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14.3(2)空间直线和平面的位置关系

时间:2012-04-10


1 4 . 3 (2 )空 间直线 和平 面的 位置 关系
上海市南洋中学 刘小萍

一、教学内容分析 空间的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素 间的位置关系进行定量分析的一个重要概念,由它们的定义,可得其 取值范围,前面我们已研究了两异面直线所成的角,本节研究直线与 平面所成的角 课本通过一个标枪的实例说明了直线与平面所成的角有它的实 际背景.接着借助图 14—22 引出了一系列概念. 对于空间角的计算,总是通过一定的手段将其转化为一个平面内 的角,并把它置于一个平面图形,而且是一个三角形的内角来解决, 而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的, 因此求这些 角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用.通过空间角的计 算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力. 求直线和平面所成的角的方法是: 射影转化法.具体步骤如下:①找过斜线上一点与平面垂直的直线; ②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出所求的角; ③把该角置于三角形中计算. 注:①斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直线所成的 一切角中的最小角,即若θ为线面角,α为斜线与平面内任何一条直 线所成的角,则有 θ ≤ α . 二、教学目标设计 教学目标设计 理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念,根 据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成 角,培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等. 培养立体感、数学美感,提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣. 三、教学重点及难点 斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念,求直线与平面 所成角的基本方法,难点是确定直线在平面上的射影 四、教学用具准备 投影仪,ppt 演示

五、教学流程设计 教学流程设计

引入

探究

巩固

应用

总结

作业

六、教学过程设计 教学过程设计

一、 情景引入
运动员起跑时, 腿部与地面给你怎样一种形象?运动员投出的标枪落 地以后,标枪一定会垂直地面吗?大都是怎样的状态?

[说明] 运动员投出的标枪落地以后,大多是插在地面上的,它们 说明] 说明 的状态有时“偏陡”些,有时“偏平”些,如何描述标枪落地时“偏 陡”或“偏平”的程度呢?这就涉及到标枪所在的直线与地面所成角 的大小了,这节课我们要研究直线与平面所成的角

二、学习新课
(1)前面我们学习了直线与平面垂直,这其实是直线和 问题 1: 平面相交的一种特殊情况,我们对它的研究,是将其转化为考察直线 和平面内直线的位置关系来进行的,它体现了什么数学思想方法? (2)类比上述数学思想方法,我们该如何刻画一条直线与一个 平面所成的角呢? [说明] 引导学生回顾直线与平面垂直的位置关系研究中体现的 说明] 说明

“平面化、降维”的数学思想方法,通过对已学知识与思想方法的回 忆,寻找新知识的“生长点”,同时渗透类比的数学思想方法.

定义: 定义:

1.平面的斜线 相交且不垂直时,叫做直线 斜交, 当直线 l 与平面 α 相交且不垂直时,叫做直线 l 与平面 α 斜交, l 的斜线. 叫做平面 α 的斜线. 叫做斜足, 斜线上一点与斜足间的线段 斜线上一点与斜足间的线段 斜线 l 与平面 α 的交点 M 叫做斜足, 叫做这个点到平面的斜线段. 叫做这个点到平面的斜线段.如图 14—22 2.射影 22, 斜交于点 如图 14—22,设直线 l 与平面 α 斜交于点 M ,过 l 上任意点 A , 垂线, 我们把点 上的射 作平面 α 的垂线,垂足为 O ,我们把点 O 叫做点 A 在平面 α 上的射 上的射影, 影,直线 OM 叫做直线 l 在平面 α 上的射影, 3.直线和平面所成角 规定直线 l 与其平面 α 上的射影 OM 所成的锐角叫做直线 l 与平 所成的角. 面 α 所成的角. 我们规定, 垂直时 它们所成的 我们规定,当直线 l 与平面 α 垂直时,它们所成的角等于 90o ; 平行或直线 上时,它们所成的 若直线 l 与平面 α 平行或直线 l 在平面 α 上时,它们所成的角为 0o ;
A

[说明]教师边画出课本图形 14-22,边讲解. 说明] 说明 点 O—点 A 在平面α 上的射影
α

O

M

图 14—22

AO—点 A 到平面的垂线段

直线 AM—平面的一条斜线

M—斜足

线段 AM—斜线段

直线 OM—斜线 AM 在平面上的射影 线段 OM—斜线段 AM 在平面α 上的射影 问题 2: 1.直线 l 与平面α 所成的角的大小与点 A 在 l 上的取法有关吗? 2.直线和平面所成角的范围是多少? 3.证明: PQ 与平面 α 内经过点 Q 的直线所成的所有角中, ∠PQP1 最 小. [说明] 直线 l 与平面 α 所成的角的大小与点 A 在 l 上的取法无关;直 说明] 说明 线和平面所成角的范围是[0, 2.例题分析 例 1.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中的棱长为 a , (1) 求直线 AB1 和平面 A1 B1C1 D1 所成的角; (2)求直线 DB1 和平面 A1 B1C1 D1 所成的角; (3)求直线 A1 B 和平面 A1 B1CD 所成的角 解: (1) 45 ; (2) arcsin
0

π

] ;斜线和平面所成角的范围是 (0, ) 2 2

π

3 0 ; (3) 30 . 3

[说明] 通过本例熟练掌握正方体的棱与面、对角线与面的关系,掌 说明] 说明 握求平面的斜线与平面所成角的其本步骤: “一找二证三求” ,三步都

必须要清楚地写出来. 例 2.如图, ∠BOC 在α内,OA 是α的斜线,

∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,求:OA 和平面α所成角的大小

A C B
分析:此题关键是确定 A 在 α 内的射影. 在本例中,可直接作 AH ⊥ BC 于 H ,进而证明 AH ⊥ 平面α ,从 而确认 H 是 A 在α 内的射影. 也可过 A 作 AH ⊥ 平面α 于 H ,进而证明 H 在 BC 上. 可求得 OA 和平面α所成角的大小为 45 . [说明]正确确定点在平面上的射影的位置, 说明] 是求直线与平面所成角的 说明 关键,只有确定了射影的位置,才能将空间问题顺利地转化为平面的 问题.
0

O

确定点在平面上的射影位置有以下几种方法:

(1) 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上;

(2) 利用已知的垂直关系得出线面垂直,确定射影. 例 3 . 在 例 1 的 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 若 M , N 分 别 是

AD1 , CD1 , 的中点,求 BD1 和平面 DMN 所成的角.

分析:在本例中仍可“一找二证三求”来求 BD1 和平面 DMN 所成的 角.但 BD1 是正方体的体对角线,而平面 DMN 是正方体的面对角线 所在的面, 因此可以通过证明 BD1 ⊥ DMN 来说明 BD1 和平面 DMN 所成的角为 90 . [说明] 直线和平面所成的角,包括直线和平面垂直,直线和平面平 说明] 说明 行或在平面内,即 90 角和 0 角情况,所以求直线和平面所成角时, 可先看是否是以上两种特例. 3.问题拓展 例 4.如图,已知 ∠BAC 在平面 α 内, P ?α , ∠PAB = ∠PAC , 求证:点 P 在平面 α 上的射影在 ∠BAC 的平分线上. 证明:作 PO ⊥ α , PE ⊥ AB, PF ⊥ AC ,垂足分别为 O, E , F ,连结
OE , OF , OA ,
0 0 0

? PE ⊥ AB, PF ⊥ AC ? P ? Rt ?PAE ? Rt ?PAF ? AE = AF , ∵ ?∠PAE = ∠PAF ? PA = PA ? E B A O ? PO ⊥ α ? AB ⊥ PO , α C ? F ? AB ? α

又∵ AB ⊥ PE ,∴ AB ⊥ 平面 PEO ,∴ AB ⊥ OE .同理 AC ⊥ OF . 在 Rt ?AOE 和 Rt ?AOF , AE = AF , OA = OA , ∴ Rt ?AOE ? Rt ?AOF ,∴ ∠EAO = ∠FAO , 即点 P 在平面 α 上的射影在 ∠BAC 的平分线上.

[说明] 本题给出了一个很重要的结论:平面的一条斜线,如果和这 说明] 个平面内斜线为顶点的角的两边成等角, 那么这条斜线在这个平面上 的射影是这个角的平分线所在的直线, 这个结论在解答一些问题时常 常用到,如前面的例 2.

三、巩固练习
练习:1.如图,已知六边形 ABCDEF 是边长为 a 的正六边形,PA 垂 直于六边形 ABCDEF 所在的平面 M,并且 PA=a,求点 P 与正六边形各顶 点连线和平面 M 所成的角

P

F A B
2.课本 P 页练习. 15

E D C

说明]通过练习进一步掌握求直线和平面所成角的基本步骤.掌 [ 说明] 通过练 握直线与平面所成角的有关概念.

四、课堂小结
求直线与平面所成角解题的一般步骤是: (1)找出这个角; (2)证明该角符合题意; (3)作出这个角所在的 三角形,解三角形,求出角;求角度问题不论哪种情况都归结到两条 直线所成角的问题,即在线线成角中找到答案.

五、作业布置

1.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求 A1B 和平面 A1B1CD 所 成的角.

2.A 是△BCD 所在平面外的点,∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°, AB=3,AC=AD=2. (1)求证:AB⊥CD; (2)求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值. [说明 通过作业进一步掌握求直线和平面所成角的基本步骤.掌握确 说明] 说明 定点在平面上的射影的方法. 六、教学设计说明 直线与平面所成的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形 中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念. 研究时要分清:斜线、垂线、直线,因此涉及的概念较多,为了 便于学生理解记忆,要注意边讲边画图,并在图上注出有关概念的名 称. 为了更好的理解直线与平面所成的角的概念,引导学生回顾直线 与平面垂直的位置关系研究中体现的“平面化、降维”的数学思想方 法,通过对已学知识与思想方法的回忆,寻找新知识的“生长点”, 同时渗透类比的数学思想方法. 接着通过例 1,掌握求直线和平面所成的角的常用方法: 射影转化法.具体步骤如下:①找过斜线上一点与平面垂直的直线; ②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出所求的角;③把 该角置于三角形中计算. 通过例 2,了解正确确定点在平面上的射影的位置,是求直线与平

面所成角的关键, 只有确定了射影的位置,才能将空间问题顺利地转 化为平面的问题.而确定点在平面上的射影位置有以下几种方法:

(1) 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上;

(2) 利用已知的垂直关系得出线面垂直,确定射影. 通过例 3,对直线与平面所成的角的范围更准确、全面的理解. 通过例 4,了解一个很重要的结论:平面的一条斜线,如果和这 个平面内斜线为顶点的角的两边成等角, 那么这条斜线在这个平面上 的射影是这个角的平分线所在的直线, 这个结论在解答一些问题时常 常用到. 总之,对于直线与平面所成的角的计算,总是通过一定的手段将 其转化为一个平面内的角,并把它置于一个平面图形,而且是一个三 角形的内角来解决, 而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来 实现的,因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应 用.通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及 空间想象能力.


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