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2011届高三数学一轮复习精品课件:解三角形应用举例

时间:2011-02-05


第8课时

解三角形应用举例

基础知识梳理
1.有关概念 . (1)仰角与俯角:与目标视线在同 仰角与俯角: 仰角与俯角 一铅垂平面内的水平视线和目标视线 的夹角. 的夹角.目标视线在水平视线上方时 叫 仰角 ,目标视线在水平视线下方 时叫 俯角 .

基础知识梳理
如图所示. 如图所示.

基础知识梳理
(2)方位角:从正 北 方向沿顺时 方位角: 方位角 针到目标方向线的水平角叫方位角. 针到目标方向线的水平角叫方位角. (3)坡角:坡面与 水平 面的夹角 坡角: 坡角 叫坡角. 叫坡角. (4)坡比:坡面的铅直高度与水平 坡比: 坡比 叫做坡比. 长度之 比 叫做坡比.

基础知识梳理
2.解斜三角形在实际中的应用 . 解斜三角形在实际中的应用非常 广泛,如测量、航海、几何、 广泛,如测量、航海、几何、物理等 方面都要用到解三角形的知识. 方面都要用到解三角形的知识.解题 的一般步骤是: 的一般步骤是: (1)分析题意 准确理解题意. (1)分析题意,准确理解题意.分 分析题意, 清已知与所求, 清已知与所求,尤其要理解应用题中 的有关名词、术语,如坡度、仰角、 的有关名词、术语,如坡度、仰角、 俯角、方位角等. 俯角、方位角等. (2)根据题意画出示意图. 根据题意画出示意图. 根据题意画出示意图

基础知识梳理
(3)将需求解的问题归结到一个或 将需求解的问题归结到一个或 几个三角形中, 几个三角形中,通过合理运用正弦定 理、余弦定理等有关知识正确求 演算过程中,要算法简练, 解.演算过程中,要算法简练,计算 正确,并作答. 正确,并作答. (4)检验解出的答案是否具有实际 检验解出的答案是否具有实际 意义,对解进行取舍. 意义,对解进行取舍.

三基能力强化
1.两座灯塔A和B与海岸观察站 .两座灯塔 和 与海岸观察站 C的距离相等,灯塔 在观察站北偏东 的距离相等, 的距离相等 灯塔A在观察站北偏东 40°,灯塔 在观察站南偏东 °, 在观察站南偏东60° ° 灯塔B在观察站南偏东 则灯塔A在灯塔 的( 则灯塔 在灯塔B的 ) 在灯塔 A.北偏东 ° .北偏东10° B.北偏西 ° .北偏西10° C.南偏东 ° .南偏东10° D.南偏西 ° .南偏西10° 答案:B 答案:

三基能力强化
2.在某次测量中,在A处测得 .在某次测量中, 处测得 同一半平面方向的B点的仰角是 同一半平面方向的 点的仰角是 60°,C点的俯角为 °,则 点的俯角为70° ° 点的俯角为 ∠BAC等于 等于( ) 等于 A.10° B.50° . ° . ° C.120° D.130° . ° . ° 答案: 答案:D

三基能力强化
3.如图所示,为了测量 .如图所示, 某障碍物两侧A、 间的距 某障碍物两侧 、B间的距 给定下列四组数据, 离,给定下列四组数据,不能 确定A、B间距离的是 确定 、 间距离的是( ) 间距离的是 A.α,a,b . , , B.α,β,a . , , C.a,b,γ . , , D.α,β,b . , , 答案:A 答案:

三基能力强化
4.我舰在敌岛A南偏西 .我舰在敌岛 南偏西 50°相距 海里的 处,发现 海里的B处 °相距12海里的 敌舰正由岛A沿北偏西 沿北偏西10° 敌舰正由岛 沿北偏西 °的 方向以10海里 小时的速度航 方向以 海里/小时的速度航 海里 我舰要用2小时追上敌 行,我舰要用 小时追上敌 舰,则需要的最小速度为 ________. . 答案:14海里 小时 答案: 海里/小时 海里

三基能力强化
5.如图,为了测量 .如图, 河的宽度, 河的宽度,在一岸边选定 两点A, 望对岸的标记 两点 ,B望对岸的标记 物C,测得∠CAB= ,测得∠ = 30°,∠CBA=75°, ° = ° AB=120 m,这条河的宽 = , 度为________. 度为 . 答案:60 m 答案:

课堂互动讲练
考点一 测量距离

有关距离测量问题, 有关距离测量问题,主要是测量从 一个可到达的点到一个不能到达的点之 间的距离问题,如海上、 间的距离问题,如海上、空中两点测 隔着某一障碍物两点测量等. 量,隔着某一障碍物两点测量等.由于 该问题不能采取实地测量, 该问题不能采取实地测量,解决它的方 法是建立数学模型,即构造三角形, 法是建立数学模型,即构造三角形,转 化为解三角形问题.通常是根据题意, 化为解三角形问题.通常是根据题意,

课堂互动讲练
从实际问题中抽象出一个或几个三角 然后通过解这些三角形, 形,然后通过解这些三角形,得到所 求的量,从而得到实际问题的解. 求的量,从而得到实际问题的解.解 题时应认真审题, 题时应认真审题,结合图形去选择定 使解题过程简捷. 理,使解题过程简捷.

课堂互动讲练
例1 (2009年高考辽 年高考辽 宁卷)如图 如图, 、 、 宁卷 如图,A、B、 C、D都在同一个与 、 都在同一个与 水平面垂直的平面 内,B、D为两岛上 、 为两岛上 的两座灯塔的塔 顶.测量船于水

课堂互动讲练
面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分 别为 75°、30°,于水面 C 处测得 B 、 , AC= 点和 D 点的仰角均为 60°, =0.1 , km.试探究图中 B、D 间距离与另 试探究图中 、 外哪两点间距离相等, 外哪两点间距离相等,然后求 B、 、 D 的 距 离 (计 算 结 果 精 确 到 0.01 计 km, 2≈1.414, 6≈2.449). , , .

课堂互动讲练

思路点拨】 【 思路点拨 】

计算∠ 计算∠ADC → AC= DC =

中计算AB 求得BD → AB= BD → 在△ABC中计算 → 求得 = 中计算

课堂互动讲练
【解】 在△ACD 中,∠DAC=30°, = , ∠ADC= 60°- ∠DAC= 30°,所以 CD= = - = , = AC = 0.1. 又 ∠BCD = 180° - 60° - 60° = 60°,故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, 的中垂线, , AB 所以 BD= BA.在△ABC 中, = 在 = sin∠BCA ∠ + ACsin60° 3 2+ 6 AC , 所以 AB= = = sin15° 20 sin∠ABC ∠ 3 2+ 6 + 即 BD= = ≈0.33 (km).故 B、D 的 . 、 20 距离约为 0.33 km.

课堂互动讲练
【规律小结】 求距离问题一般 规律小结】 要注意: 要注意: (1)基线的选取要准确恰当 在测 基线的选取要准确恰当(在测 基线的选取要准确恰当 量上, 量上,我们根据测量需要适当确定的 线段叫做基线,如例1中的 中的CD). 线段叫做基线,如例 中的 . (2)选定或创建的三角形要确定. 选定或创建的三角形要确定. 选定或创建的三角形要确定 (3)利用正弦定理还是余弦定理要 利用正弦定理还是余弦定理要 确定. 确定.

课堂互动讲练
考点二 测量高度

测量高度问题一般是利用地面上 的观测点,通过测量仰角、 的观测点,通过测量仰角、俯角等数 据计算物体的高度; 据计算物体的高度;这类问题一般用 到立体几何知识, 到立体几何知识,先把立体几何问题 转化为平面几何问题, 转化为平面几何问题,再通过解三角 形加以解决. 形加以解决.

课堂互动讲练
例2 某人在山顶P处观察地面上相 某人在山顶 处观察地面上相 的两个目标A、 , 距2500 m的两个目标 、B,测得目 的两个目标 在南偏西57° 俯角为30° 标A在南偏西 °,俯角为 °, 在南偏西 同时测得目标B在南偏东 在南偏东78° 同时测得目标 在南偏东 °,俯 角是45° 求山高(设 、 与山底 角是 °,求山高 设A、B与山底 在同一平面上,计算结果精确到0.1 在同一平面上,计算结果精确到 m). .

课堂互动讲练
结合题意 思路点拨】 【思路点拨】 画出图形 在底面三角形 中借助余弦定 理列方程 用山高h表示 用山高 表示 底面三角形未 知边长度

解方程 求出高h 求出高

课堂互动讲练
【解】 画出示意图

课堂互动讲练
设山高 PQ=h,则△APQ、△ BPQ 均 = , 、 为直角三角形, 为直角三角形, 在图① 在图 ①中 , PAQ=30°, PBQ=45°. ∠ = , ∠ = 1 ∴AQ = PQ = 3 h , BQ = tan30° 1 PQ = h. tan45° 在图② 在图 ②中,∠ AQB=57°+78°= 135°, = + = , AB= 2500, = ,

课堂互动讲练
所以由余弦定理得 AB2= AQ2+ BQ2- 2AQ·BQcos∠AQB ∠ 即 25002= ( 3h)2+h2- 2 3h·h·cos135° = (4+ 6)h2, + 2500 ∴h= = ≈984.4(m). . 4+ 6 + 因此所求山高约为 984.4 m.

课堂互动讲练
【规律小结】 (1)依据题意画图 规律小结】 依据题意画图 是解决三角形应用题的关键. 是解决三角形应用题的关键.本例 既有方位角(它是在水平面上所成 中,既有方位角 它是在水平面上所成 的角),又有俯角(它是铅垂面上所成 的角 ,又有俯角 它是铅垂面上所成 的角), 的角 ,因而本例的图形是一个立体图 因此在画图时, 形,因此在画图时,可画立体图形和 平面图形两个图,以对比分析求解; 平面图形两个图,以对比分析求解;

课堂互动讲练
(2)由本例可知,方位角是相对于 由本例可知, 由本例可知 在某地而言的, 在某地而言的,因此在确定方位角 时,必须先弄清是哪一点的方位 从这个意义上来说, 角.从这个意义上来说,方位角是一 个动态角,在理解题意时, 个动态角,在理解题意时,应把它看 活,否则在理解题意时将可能产生偏 差.

课堂互动讲练
考点三 测量角度

测量角度问题也就是通过解三角 形求角问题, 形求角问题,求角问题可以转化为求 该角的函数值; 该角的函数值;如果是用余弦定理求 得该角的余弦,该角容易确定, 得该角的余弦,该角容易确定,如果 用正弦定理求得该角的正弦, 用正弦定理求得该角的正弦,就需要 讨论解的情况了. 讨论解的情况了.

课堂互动讲练
例3 在海岸 A 处,发现北偏东 45°
方向, 方向,距 A 处( 3-1) n mile 的 B - 处有一艘走私船, 在 处有一艘走私船, A 处北偏西 75° 的方向, 距离 A 处 2 n mile 的 C 处 的方向, 的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的

课堂互动讲练
速度追截走私船.此时, 速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h的速度从 处向北偏东 ° 的速度从B处向北偏东 的速度从 处向北偏东30° 方向逃窜, 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最 快追上走私船? 快追上走私船?

课堂互动讲练
【思路点拨】 本例考查正弦、 思路点拨】 本例考查正弦、 余弦定理的建模应用.如图所示, 余弦定理的建模应用.如图所示,注 意到最快追上走私船且两船所用时间 相等,若在D处相遇,则可先在 相等,若在 处相遇, 处相遇 中求出BC,再在△ △ABC中求出 ,再在△BCD中求 中求出 中求 ∠BCD.

课堂互动讲练
【解】 设缉私船用 t h 在 D 处追上 走私船, 走私船, 则有 CD=10 3t, BD=10t, = , = , AC= , 在△ABC 中, AB= 3-1, =2, ∵ = - , ∠BAC=120°, = , 由余弦定理, 由余弦定理,得 BC2= AB2+ AC2- 2AB·ACcos∠BAC ∠ = ( 3 - 1)2 + 22 - 2·( 3 - 1)·2·cos120°=6. = ∴BC= 6, = ,

课堂互动讲练
AC 2 3 2 且 sin∠ABC= ·sin∠BAC= · = . ∠ = ∠ = 2 BC 6 2 ∴∠ABC=45°.∴BC 与正北方向垂直. 与正北方向垂直. ∴∠ = ∴ ∵∠CBD=90°+30°= 120°. ∵∠ = + = 由正弦定理, 在△BCD 中,由正弦定理,得 BD·sin∠CBD 10tsin120° 1 ∠ sin∠BCD= ∠ = = = , 2 CD 10 3t ∴∠BCD=30°, ∴∠ = , 方向能最快追上走私船. 即缉私船沿东偏北 30°方向能最快追上走私船 . 方向能最快追上走私船

课堂互动讲练
【名师点评】 首先应明确方位 名师点评】 角的含义,在解应用题时, 角的含义,在解应用题时,分析题 分清已知与所求, 意,分清已知与所求,再根据题意正 确画出示意图,这是最关键、 确画出示意图,这是最关键、最重要 的一步, 的一步,通过这一步可将实际问题转 化成可用数学方法解决的问题, 化成可用数学方法解决的问题,解题 时也要注意体会正、余弦定理“ 时也要注意体会正、余弦定理“联 使用的优点. 袂”使用的优点.

课堂互动讲练
考点四 解三角形的综合问题

1.利用正、余弦定理可以实现 .利用正、 三角形中的边角关系的转化, 三角形中的边角关系的转化,即a= = 2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. , = , = 2.要熟记三角形的面积公式 . 1 1 1 S = absinC = bcsinA = 2 2 2 acsinB.注意其特点,是两边及其夹 注意其特点, 注意其特点 角正弦值的乘积的一半. 角正弦值的乘积的一半.

课堂互动讲练
例4 (解题示范 本题满分 12 分) 解题示范)(本题满分 解题示范 在△ ABC 中,a,b,c 分别为 , , 角 A,B,C 的对边,且满足 b2+ , , 的对边, c2-a2=bc. (1)求角 A 的值; 求角 的值; (2)若 a= 3,设角 B 的大小 若 = , 为 x, ABC 的周长为 y, y= f(x , △ , = 求 的最大值. 的最大值.

课堂互动讲练
思路点拨】 【思路点拨】 利用b 计算cosA 利用 2+ c2-a2=bc → 计算 利用正弦定理计算b, → 角A → 利用正弦定理计算 , c → 周长 → 求得最值 周长y→

课堂互动讲练
(1)∵b2+ c2-a2=bc, ∵ , 2 2 2 b +c -a 1 2分 = . ∴cosA= = 2 2bc π 4分 又∵0<A<π, ∴A= . , = 3 b a (2)∵ ∵ = , sinx sinA a 3 ·sinx= ·sinx= 2sinx. ∴b= = = = π 3 sin 3 2 a 2π 同理: = ·sinC= 2sin( -x). 同理: c= = 3 sinA 【 解】

6分

8分

课堂互动讲练
2π ∴y=2sinx+ 2sin( -x)+ 3 = + + 3 π 10 分 + + =2 3sin(x+ )+ 3. 6 π 2π π π 5π ∵A= ,∴0<x< ,∴x+ ∈( , ), = + , 3 3 6 6 6 π π π 12 分 ∴当 x+ = ,即 x= 时,ymax=3 3. + = 6 2 3

课堂互动讲练
【误区警示】 (1)不能正确表示 误区警示】 不能正确表示 b,c.(2)忽略了 的取值范围.(3)不能 忽略了x的取值范围 , 忽略了 的取值范围. 不能 利用三角函数的单调性. 利用三角函数的单调性.

课堂互动讲练
高考检阅 (本题满分 分)已知向量 = 本题满分12分 已知向量 已知向量a= 本题满分 (sinα,cosα),b=(6sinα+cosα, , , = + , 7sinα-2cosα),设函数 - ,设函数f(α)=a·b. = (1)求函数 求函数f(α)的最大值; 的最大值; 求函数 的最大值
(2)在锐角三角形 ABC 中,角 在锐角三角形 A, , 的对边分别为 a, ,, f(A) B, b, , C , c, =6,且△ ABC 的面积为 3,b+c , , + 的值. =2+3 2,求 a 的值. + ,

课堂互动讲练
解 : (1)f(α)= a·b= sinα(6sinα+ cosα) = = + + cosα(7sinα- 2cosα) - =6sin2α- 2cos2α+ 8sinαcosα - + =4(1- cos2α)+ 4sin2α- 2 - + - π 4分 =4 2sin(2α- )+ 2 - + 4 6分 ∴f(α)max= 4 2+2. +

课堂互动讲练
π (2)由 (1)可得 f(A)= 4 2sin(2A- )+ 由 可得 = - + 4 2= 6, = , π 2 sin(2A- )= . - = 4 2 π 因为 0<A< , 2 π π 3π π π 所以- 所以 - <2A- < , 2A- = , A - - 4 4 4 4 4 π 8分 = . 4

课堂互动讲练
1 2 ∵ S△ABC= bcsinA= bc= 3, ∴bc = = , 2 4 10 分 =6 2, , , 又 b+ c=2+3 2, + = + ∴ a2= b2+ c2 - 2bccosA= (b+ c)2- = + 2 2 2bc - 2bc× = (2 + 3 2 ) - 12 2 - × 2 2 2×6 2× = 10,∴ a= 10. 12 分 × × , = 2

规律方法总结
1.解三角形的一般步骤 . (1)分析题意,准确理解题意. 分析题意, 分析题意 准确理解题意. 分清已知与所求, 分清已知与所求,尤其要理解应 用题中的有关名词、术语,如坡度、 用题中的有关名词、术语,如坡度、 仰角、俯角、方位角等. 仰角、俯角、方位角等. (2)根据题意画出示意图. 根据题意画出示意图. 根据题意画出示意图

规律方法总结
(3)将需求解的问题归结到一个或 将需求解的问题归结到一个或 几个三角形中, 几个三角形中,通过合理运用正弦定 理、余弦定理等有关知识正确求 演算过程中,要算法简练, 解.演算过程中,要算法简练,计算 正确,并作答. 正确,并作答. (4)检验解出的答案是否具有实际 检验解出的答案是否具有实际 意义,对解进行取舍. 意义,对解进行取舍.

规律方法总结
2.解斜三角形实际应用举例 . (1)常见的几种题型 常见的几种题型 测量距离问题、测量高度问题、 测量距离问题、测量高度问题、 测量角度问题、计算面积问题、 测量角度问题、计算面积问题、航海 问题、物理问题等. 问题、物理问题等. (2)解题时需注意的几个问题 解题时需注意的几个问题 要注意仰角、俯角、 ①要注意仰角、俯角、方位角等 名词,并能准确地找出这些角; 名词,并能准确地找出这些角; 要注意将平面几何中的性质、 ②要注意将平面几何中的性质、 定理与正、余弦定理结合起来, 定理与正、余弦定理结合起来,发现 题目中的隐含条件,才能顺利解决. 题目中的隐含条件,才能顺利解决.

随堂即时巩固

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