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广东省深圳高级中学2010届高三上学期第二次模拟考试数学试卷(文科)

时间:2010-05-20


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广东省深圳高级中学 2010 届高三上学期第二次模拟 数学( 数学(文)
一, 选择题(5 分×10=50 分)
1, 函数 y=sin3x 的最小正周期是( ) π π 2π 4π A. B. C. D. 6 3 3 3 2,已知 {a n } 是公差为 2 的等差数列,若前 7 项和 S 7 =14,则 a2 + a4 + a6 = ( A. 12 B. 6 C.6 D. 8 ) 3 ,经过点 (3,1) 被圆 C: x 2 + y 2 2 x 4 y 20 = 0 截得的弦最短的直线的方程是( A. x 2 y 1 = 0 4,sin330 0 =( A.1/2 ) C. 3 /2 D.- 3 /2 B. x+2y-1=0 C. x + 2 y 5 = 0 D. 2 x y 5 = 0 校对:刘文迁

)

B.-1/2

5,在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积 S ABC = A. 3 C. 7

3 , 则边 BC 的长为 2
D.7

(

)

B.3

6,在空间,下列命题正确的是( ) A. 若三条直线两两相交,则这三条直线确定一个平面 B. 若直线 m 与平面 α 内的一条直线平行,则 m// α C. 若平面 α⊥β,且α ∩ β = l ,则过 α 内一点 P 与 l 垂直的直线垂直于平面 β D. 若直线 a//b,且直线 l⊥a ,则 l⊥b 7,一个空间几何体的正视图,侧视图,俯视图为全等的,直角边为 1 的等腰直角三角形(如 右图) ,那么这个几何体的体积为( ) A.1 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6
侧俯俯

8,节假日时,国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚,若小李的 正俯俯 40 名同事中,给其发短信问候的概率为 1,0.8,0.5,0 的人数分别是 8,15,14,3(人) ,通常情况下,小李应收到同事问候的信息条数 为 ( ) A.27 B.37 C.38 D.8 9,为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收 俯俯俯 方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收方 收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为 ( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
2

y2 10,.若双曲线的顶点为椭圆 x + = 1 长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心 2
率的积为 1,则双曲线的方程是( A. x y = 1
2 2

) C. x 2 y 2 = 2 D. y 2 x 2 = 2

B. y x = 1
2 2

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二,填空题: 5 分×4=20 分) ( α 4 α 3 11,已知 sin = , cos = ,则角 α 所在的象限是 2 5 2 5
12,一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如图甲,乙所示. 某天 0 点到 6 点, 该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)

给出以下 3 个论断: ①0 点到 3 点只进水不出水; ②3 点到 4 点不进水只出水; ③4 点到 6 点不进水不出水. 则一定能确定正确的论 断序号是__________. 13,阅读右边的程序框图,则输出的变量 s 的值是__________. 14,过双曲线 x 2 y 2 = 2 的右焦点 F 作倾斜角为 30 0 的直线, 交双曲线于 P,Q 两点,则|PQ|的值为__________.

解答题: 小题, 三, 解答题: 6 小题,共 80 分) (
15, (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = 2 sin 2

π π π + x 3 cos 2 x , x ∈ , . 4 4 2

(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) m < 2 在 x ∈ , 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

π π

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16, (本小题满分 12 分)如图,平面直角坐标系 xOy 中,

y D B M N

AOB 和 COD 为等腰直角三角形, A(2, 0) , C (a, 0)(a > 0)
设 AOB 和 COD 的外接圆圆心分别为 M , N . (Ⅰ)若圆 M 与直线 CD 相切,求直线 CD 的方程; (Ⅱ)若直线 AB 截圆 N 所得弦长为 4,求圆 N 的标准方程; A

O

C x

17, (本小题满分 12 分) 如图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1= (Ⅰ)求证:EM‖平面 A1B1C1D1; (Ⅱ)求几何体 B—CME 的体积;

1 AB=2,点 E,M 分别为 A1B,C1C 的中点. 2

18, (本小题满分 14 分) 某商场在促销期间规定:商场内所在商品按标价的 80%出售;同时,当顾客在该商 场内消费一定金额后,按以下方案获得相应金额的奖券: 消费金额(元)的 范围 获得奖券的金 额(元)

[ 200,400 )
30

[ 400,500 )
60

[500,700 )
100

[700,900 )
130

…… ……

根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:购买标价为 400 元的商品,则消费金额为 320 元,获得的优惠额为:400×0.2+30=110(元) .设购买商 品得到的优惠率=

购买商品得到的优惠额 ,试问: 商品的标价

(1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少? (2)对于标价在[500,800](元)内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不 小于

1 的优惠率? 3

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19, (本小题满分 14 分) 如图,倾斜角为α的直线经过抛物线 y 2 = 8 x 的焦点 F,且与抛物线交于 A,B 两点. (Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ) α为锐角, 若 作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P, 证明|FP|-|FP|cos2α为定值,并求此定值.

20, 本题满分 14 分) ( 已知正项等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,其中 a1 ≠ a2 , am,ak,ah 都是数列 {an } 中满 足 ah ak = ak am 的任意项. (Ⅰ)证明: m + h = 2k ; (Ⅱ)证明: S m S h ≤ S k ;
2

(III)若 S m , Sk , Sh 也成等差数列,且 a1 = 2 ,求数列 { n 项和 Tn <

1 }(n ∈ N*, n ≥ 3) 的前 S n S1

5 . 24

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高三数学( 高三数学(文)答案
一, 选择题: 50 分) 选择题: (
1 C 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 D 8 A 9 C 10 D

二, 填空题: 20 分) 填空题: (
11,第三象限 ;12, ① ;13, 589 ;14,

4 2 ;

15,解: (Ⅰ)∵ f ( x) = 1 cos





π + 2 x 3 cos 2 x = 1 + sin 2 x 3 cos 2 x 2

π = 1 + 2 sin 2 x . 3
又∵ x ∈ , ,∴ ≤ 2 x ≤ ,即 2 ≤1 + 2sin 2 x ≤ 3 , 6 3 3 3 4 2

π π

π

π





π

∴ f ( x)max = 3,f ( x) min = 2 .……………………………(7 分)
(Ⅱ)∵ f ( x) m < 2 f ( x) 2 < m < f ( x) + 2 , x ∈ , , 4 2

π π

∴ m > f ( x) max 2 且 m < f ( x) min + 2 ,
∴1 < m < 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) .……………………(14 分) ,
16,解:(Ⅰ)由已知得 B(0,2) ∴M(-1,1) ∴ 圆 M 的方程为 (x+1) 2 +(y-1) 2 =2 又 CD 直线的方程为 x+y-a=0 ∵圆 M 与直线 CD 相切 ∴ B M N y D

1+1 a

2

= 2 又 a>0
A O C x

∴ a=2 ………………………(6 分) (Ⅱ) 由已知得直线 AB 的方程为 x-y+2=0 圆心 N(

a a , ) 2 2

∴ 圆心 N 到直线 AB 的距离为

a a +2 2 2 = 2 2

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直线 AB 截圆 N 所得的弦长为 4 ∴ 2 +
2

( 2 ) = a2
2

2

∴ a= ± 2 3 (负值舍去) ∴ 圆 N 的方程为 x 3

(

) + (y 3 ) = 6 ……………………(12 分)
2 2

17,解:(Ⅰ)证明:取 C 1 D 1 的中点 N,连 MN,D 1 C 又∵M 为 CC1 中点 ∴MN‖ ∴ MN‖A 1 E

∵E 为 A1B 中点

1 D 1 C ,又 D 1 C‖A 1 B 2

故四边形 A 1 EMN 为平行四边形 ∴EM‖A 1 N A 1 N 平面 A1B1C1D1 .

而 EM 平面 A1B1C1D1 ,

∴EM‖平面 A1B1C1D1………………6 分 (Ⅱ)∵E 为 A 1 B 之中点,E 到平面 DCM 的距离 d=

1 AB=2 2 1 1 1 4 由 V B CME =V E BCM = dS BCM = 2 4 1 = ……………(12 分) 3 3 2 3

18,解: (1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客的消费金额为: 1000 × 0.8 = 800 (元) 获得奖券的金额为 130 元,得到的优惠率是

1000 × 0.2 + 130 = 33% ……………………6 分 1000
(2)设商品的标价为 x 元,则 500 ≤ x ≤ 800, 顾客消费金额(元) 满足 400 ≤ 0.8 x ≤ 640. 当 400 ≤ 0.8 x < 500. 时,获得奖券的金额为 60 元; 当 500 ≤ 0.8 x ≤ 640 时,获得奖券的金额为 100 元,由已知得

0.2 x + 60 1 ≥ , ① 或 x 3 400 ≤ 0.8 x < 500; 0.2 x + 100 1 ≥ x 3 ……………………(12 分) 500 ≤ 0.8 x ≤ 640. 1 的优惠率. ……… (14) 3



不等式①无解;不等式②的解为 625 ≤ x ≤ 750 , 因此, 当顾客购买标价在[625, 750]元内的商品, 可得到不小于

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19, (Ⅰ)解:设抛物线的标准方程为 y 2 = 2 px ,则 2 p = 8 ,从而 p = 4.
p 因此焦点 F ( ,0) 的坐标为(2,0). 2

又准线方程的一般式为 x =

p 2

从而所求准线 l 的方程为 x = 2 ……………(6 分) (Ⅱ)解:如图作 AC⊥l,BD⊥l,垂足为 C,D,则由抛物线 的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记 A,B 的横坐标分别为 xxxz,则 p p p 4 |FA|=|AC|= x x + =| FA | cos a + + =| FA | cos a + 4 解得 | FA |= , 2 2 2 1 cos a 类似地有 | FB |= 4 | FB | cos a ,解得 | FB |=
4 1 + cos a

记直线 m 与 AB 的交点为 E,则 | FA | + | FB | 1 1 4 4 4 cos a | FE |=| FA | | AE |=| FA | = (| FA | | FB |) = = 2 2 2 1 cos a 1 + cos a sin 2 a | FE | 4 = 所以 | FP |= cos a sin 2 a 故 | FP | | FP | cos 2a =
4 sin 2 a (1 cos 2a ) = 4 2 sin 2 a sin 2 a =8

………………………(14 分)

20,解: (I)设数列 {an } 的公差为 d,由题意 a1 < 0, d > 0.

∵ ah ak = ak am ,∴ (h k )d = (k m)d ,∴ m + h = 2k . …………………………………2
分(II) Sm S h =

m(a1 + am ) h(a1 + ah ) mh = (a1 + am )(a1 + ah ) 2 2 4 1 m + h 2 a1 + am + a1 + ah 2 ≤ [ ][ ] 4 2 2 (a + a )k 1 = (a1 + ak )2 k 2 = [ 1 k ]2 = S k2 , 4 2
…………………………………………6 分

∴ S m S h ≤ Sk2 .

(III)取 m = 1, k = 2, h = 3 ,显然 a1 , a2 , a3 满足 a3 a2 = a2 a1. …………………………7 分 由 S m , Sk , Sh 也成等差数列,则 a1 + 3a1 + 3d = 2 两边平方得 2 a1 (3a1 + 3d ) = 4a1 + d , 再两边平方整理得 4a12 4a1d + d 2 = 0 ,即 (2a1 d )2 = 0,∴ d = 2a1 = 4. …………9 分

2a1 + d .

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∴ an = (2n 1)a, Sn = 2n 2 ,

∴ Sn = 2n. ,显然这时数列 {an } 满足题意.
∴ S n S1 = 2n 2 2 = 2(n 2 1).
∴ 1 1 1 1 1 1 = = ( ) (n ∈ N*, n ≥ 3.) S n S1 2 n 2 1 4 n 1 n + 1

…………10 分

…………12 分

则 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( + + + + ) 4 2 4 3 5 n 2 n n 1 n + 1 1 1 1 1 1 = ( + ) 4 2 3 n n +1

1 5 2n + 1 5 = [ ]< . 4 6 n(n + 1) 24

…………14 分

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