >0 恒成立 ? 2· 3 >(-1)
k k-1 k k k

λ· 3· 2 对任意 k∈N 恒成立 ??9'
k k

k

*

①当 k 为奇数时,2· 3 >λ· 3· 2

?

2· 3 2 3 k * λ< k= · ( ) 对任意 k∈N 恒成立 3· 2 3 2

k

2 3 k 23 * ∵k∈N ,且 k 为奇数,∴ · ( ) ≥ · =1 3 2 32 ∴λ<1 ??10'
k k

②当 k 为偶数时,2· 3 >-λ· 3· 2

?

2· 3 2 3 k * λ>- k=- · ( ) 对任意 k∈N 恒成立 3· 2 3 2 ??11'

k

2 3 k 2 3 2 3 3 * ∵k∈N ,且 k 为偶数,∴- · ( ) ≤- · ( ) =- ,∴λ>- 3 2 3 2 2 2 3 综上:有- <λ<1 2 ??12'

∵λ 为非零整数,∴λ=-1. 24 、 ( 湖 南 省 衡 阳 市 八 中 2009 届 高 三 第 三 次 月 考 试 题 ) 二 次 函 数

f ( x)符合f ( x) ? 0, 且f ( x) ? 2x2恒成立,f (1) ? 1
(1)求 f (0) 并求 f ( x ) 的解析式; (2)若 an ?

f (1) f (2) f (n) 1 ? ??? , bn ? , 求数列 ?bn ? 前n项和Sn . 并求 lim S n . n ?? 1 2 n an

(3)若 cn?1 ? f (cn ), 且c1 ? 2, 记Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn , 求符合 Tn ? 2008 最小自然数 n. 解: (1) f (0) ? 0 又: f (0) ? 2 ? 0 ? 0    ? f (0) ? 0
2

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f ( x) ? ax2 ? bx  对称轴x ? 0即b ? 0  ? f ( x) ? ax2
又 f (1) ? 1   ?a ? 1   ? f ( x) ? x2 ( 2 ) an ?

12 22 n2 n(n ? 1) ? ?? ? ? 1? 2 ??? n ? 1 2 n 2
) ;l i m Sn ?
n ??

bn ?

2 1 1 ? 2 ( ? ) n( n ? 1 ) n ? n 1

1 Sn ? 2 ( ? 1 n ?1

1 ? l? i m ? 2 ( n ?? n ?1 ?
n?1

? 1 ? ? ?

)

2 .

(3) C1 ? 2.   Cn?1 ? (Cn )2

?Cn ? 22
n?1

?Tn ? 21 ? 22 ? 24 ? 28 ?22
? n ? 4,? nmin ? 4

? 2(1?2?4???2

n?1

)

? 2(2

n

?1)

? 2008

25 、 ( 湖 南 省 衡 阳 市 八 中 2009 届 高 三 第 三 次 月 考 试 题 ) 设 数 列 ?an ? , ?bn ? 满 足
1 , 2nan ?1 ? (n ? 1)an , 且 bn 2

a1 ?

? ln(1 ? an ) ?

1 2 an , n ? N* . 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对一切 n ? N * ,证明
2

2 a ? n 成立; an ? 2 bn

(Ⅲ)记数列 {an }, {bn } 的前 n 项和分别为 An , Bn ,证明 2 Bn ? An ? 4. 解: (Ⅰ)由 2nan ?1 ? ( n ? 1) an ,得
a 1 1 an ?1 1 a ?a ? ? ? n ,即数列 ? n ? 是以 1 ? 为首项,以 为 1 2 2 n ?1 2 n ?n?

( )( )n ?1 ? n? 比的等比数列,∴ an ? n? ?
1 2

1 2

1 2

?1? ? . ?2?
2 a ? n ,只要证明 an ? 2 bn

n

2 * (Ⅱ)因为 an ? 0, bn ? ln(1 ? an ) ? an ? 0, n ? N ,所以要证明

2 2 2bn ? a n ?2an . 即要证明 bn ? 1 an ? an ? 0 ,也即证明 ln(1 ? an ) ? an ? 0 成立.

2

构造函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ( x ≥ 0) .
1 ?x ?1 ? ∵ f ?( x) ? ,当 x>0 时, f ?( x ) ? 0 , 1? x 1? x

1 ( n l 即 f(x)在 (0, ??) 内为减函数, 故 f ( x ) ? f (0) ? 0 , ∴ ln(1 ? x) ? x ? 0 , 即

)? an ? 0 an ? ,

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此式对一切 n ? N * 都成立. 故

2 a ? n 成立. an ? 2 bn
2

2 (Ⅲ)∵ 2bn ? an ? 2ln(1 ? an ) ,由(Ⅱ)可知, 2bn ? an ? 2ln(1 ? an ) ? 2an ,

∴ 2 Bn ? An ? 2(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? 2 ?

n? ?1 2 3 ? 2 ? 3 ??? n ? 2 ? ?2 2 2

利用错位相减法求得 因为 n ? N * ,所以 2
n ?1

1 2 n n?2 n?2? ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ? 2 ?1 ? n ?1 ? 2 2 2 2 2 ? ?
0 1 2 ? (1 ? 1)n ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? 1 ? n ? 1 ? n ? 2 ,

于是 0 ?

n?2 n?2 2 B ? A ? 4(1 ? ) ? 4. ? 1 n n ,故 2n ?1 2n ?1

26、(江苏省盐城市田家炳中学 09 届高三数学综合练习)已知数列 {an } 中,a 2 ? 2 ,前 n 项 和为 S n , 且S n ?

n(a n ? 1) . 2

(I)证明数列 {an?1 ? an } 是等差数列,并求出数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?
*

k 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对 57 (2a n ? 1)(2a n ? 1)

一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值。 解: (I)由题意,当 n ? 1时, a1 ? S1 ?

a1 ? 1 , 则a1 ? 1. 2

a2 ? 2, 则a2 ? a1 ? 1.
当 n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ?

n(a n ? 1) (n ? 1)(a n?1 ? 1) 1 ? ? [nan ? (n ? 1)a n?1 ? 1], 2 2 2

1 a n ?1 ? [( n ? 1)a n ?1 ? na n ? 1], 2 1 则 a n ?1 ? a n ? [( n ? 1)a n ?1 ? 2na n ? ( n ? 1)a n ?1 ], 2
则 (n ? 1)an?1 ? 2(n ? 1)an ? (n ? 1)an?1 ? 0,
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即 an?1 ? 2an ? an?1 ? 0,即an?1 ? an ? an ? an?1 . 则数列 {an?1 ? an } 是首项为 1,公差为 0 的等差数列。 从而 an ? an?1 ? 1 ,则数列 {an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列。 所以, an ? n(n ? N * ) (II) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 1)(2a n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

所以, Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 n (1 ? )? . 2 2n ? 1 2n ? 1

由于 Tn ?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ? 0. 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)
1 3

因此 Tn 单调递增,故 Tn 的最小值为 T1 ? 令

1 k ? , 得k ? 19 ,所以 k 的最大值为 18。 3 57

27、 (揭阳市云路中学 2009 届高三数学第六次测试)已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标 原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函 数 y ? f ( x) 的图像上。

(Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 、设 bn ? 使得 Tn ?

3 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求 an an?1

m ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m。 20
2

解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得

a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n -2n.
2

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n -2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

2

?

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当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
2

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5) ?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ) (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? = (1- ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 ?

因此,要使

1 1 m 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥ 2 6n ? 1 20 2 20

10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 28 、 ( 揭 阳 市 云 路 中 学 2009 届 高 三 数 学 第 六 次 测 试 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足

a1 ? 1 , a2 ? 3 ,n a ? ? 2

3 a n ? ? 1

2 a? ( n n

*

N ).

(I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列。 解: (I)证明:? an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

? an ? 2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ), ? a1 ? 1, a2 ? 3, ? an ? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an ?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
(II)解:由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
(III)证明:? 4 1 4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ?1)bn , ? 4(b1 ?b2 ?...?bn ) ? 2nbn ,


?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

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2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , ??10 分 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③ ④



nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0, ?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ), ??bn ? 是等差数列. 29 、 ( 辽 宁 省 大 连 市 第 二 十 四 中 学 2009 届 高 三 高 考 模 拟 ) 已 知 数 列 {an} 中 ,

an ? 2 ?

1 a n ?1

(n ? 2, n ? N * )

(1) 若 a1 ?

3 1 ,数列{bn}满足 bn ? (n ? N * ) ,求证:数列{bn}是等差数列;并 5 an ? 1

求数列{an}的通项公式; (2)若 1<a1<2,求证:1<an+1<an<2. (1)证明: bn ?

1 ? an ? 1

a n ?1 1 1 ? , 而bn ?1 ? , 1 a n ?1 ? 1 a n?1 ? 1 2? ?1 a n ?1

? bn ? bn?1 ?

an?1 1 ? ? 1(n ? 2, n ? N * ) an?1 ? 1 an?1 ? 1
1 5 ? ? ,公差为 1 的等差数列;………………3 分 a1 ? 1 2

故数列{bn}是首项为 b1 ? 依题意有 an ? 1 ?

1 5 7 , 而bn ? ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? ,? an ? 1 ? bn 2 2

1 7 n? 2

,

故 an ?

2n ? 5 ……………………………………………………………………6 分 2n ? 7

(2)证明:先证 1<an<2 ①当 n=1 时,1<a1<2 成立; ②假设当 n=k 时命题成立,即 1<ak<2, 当 n ? k ? 1时,

1 1 1 3 ? ? 1 ? a k ?1 ? 2 ? ? (1, ) ? 1 ? a k ?1 ? 2 2 ak ak 2
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故当 n=k+1 时命题成立, 综合①②命题对任意 n ? N 时都成立,即 1<an<2…………………………9 分
*

下面证 an?1 ? an

a n ?1 ? a n ? 2 ? (a n ?

1 1 ) ? 2 ? 2 an ? ? 0 ? a n ?1 ? a n an an

所以 1< an?1 ? an <2 成立.……………………………………………………12 分 30 、 ( 山 东 省 平 邑 第 一 中 学 2009 届 高 三 元 旦 竞 赛 试 题 ) 数 列

?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? (1 ? cos2

n? n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3,?. 2 2

(Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 a2 n?1 Sn ? 2 ? . , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, n a2 n
2

解:(Ⅰ)因为 a1 ? 1, a2 ? 2, 所以 a3 ? (1 ? cos

?
2

)a1 ? sin 2

?
2

? a1 ? 1 ? 2,

a4 ? (1 ? cos2 ? )a2 ? sin 2 ? ? 2a2 ? 4.
一般地,当 n ? 2k ?1(k ? N* ) 时, a2 k ?1 ? [1 ? cos = a2k ?1 ? 1 ,即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 1. 所以数列 ?a2k ?1? 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 ? k. 当 n ? 2k (k ? N* ) 时, a2 k ? 2 ? (1 ? cos
2 2

(2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? sin 2 ? 2 2

2 k? 2 k? )a2 k ? sin 2 ? 2a2 k . 2 2

所以数列 ?a2 k ? 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2 k ? 2k.

? n ?1 * ? 2 , n ? 2k ? 1(k ? N ), 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? n * 2 ?2 , n ? 2k (k ? N ).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

1 2 3 n a2 n ?1 n ? 2 , Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , 2 2 2 2 a2 n 2
1 1 2 3 n S n ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2





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1 1 1 1 1 n Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( )2 ] 2 ? n ? 1? 1 ? n . ?2 1 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n?2 所以 S n ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2 1 n( n ? 2) ? 1 成立. 要证明当 n ? 6 时, Sn ? 2 ? 成立,只需证明当 n ? 6 时, n 2n
①-②得, 证法一

6 ? (6 ? 2) 48 3 ? ? ? 1 成立. 26 64 4 k ( k ? 2) ? 1. (2)假设当 n ? k (k ? 6) 时不等式成立,即 2k
(1)当 n = 6 时, 则当 n=k+1 时,

(k ? 1)(k ? 3) k (k ? 2) (k ? 1)(k ? 3) (k ? 1)(k ? 3) ? ? ? ? 1. 2k ?1 2k 2k (k ? 2) (k ? 2)?2k
n(n ? 1) 1 ? 1 .即当 n≥6 时, S n ? 2 ? . 2 2 n

由(1)、(2)所述,当 n≥6 时,

证法二

n(n ? 2) (n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n 2 (n ? 6) ,则 cn?1 ? cn ? ? ? n?1 ? 0. 令 cn ? 22 2n?1 22 2 6?8 3 ? ? 1. 64 4 n( n ? 2) 1 ? 1. 综上所述,当 n ? 6 时, S n ? 2 ? . 于是当 n ? 6 时, 2 2 n
所以当 n ? 6 时, cn?1 ? cn .因此当 n ? 6 时, cn ? c6 ? 31 、 ( 山 东 省 临 沂 高 新 区 实 验 中 学 2008-2009 学 年 高 三 12 月 月 考 ) 已 知 数 列

{an }的前n项和S n ? 12n ? n 2 .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {| an |}的前n项和Tn . 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 12?1 ? 1 ? 11 ;
2

…………1 分

当 n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? (12n ? n 2 ) ? [12(n ? 1) ? (n ? 1) 2 ] ? 13 ? 2n. ………3 分

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n ? 1时 , a1 ? 11 也符合 13 ? 2n的形式.

所以, 数列 {an }的通项公式为 an ? 13 ? 2n. …………4 分
(2)令 an ? 13 ? 2n ? 0, 又n ? N* , 解得n ? 6. …………5 分

当 n ? 6时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an |? a1 ? a2 ? ? ? an ? S n ? 12n ? n 2 ; 当 n ? 6时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ??? | a6 | ? | a7 | ??? | an |

? a1 ? a2 ? ? ? a6 ? a7 ? a8 ? ? ? an

? 2S6 ? S n ? 2 ? (12? 6 ? 62 ) ? (12n ? n 2 ) ? n 2 ? 12n ? 72.
综上, Tn ? ?
2 ? ?12n ? n , n ? 6, 2 ? ?n ? 12n ? 72, n ? 6.

…………12 分

32、(陕西省西安铁一中 2009 届高三 12 月月考)已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前 六项和为 60,且 a6为a1和a21 的等比中项. (I)求数列 {an } 的通项公式 an 及前n项和S n ; (II)若数列 {bn }满足bn ?1 ? bn ? a n (n ? N ),且b1 ? 3, 求数列 { 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则
?

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

?6a1 ? 15d ? 60, ? 2 ?a1 (a1 ? 20d ) ? (a1 ? 5d )
解得 ?

????2 分

?d ? 2, ?a1 ? 5.

????4 分

? an ? 2n ? 3 .
Sn ? n(5 ? 2n ? 3) ? n(n ? 4) 2
?bn ? bn?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N ? ).

????5 分 ????7 分

(II)由 bn?1 ? bn ? an ,

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当n ? 2时, bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? ? ((b2 ? b1 ) ? b1 ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a1 ? b1 ? (n ? 1)(n ? 1 ? 4) ? 3 ? n(n ? 2). 对b1 ? 3也适合,

?bn ? n(n ? 2)(n ? N ? )
? 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn n(n ? 2) 2 n n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ( ? ? ) 2 3 2 4 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2
3n 2 ? 5n 4(n ? 1)(n ? 2)

????10 分 ????12 分

Tn ?
?

????14 分

33、(上海市张堰中学高 2009 届第一学期期中考试)已知 f ?x ? 是定义在 R 上的不恒为零的 函数,且对于任意的 a, b ? R 都满足 f ?a ? b? ? af ?b? ? bf ?a ? . (1)求 f ?0? 、 f ?1? 的值. (2)判断 f ?x ? 的奇偶性,并证明你的结论.

f 2 ?n (3)若 f ?2? ? 2 , u n ? n

? ? ?n ? N ?,求数列 ?u ? 的前 n 项和 S
* n

n

.

解: (1) f ?0? ? f ?0 ? 0? ? 0 ? f ?0? ? 0 ? f ?0? ? 0

? f ?1? ? 1? f ?1? ? 1? f ?1?
(2) f ?x ? 是奇函数

? f ?1? ? 0

证明:? f ?1? ? f ?? 1? ? ? f ?? 1? ? f ?? 1? ? 0
2

?

?

? f ?? 1? ? 0

f ?? x? ? f ?? 1? x? ? ? f ?x? ? xf ?? 1? ? ? f ?? x? ? f ?x? 是奇函数

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(3)当 ab ? 0 时, 令 g ?x ? ?

f ?x ? ? g ?a ? b ? ? g ?a ? ? g ?b ? x

f ?a ? b ? f ?b ? f ?a ? ? ? ab b a

? g a n ? ng?a ? , f a n ? a n ? g a n ? n ? a n g a n ? nan?1 f ?a?

? ?

? ?

? ?

? ?

Un ?

f 2? n ? 1 ? ?? ? n ? 2?

? ?

n?1

?1? ? f? ? ? 2?
? ? 1? ?1? 1 ? ? 2 f ? ? ? f ?2? ? 0 2? ?2? 2
n?1

又 f ?2? ? 2 , f ?1? ? f ? 2 ?

1 1 1?1? ?1? ? f ? ? ? ? f ?2? ? ? ? U n ? ? ? ? 4 2 2? 2? ? 2?
n 1 ? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? n 2? ?2? ? ?1? ? ? ? Sn ? ? ? ? ?1 n ? N* 1 ?2? 1? 2

?

?

34 、 ( 天 津 市 汉 沽 一 中 2008~2009 学 年 度 高 三 第 四 次 月 考 试 题 ) 如 图 ,

P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ),?, P n ( xn , yn ),(0 ? y1 ? y2 ? ? ? yn ) 是曲线
点 Ai (ai ,0) (i ? 1, 2,3,?, n) 在 x 轴的正半轴上, ?Ai ?1 Ai Pi C : y 2 ? 3x ( y ? 0) 上的 n 个点, 是正三角形( A0 是坐标原点) . (Ⅰ) 写出 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求出点 An (an ,0)(n ? N*) 的横坐标 an 关于 n 的表达式; (Ⅲ)设 bn ? 等式 t ? 2mt ?
2

1 1 1 1 ,若对任意正整数 n ,当 m ? ? ?1,1? 时,不 ? ? ??? an?1 an? 2 an?3 a2 n

1 ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围. 6

解:(Ⅰ) a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12 .????????????????? 2 分 (Ⅱ)依题意 An (an ,0), An?1 (an?1 ,0) ,则

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xn ?

an ?1 ? an ? a ? an ? , yn ? 3 ? n ?1 ?? 3分 2 2 ? ?

y P3 P2 P1 A0 A3

在正三角形 P n An ?1 An 中,有

yn ?

3 3 | An?1 An |? (an ? an ?1 ) . 2 2

O

A1

A2

x

3 ? a ? an ? ? 3 ? n ?1 ? (an ? an ?1 ) .???????????????????? 4 分 ? 2 2 ? ?

? an ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ,
? an2 ? 2an?1an ? an?12 ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2, n ? N*) ,
同理可得 an?12 ? 2an?1an ? an 2 ? 2(an?1 ? an ) ①-②并变形得 ① ②

(n ? N*) .

(an?1 ? an?1 )(an?1 ? an?1 ? 2an ? 2) ? 0 (n ? 2, n ? N*)

? an?1 ? an?1 ,
? an?1 ? an?1 ? 2an ? 2 ? 0 ,
????????????? 6 分

? (an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? 2 (n ? 2, n ? N*) .
∴数列 ?an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 4 为首项,公差为 2 的等差数列.

? an?1 ? an ? 2(n ? 1),(n ? N*) , ?????????????? 7 分

? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ,
? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)

? n2 ? n .

? an ? n(n ? 1) (n ? N*) .
(Ⅲ)解法 1 :∵ bn ?

?????????? 8 分

1 1 1 1 ? ? ? ?? (n ? N *) , an?1 an? 2 an?3 a2 n
32

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∴ bn ?1 ?

1 an? 2

? 1

1 an?3 ?

?

1 an? 4 ?

??? 1 an?1

1 a2 n? 2

(n ? N *) .

? bn?1 ? bn ?

1 a2 n?2

a2 n?1

?

1 1 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 2)(2n ? 3) (n ? 1)(n ? 2)

?

?2(2n2 ? 2n ? 1) . (2n ? 1)(2n ? 2)(2n ? 3)(n ? 2)

∴当 n ? N * 时,上式恒为负值, ∴当 n ? N * 时, bn?1 ? bn , ∴数列 ?bn ? 是递减数列.

? bn 的最大值为 b1 ?

1 1 ? . a2 6

??????????????????? 11 分

若对任意正整数 n ,当 m ? ? ?1,1 ? 时,不等式 t ? 2mt ?
2

1 ? bn 恒成立,则不等 式 6

t 2 ? 2mt ?

1 1 ? 在 m ? ? ?1,1? 时恒成立,即不等式 t 2 ? 2mt ? 0 在 m ? ? ?1,1? 时恒成立. 6 6

2 设 f (m) ? t ? 2mt ,则 f (1) ? 0 且 f (?1) ? 0 ,
2 ? ?t ? 2t ? 0 ∴? 2 ? ?t ? 2t ? 0

解之,得

t ? ?2 或 t ? 2 ,

即 t 的取值范围是 (??, ?2) ? (2, ??) .????????????????? 14 分 解法 2:∵ bn ?

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N *) , an?1 an? 2 an?3 a2 n

? bn ?

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 2)(n ? 3) (n ? 3)(n ? 4) 2n(2n ? 1)

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1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ?? ? ? ? ??? ??? ? ??? ? ? ? ? n ?1 n ? 2 ? ? n ? 2 n ? 3 ? ? n ? 3 n ? 4 ? ? 2n 2n ? 1 ?
1 1 ? n ? 1 2n ? 1 n ? 2 2n ? 3n ? 1 x ( x ? 1) ,则 设 f ( x) ? 2 2 x ? 3x ? 1 ?

f ?( x) ?

?2 x 2 ? 1 . (2 x 2 ? 3x ? 1)2

当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 在 ?1, ?? ? 是增函数.
∴数列 ?bn ? 是递减数列.

? bn 的最大值为 b1 ?

1 . 6

??????????????????? 11 分

(以下解答过程与解法 1 相同) 35、 (厦门市第二外国语学校 2008—2009 学年高三数学第四次月考)已知 ?an ? 是一个等差数 列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求 ?an ? 前 n 项和 Sn 的最大值.

解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) S n ? na1 ?

? a1 ? d ? 1 ,解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . ? a1 ? 4d ? ?5

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2

所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 . 36、 (重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2(1 -3 ) (1)求证:{an}为等比数列。 (6 分)
n

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(2)

?an ?

的 公 比 为

q ,

f ( x) ?

qx ( x ? ?1, x ? 0) 若 数 列 ?bn ? 满 足 3 ? qx

?1? (8 分) b1 ? 3, bn ? f (bn?1 ), (n ? 2) ,求 ? ? 的前项和。 ? bn ?

()证明: 1 ? Sn ? 2(1 ? 3n ), Sn?1 ? 2 ?1 ? 3n?1 ? 当n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? ?4 ? 3n?1 ???3分

当n ? 1时,a1 ? s1 ? ?4满足. ? a n ? ?4 ? 3 n ?1 (n ? N ? ) ? ? 5分 又 an ? 4 ? 3 n ?1 ? ?3 a n ?1 ? 4 ? 3 n ? 2

? ?a n ?是首项为? 4,公比为3的等比数列。 ??? 6分 (2)解: ? q ? 3,? f ( x) ? ? bn ? ? bn ?1 .??10分 1 ? bn ?1 3x x ? ( x ? ?1且x ? 0) 3 ? 3x 1 ? x

1 1 ? ? 1(n ? 2) ? ?12分 bn bn ?1

?1? ? ? ?是以3为首项, 1为公差的等差数列。 b n ? ? n(n ? 1) n 2 ? 5n 前项和为3n ? ? 。 ???14分 2 2
37、(西南师大附中高 2009 级第三次月考)数列{an}中,a1 = 1,当 n ? 2 时,其前 n 项和满

1 2 足 Sn ? an (Sn ? ) 2
(1)求 Sn 的表达式; S (2)设 bn ? n , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 2n ? 1 解:(1) 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 代入已知得 1 2 Sn ? (Sn ? Sn?1 )(Sn ? ) ······················ 2 分 2 1 1 化简得: Sn Sn?1 ? Sn?1 ? Sn ··················· 3 分 2 2 1 1 ? 2 ·················· 4 分 两边同除以 Sn Sn ?1得 ? S n S n ?1

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1 1 ? ? (n ? 1)?2 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ·············· 6 分 Sn S1

1 ·························· 7 分 2n ? 1 1 Sn 1 1 1 1 ? 2n ? 1 ? ? ?( ? ) ····· 10 分 (2) ∵ bn ? 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? (1 ? ) 2 2n ? 1 n ························· 12 分 ? 2n ? 1 38、(西南师大附中高 2009 级第三次月考)数轴上有一列点 P1,P2,P3,…,Pn,…,已知 当 n ? 2 时, 点 Pn 是把线段 Pn – 1 Pn+1 作 n 等分的分点中最靠近 Pn+1 的点, 设线段 P1P2, P2P3,…,Pn Pn + 1 的长度分别为 a1,a2,a3,…,an,其中 a1 = 1.
∴ Sn ? (1)写出 a2,a3 和 an( n ? 2 , n ? N * )的表达式; (2)证明 a1 + a2 + a3 +…+an < 3( n ? N * ) ; ( 3 )设点 Mn( n , an) ( n > 2 , n ? N * ) ,在这些点中是否存在两个点同时在函数 k y? (k ? 0) 的图像上,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理 ( x ? 1) 2 由. 解:(1) 由已知 Pn ?1 Pn ? (n ? 1) Pn Pn ?1 , 令 n = 2,P1P2 = P2P3,所以 a2 = 1, ················ 1 分 令 n = 3,P2P3 = 2P3P4,所以 a3 ? 同理,
an 1 ? . an ?1 n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 an ?1 ? ? an ? 2 ? ? ? ? ? ? 1? (n ? 2) · 5 分 n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 2 (n ? 1)!

1 , ··············· 2 分 2

所以 an ? (2) 因为

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 2) (n ? 1)! 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ( n ?1) 2 ? 2? 2 ??2 2 n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?2 1! 2! (n ? 1)! 2 2 2

所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1 ?

1 1 ? ( )n ?1 1 2 ?1? ? 3 ? ( )n ? 2 ? 3 (n ? 2) . 1 2 1? 2
而 n = 1 时,易知 a1 = 1 < 3 成立,所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 3 (n ? N * ) 10 分

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(3) 假设有两个点 A(p,ap) ,B(q,aq) ( p ? q,p、q ? N *,且p ? 2,q ? 2) ,都 在函数 y ? 即 ap ?
k ( x ? 1) 2

k k ( p ? 1)2 (q ? 1)2 , a ? ? k , ?k . .所以 q ( p ? 1) 2 (q ? 1) 2 ( p ? 1)! (q ? 1)!

消去 k 得

( p ? 1) 2 ( q ? 1) 2 ? ,……① ( p ? 1)! ( q ? 1)!

以下考查数列{bn}, bn ?

n2 的增减情况, n! n 2 (n ? 1) 2 n ? (n ? 1) 2 n 2 ? 3n ? 1 bn ? bn ?1 ? ? ? ?? , n ! (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)!
2

当 n > 2 时,n – 3n + 1 > 0,所以对于函数{bn}有 b2 > b3 > b4 > ? > bn > ? 所以①式不能成立, k 所以,不可能有两个点同时在函数 y ? 图像上. ······· 14 分 ( x ? 1) 2 39 、 ( 重 庆 一 中 2008 学 年 高 三 年 级 上 期 半 期 考 试 ) 在 数 列 {an} 中 , a1=1 ,

an=

an?1 (c为常数, n ? N * , n ? 2).又a1 , a2 , a5 成公比不为 1 的等比数列. can?1 ? 1
(Ⅰ)求证{

1 }为等差数列,并求 c 的值; an
2 , bn ? a n ?1 a n ?1 (n ? 2, n ? N * ), S n为{bn }的前 n项和.求 lim S n n ?? 3

(Ⅱ)设 {bn } : b1 ?

解(Ⅰ)显见 an≠0.否则,若存在 an=0(n>1).由递增式必有 an-1=0 从而导致 a1=0 这与 a1=1 矛盾. ∴

1 1 1 1 ? ? c.故{ }是以c为公差, ? 1为首项的等差数列 an an?1 an a1 1 1 ? 1? (n ? 1 )c有a n ? . an 1 ? (n ? 1)c
1 1 2 , a5 ? 由a 2 ? a1 a5 解得 1? c 1 ? 4c
当 c=0 时,a1= a2= a5,舍去. 故 c=2



从而 a 2 ?

c=2 或 c=0
(Ⅱ)an=

1 2 1 .故{bn } : b1 ? , bn ? (n ? 2) 2n ? 1 3 (2n ? 3)(2n ? 1)

S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn ,当n ? 2时

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2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? .....? ( ? )?( ) 3 4 5 3 7 5 9 7 11 2n ? 5 2n ? 1 2n ? 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ? ] ? ? (1 ? ? ? ) ? 1? ( ? ) 2n ? 1 3 4 3 2n ? 1 2n ? 1 4 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? ) ?1 故 lim S n ? 1 ? lim( n ?? 4 n ?? 2n ? 1 2n ? 1 Sn ?
40 、 ( 重 庆 一 中 2008 学 年 高 三 年 级 上 期 半 期 考 试 ) 数 列 {an} 中 , a1=1 ,

an+1=

1 2 1 a n ? a n ? c(c>1为常数 , n ? N * ), 且a3 ? a 2 ? . 2 8

(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)比较

?a
k ?1

n

1
k



40 a n?1 的大小,并加以证明. 39
1 1 1 1 , a 3 ? (c ? ) 2 ? 2 2 2 2

解: (Ⅰ)由已知 a 2 ? c ? 由 a3 ? a 2 ?

1 解得 c ? 2或c ? 1(舍去) 8

(Ⅱ)由 a n ?1 ?

1 2 1 1 an ? an ? 2有an (an?1 ? an ) ? (an ? 2)(an?1 ? 2),从而 ? 2 an an ? 2

?

1 a n ?1 ? 2
n 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? ? ? ? ak ?1 ? 2 a1 ? 2 an?1 ? 2 2 ? an?1 k ?1 a k k ?1 a k ? 2 n

因为 a1 ? 1, 故
n

从而

?a
k ?1

1
k

?

(5an?1 ? 3)(8an?1 ? 13) 40 an?1 ? 39 39(2 ? an?1 )



下面证明 1 ? an<an?1<2 由 a n ?1 ? a n ?



1 (a n ? 2) 2 ? 0当且仅当 a n ? 2时a n ?1 ? a n 2

又 a1 ? 1.故an?1>an ? 1 再用数学归纳法证明 an<2

1?当n ? 1时,a1 ? 1<2显然结论正确.

2?假设n ? k时结论正确,即有 ak<2.
注意到 a k ?1 ?

1 2 1 3 a k ? a k ? 2 ? (a k ? 1) 2 ? . 2 2 2
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1 3 ( x ? 1) 2 ? 在x ? [1,?? )单增.由1 ? a k <2 2 2 1 3 2 所以 a k ?1< (2 ? 1) ? ? 2. 2 2
而函数 y ? 这就是说,当 n=k+1 时结论也正确 * 由 1°,2°可知 an<2 对 n∈N 恒成立,从而②得证. 由已知易求 a 2 ? 当 n ? 1时,

3 13 , a3 ? . 2 8

1 40 < a2 . a1 39 1 1 40 ? ? a3 . a1 a2 39
13 <a n ?1<2及①立得 8

当 n ? 2时,

当 n ? 3时,由a3 ?

? a > 39 a
k ?1 k

n

1

40

n ?1

.

41、 (2009 届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)已知数集序列{1}, {3, 5}, {7, 9,11}, {13, 15, 17, 19},??,其中第 n 个集合有 n 个元素,每一个集合都由连续正奇数 组成,并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数, (Ⅰ) 求第 n 个集合中最小数 an 的表达式; (Ⅱ)求第 n 个集合中各数之和 Sn 的表达式;

? 1 ? (Ⅲ)令 f(n)= ?1 ? 3 ? (n ? N * ) ,求证:2≤ f (n) ? 3 . ? Sn ? ? ? 解析: (Ⅰ) 设第 n 个集合中最小数 an , 则第 n ? 1 个集合中最小数 an ?1 , 又第 n ? 1 个集合中共有 n ? 1 个数, 且依次增加 2 , ∴ an?1 ? 2(n ?1) ? an ,即 an ? an?1 ? 2(n ?1) (n ? 2) , ------2 分

n

∴ an?1 ? an?2 ? 2(n ? 2), an?2 ? an?3 ? 2(n ? 3) , ???, a2 ? a1 ? 2 ,
相加得 an ? a1 ? 2 ? 又 a1 ? 1

,

(n ? 1)(1 ? n ? 1) ? n 2 ? n ,即得 an ? n2 ? n ? a1 . 2 2 ∴ an ? n ? n ? 1 . ------4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? n2 ? n ? 1 , n(n ? 1) ? 2 ? n3 . 从而得 Sn ? n(n 2 ? n ? 1) ? 2
n

- -----8 分

n ? 1 ? ? 1? * (Ⅲ)由(Ⅱ)得 Sn ? n , ∴ f (n) ? ?1 ? ? ? 1 ? ? (n ? N ) , ? 3S ? ? ? n? n ? ?

3

1? 0 1 0 1 1 1 2 1 2 n 1 n ∵? ?1 ? ? ? Cn ( ) ? Cn ( ) ? Cn ( ) ? ??? ? Cn ( ) n n n n ? n?

n

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1 n 1 n (n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? k ? 1) 1 1 k ( )k ? ? ? 又当 n ≥2 时, Cn n nk k! k! 1 1 1 ≤ ? ? . (k ? 1)k k ? 1 k
1 ( )1 ? 2 , ≥ Cn0 ( )0 ? Cn

1 n

- -----10 分

- -----12 分

1? 0 1 0 1 1 1 2 1 2 n 1 n ∴? ?1 ? ? ? Cn ( ) ? Cn ( ) ? Cn ( ) ? ??? ? Cn ( ) n 1 1 1 1 1 ? ) ≤1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( 2 2 3 n ?1 n 1 ? 3? ? 3 . n ∴ 2≤ f (n) ? 3 . ? n? n n n

n

- -----14 分

42 、 ( 北 京 市 东 城 区 2008-2009 学 年 度 高 三 年 级 部 分 学 校 月 考 ) 已 知 数 列

{an }的前n项和S n 满足S n?1 ? kSn ? 2, 又a1 ? 2, a2 ? 1.
(1)求 k 的值及通项公式 an. (2)求 S n . 解(1)? S 2 ? kS1 ? 2 ? a1 ? a2 ? ka1 ? 2 又 a1 ? 2, a 2 ? 1,2 ? 1 ? 2k ? 2 ? k ? (2)由(1) S n ?1 ? 当 n ? 2时, S n ? ①—② a n ?1 ?

1 2

(4 分)

1 Sn ? 2 2

① ②

1 S n ?1 ? 2 2

1 a n (n ? 2) 2

又a 2 ? ? a n ?1 an

1 a1 (? a n ? 0, n ? N * ) 2 1 1 ? (n ? N * ) ?{a n }是等比数列 , 公比为 . 2 2 (9分)

1 1 a n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n ? 2 2 2

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1 2[1 ? ( ) n ] 2 ?S n ? 1 1? 2 1 ? 4(1 ? n ) (12分) 2
43 、 ( 北 京 市 东 城 区 2008-2009 学 年 度 高 三 年 级 部 分 学 校 月 考 ) 已 知 等 差 数 列

{an }的首项a1 ? 1, 公差d ? 0 ,且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的
第二项、第三项、第四项. (1)求数列 {an } 的通项公式; ( 2)设 bn ?

1 n(an ? 3)

(n ? N * ), S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 是否存在最大的整数 t , 使得
t 总成立 ? 若存在 , 求出 t ;若不存在,请说明理由. 36

对任意的 n均有 S n ?

解: (I)由题意得 (a1 ? d )(a1 ? 13d ) ? (a1 ? 4d ) 2 ,??????2 分 整理得 2a1d ? d 2 .

? a1 ? 1, 解得(d ? 0舍), d ? 2. ??????4 分

? an ? 2n ? 1(n ? N* ). ??????6 分
(II) bn ?

1 n(a n ? 3)

?

1 1 1 1 ? ( ? ), 2n(n ? 1) 2 n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 2 3 n n ?1

?

1 1 n (1 ? )? . ????10 分 2 n ? 1 2(n ? 1)
t 总成立。 36

假设存在整数 t满足 S n ? 又 S n ?1 ? S n ?

n ?1 n 1 ? ? ?0, 2(n ? 2) 2(n ? 1) 2(n ? 2)(n ? 1)

? 数列 {S n } 是单调递增的。 ??????12 分

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1 t 1 ? S1 ? 为S n的最小值 , 故 ? , 即t ? 9. 4 36 4
又? t ? N* ,

? 适合条件的t 的最大值为 8。??????14 分
44、(四川省成都市高中数学 2009 级九校联考)已知等差数列的前三项为 a,4,3a,前 n 项和 为 Sn ,若前 k 项和为 Sk=2550 (1)求 k 的值; (2)求 lim(
n ??

1 1 1 1 ? ? ... ? ) 的值 S1 S2 S3 Sn

解: (Ⅰ)由 3a+a=4*2,得 a=2,公差 d ? 4 ? 2 ? 2 ??2 分 又 sk ? ka1 ?

k (k ? 1) d, 得 2 k (k ? 1) k ?2? ? 2 ? 2550. 2

整理得

k 2 ? k ? 2550 ? 0 ?????????2 分

解得 k ? 50, k ? ?51 (舍去) 。???????2 分 (Ⅱ) sn ? na1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) ? n?2? ?2 2 2

? n(n ? 1)


1 1 1 1 1 1 ???2 分 ? ? ... ? ? ? s1 s2 sn 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 ? 1? ?????????????????2 分 n ?1
因此, lim(
n ??

1 1 1 1 ? ? ... ? ) ? lim(1 ? ) ? 1 ?2 分 n ?? s1 s2 sn n ?1

45、(福建省德化一 中2009 届高三上学期第三次综 合测试)已知等差数列{an}中,

a3 ? a6 ? 17, a1a8 ? ?38且a1 ? a8 .
(1)求{an}的通项公式; (2)调整数列{an}的前三项 a1、a2、a3 的顺序,使它成为等比数列{bn}的前三项,求{bn}的 前 n 项和.

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解: (1)由 a3 ? a6 ? a1 ? a8= 17,

a1a8 ? ?38且a1 ? a8 ,得求得 a1 ? ?2 , a8 ? 19 ?2 分

∴{an}的公差 d=3 ???????3 分 ∴an=a1+(n-1)d=-2+3(n-1) =3n-5???????6 分 (2)由(1) ,得 a1=-2,a2=1,a3=4. 依题意可得:数列{bn}的前三项为 b1=1,b2=-2,b3=4 或 b1=4,b2=-2,b3= 1 (i)当数列{bn}的前三项为 b1=1,b2=-2,b3=4 时,则 q=-2??????8 分

? Sn ?

b1 (1 ? q n ) 1? q

1 ? [1 ? (?2) n ] 1 ? ? [1 ? (?2) n ] 1 ? (?2) 3

????????????10 分

(ii)当数列{bn}的前三项为 b1=4,b2=-2,b3=1 时,则

1 q ? ? .????????????????????????12 分 2 1 4[1 ? (? ) n ] n b (1 ? q ) 8 1 2 ? Sn ? 1 ? ? [1 ? (? ) n ] ???????13 分 1 1? q 3 2 1 ? (? ) 2
46、(福建省德化一中 2009 届高三上学期第三次综 合测试)已知函数 f(x)=x -4,设曲线 y=f + (x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的交点为(xn+1,0) (n ? N ) ,其中 x1 为正实数. (1)用 xn 表示 xn+1; x ?2 (2)若 x1=4,记 an=lg n ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式; xn ? 2 (3)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3. 解 : ( 1 )由题可得 f '( x ) ? 2x .所以曲线 y ? f ( x) 在点 ( xn , f (xn ))处的切线方程是:
2 .即 y ? ( xn y ? f ( xn ) ? f '( x ? 4) ? 2xn ( x ? xn ) .??????2 分 n )( x? x n ) 2 2 令 y ? 0 ,得 ?( xn ? 4) ? 2xn ( xn?1 ? xn ) .即 xn ? 4 ? 2xn xn?1 .
2

显然 xn ? 0 ,∴ xn ?1 ?

xn 2 ? .??????4 分 2 xn

(2)由 xn ?1 ?

xn 2 x ( x ? 2)2 ( x ? 2)2 2 ? ,知 xn?1 ? 2 ? n ? ? 2 ? n ,同理 xn?1 ? 2 ? n . 2 xn 2 xn 2 xn 2 xn



xn ?1 ? 2 x ?2 2 ?( n ) .??????6 分 xn ?1 ? 2 xn ? 2

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从而 lg

xn?1 ? 2 x ?2 ,即 an?1 ? 2an .所以,数列 {an } 成等比数列.?7 分 ? 2lg n xn?1 ? 2 xn ? 2
n ?1

故 an ? 2

a1 ? 2n?1 lg

x ?2 x1 ? 2 ? 2n?1 lg 3 .即 lg n ? 2n?1 lg 3 . x1 ? 2 xn ? 2
所以 xn ?

n?1 x ?2 从而 n ? 32 xn ? 2

2(32 ? 1) 32 ? 1
n?1

n?1

??????9 分

(3)由(2)知 xn ?
n?1

2(32 ? 1) 3
2n?1

n?1

?1

, ∴ bn ? xn ? 2 ?

4 3
2n?1

?1

?0

b 32 ? 1 1 1 1 1 ∴ n?1 ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 21?1 ? ??????11 分 2 bn 3 3 ?1 3 ? 1 3 3
当 n ? 1 时,显然 T1 ? b1 ? 2 ? 3 .??????12 分 当 n ? 1 时, bn ?

1 1 1 bn ?1 ? ( ) 2 bn ? 2 ? ? ? ( ) n ?1 b1 3 3 3

1 b1[1 ? ( ) n ] 1 1 n ?1 1 3 ? 3 ? 3 ? ( )n ? 3 . ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? b1 ? b1 ? ? ? ( ) b1 ? 1 3 3 3 1? 3
综上, Tn ? 3 (n ? N *) . ??????14 分 47 、 ( 福建 省 南安 一 中、安 溪 一 中、 养 正中 学 2009 届 高三 期 中联 考 ) 已知 等 差 数列

?an ?的前n项和Sn,且a1 ? 1,S6 ? 36 ,
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 9n ? ( ? 1) n?1 ? ? 3 n(
a

? ? N* , n ? N* ) ,试确定 ? 的值,使数列 ?bn ? 的递增数列.

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?a1 ? 1 ?a ? 1 ? 解: (1) ? ? ? 1 ? an ? 2n ? 1??? 2' 6?5 S6 ? 6 ? d ? 36 ?d ? 2 ? 2 ?     (2)若b2 ? b1时,即92 ? ? ? 33 ? 9 ? ? ? 31 12     又? ? N * ? ? ? 1或2??? 3' 5    ①若? =1时,bn ?1 ? bn ? 9n ?1 ? (?1) n 32 n ?1 ? 9n ? (?1) n 32 n ?1       ?? ?              ? 8 ? 9n ? 10(?1) n ? 32 n ?1 5(?1) n ] ? 0??? 3' 3    ②若? = 2时,bn ?1 ? bn ? 9n ?1 ? 2(?1) n 32 n ?1 ? 9n ? 2(?1) n 32 n ?1              ? 2 ? 9n [4 ?              ? 8 ? 9n ? 20(?1) n ? 32 n ?1 5(?1) n              ? 4 ? 9 [2 ? ] ? 0??? 3' 3     故存在?值为1和2,使数列?bn ?为递增数列.???1'
n

48、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)已知数列 {an } 的 首项 a1 ? 1 ,a2 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 、 Sn 、 Sn?1 (n ≥2)分 别是直线 l 上的点 A、 B、 C 的横坐标,AB ?

??? ?

? 2an ? 1 ??? 设 b1 ? 1 ,bn?1 ? log2 (an ? 1) ? bn . BC , an

⑴ 判断数列 {an ? 1} 是否为等比数列,并证明你的结论; ⑵ 设 cn ?
n 4 ,证明: ? C k ? 1 . an an ?1 k ?1
bn?1 ?1 n ?1

解:⑴由题意得

Sn?1 ? Sn 2an ? 1 ? ? an ?1 ? 2an ? 1 Sn ? Sn?1 an
, ? 1 ? 2(an ? 1) (n≥2)

4′

?a

n ?1

又∵ a1 ? 1 , a2 ? 3

? 数列 {a
[则 an ? 1 ? 2
n

n

? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 2 为公比的等比数列。
n

8′

?a

? 2n ?1( n ? N * )]

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⑵由 an ? 2n ? 1及 bn?1 ? log2 (an ? 1) ? bn 得 bn?1 ? bn ? n

?b

n

? 1?

n(n ? 1) , 2

11′

1 1 4 n?1 2n ? n ? n ?1 则 cn ? ? n n ?1 an an?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

bn?1 ?1

13′

?C
k ?1

n

k

1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ?? ? 2 ? 3 ? 4 ? n?1 ? ??? 2 ??? 3 ? ??? ? n ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1?
? 1? 1 2
n ?1

?1

?1

16′

49、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)已知数列 {an } 满 足 a1 ? 1 ,且 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9 ( n ? N ) (1)求 a1 , a2 , a3 , a4 的值; (2)由(1)猜想 {an } 的通项公式,并给出证明. 解: (1)由 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9 得 an ?1 ?
?

9 ? 2an 1 , ? 2? 4 ? an an ? 4
3′ 5′ 6′

7 13 19 , a3 ? , a4 ? 3 5 7 6n ? 5 (2)猜想 an ? 2n ? 1
求得 a2 ? 证明:①当 n=1 时,猜想成立。 ②设当 n=k 时 (k ? N ?) 时,猜想成立,即 ak ?

6k ? 5 , 7′ 2k ? 1 1 1 6k ? 1 6(k ? 1) ? 5 则当 n=k+1 时,有 ak ?1 ? 2 ? , ? 2? ? ? 6k ? 5 ak ? 4 2 k ? 1 2( k ? 1) ? 1 ?4 2k ? 1
所以当 n=k+1 时猜想也成立 ③综合①②,猜想对任何 n ? N ? 都成立。 9′ 10′

50、(江苏省南京师大附中2008—2009学年度第一学期高三期中考试)把自然数按上小下大、 左小右大的原则排成如图的三角形数表(每行比上一行多一个数) .设 aij (i, j ? N ) 是位于 这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数的第 j 个数(如 a42 ? 8 ) . 4
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?

1 2 3 5 6 8 9 10 46 ????

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⑴试用 i 表示 aii (不要求证明) ; ⑵若 aij ? 2008 ,求 i , j 的值;

?1,( n ?1) ? ⑶记三角形数表从上往下数第 n 行的各数之和为 bn ,令 cn ? ? n ,若数列 {cn } ,( n ? 2) ?b ? n ? n
的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 解: (1)∵三角形数表中前 n 行共有 1 ? 2 ? ? ? n ? 即第 i 行的最后一个数是

i (i ? 1) 2 i (i ? 1) ? 2008 的最小正整数解. (2)由题意,先求使得 i 是不等式 2 i (i ? 1) ? 2008 ,得 i 2 ? i ? 4016 ? 0 由 2 ?1 ? 16065 ?1 ? 15876 ?1 ? 126 * ∵ i ? N ,∴ i ? ? ? ? 62.5 ,∴ i ? 63 2 2 2 62 ? 63 63 ? 64 ? 1953, ? 2016 ∴ i ? 63 ) (另解:∵ 2 2 62 ? 63 ? 1 ? 1954 , 故 j ? (2008 ? 1954) ? 1 ? 55 于是,第 63 行的第一个数是 2 1 n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)(n 2 ? n ? 2) [ ? 1] ? (3)前 n 行的所有自然数的和为 Sn ? ? 2 2 2 2 2 n(n ? 1) n 2 1 1 则 bn ? Sn ? Sn ?1 ? ,所以,当 n ? 2 时, cn ? , ? 2 ? ? 2 bn ? n n ? 1 n ? 1 n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 1 1 1 5 1 1 5 2n ? 1 ? 1?1? ? ? ? ? ? ? ? 2 n n ? 1 2 n n ? 1 2 n(n ? 1) 5 2n ? 1 (n ? N ? ) 当 n ? 1 时, Tn ? 1 也适合,?Tn ? ? 2 n(n ? 1)
∴ aii = 51 、 ( 广 东 省 北 江 中 学 2009 届 高 三 上 学 期 12 月 月 考 ) 已 知 数 列

i (i ? 1) 2

n(n ? 1) 个, 2

{an } , a1 ? a2 ? 2 , an?1 ? an ? 2an?1 (n ? 2)
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an (Ⅱ)当 n ? 2 时,求证:

1 1 1 ? ? ... ? ? 3 a1 a2 an
47

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(Ⅲ)若函数 f ( x ) 满足: f (1) ? a1 , f (n ? 1) ? f 2 (n) ? f (n). (n ? N * ) 求证:

? f (k ) ? 1 ? 2 .
k ?1

n

1

1

解: (1) ?an?1 ? an ? 2an?1 ,两边加 an 得: an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2) ,

? {an?1 ? an } 是以 2 为公比, a1 ? a2 ? 4 为首项的等比数列.

? an?1 ? an ? 4? 2n?1 ? 2? 2n ---------①
由 an?1 ? an ? 2an?1 两边减 2an 得: an?1 ? 2an ? ?(an ? 2an?1 ) (n ? 2)

? {an?1 ? 2an } 是以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列.

? an?1 ? 2an ? ?2? (?1)n?1 ? 2? (?1)n -----------②
①-②得: 3an ? 2[2n ? (?1)n ] 所以,所求通项为 an ?

2 n [2 ? (?1) n ] --------5 分 3

?
(2) 当 n 为偶数时,

1 1 3 1 1 3 2n ?1 ? 2n ? ? [ n ?1 ? n ] ? ? n ?1 n an ?1 an 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ?2 ? 2n ? 2n ?1 ? 1

3 2n ?1 ? 2n 3 2n ?1 ? 2n 3 1 1 ? ? n ?1 n ? ? n ?1 n ? ( n ?1 ? n )(n ? 2) n ?1 2 2 ?2 ? 2 ? 1 2 2 ?2 2 2 2

1 1? n 1 1 1 3 1 1 1 3 1 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ) ? ? 2 ? 3 ? 3? n ? 3 a1 a2 an 2 2 2 2 2 1? 1 2 2
当 n 为奇数时,? an ?

2 n 1 [2 ? (?1) n ] ? 0 ,? an?1 ? 0, ? 0 ,又 n ? 1 为偶数 3 an?1

? 由(1)知,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ? 3 --------10 分 a1 a2 an a1 a2 an an?1
2

(3)证明:? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n) ? 0

? f (n ? 1) ? f (n),? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ?1) ? ??? ? f (1) ? 2 ? 0

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1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? f (n ? 1) f (n) ? f (n) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1 1 1 1 ---------------------------------------------------? ? f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1)

?

------------12 分

??
k ?1

n

1 1 1 1 1 1 1 ?[ ? ]?[ ? ] ? ??? ? [ ? ] f (k ) ? 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) 1 1 1 1 ? ? ? ? . f (1) f (n ? 1) f (1) 2

------------------------------------------------------------------------------------------14 分 52 、 ( 广 东 省 恩 城 中 学 2009 届 高 三 上 学 期 模 拟 考 试 ) 在 数 列 {an} 中 , a1 ? 2 ,

an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* .
(1)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ;
*

(3) 证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立. ⑴ 证明:由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得

an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* .-------------------------------------2 分
又 a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列.--------4 分 ⑵ 解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为

an ? 4n?1 ? n .---------------------------------------------6 分
4n ? 1 n(n ? 1) ? 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? .----------------8 分 3 2
⑶ 证明:对任意的 n ? N ,
*

Sn ?1 ? 4Sn ?

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? ? 4? ? ? ---------------10 分 3 2 2 ? ? 3

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?

4n?1 ? 1 ? 4n?1 ? 4 n ? 1 1 ? (n ? 2 ? 4n) ? 1 ? (n ? 1)(3n ? 2) -------------12 分 3 2 2

1 1 ? ? (3n 2 ? n ? 4) ? ? (3n ? 4)(n ? 1) ≤ 0 .------------------------13 分 2 2
所以不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立.---------------------14 分
*

53、(广东省高明一中 2009 届高三上学期第四次月考)若数列 {an } 是等比数列, an ? 0 ,公 比 q ? 1 ,已知 lg a2 是 lg a1 和 1+ lg a4 的等差中项,且 a1a2 a3 ? 1 (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 (n ? N * ) , Tn ? b1 ? b2 ? ……? bn ,求 Tn n(3 ? lg an )

2 解: (1)由题知 2lg a2 ? lg a1 ? (1 ? lg a4 ) , 即: lg a2 ? lg10a1a4 , 2 则 a2 ? 10a1a4 , a12q2 ? 10a12q3 ,

???? 2 分 ???? 4 分

∵ a1 ? 0, q2 ? 0, 又 a1a2 a3 ? 1 , 分

∴q ?
3 3

1 . 10
3

( ∴ a1 q ? a1 ?

1 3 3 ) ? 1 ,∴ a1 ? 103 ,∴ a1 ? 10 ,???? 6 10

( ∴ an ? 10?
(2) bn ?

1 n ?1 ) ? 102? n , 10

????

8分

1 1 1 1 ? ? ? n(3 ? lg an ) n(n ? 1) n n ? 1

????

10 分

∴ Tn ? b1 ? b2 ? … ? bn ? 1 ? 14 分

1 1 1 1 1 1 n ? ? ? …? ? ? 1? ? ???? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

54、(2009 年广东省广州市高三年级调研测试)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成 如图 6 所示的数表:设 aij (i、j∈N*)是位于这个数表中从上往下数第 i 行、 1 从左往右数第 j 个数. 数表中第 i 行共有 2 (1)若 aij =2010,求 i、j 的值;
i ?1

个正整数.

2 4 8

3 5 6 7 15

9 10 11 12 13 14 ??????????
50

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图6

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(2)记 An ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann (n ? N*), 试比较 An 与 n ? n 的大小, 并说明理由.
2

解: (1)数表中前 n 行共有 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

n ?1

? 2 n ? 1 个数,
?? 2

即第 i 行的第一个数是 2 分 ∴ aij = 2 i ?1 ? j ? 1 . ∵2
10

i ?1



? 2010 ? 211 , aij =2010,
?? 4

∴ i=11. 分 令 210 ? j ? 1 ? 2010, 解得 j ? 2010? 210 ? 1 ? 987. 分 (2)∵ An ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann

?? 6

? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2n?1 ? ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? ?n ? 1??
? 2n ? 1 ?
分 ∴ An ? (n ? n) ? 2 ? 1 ?
2 n

?

?

n?n ? 1? . 2

?? 7

n?n ? 1? n 2 ? 3n ? 2 ? ( n 2 ? n) ? 2 n ? . 2 2

n 当 n ? 1 时, 2 ?

n 2 ? 3n ? 2 , 则 An ? n 2 ? n ; 2 n 2 ? 3n ? 2 , 则 An ? n 2 ? n ; 2 n 2 ? 3n ? 2 , 则 An ? n 2 ? n ; 2
n

n 当 n ? 2 时, 2 ?

n 当 n ? 3 时, 2 ?

当 n ? 4 时, 猜想: 2 ?

n 2 ? 3n ? 2 . 2

??

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11 分 下面用数学归纳法证明猜想正确.

42 ? 3 ? 4 ? 2 n 2 ? 3n ? 2 n ① 当 n ? 4 时, 2 ? 16 ? , 即2 ? 成立; 2 2
4

② 假设当 n ? k ?k ? 4? 时, 猜想成立, 即 2 ?
k

k 2 ? 3k ? 2 , 2

则2 ∵

k ?1

? 2 ? 2k ? 2 ?

k 2 ? 3k ? 2 ? k 2 ? 3k ? 2 , 2

k

2

2 ? k ? 1? ? 3?k ? 1? ? 2 2k 2 ? 6k ? 4 ? k 2 ? 5k ? 6 ?k ? 2??k ? 1? ? 3k ? 2 ? ? ? ? 0,

2

2

2

∴2

k ?1

?

?k ? 1?2 ? 3?k ? 1? ? 2 .
2

即当 n ? k ? 1 时,猜想也正确.
n 由①、②得当 n ? 4 时, 2 ?

n 2 ? 3n ? 2 成立. 2
n?4
?? 13 分

当 时, An ? n 2 ? n . 综 上 所 述 , 当

n ? 1,2,3



,

An ? n 2 ? n

;



n?4

时, An ? n 2 ? n . 另法( 证明当 n ? 4 时, 2 ?
n

?? 14 分

n 2 ? 3n ? 2 可用下面的方法): 2
n

1 2 3 当 n ? 4 时, 2 n ? ?1 ? 1? ? C 0 n + Cn + Cn + Cn

n?n ? 1? n?n ? 1??n ? 2? ? 2 6 n?n ? 1? n ? 3 ? 2 ? 1? n ? ? 2 6 ? 1? n ?

?

n 2 ? 3n ? 2 . 2

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55、(广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)等差数列 {an } 的前

n 项和记为 Sn ,已知 a10 ? 20, S20 ? 410 ,
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 Sn ? 115 ,求以 n . 解: (1) a10 ? a1 ? 9d ? 20 (2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (6 分) (8 分) (10 分) (12 分)

S20 ? 10(a10 ? a11 ) ? 410
得 a11 ? 21 ? a10 ? d

? d ? 1, a1 ? 11

?an ? 10 ? n
(2) S n ?

n(a1 ? an ) n ? (21 ? n) ? 155 2 2
2

得: n ? 2ln ? 310 ? 0

n ? 10

56 、 ( 广 东 省 华 南 师 范 附 属 中 学 2009 届 高 三 上 学 期 第 三 次 综 合 测 试 ) 已 知 函 数

f ( x) ? x2 ? x 及两个正整数数列 {an },{bn } ,若 a1 ? 3, an?1 ? f ?(an ) ,对任意 n ? N ? 恒成
2 2 立 , 且 b1 ? 1, b2 ? ? , 且 当 n ? 2 时 , 有 bn ?1 ? bn?1bn?1 ? bn ? 1 ; 又 数 列 {cn } 满 足 :

2(?bn ? cn ?1) ? 2n?bn ? an ?1
(1)求数列 {an } 及 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn ; (3)证明存在 k ? N ,使得
?

Cn ?1 Ck ?1 ? 对任意 n ? N 均成立. ? cn ck

2 2 2 解: (1)由 bn .于是 {bn } 是 ?1 ? bn?1bn?1 ? bn ? 1 .因为 {bn } 是正整数列,所以 bn?1bn?1 ? bn

等比数列,又 b1 ? 1, b2 ? ? ,所以 bn ? ? n?1

(2 分)

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所以 f '( x) ? 2 x ? 1 , 于是: an?1 ? 2an ? 1 ? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ? f ( x) ? x2 ? x , 说明 {an ? 1} 是以 2 为公比的等比数列.

? an ? 1 ? (an ? 1) ? 2n?1 ?

1 1 1 ? ? ( ) n?1 an ? 1 a1 ? 1 2
(5 分)

? a1 ? 3 ,于是 an ?1 ? (3 ? 1) ? 2n?1 ? an ? 2n?1 ?1
(2)由 2(?bn ? cn ?1) ? 2n?bn ? an ?1 得: cn ? ? (n ? 1)bn ? 由 bn ? ? n?1 及 an ? 2n?1 ?1 得: cn ? (n ?1)? n ? 2n 设 Tn ? ? 2 ? 2? 2 ? 3? 4 ? ?? (n ? 2)? n?1 ? (n ?1)? n ① ②

1 (an ? 1) . 2
(6 分)

?Tn ? ? 3 ? 2? 4 ? 3? 5 ??? (n ? 2)? n ? (n ?1)? n?1
当 ? ? 1 时,①式减去②式,得

(1 ? ? )Tn ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? n ? (n ? 1)? n ?1 ?
于是, Tn ?

? 2 ? ? n?1 ? (n ? 1)? n ?1 1? ?
(8 分)

? 2 ? ? n?1 (n ? 1)? n?1 (n ? 1)? n?2 ? n? n?1 ? ? 2 ? ? (1 ? ? )2 (1 ? ? ) (1 ? ? )2
(n ? 1)? n?2 ? n? n?1 ? ? 2 ? 2n?1 ? 2 2 (1 ? ? )

这时数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 当 ? ? 1 时, Tn ?

(9 分)

n( n ? 1) n(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 .这时数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 2
(10 分)

(3)证明:通过分析,推测数列 ?

? cn ?1 ? c2 ? 的第一项 最大,下面证明: c1 ? cn ?
③ (11 分)

cn?1 c2 ? 2 ? 4 ? ? ,n ? 2 cn c1 2

由 ? ? 0 知 cn ? 0 要使③式成立,只要 2cn?1 ? (? 2 ? 4)cn (n ? 2) , 因为 (? 2 ? 4)cn ? (? 2 ? 4)(n ?1)? n ? (? 2 ?1)2n ? 4? ? (n ?1)? n ? 4 ? 2n

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? 4(n ?1)? n?1 ? 2n?2 ? 2n? n?1 ? 2n?2 ? 2cn?1, n ? 2 .
所以③式成立. 因此,存在 k ? 1 ,使得

cn ?1 ck ?1 c2 ? ? 对任意 n ? N ? 均成立. cn ck c1

(14 分)

57、 (广西桂林十八中 06 级高三第二次月考 ) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且有

a1 ? 2 , 3Sn ? 5an ? an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2) .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)若 bn ? (2n ?1) an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 解: (1)由 3Sn ? 3Sn?1 ? 5an ? an?1 (n ? 2) ,? 2an ? an?1 , 又? a1 ? 2 ,

an 1 ? ,……………..3 分 an ?1 2
2 为 首 项 ,

?{an } 是 以

1 2

为 公 比 的 等 比 数 列 ,

1 1 ? an ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 ? 22? n ……….………6 分 2 2
(2) bn ? (2n ?1)22?n ,?Tn ? 1? 21 ? 3? 20 ? 5 ? 2?1 ? ??? (2n ?1) ? 22?n 1 ○

1 Tn ? 1? 20 ? 3 ? 2?1 ? ?? ? (2n ? 3) ? 22? n ? (2n ? 1) ? 21? n 2
2 ……….…….….8 分 ○ 1 ○ 2 ○ 得

1 Tn ? 2 ? 2(20 ? 2?1 ? ?? ? 22? n ) ? (2n ? 1) ? 21? n …………………………..……..10 分 2

1 2[1 ? (2?1 ) n?1 ] ? (2n ? 1) ? 21?n ? 6 ? (2n ? 3) ? 21?n 即: Tn ? 2 ? ?1 2 1? 2

?Tn ? 12 ? (2n ? 3) ? 22?n ………………………………………….……………..…….….…1
2分 58 、 ( 黑龙江省双鸭山一中 2008-2009 学年上学期期中考试 ) 已知数列 { an } 满足 ,其中 Sn 为前 n 项和, a1 ? 2 , 3Sn ? (n ? 2) an ( n ? N *)
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(1)求数列{ an }的通项公式;

(2)求数列 {

1 an

} 的前 n 项和 Tn ;
1 10
成立。若存在,请找

(3)是否存在无限集合 M ,使得当 n ? M 时,总有 | Tn ? 1|? 出一个这样的集合;若不存在,请说明理由。 解:(1)由 3Sn =(n+2)a n 得 3Sn-1 =(n+1)a n-1 (n ? 2) ,二式相减得
3a n =(n+2)a n ? ( n ? 1) an ?1 ? an a n ?1 ? n ?1 n ?1 ( n ? 2) ? a n ?1 an ? 2 ? n n?2 ; ?; a3 a2 ?

4 a2 3 ; ? ; a1 ? 2 2 a1 1

叠乘得 a n =n(n+1) (2)
1 an ? 1 n(n ? 1)
n n+1

?

1 n

?

1 n ?1
1 ?

? Tn ? 1 ?
1 10

1 2

?

1 2

?

1 3

?

1 2

?

1 4

???

1 n

?

1 n ?1

?

n n ?1

(3)令 |T -1|=|
n

?1 | ?

n ?1

得 n>9

故满足条件的 M 存在,集合 M={n|n>9,n ? N*} 。

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