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2016山西轻工职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

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2016 山西轻工职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题

1. cos(

?

? ) ?( 4 6

?

)

A.

6 2 6 2 2 6 2 6 B. C. D. ? ? ? ? ? 4 4 4 4 4 4 4 4
1 3 x ? x ? 2 的导函数,那么 f ?(2) 的值是 3
C. ?1 D.3 ( )

2.已知 f ?( x)是f ( x) ? A.0 B.4

3.“ a ? 1 ”是“

1 ? 1 ”成立的() a
B.必要不充分条件

A.充分不必要条件

C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4.函数 f ( x) ? ( x ?1)2 ? 1( x ? 1) 的反函数为() A. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) C. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ≥1) B. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ≥1) D. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1)

5. 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班 级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( A.16 种 B.18 种 C.37 种 ) D.48 种

6.某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法 从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取 的人数为 7,那么从高三学生中抽取的人数应为() A.10 B.9 C 8 D7 )

7.已知 a ? (2,1), b ? ( x,1) ,且 a ? b 与 2a ? b 平行,则 x 等于( A. 10 B. ?10 C. 2 D. ?2

?

?

? ?

? ?

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8.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6 个面分别标有 1,2,3,4,5,6)。现定义数列

??1, 点数不是3的倍数, 设 Sn 是其前 n 项和,那么 S5 ? 3 的概率是( an ? ? ?1 , 点数是3的倍数,
A.

)

80 10 20 40 B. C. D. 243 243 243 243

9.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 S n ,若 Sn ? 2, S3n ? 14 ,则 S 4 n 等于() A.16 D.80 10.在 Rt△ABC 中,AB=AC=1,若一个椭圆通过 A、B 两点,它的一个焦点为点 C,另 一个焦点在线段 AB 上,则这个椭圆的离心率为( A. 3 ? ) B.26 C.30

6 B. 2 ? 1 2

C.

6? 3 D. 6 ? 3 2

11.已知球 O 的半径为 2cm,A、B、C 为球面上三点,A 与 B,B 与 C 的球面距离都是

? cm ,A 与 C 的球面距离为
A.

2? cm,那么三棱锥 O—ABC 的体积为() 3
C.

2 3 3 cm 3

B. 2 3cm3

4 3 3 cm D. 4 3cm3 3

12.已知函数 f ( x) 的导数 f ?( x) ? a( x ? 1)(x ? a), 若f ( x)在x ? a 处取到极大值,则 a 的 取值范()A. (??, ?1) B. (?1, 0) C. (0,1) D. (0, ??)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.不等式 log 1 (3 ? 1) ? ?3 的解集是.
x 2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 14.已知 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , z ? 7 x ? 3 y ,则 z 取得最大值时的最优解为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
15.若 (1 ? mx)6 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ?? a6 x6 且 a1 ? a2 ? ? ? a6 ? 63 ,则实数 m 的值为

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16.给出下列命题: ①若 {an }成等比数列 , S n是前n项和, 则S 4 , S8 ? S 4 , S12 ? S8 成等比数列; ②已知函数 y ? 2 sin(?x ? ? )为偶函数 (0 ? ? ? ? ),其图象与直线 y ? 2 的交点的 横坐标为 x1 , x 2 .若 | x1 ? x 2 | 的最小值为 ? , 则?的值为 2,?的值为 ③函数 y ? f ( x)的图象与直线 x ? a 至多有一个交点; ④函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
2



?

)的图象的一个对称点是 ( ,0). 6 12

?

其中正确命题的序号是。(把你认为正确命题的序号都填上)。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分)

在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? (1)求角 A;

tan A 2c . ? tan B b

(2)若 m ? (0, ?1) ,n ? cos B, 2cos2 C ,试求|m ? n|的最小值. 2

?

?

18. (本题满分 12 分)

甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是

1 2 和 。假设两人射击是否击中目标, 2 3

相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响。 (1)求甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率;

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(2)求两人各射击 3 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率.

19. (本小题满分 12 分)

已知矩形 ABCD 中,AB= 2 ,AD=1. 将△ABD 沿 BD 折起,使点 A 在平面 BCD 内的射 影落在 DC 上. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 ABC; (Ⅱ)求点 C 到平面 ABD 的距离; (Ⅲ)若 E 为 BD 中点,求二面角 E-AC-B 的大小.

D

C

A

D

C E B

A

B

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20. (本题满分 12 分)

已知数列 ?an ? 的前 n 项之和为 Sn ,点 ( n,

Sn ) 在直线 y ? 2 x ? 1 上,数列 ?bn ? 满足 n

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? 2 ? ? ? n n ? a n ( n ? N * )。 3 3 3
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项之和 Tn 。

21. (本题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x ( x ? R )的图象为曲线 C . 3

(1)求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围; (2)若曲线 C 上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线 C 的切点的 横坐标的取值范围; (3)试问:是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点?如果存在,求出符 合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由.

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22.(本题满分 12 分)

3 x 与椭圆 C 在第一象限内的交点 2 是 M ,点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2 ,另一个焦点是 F1 ,且 ???? ? ????? 9 MF1 ? MF2 ? 。 4
已知椭圆 C 中心在原点,焦点在坐标轴上,直线 y ? (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 过点 (?1, 0) ,且与椭圆 C 交于 P, Q 两点,求 ?F2 PQ 的内切圆面积的最大 值。

参考答案
一、选择题(12×5=60 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 D 5 C 6 A 7 C 8 B 9 C 10 D 11 A 12 B

二、填空题(4×5=20 分) 13. ? 0, 2? 三、解答题: 17.(本题满分 10 分) (1) 1 ?
tan A 2c sin A cos B 2sin C , ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B

14. (3,3)

15.1 或-3

16.②③④

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即 ∴
sin B cos A ? sin A cos B 2sin C , ? sin B cos A sin B

sin( A ? B) 2sin C 1 ,∴ cos A ? . ? sin B cos A sin B 2

------------------3 分 ------------------4 分

∵ 0 ? A ? π ,∴ A ?

π . 3

(2)m ? n ? (cos B, 2cos2

C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2

------------------5 分

? |m ? n| 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 (
∵A?
π 2π 2π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) . 3 3 3

2π 1 π ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) . ----7 分 3 2 6

π π 7π 从而 ? ? 2B ? ? . 6 6 6

------------------8 分

π π 1 ∴当 sin(2B ? ) =1,即 B ? 时,|m ? n| 2 取得最小值 . 6 3 2

所以,|m ? n| min ?

2 . 2

------------------10 分

18. (本题满分 12 分)

1 7 ?1? 解: (1) p1 ? 1 ? C ? ? ? 1 ? ? ;-------------------------6 分 8 8 ? 2?
3 3 2 1 (2) p2 ? C3 ? ? ? C3

3

?1? ? 2?

3

2? 2? 1 ?1 ? ? ? .------------------------12 分 3? 3? 12

2

19. (本小题满分 12 分) 方法 1: (Ⅰ)证明:∵点 A 在平面 BCD 上的射影落在 DC 上,即平面 ACD 经过平面 BCD 的垂 线,∴平面 ADC⊥平面 BCD. 又∵BC⊥DC,∴BC⊥DA,又∵AD⊥AB, AB∩AC=A ∴AD⊥平面 ABC;-----------------------4 分

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(Ⅱ)∵DA⊥平面 ABC. ∴平面 ADB⊥平面 ABC.过 C 做 CH⊥AB 于 H,∴CH⊥平面 ADB,所以 CH 为所求。且 CH= 分 (Ⅲ)解:取 AB 中点 F ,连 EF ? E 为 BD 中点? EF // AD 由(Ⅱ)中结论可知 DA⊥平面 ABC,∴EF⊥平面 ABC. 过 F 作 FG⊥AC,垂足为 G,连结 EG, 则 GF 为 EG 在平面 ABC 的射影,? EG ? AC ∴∠EGF 是所求二面角的平面角. 在△ABC 中? FG ? AC, BC ? AC ? FG // BC FG=

2 2 即点 C 到平面 ABD 的距离为 . -----------------8 2 2

1 1 1 1 BC= , 又 EF // AD,∴EF= 2 2 2 2

? 在 Rt △EFG 中容易求出∠EGF=45°.
即二面角 B-AC-E 的大小是 45°. . ----------------12 分

20. (本小题满分 12 分) (1)由已知条件得

Sn =2n+1∴ S n=n(2n+1) . ----------------2 分 n
---------------3 分

当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,

an=Sn-Sn-1=4n-1∵a1 符合上式∴an=4n-1; ---------------6 分 (2)∵

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? 2 ? ? ? n n ? an 3 3 3



b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? a n ?1 3 3 3 n ?1

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bn ? 1 ? a n ? a n ?1 ? 4 ∴bn=4×3n+1∴Tn=6(3n-1)+n; ---------------12 分 n 3

21. (本小题满分 12 分) 解:(1) f ?( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,则 f ?( x) ? ( x ? 2) 2 ? 1 ? ?1, 即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是 ?? 1,??? ;------------2 分 (2)由(1)可知, ? 1 分 解得 ? 1 ? k ? 0 或 k ? 1 ,由 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 或 x 2 ? 4 x ? 3 ? 1 得: x ? ? ?,2 ? 2 ? (1,3) ? 2 ? 2,?? ;-------------------------------6 分 (3)设存在过点 A ( x1 , y1 ) 的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B ( x2 , y 2 ) ,

? ? k ? ?1 ---------------------------------------------------------4 ? ? ?1 ? ? k

?

?

?

?

x1 ? x 2 ,
则切线方程是: y ? ( x1 ? 2 x1 ? 3x1 ) ? ( x1 ? 4 x1 ? 3)( x ? x1 ) , 化简得: y ? ( x1 ? 4 x1 ? 3) x ? (?
2

1 3

3

2

2

2 3 2 x1 ? 2 x1 ) ,--------------------------7 分 3
2

而过 B ( x2 , y 2 ) 的切线方程是 y ? ( x 2 ? 4 x 2 ? 3) x ? (? 由于两切线是同一直线,

2 3 2 x2 ? 2 x2 ) , 3

则有: x1 ? 4x1 ? 3 ? x2 ? 4x2 ? 3 ,得 x1 ? x2 ? 4 ,----------------------9 分
2 2

又由 ? 即?

2 3 2 3 2 2 x1 ? 2 x1 ? ? x 2 ? 2 x 2 , 3 3

2 2 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 2( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 0 3

1 2 2 ? ( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 4 ? 0 ,即 x1 ( x1 ? x2 ) ? x2 2 ? 12 ? 0 3
即 (4 ? x2 ) ? 4 ? x2 ? 12 ? 0 , x2 ? 4x2 ? 4 ? 0
2 2

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得 x2 ? 2 ,但当 x2 ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 4 得 x1 ? 2 ,这与 x1 ? x 2 矛盾。 所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点。--------------------------------12 分 22. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,点 M 在直线 y ? x 上,且点 M 在 x 轴上 2 a b 3 的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2 (c,0) ,则点 M 为 (c, c ) 。-----------------------1 分 2

? MF1 ? MF2 ? 2a ,而 MF1F2 为 Rt ? ,则有 MF1 ? MF2 ? F2 F2
a ? 2c 则有? MF 1 ? MF 2 ? 4c ,所以
又因为 MF1 ? MF2 ? (?2c, ? c) ? (0, ? c) ? 所以 c ? 1, a ? 2, b ? 3 所以椭圆方程为:

2

2

2

-----------------------2 分

???? ? ???? ?

3 2

3 2

9 4
-----------------------3 分 -----------------------4 分

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)由(1)知 F1 (?1,0) ,过点 F1 (?1,0) 的直线与椭圆 C 交于 P, Q 两点,则

1 ?F2 PQ 的周长为 4a ? 8 ,则 S?F2 PQ ? ? 4a ? r ( r 为三角形内切圆半径),当 ?F2 PQ 的 2
面积最大时,其内切圆面积最大。 -----------------------5 分

设直线 l 方程为: x ? ky ? 1 , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则

6k ? ? x ? ky ? 1 y1 ? y2 ? 2 ? ? 2 ? 3k ? 4 ? (4 ? 3k 2 ) y 2 ? 6ky ? 9 ? 0 ? ? --------------------7 分 ?x y2 9 ? ? 1 ? ?y ? y ? ? 3 1 2 ?4 ? 3k 2 ? 4 ?
所以 S?F2 PQ ?

1 12 k 2 ? 1 ? F1F2 ? y1 ? y2 ? -------------------9 分 2 3k 2 ? 4
12 1 3t ? t
,而 3t ? 在 [1, ??) 上单调递增,

令 k 2 ? 1 ? t ,则 t ? 1 ,所以 S?F2 PQ ?

1 t

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所以 S?F2 PQ ?

结合 S?F2 PQ

? 3 ,当 t ? 1 时取等号,即当 k ? 0 时, ?F2 PQ 的面积最大值为 3, 1 3t ? t 1 3 ? ? 4a ? r ? 3 ,得 r 的最小值为 -----------------12 分 2 4

12


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