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对一道竞赛题的深入探究

时间:2010-09-05


本文发表于《物理通报》2010 年第一期

对一道竞赛题的深入探究
A deep research on a Competition Problem

田阳阳
(仪征市第二中学,江苏 扬州 211400)

1. 原题及参考解答

1.1 题目 (第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题) 两辆汽车 A 与 B , t = 0 时从 在 十字路口 O 处分别以速度 v A 和 v B 沿水平的、相互正交的公路匀速前进,如 求在任意时刻 t 汽车 B 的司 图 1 所示。 汽车 A 持续地以固定的频率ν 0 鸣笛, 机所检测到的笛声频率。已知声速为 u ,且当然有 u > v A 、 vB 。 1.2 参考解答 如图 2 所示,t 时刻汽车 B 位于 B ( t ) 处,距 O 点的距离为 vB t 。此时传 播到汽车 B 的笛声不是 t 时刻而是较早时刻 t1 由 A 车发出的。汽车 A 发 出此笛声时位于 A ( t1 ) 处,距 O 点的距离为 v At1 。此笛声由发出点到接 收点( t 时刻 B 车所在点)所传播的路程为 u ( t t1 ) ,由几何关系可知

O

A

vA

B

vB

图1

A(t1 ) θ A(t1 ) O A(t )

vA

B(t )

( vBt ) + ( v At1 ) = u ( t t1 ) 。……………………………(1)
2 2 2

θ B(t )

vB 图2



(u

2

2 v 2 ) t12 2u 2tt1 + ( u 2 vB ) t 2 = 0 。 A

这是以 t1 为变量的一元二次方程,其解为

u 2 ± u 2 (v 2 + v 2 ) v 2 v 2 A B A B t1 = 2 2 u vA
2 2 2

t 。

由于 u > u v A ,且 t1 < t ,所以上式中只能取减号。 即 t1 =
2 2 u 2 u 2 ( v 2 + vB ) v 2 vB A A

u 2 v2 A

t 。………………………(2)

所以 t t1 = 令 u
2

2 2 u 2 ( v 2 + vB ) v 2 vB v 2 A A A

u 2 v2 A

t 。…………………(3)

(v

2 A

2 2 + vB ) v 2 vB = k 。………………………………(4) A

有 t1 =

u2 k k v2 t , t t1 = 2 A2 t 。……………………… (5) u 2 v2 u vA A
1

在 t1 时刻, 位于 A ( t1 ) 处的汽车 A 发出的笛声沿直线 (即波线)A ( t1 ) B ( t ) 在 t 时刻传到 B ( t ) 处, θ A(t ) 、 以

θ B(t ) 分别表示车速与笛声传播方向的夹角,有
cos θ A( t1 ) cosθ B( t ) vA (u 2 k ) v At1 = = 。……………………………(6) u ( t t1 ) u ( k v 2 ) A vB ( u 2 v 2 ) vB t A = = 。……………………………(7) 2 u ( t t1 ) u ( k vA )

令ν ' 表示 B 车司机接收到的笛声的频率,由多普勒效应可知

ν '=

u vB cos θ B( t ) u + v A cos θ A( t1 )

ν 0 。…………………………………………(8)

由(6)(7)(8)式,得 、 、

ν '=

u2 k 2 2 ν 0 ,其中 k = u 2 ( v 2 + vB ) v 2 vB 。……………(9) A A u 2 v2 A

2.创造性解答及讨论

y u

2.1 创造性解答 如图 3 所示,取另一辆从坐标原点 O 出发以速度

γ
β
C (t ) C0 v0 90o α + θ

u'

v0 匀速运动的汽车 C 为参照系。当汽车 A 在 A0
点时, 汽车 C 在 C0 点, 而当汽车 A 行驶到 A ( t ) 点 时, 汽车 C 行驶到 C ( t ) 点, 并收到汽车 A 在 A0 点

E α θ
O

90o α + θ 90o θ

θ

发出的笛声。 θ 为 v0 与 x 轴正方向之间的夹角, 设

A0 A ( t ) vA

α

x

α 为 A ( t ) C ( t ) 与 x 轴正方向之间的夹角, β 为

图3

笛声速度 u' 与汽车 C 运动方向之间的夹角,γ 为 u 与 u' 之间的夹角, 如图 3 所示。 选汽车 C 为参照系时,

易知 u' 与 A0C0 及 A ( t ) C ( t ) 平行。由 v绝对 = v相对 + v牵连 得: u = u' + v0 ; (不妨取 v0 > v A ) 则汽车 C 的司机所接收到的笛声频率为ν ' =

u' , 下面分别计算 u ' 与 λ ' 。 为计算所需, 先做一些准备工作。 λ'

由图 3 可知 β = α θ ,所以 sin β = sin (α θ ) = 由 sin 2 β + cos 2 β = 1 得: cos β = cos (α θ ) =

v At0 sin θ
2 t0 v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A

=

v A sin θ
2 v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A



v0 v A cos θ
2 v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A



sin γ =

v0 v sin (α θ ) = 0 u u

v A sin θ
2 v + v0 2 v A v0 cos θ 2 A



cos γ =

2 2 u 2 ( v 2 + v0 ) 2u 2 v A v0 cos θ v0 v 2 sin 2 θ A A 2 u v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A



cos α = cos (180o α ) =

2 2 v 2 t 2 + v 2 t 2 + v0 t 2 2 v A v0t 2 cos θ v0 t 2 A A 2 2 v 2 t 4 ( v 2 + v0 2 v A v0 cos θ ) A A

=

2 v 2 ( v 2 + v0 2 v A v0 cos θ ) A A

v A v0 cos θ v 2 A



参照图 3 有: u ' = u cos γ v0 cos β = 关于 λ ' 参照图 4 有:

2 2 2 u 2 ( v 2 + v0 ) 2u 2 v A v0 cos θ v0 v 2 sin 2 θ v0 + v A v0 cos θ A A 2 v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A



λ ' = λ cos γ
=

λ
u

v A sin ( 90o α )

γ
v A cos α
2 A

2 2 2 2 2 2 2 λ u ( v A + v0 ) 2u v A v0 cos θ v0 v A sin θ

λ

λ'

u 1

2 v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A

λ
u


=

u ( v + v ) 2u v A v0 cos θ v v sin θ v A v0 cos θ + v
2 2 A 2 0 2 2 0 2 A 2

vA

ν0

v + v 2 v A v0 cos θ
2 A 2 0

90o α 图4

所以
2 2 2 u 2 ( v 2 + v0 ) 2u 2 v A v0 cos θ v0 v 2 sin 2 θ v0 + v A v0 cos θ A A u' ν ' = =ν 0 。……………………(10) 2 2 λ' u 2 ( v 2 + v0 ) 2u 2 v A v0 cos θ v0 v 2 sin 2 θ v A v0 cos θ + v 2 A A A 2 k vB 2 2 ν ,其中 k = u 2 ( v 2 + vB ) v 2 vB 。应当指出以上结 A A 2 0 k + vA

当 θ = 90 , v0 = vB 时,上式化为:ν =
o

果与参考解答的结果(9)式是相等的,因为(9)式
2 2 2 ( u 2 k )( k + v2A ) ν = u 2 k + u 2 v2A u 2 v2A u 2 vB + v2A vB k v2A ν = k vB ν 。 u2 k ν = 2 2 ν0 = 2 2 0 0 u vA k + v2 ( u v A )( k + v2A ) 0 ( u 2 v2A )( k + v2A ) A

2.2 讨论 取 v A = 18m/s , v0 = 20m/s , u = 340m/s 则(10)式化为:

ν ' =ν 0

83694400 83232000 cos θ 129600sin 2 θ 400 + 360 cos θ 83694400 83232000cos θ 129600sin 2 θ 360 cos θ + 324



取 θ ∈ [ -π, π ] 用 Mathematica 软件作图如图 5 所示:

1

ν' ν0

0.98

0.96

0.94

0.92

0.9

-3

-2

-1

1

2

3

θ ( / rad )

图5
分析:从图 5 可以看出, [ -π, π ] 范围内, 在

ν' 随 θ 变化的图像关于 θ = 0 对称。当 θ ∈ [ π, 0] 时, 汽车 C ν0

的司机所接收到的笛声频率ν ' 随 θ 的增大而增大,而当 θ ∈ [ 0, π ] 时,汽车 C 的司机所接收到的笛声频率

ν ' 随 θ 的增大而减小。综而言之,汽车 C 的速
度 v0 与 x 轴正方向之间的夹角的绝对值越大, 其司机所接收到的笛声频率越小。

y

u

γ
β
C (t ) v0 90o α + θ

u'

3.拓展

E
现将创造性解答中的从坐标原点 O 出发以速度

o α θ 90 α + θ

O

θ

C0

A0 A ( t ) vA

α

90o θ

x

图6

v0 匀速运动的汽车 C 拓展为以速度 v = at 匀加速运动 (如图 6 所示)。考虑到此时 S =
C 以速度 v0 匀速运动时 S ' = v0t ;故可令 S = bt ,其中 b =
需将(10)式中的 v0 改为 b =

v at t = t ,而汽车 2 2

at (设时间 t 已足够大,使得 b > v A ) 。则只 2

at 。所以当汽车 C 以速度 v = at 匀加速运动时,其司机接收到的笛声频率: 2

ν '=

u' =ν 0 λ'

1 1 1 1 u 2 v 2 + a 2t 2 u 2 v A at cos θ a 2t 2 v 2 sin 2 θ a 2t 2 + at v A cos θ A A 4 4 4 2 。………(11) 1 2 2 2 1 22 2 1 2 2 2 2 u v A + a t u v A at cos θ a t v A sin θ at v A cos θ + v A 4 4 2
2 o

讨论:取 v A = 18m/s , u = 340m/s , a = 1m/s , θ = 45 ,则(11)式化为: 讨论

1 37454400 + 28859.5t 2 1040400 2t t 2 + 4.5 2t u' 4 ; ν ' = =ν 0 2 λ' 37454400 + 28859.5t 1040400 2t 4.5 2t + 324
取 t ∈ [ 0,1000 ] 用 Mathematica 软件作图如图 7 所示。

1

ν' ν0

0.8

0.6

0.4

0.2

200 -0.2

400

600

t0

800

1000

t

-0.4

图7

同时利用 Mathematica 软件可以求得: t0 = 680s 时,

ν' =0。 ν0

分析: 分析:从图 7 可以看出,当 θ = 45 时,
o

ν' ν' 随 t 变化的图像先增加后一直递减,至 t0 = 680s 时, =0。 ν0 ν0

至 ν 汽车 C 即汽车 C 的司机所接收到的笛声频率ν ' 先增加,后一直减小, t0 = 680s 时, ' = 0 。究其原因,

的速度不断增加,至一定值时,声速无法追及。 参考文献: [1]田阳阳,叶清,李明跃.一道竞赛题的四种解法探讨.物理教师,2009(1) :58


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