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(全国通用版)2018_2019版高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理_图文

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第二章 §2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 学习目标 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发现中的作用. 内容索引 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 知识点一 归纳推理 思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电,猜想:一切金属都能导电. (2)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体. 以上属于什么推理? 答案 属于归纳推理. 梳理 (1)定义:由某类事物的 部分对象 具有某些特征,推出该类事物 一般结论 的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实 概括出_________ 的推理,称为归纳推理(简称归纳). (2)特征:由 部分 到 整体 ,由 个别 到 一般 的推理. 知识点二 类比推理 思考 科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征: (1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星;(2)有大气层,在一年中也有 季节更替;(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存, 等等 .由此,科学家猜想:火星上也可能有生命存在 . 他们使用了什么样 的推理? 答案 类比推理. 梳理 (1)定义:由两类对象具有某些 类似 特征和其中一类对象的某些 已知 特征,推出 另一类对象 也具有这些特征的推理称为类比推理. (2)特征:由 特殊 到 特殊 的推理. 知识点三 合情推理 思考 归纳推理与类比推理有何区别与联系? 答案 区别:归纳推理是由特殊到一般的推理;而类比推理是由个别到 个别的推理或是由特殊到特殊的推理. 联系:在前提为真时,归纳推理与类比推理的结论都可真可假. 梳理 (1)定义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 观察 、 分析 、 比较 、 联想 ,再进行 归纳 、 类比 ,然后提出 猜想 的推理,我 们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理就是合乎情理的推理. (2)推理的过程 从具体问题出发 ― → 观察、分析、比较、联想 ― → 归纳、类比 ― → 提出猜想 [思考辨析 判断正误] 1.类比推理得到的结论可作为定理应用.( × ) 2.由个别到一般的推理为归纳推理.( √ ) 3.在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为 合适.( × ) 题型探究 类型一 命题角度1 数、式中的归纳推理 例1 (1)观察下列等式: 1+1=2×1, (2+1)(2+2)=22×1×3, (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5, … 归纳推理 n×1×3×…×(2n-1) ( n + 1)( n + 2) … ( n + n ) = 2 照此规律,第n个等式可为__________________________________________. 解析 答案 x (2)已知f(x)= ,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且n∈N*), 1-x x x n-1 * 1 - 2 x 1-4x ,猜想fn(x)(n∈N )的表达式为__________. 则f3(x)的表达式为________ 解析 答案 引申探究 在本例(2)中,若把 “fn(x)=fn-1(fn-1(x))”改为 “fn(x)=f(fn-1(x))”,其 他条件不变,试猜想fn(x) (n∈N*)的表达式. 解答 反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 ①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律; ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征; ③提炼出等式(或不等式)的综合特点; ④运用归纳推理得出一般结论. (2)数列中的归纳推理:在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的 通项公式或前n项和. ①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和; ②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解; ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式. 跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,满足Sn=6-2an+1(n∈N*). (1)求a2,a3,a4的值; 解 因为a1=3,且Sn=6-2an+1(n∈N*), 3 所以 S1=6-2a2=a1=3,解得 a2=2, 3 3 又 S2=6-2a3=a1+a2=3+2,解得 a3=4, 3 3 3 又 S3=6-2a4=a1+a2+a3=3+2+4,解得 a4=8. 解答 (2)猜想an的表达式. 解 3 由(1)知 a1=3=20, 3 3 3 3 3 3 3 a2=2=21,a3=4=22,a4=8=23,…,猜想 an= n-1(n∈N*). 2 解答 命题角度2 图形中的归纳推理 例2 有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案, 则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 A.26 √ B.31 C.32 D.36 解析 答案 反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略 跟踪训练2 用火柴棒摆“金鱼”,如图所示: 按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 A.6n-2 C.6n+2 √ B.8n-2 D.8n+2 解析 答案 类型二 命题角度 1 例 3 数列中的类比推理 类比推理 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4, T8 T12 T16 T4 ,____ T8 , 成等比数列. ____ T 12 解析 答案 反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质,在类比过程中也 有一些规律,如下表所示的部分结论(其中d,q分别是公差和公比): 等差数列 定义 通项 公式 an-an-1=d(n≥2) an=a1+(n-1)

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